Unidad 6. progresion aritmetica-GONZALO REVELO PABON

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A) Definición: Una sucesión de números reales es una progresión aritmética, si la diferencia entre un tér-

mino cualquiera de la sucesión y el inmediatamente anterior es un valor constante.

De la definición de progresión aritmética obtenemos que: Donde el número d recibe el

nombre de diferencia o razón de la progresión aritmética.

Termino enésimo de la progresión aritmética.

Termino enésimo menos uno de la progresión aritmética.

Razón o diferencia.

1, 2, 3, 4, 5, 6,…………. Proposición: En toda progresión aritmética, cada término después del primero se lo obtiene sumándole

al termino anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia (d). Es decir:

Ejemplo

Las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:

a) 2, 4, 6, 8, 10…………… la razón o diferencia es

b) 5, 10, 15, 20, 25, ……… la razón o diferencia es

c) 7, 12, 17, 22, 27,……… la razón o diferencia es

Ejemplo

Determinar la razón o la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas.

a) 13, 20, 27, 34, ………. la razón o diferencia es

b) 68, 59, 50, 41,……….. la razón o diferencia es

Ejemplos:

Formar la progresión aritmética, dada la siguiente información. a)

b)

c)

Termino General o Enésimo ( : En toda progresión aritmética de razón o diferencia d, el término

enésimo o término general de la progresión viene dado por la siguiente ecuación algebraica:

( Dónde:

Termino enésimo de la progresión aritmética.

Primer término de la progresión aritmética

Razón o diferencia

1, 2, 3, 4, 5, 6,…………. De esta manera, podemos determinar todos los términos de una progresión aritmética, conociendo sola-

mente el primer término de la sucesión y la diferencia o razón (d) entre dos términos consecutivos

de la progresión. Ejemplos: calcular el término que se indica, en cada una de las siguientes progresiones aritméticas.



60

a) 9, 14, 19,………….. calcular el termino 16.

Como ( . .

.

. Remplazamos:

( ( Prueba:

b) 15, 24, 33,………….. calcular el termino 12

( Como:

. .

.

. Remplazamos:

( ( Prueba:

c) 8, 20, 32………….. calcular el termino 6

( Como:

. .

.

. Remplazamos:

( ( Prueba:

Ejemplos

Dada la siguiente información: a)

Como ( remplazamos

( (

Prueba:

b)

Como ( Si n= 14 remplazamos ( . .

Remplazamos



61

( . .

Prueba:

c)

Como ( Si n= 13 remplazamos ( . .

Remplazamos

Prueba:

Ejemplos

Calcular el término general o enésimo de las siguientes progresiones aritméticas. a) -1, 1, 3, 5, 7, 9…..

Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: (

. ( . .

. Remplazamos: (

( .

b) 3, 6, 9, 12, 15, 18…… Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: (

. .

.

. Remplazamos: (

( .

c) 5, 6, 7, 8, 9, 10……

Para calcular el término general o enésimo aplicamos la ecuación: (

.

.

.

. Remplazamos: (

( .

TALLER

1. Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones aritméticas. a. El termino 20 en: 1, 6, 11, 16,……..



62

b. El termino 12 en: -4, 0, 4, 8…….. c. El termino 6 en: 3, 7, 11, 15…….. d. El termino 10 en: 2, 5, 8, 11…… e. El termino 8 en: 7, 11, 15, 19…….

2. Hallar el término general o enésimo de las siguientes progresiones aritméticas. a. 1, 3, 5, 7, 9…………….. b. 4, 7, 10,, 13, 16, 19…………… c. 1, 4, 7, 10, 13, 16…………… d. 20, 15, 10, 5………… e. 5, 10, 15, 20………..

3. Hallar los términos de las siguientes progresiones aritméticas.

a. b.

c.

d.

e.

4. (Estudiarlo profundamente- Sistema de ecuaciones) En una progresión aritmética y

. Hallar el termino y la razón o diferencia Solución: ,

5. (Estudiarlo profundamente- Sistema de ecuaciones) En una progresión aritmética y .

Hallar el termino y Solución: ,

Corolario (Consecuencia) Dados dos términos y de una progresión aritmética, con la condición

de que el entonces se cumple que: (

Dónde:

Termino y de la P.A

Termino x de la P.A

Razón o diferencia

Ejemplos:

a) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es-

cribir la progresión.

5

b) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es-


(

= 10



63

c) En una progresión aritmética, se sabe que y . hallar la razón o diferencia y es-


= 5

INTERPOLACION: Interpolar medios aritméticos entre dos números a y b, es formar una progresión arit-

mética, cuyos extremos de la progresión son los dos números a y b. Si intercalamos n números entre los números a y b, entonces para encontrar la razón o diferencia d entre

ellos es igual a la siguiente expresión:

Termino extremo izquierdo de la progresión aritmética.

Termino extremo derecho de la progresión aritmética.

Numero de términos a intercalar entre a y b.

Razón o diferencia

Los términos que intercalamos entre los dos números extremos a y b reciben el nombre de medios aritmé-ticos Para resolver este problema, lo único que se necesita es obtener el valor de la diferencia d que

existe entre dos términos consecutivos de la progresión aritmética, para ello se aplica la anterior ecuación Ejemplos: Interpolar los términos que se indican en cada uno de los literales.

a) Cuatro términos entre 7 y 17

.

2

b) Cinco términos entre 32 y 14

.



64

c) Seis términos entre -18 y 17

.

(

5

SUMA DE TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA: La suma de los n términos consecutivos

de una progresión aritmética es igual a la mitad de los n términos de la suma de los dos términos extre-mos. Es decir:

(

O también

[ ( ]

Suma de los n términos de la P.A

Numero de términos de la P.A

Término primero de la P.A

Termino enésimo de la P.A

Razón o diferencia

1, 2, 3, 4, 5, 6,…………. Ejemplos:

Hallar la suma de los: 1. 8 primeros términos de la P.A: 15, 19, 23, …………

8

15

.

[ ( ]

[ ( ( ] (

.

2. 19 primeros términos de la P.A: 31, 38, 45,……… 19

31

.

[ ( ]

[ ( ( ]

[ ( ] .

3. 24 primeros términos de la P.A: 42, 32, 22,………. 24

42

.

[ ( ]



65

[ ( ( ( ]

12[ ( ( ] (

4. 50 primeros términos de la P.A: -5, -13, -21,…. 50

-5

( .

[ ( ]

[ ( ( ( ]

[ ( ( ] [ ] TALLER:

1. En una PA . Hallar . Respuesta .

2. Hallar la PA de los 12 primeros términos, sabiendo que .

3. Hallar la PA de los 10 primeros términos, sabiendo que . 4. Interpolar los términos que se indican, de modo que resulte una progresión aritmética

a. Cuatro términos entre 15 y 30 b. Seis términos entre 3 y 38. c. Cuatro términos entre 15 y 5 d. Cinco términos entre 1 y 25. Respuesta: a)d=3, b)d= 5 c)d=-2 d)d=4

5. Si entre los números 8 y 16 hay tres medios. ¿Cuál es la diferencia? Respuesta d=2 6. Calcular la diferencia de la progresión aritmética, sabiendo que entre 12 y 52 hay tres

medios aritméticos. Respuesta d=10. 7. Hallar la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6…………100.

Respuesta 5050 8. Hallar la suma de los 50 primeros números pares: 2, 4, 6, 8,……….100. Respuesta

2550. 9. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 2, 4,

6, 8, 10, 12, 14, 16……………….. Respuesta a) 2n b) n(n+1) 10. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 1, 3,

5, 7, 9 , 11……………….Respuesta: a) 2n-1 b) 11. Hallar el termino enésimo y la suma de los n términos de la progresión aritmética: 3, 6,

9, 12, 15……………Respuesta a) 3n b)

( .

12. Cuantos términos hay que sumar en la progresión aritmética: 4, 8, 12, 16…… para ob-tener como suma total 220. Respuesta n=10.

13. Calcular la suma de los términos de una PA dada la siguiente información: a. . Solución:

b. . Solución: c. . Solución:

d. ; . Solución: 14. El quinto término de una progresión aritmética es 44 y el 12 término es igual a 100.

Calcular la suma de los 16 términos de la progresión aritmética. Respuesta 1152.

Problema 1: Un estudiante de 9 grado del IEM. Goretti, se propone el día 1 de septiembre re-pasar matemáticas durante 15 días, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio. a)¿Cuántos ejercicios le tocara hacer el día 15 de septiembre?. b)¿Cuántos ejercicios hará en total en los 15 días? Respuesta a) 29 ejercicios b) 225 ejercicios. Problema 2: En un edificio, el primer piso se encuentra a 7,40 mts de altura y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,80 mts. a) ¿A qué altura esta el 9 piso? b) ¿Obtenga un formula que nos indique la altura a la que se encuentre el piso n?. Respuesta: a) 37.80 mts b) 3,8n +36



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Problema 3: En una urbanización realizaron la instalación del gas natural en el año de 1999. Consideramos que en ese año se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesi-vas se realizan cada 3 años, responder, a)¿en qué año se realizara la décima revisión? b)¿Cuál es el número de revisiones que se realizara en el año 2035? Respuesta: a)2026 b) n= 13. Problema 4: El alquiler de una bicicleta cuesta 5000 pesos la primera hora y 2000 pesos más cada nueva hora. a) Cual es el precio del alquiler a la 7 hora. b) Hallar la fórmula que de él precio de alquiler de la bicicleta si se la alquila n horas. Respuesta: a) 17000 pesos b) 2000n + 3000.

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