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unidad 8 Funciones lineales
cuando dos magnitudes son proporcionales Página 1
Veamos un ejemplo:
Las magnitudes x e y ligadas por la relación y = 3x son proporcionales.
Puedes comprobar que al aumentar una (doble, triple, …), la otra aumenta del mismo modo; y al disminuir una (mitad, tercera parte, …), la otra disminuye de forma análoga.
actividades
1 Di, en cada caso, si el par de magnitudes son o no proporcionales:
a) El coste de una bolsa de patatas y su peso.
b) El peso del agua en una garrafa y el volumen que contiene.
c) La longitud del lado de un cuadrado y el área de este.
d) El tiempo que lleva en marcha un tren con velocidad uniforme y el camino que ha recorrido.
e) La estatura de una persona y su peso.
Dos magnitudes son proporcionales cuando los valores de una de ellas se obtienen a partir de los de la otra, multiplicándolos por un número fijo llamado constante de proporcionalidad.
y = 3x ÄÄÄ8 7 constante de proporcionalidad
x 1 2 3 4
y 3 6 9 12
unidad 8 Funciones lineales
cómo se reresentan las relaciones de proporcionalidad
Página 2
Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen de coordenadas.
Veamos el ejemplo siguiente:
Un kilo de patatas cuesta 2 E. La representación de la función peso 8 coste es una recta. Cuando la x aumenta 1 kg, la y aumenta 2 E. La constante de proporcionalidad es 2 (2 E por cada kilo). Es la pendiente de la recta.
actividades
1 Asocia cada una de las gráficas a uno de los siguientes enunciados:
a) El peso en kilos del agua es igual a su volumen en litros. b) El espacio recorrido por un tren (en kilómetros) es igual a su velocidad (120 km/h) por
el tiempo (en horas) que lleva en marcha.
1 2 3 4 5 6
100200300400500600700
Represéntalas en tu cuaderno, señala las escalas en los ejes y di cuál es la constante de proporcionalidad en cada una de ellas.
1
12345678
2 3 4 PESO (kg)
COSTE (€)
1 Completa las tablas, representa los puntos y traza las rectas que determinan.
a) y = x 8 b) y = x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
c) y = –3x 8 d) y = – x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –6 –3 0 3 6
y23
x –2 –1 0 1 2
y
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –4 –2 0 2 4
y32
x –4 –2 0 4 6
y12
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 22. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 22. Refuerza: función de proporcionalidad y = mx
2 Observa cada recta y escribe su pendiente (simplificada todo lo posible) y su ecuación.
a) b)
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ecuación: y = x Ecuación: =
c) d)
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ecuación: = Ecuación: =
X
Y
2
2X
Y
2
2
X
Y
2
2X
Y
2
2
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 23. Refuerza: función y = mx + n
1 Representa las siguientes rectas completando previamente las tablas. Determina sus pendientes y sus ordena-das en el origen.
a) y = 3x + 2 8 b) y = x – 1 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =
c) y = 2 – 2x 8 d) y = 1 – x 8
Pendiente: m = Pendiente: m =
Ordenada en el origen: n = Ordenada en el origen: n =
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –8 –4 0 4 8
y14
x –2 –1 0 1 2
y
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –4 –2 0 2 4
y12
x –2 –1 0 1 2
y
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 23. Refuerza: función y = mx + n
2 Escribe la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de cada una de estas rectas.
a) b)
m = ; n = m = ; n =
y = x + y = x + ( )
c) d)
m = ; n = m = ; n =
y = x + ( ) y = x +
X
Y
2
2X
Y
2
2
X
Y
2
2X
Y
2
2
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 24. Refuerza: la ecuación punto-pendiente
1 Escribe la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P.
a) 8 y = + (x – )
b) 8 y = + [x – ( )]
c) 8 y = + (x – )
d) 8 y = + · (x – )
2 Determina la ecuación de las siguientes rectas:
a) b)
m = ; P ( , ) m = ; P ( , )
Ecuación: y = + (x – ) Ecuación: y = + (x – )
X
Y
2
2P
X
P
Y
2
2
°¢£
m = 1P (2, –1)
°§¢§£
1m = – —
5P (5, 0)
°§¢§£
2m = – —
3P (–1, 3)
°¢£
m = 3P (1, 2)
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 24. Refuerza: la ecuación punto-pendiente
c) d)
m = ; P ( , ) m = ; P ( , )
Ecuación: y = + (x – ) Ecuación: y = + (x – )
X
Y
2
2
P
XP
Y
2
2
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 15. Refuerza: ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
1 Calcula, en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q, y escribe la ecuación de di-cha recta usando el punto P.
a) P (4, 6); Q (3, 3)
m = =
Ecuación: y = + (x – )
b) P (2, 1); Q (–4, 4)
m = =
Ecuación: y = + (x – )
c) P (2, 4); Q (–3, –1)
m = =
Ecuación: y = + (x – )
d) P (–1, –1); Q (2, –3)
m = =
Ecuación: y = + [x – ( )]
–
– ( )( )
–
–
–
–
–
–
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 26. Refuerza: forma general de la ecuación de una recta
1 Representa las siguientes rectas completando previamente la tabla de valores:
a) 2x + 3y = 1 b) 4x – y = –3
y = 8 y = 8
c) x + 4y + 6 = 0 d) 2x – 3y + 7 = 0
y = 8 y = 8
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –2 1 4
y
x –2 2 6
y
X
Y
2
2X
Y
2
2
x –2 –1 0
y
x –1 2 5
y
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 26. Refuerza: forma general de la ecuación de una recta
2 Escribe la forma general de la ecuación de la recta para los datos que se ofrecen en cada apartado.
a) P (5, 2); Q (2, –1)
Ecuación general:
b) P (2, –2); Q (–2, –1)
Ecuación general:
c) m = 1; P (–3, 2)
Ecuación general:
d) m = ; P (3, 0)
Ecuación general:
32
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 27. Ayuda para elegir escalas en los ejes
1 El coste de las llamadas provinciales en cierta compañía telefónica es de 0,30 € de establecimiento de llama-da más 0,05 €/min. Dibuja la gráfica de la función que expresa el coste de las llamadas en euros al cabo de x minutos.
2 El sueldo de Sara, vendedora de coches, es de 1 000 € fijos todos los meses más una comisión de 250 € porcada coche que venda. Halla la función que expresa el sueldo de Sara un mes que haya vendido x coches ydibuja su gráfica.
y =
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N.° DE COCHES
SUELDO (€)
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TIEMPO (min)
COSTE (€)
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 27. Ayuda para elegir escalas en los ejes
1 El coste de las llamadas a móviles en cierta compañía telefónica es de 0,80 € de establecimiento de llamadamás 0,50 €/min. Dibuja la gráfica de la función que expresa el coste de las llamadas en euros al cabo de xminutos.
2 La paga que le dan a Raquel sus padres es de 5 € al mes más 0,50 € cada día que haga la cama. Halla la fun-ción que expresa el dinero que recibe Raquel al final del mes habiendo hecho la cama x días y dibuja su grá-fica.
y =
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N.° DE VECESQUE HACE LA CAMA
PAGA (€)
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
COSTE (€)
TIEMPO (min)
ACTIVIDADES
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 1 de 38. Refuerza: estudio conjunto de dos funciones
1 Un depósito contiene 240 l de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9 l por minuto. Un segundo de-pósito contiene 300 l y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 l por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará hastaque ambos depósitos tengan la misma cantidad de agua?
8 y = + x 8
8 y = + x 8
La reserva de agua se iguala en ambos depósitos transcurridos minutos.
250
300
350
5 10TIEMPO (min)
CANTIDAD DE AGUA (litros)
x 0 5 10
y
°¢£
Cantidad de agua (l ) en el segundo depósito (y )en función del tiempo (min) transcurrido (x ).
x 0 5 10
y
°¢£
Cantidad de agua (l ) en el primer depósito (y )en función del tiempo (min) transcurrido (x ).
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 2 de 38. Refuerza: estudio conjunto de dos funciones
2 Un depósito contiene 350 l de agua. Se le conecta una bomba que aporta 30 l por minuto a la vez que seabre un desagüe que evacúa 80 l por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
8 y = + x 8
8 y = x 8
Cuando la cantidad evacuada es igual a la que habría sin desagüe, el depósito estará vacío.
El depósito se vacía en minutos.
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7TIEMPO (min)
CANTIDAD DE AGUA (litros)
x 0 5
y
°¢£
Cantidad de agua (l ) evacuada ( y ) en fun-ción del tiempo (min) transcurrido (x ).
x 0 5
y
°§¢§£
Cantidad de agua (l ) que habría en el depó-sito ( y ) en función del tiempo (min) trans-currido (x ) si no hubiera desagüe.
UNIDAD 8 Funciones lineales
Pág. 3 de 38. Refuerza: estudio conjunto de dos funciones
3 Un peatón sale a dar un paseo caminando a 4 km/h. Media hora más tarde sale en su busca un ciclista a10 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance?
8 y = x 8
8 y = (x – ) 8
El encuentro se produce cuando ambos hayan recorrido la misma distancia. Por tanto, el encuentro se produ-
ce a los minutos de la salida del peatón.
1
2
3
4
5
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65(1 h) 1(– h) 2
TIEMPO (min)
DISTANCIA (km)
x 1/2 1
y
°¢£
Espacio recorrido por el ciclista ( y ) en fun-ción del tiempo transcurrido (x ) en horas.
x 0 1
y
°¢£
Espacio recorrido por el peatón ( y ) en fun-ción del tiempo transcurrido (x ) en horas.