ADMINISTRACIÓN BANCARIA Y

FINANCIERA

ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS

INTERNACIONALES

MATEMÁTICA

UNIDAD 3 – FUNCIONES

PROFESOR:

FREDDY BEGAZO ZEGARRA

AREQUIPA - 2014

Números Reales Unidad II

2

CONTENIDOS

Introducción

………………………. 03

Definición de función

………………………. 04

Dominio y rango de una función ………………………. 05

Funciones elementales ………………………. 07

Operaciones con funciones ………………………. 12

Composición de funciones ………………………. 12

Modelación de funciones ………………………. 15

Bibliografía ………………………. 16

Números Reales Unidad II

3

INTRODUCCIÓN

En esta tercera unidad, desarrollamos el tema de funciones, concepto fundamental

para las matemáticas ya que cualquier problema de aplicación o de análisis más

profundos requiere del concepto de función.

Una función expresa la dependencia de una cantidad en relación a otra, lo que

determina la modelación de funciones que no es más que interpretar un problema en

lenguaje matemático.

En esta unidad estudiamos los conceptos de función dominio y rango, luego definimos

una función de variable real, definimos y graficamos las funciones elementales

reconociendo su regla de correspondencia y facilitar su representación gráfica.

Las operaciones con funciones serán fundamentales para el planteamiento y solución

de problemas de aplicación.

Números Reales Unidad II

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FUNCIONES

1. Definición

Dados dos conjuntos no vacíos A y B , una función de A en B es una regla de

correspondencia donde para cada elemento x de A le corresponde un único elemento y en

B .

Notación BAf : ; se lee: f es la función de A en B

La regla de correspondencia de una función tiene la notación: )(xfy

El conjunto A es llamado el conjunto de partida y el conjunto B el conjunto de llegada.

Una función se representa como un conjunto de pares ordenados, donde la primera componente pertenece al conjunto A , y la segunda componente, al conjunto B , es

decir: ByAxyxf /),(

La variable x es la variable independiente (pre imagen de la función), mientras que la

variable y es la variable dependiente (imagen de la función)

1.1. Función de variable real: Una función es de variable real si RRf : , donde

el conjunto de partida y el conjunto de llegada son los números reales.

Ejemplo: Sean las funciones de variable real:

3

12)()

143)() 2

x

xxfb

xxxfa

1.2. Valor numérico de una función: Es el valor de la función, cuando se le asigna

un valor a la variable independiente.

Ejemplo: En las siguientes funciones, evaluarla según los valores dados:

32)() 2 xxxfa Calcule:

2

3)1(21)1(.1 2

f

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18

3)3(2)3()3(.2 2

f

6

32)()

x

xxgb Calcule:

2

1

60

3)0(2)0(.1

f

11

8

2

11

4

62

1

32

12

2

1.2

f

1.3. Dominio y rango de una función:

El dominio de una función BAf : es el conjunto de las primeras componentes

(pre imágenes) de la función, se denotará como fD

fyxAxD f ),(/

El rango de una función BAf : es el conjunto de las imágenes de la función,

se denotará como fR

fyxByR f ),(/

Se determina que una función está bien definida si se conoce la regla de correspondencia y se tiene bien determinado su dominio.

Números Reales Unidad II

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Ejemplo:

Determine el dominio de las siguientes funciones:

32)() 2 xxxfa

RD f

La función es polinómica, por lo cual la variable x puede tomar cualquier valor

real

23

7)()

2

x

xxxfb

3

2RD f

La función es racional, por lo cual el denominador no puede ser cero

23)() xxfc

;

3

2fD

La función es raíz cuadrada, por lo cual la parte sub radical debe ser mayor o igual a cero.

4

1)()

2

x

xxfd

022

042

xx

x

;22;fD

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2. Funciones elementales:

2.1. Función Constante:

Es una función cuya regla de correspondencia es cxf )( , donde Rc

2.2. Función Identidad:

Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )(

Números Reales Unidad II

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2.3. Función lineal:

Es una función cuya regla de correspondencia es baxxf )( , donde Rba ;

Ejemplo:

Grafique la siguiente función lineal 32)( xxf

Tabulamos dos valores y los ubicamos en el sistema de coordenadas y luego trazamos

la recta que pasa por ambos puntos

x y -1 -5

2 1

Números Reales Unidad II

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2.4. Función cuadrática:

Es una función cuya regla de correspondencia es cbxaxxf 2)( , donde

Rcba ;;0

Ejemplo:

Grafique la siguiente función cuadrática 14)( 2 xxxf

El vértice de la parábola es );( khV , donde; )(;2

hfka

bh

i. Determinamos el vértice:

)3;2(

3)2(

22

4

2

V

fk

a

bh

ii. El coeficiente de 2x , luego

la parábola se abre hacia

arriba.

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2.5. Función raíz cuadrada:

Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )( , donde 0x

Ejemplo:

Grafique la siguiente función 32)( xxf

El vértice de la función se determina usando la siguiente relación );( khV , donde;

khxxf )(

i. Se determina el vértice de

la función:

3;2V

ii. El grafico es hacia la derecha, por su dominio

2x

iii. El signo negativo que antecede a la raíz cuadrada indica que la gráfica se dirige hacia abajo

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2.6. Función valor absoluto:

Es una función cuya regla de correspondencia es xxf )(

Ejemplo:

Grafique la siguiente función 23)( xxf

El vértice de la función se determina usando la siguiente relación );( khV , donde;

khxxf )(

i. Se determina el vértice de la función:

2;3V

ii. El signo positivo que

antecede al valor absoluto indica que la gráfica se

dirige hacia arriba.

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3. Operaciones con funciones:

Dadas las funciones de variable real f y g con sus dominios fD y gD respectivamente, se

definen las funciones:

3.1. Suma de funciones:

gfgf DDD

xgxfxgf

)()()(

3.2. Resta de funciones:

gfgf DDD

xgxfxgf

)()()(

3.3. Multiplicación de funciones:

gfgf DDD

xgxfxgf

)()()(

3.4. División de funciones:

0)(/

)(

)()(

/

xgxDDD

xg

xfx

g

f

gfgf

4. Composición de funciones:

Dadas las funciones f y g , tales que:

CBg

BAf

:

:

Entonces la función compuesta gf es aquella función definida por:

fggf DxgDxxD

xgfxgf

)(/

)(

Números Reales Unidad II

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Ejemplo:

Sean las funciones:

8;142)(

6,314)( 2

g

f

Dxxg

Dxxxf

Halle:

a) xgf y su dominio

b) xgf / y su dominio

Solución:

a) xgf y su dominio

18

)42(14

)()(

2

2

xx

xxx

xgxfxgf

6;1

8;16;3

gfgf DDD

b) xgf / y su dominio

x

xx

xg

xfxgf

42

14

)(

)(/

2

2

16;1

042/8;16;3

0)(//

xx

xgxDDD gfgf

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Ejemplo:

Sean las funciones:

3)(

32)( 2

xxg

xxxf

Halle:

a) xgf

b) xfg

Solución:

a) xgf

188

36296

3323

)3(

2

2

2

xx

xxx

xx

xf

xgfxgf

b) xfg

62

332

)32(

2

2

2

xx

xx

xxg

xfgxfg

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5. Modelación matemática: Es la representación en lenguaje matemático de la formulación de problemas de aplicación.

Ejemplo: Un comerciante tiene costos fijos de 2 000 nuevos soles, cada uno de sus productos tiene un precio de costo de 20 nuevos soles. Determine la función de

costo )(xC que da el costo total de producir ""x unidades de su producto.

a) Se tiene que la función lineal de costo total es la suma del costo fijo más el costo variable:

iablefijototal CCC var

b) Luego el costo variable es el producto del precio de costo "" p y del número

de unidades producidas ""x .

xpC iable var

c) Finalmente se reemplaza los datos en la ecuación de la parte a)

xxC 202000)(

Lo que nos determina el modelo matemático de la función de costo total.

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BIBLIOGRAFÍA

- Matemáticas aplicadas a la Administración – Arya / Lardner / Ibarra – 5ª Edición

2009

- Matemática Básica – Eduardo Espinoza Ramos – 2º edición 2005

- Matemática Básica – Ricardo Figueroa García – 9ª Edición 2006

- Introducción al Análisis Matemático – Armando Venero – 1987

- Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica - Swokowski, Earl W. 2006

México, Internacional Thomson.