Unidad I

MATEMATICAFINANCIERA


P(x,y)B

A

II (-,+)

III (-,-)

IV (+,-)

X

X´

Y

Y´

O

I (+,+)

UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFILIAL JAEN

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESAIALES

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN

Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

UNIDAD III: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, ECUACIONES DEL PUNTO Y RECTAS.

1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES:

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO

Sean P1( x1 , y1 ) y

P2 (x2 , y2 ) dos puntos cualesquiera en el plano, entonces la distancia d entre P1 y

P2 está dada por:

Profesor: Lic. Javier Saldarriaga Herrera1

d (P1 , P2 )=√( x2−x1)2+( y2− y1)

2



)y,x(P 1111y

X

Y

O2x1x

2y)y,x(P 222

)y,x(P 111

1x

X

Y

O2x1x

2y)y,x(P 222

)y,x(P 1112x

X

Y

2y

1y 1y

)y,x(P 222

AB

r2r1

rn…

r3





Ejemplos:

1. Encuentre la distancia entre los puntos

a. P(-1,3) y Q(4,15)b. P(2,0) y Q(4,-1) c. P(-3,1) y Q(-2,-3)

d. P(3 ,−√2 ) y Q(7,3√2)e. P(a,2) y Q(b,2)

f. P(-1,-3) y Q(-5,-6)

g. P(4,1) y Q(7,10)h. P(-6,3) y Q(4,-2)

2. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5,-2) es 2√41

. Hallar la abscisa del punto.

3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7,1) y B(3,b) es 5.

4. La abscisa de un punto es 7 y su distancia al punto B(1,-2) es 10. Determine la ordenada del punto.

5. Determinar el valor de a si la distancia entre los puntos A(1,7) y B(a,3) es 5.

6. Determinar el valor de a si la distancia entre los puntos A(a,1) y B(7,6) es 13.

7. La distancia de P(x,2) al punto A(9,-6) es dos veces la distancia al punto B(-1,5). Encontrar el valor de x.

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Sean puntos P1( x1 , y1 ) y

P2 (x2 , y2 ) , las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento P1P2 en la razón r,

están dados por:

Fórmula para puntos medios: Fórmula para n partes iguales


xm=x1+x2

2 ym=

y1+ y2

2x=x1+r (x2−x1 ) y= y1+r ( y2− y1 )



L

llO O

)x-x

y-y(tan

12

121-





Ejemplos:

1. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB

, donde A(-1,-3) y B(3,7).

2. Encontrar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB

en tres partes iguales, si A(-2,1) y B(7,4).

3. Encontrar el punto P tal que

APAB

=r

a.A(3,4), B(7,0) y r=1

4 b. A(-5,2), B (2,4) y r=2

5

4. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB

, donde A(5,-3) y B(7,-5).

5. Encontrar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB

en cuatro partes iguales, si A (-2,5) y B (6,-7).

4. ANGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

La dirección de una recta se puede indicar por el ángulo que forma con el eje X.

Dados P1( x1 , y1 )

y P2 (x2 , y2 )

, se define el ángulo de inclinación y la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1

y

P2 como:

Ángulo de Inclinación de una Recta:

Es el ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta no paralela al eje Y es la tangente del ángulo de inclinación. Se denota por m y se escribe:

m=Tgα

Nota:

La inclinación de una recta paralela o coincidente con el eje X es cero.

Una recta vertical no tiene pendiente, ya que la tan90º no existe.

Cuando el ángulo de inclinación es agudo la pendiente es positiva y cuando es obtuso la pendiente es negativa.

Ejemplos:

1. Encontrar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:

a. A(3,3) y B(6,7) b. A(0,3) y B(5,8) c. A(5,-3) y B(4,-4) d. A(18) y B(5,8)

5. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS


m=y2− y1

x2−x1

, x1 ≠x2



211 2

1P1y

X

Y

O 2x1x

2y2P

L

)x-x(my-y:L 00





Cuando dos rectas se cortan se forman varios ángulos.

Definición: Si dos rectas L2 recta de mayor inclinación

α 2 (recta final) y L1 recta de menor inclinación

α 1 (recta inicial) se cortan, entonces el ángulo entre dos rectas se define por:

θ=α 2−α1

Definición: Si L1 y L2

son dos rectas que se cortan con pendientes m1 y m2 ,

respectivamente, y si θ

es el ángulo

entreL1 y L2 ,

entonces:

tgθ=m2−m1

1+m1m2

,

si L2

es la recta con mayor inclinación y θ≠90 º

Ejemplos:

1. Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas L1

con pendiente m y L2

con pendiente (m-1) / (m+1)

2. El ángulo que forman la recta L1

que pasa por A(2,-1) y B(x,3), con la recta L2

que pasa por C(-1,3) y D(8,2) es 135º. Hallar la abscisa de B.

3. Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3,1) y B(4,3) con la recta que pasa por C(-2,4) y D(9,1).

6. LA LINEA RECTA

Una recta es una ecuación de primer grado en dos variables.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA:

a. Forma Cartesiana : La ecuación de la recta L que pasa por dos puntos P1( x1 , y1 ) y

P2 (x2 , y2 ) tiene por ecuación:

b. Forma Punto – Pendiente: La ecuación de la recta L que pasa por el punto P0 ( x0 , y0 ) y y cuya pendiente es m está

dada por:


L :¿ y− y1=y2− y1

x2−x1

·( x−x1) x1≠x2− ¿



bmxy:L

1b

y

a

x:L

X

Y

O

P0(0,b)

1x

X

O

Y

21 LL21 mmL//L





c. Forma General de la Ecuación de una Recta: La forma general de la ecuación de la recta L está dada por:

d. Forma Simétrica: La ecuación de la recta L de pendiente m que corta al eje Y en el punto P0 (0 , b)

(siendo b la ordenada en el origen), está dada por:

e. Forma Simétrica: La ecuación de la recta L que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos A( a ,0 ) y B(0 , b ) está dada por:

Ejemplos:

1. Encontrar la ecuación en forma general de la recta L que tiene como pendiente 2 y contiene al punto (3,-2).

2. Hallar la ecuación en forma general de la recta L que pasa por el punto (-1,2) y cuya pendiente es -4.

3. Encontrar la ecuación en forma general de la recta L que pasa por los puntos A(3,4) y B(-5,2).

4. Encontrar la ecuación en forma general de la recta L cuya intercepción con el eje Y es A(0,5) y cuya pendiente vale 3.

5. Hallar la ecuación en forma general de la recta L que cuyas intercepciones con los ejes son A(0,-6) y B(4,0).

6. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulo de área igual a 2 unidades cuadradas.

7. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:

Sean las rectas L1 y

L2 con pendientes mL1 y

mL2 respectivamente, entonces:

a. La recta L1 es paralela a la recta

L2 (L1 //

L2 ) si y sólo si sus pendientes correspondientes son iguales, es decir:


L :¿Ax+By+C=0− ¿



1-m·mL//L21 LL21

2L

O O

α

1L

α

1L

2L

X

Y

O2x1x

)y,x(P 111

dL





b. La recta L1 es perpendicular a la recta

L2 (L1¿ L2 ) si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir:

Ejemplos:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto C(4,3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(0,-3) y B(6,-1)

2. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto C(3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(-1,-3) y B(3,7).

3. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto C(-1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,-2) y B(6,4)

4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto C(3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(-1,-3) y B(3,7).

8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

TEOREMA 1:

La distancia dirigida d desde la recta dada L: Ax+By+C=0 a un punto P1( x1 , y1 ), está dada por la fórmula:

d (L ,P )=Ax1+By1+C

±√A2+B2

TEOREMA 2:

La distancia no dirigida d desde la recta dada L: Ax+By+C=0 a un punto P1( x1 , y1 ), está dada por la fórmula:

d (L ,P )=|Ax1+By1+C|

±√A2+B2

Nota:

Si C≠0 , √A2+B2 es de signo contrario a C

Si C=0 y B≠0 , √A2+B2 tiene el mismo signo de B.




PRECIO

CANTIDAD

demanda

oferta

PRECIO

CANTIDAD

demanda

oferta





Si C=B=0

, √A2+B2

tiene el mismo signo de A.

Ejemplos:

1. Hallar la distancia dirigida que separa al punto P (-3,-4) de la recta L:3x+4y-10=0. Rpta. -7

2. Hallar la distancia dirigida que separa al punto P (1,-5) de la recta L:5x+12y+3=0. Rpta. 4

9. APLICACIONES DE LA LINEA RECTA:

a. Gráficas lineales de Oferta y Demanda:

Las ecuaciones lineales pueden proporcionar representación razonable exacta de la oferta y la demanda para un cierto intervalo limitado. Por lo tanto empleamos las ecuaciones lineales de oferta y demanda para ilustrar ciertos tipos de análisis:

1. Una representación general de las curvas de oferta y demanda es:

2. Una representación de la oferta y la demanda como funciones lineales es:

NOTA:

Sólo los segmentos de las gráficas que están en el primer cuadrante son los que sirven para el análisis económico y esto es debido a que la oferta y la cantidad son en general no negativos.

Una Oferta Negativa implicaría que los bienes no se hallan disponibles en el mercado, ya sea porque no se producen o porque son retenidos hasta lograr un precio más conveniente. Un precio negativo querría decir que se paga algo a un cierto precio a los compradores para que adquieran los productos ofrecidos en el mercado.




PRECIO

CANTIDAD

demanda

Demanda con Pendiente Negativa

PRECIO

CANTIDAD

demanda

Demanda con Pendiente Nula





Una Demanda Negativa indica que el precio es tan alto que se ahuyenta e impide toda actividad en el mercado, hasta que se ofrezcan cantidades a un precio satisfactorio. Estos casos se pueden presentar con poca frecuencia y sólo se consideran en análisis económico más avanzado.

b. Gráfica Lineal de la Demanda:

Consideramos el caso cuando la pendiente de una línea de demanda es negativa, la cual quiere decir que a medida que aumenta el precio, disminuye la cantidad demandada y a medida que se reduce el precio, aumenta la cantidad demandada.

En ciertos casos, la pendiente de una gráfica de demanda puede ser nula, es decir el precio es constante, cualquiera sea la cantidad demandada.

En otros casos, la pendiente de la gráfica puede no estar definida, es decir la cantidad demandada es constante e independiente del precio.

Estos tres casos se representan gráficamente:




PRECIO

CANTIDAD

demanda

Demanda con Pendiente Indefinida

PRECIO

CANTIDAD

demanda

oferta

equilibrio

Equilibrio Significante

PRECIO

CANTIDAD

demanda

oferta

equilibrio

Equilibrio no Significante





c. Equilibrio de mercado:

El equilibrio de mercado en un punto (precio) ocurre cuando la cantidad de demanda de un bien es igual a la cantidad ofrecida del mismo.

Es decir, si se emplean las mismas unidades para medir “X” y para medir “Y” en ambas ecuaciones la “cantidad de equilibrio” y el “precio de equilibrio” corresponde a las coordenadas del punto de intersección de la curva de oferta y demanda.

Algebraicamente:

Se resuelven simultáneamente las ecuaciones de oferta y de demanda. Así se tiene un equilibrio significativo si el punto de intersección está en el primer cuadrante. En caso contrario, se tiene un equilibrio no significativo, lo cual se ilustra:








Ejemplo:

1. La curva de oferta para un artículo es x=20+y/2. (Suponga que “y” representa el precio y “x” la cantidad demandada). Hallar:

a. La cantidad demandada, si el precio es: 8 y 13

b. El precio, si la cantidad demandad es: 27 y 21

c. ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis?

2. Muebles “El Rey” compra un torno en $ 8000. Se espera que este torno dure 12 años, después de ese tiempo ya no valdrá nada. Si se emplea un método de depreciación en línea recta, deducir una ecuación del valor estimado del torno en función del tiempo. ¿Para qué valores de t es válida esa

ecuación? Para valores t≤12

.

3. El costo directo de fabricación de un galón de pintura es de $ 2.35. El costo fijo es de $ 420 diario. Exprese el costo diario total en función de la cantidad de galones de pintura producidos. Graficar el resultado.

4. Se sabe que el agua se congela a 0ºC o 32ºF, y que hierve a 100ºC o 212ºF; también que la relación entre la temperatura, expresada en grados C y grados F, es lineal. Encontrar esa relación.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1. A la Empresa “Lady Shoes” le cuesta $ 9,500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y el de 150 pares diarios es de $ 12,250. suponiendo que el costo es en función lineal de la cantidad fabricada, determinar el costo en función de la cantidad fabricada. Interpretar las constantes en su resultado.

2. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan curvas de demanda?, ¿cuáles representan curvas de ofertas?, ¿cuáles no representan ninguna de ellas?. (Suponer que “y” representa el precio y “x” la cantidad de la demanda).

a. x-2y=0b.

3x+4y-10=0c. y-4=0

d. x-3=0

e. 2x-3y+1=0

f. 2x+5y+4=0

g. 3x+4y-12=0

h. 5x-y-10=0

i. 3x+2y+2=0

3. Una empresa industrial fabrica un producto con unos costos variables por unidad de $ 3.3 y costos fijos de $20,000a. Graficar la función de costo total de la empresa para niveles de producción de 0 hasta 15,000

unidades.b. Graficar en el mismo diagrama del inciso anterior la función de ingresos de dicha empresa

considerando que el precio de venta del producto es de $6 por unidad.c. Señalar en el diagrama del inciso anterior cuál es el punto de equilibrio de la empresa.d. Escribir la fórmula del beneficio B de la empresa en términos del nivel de producción “x” y

graficarla para valores de “x” entre 0 y 15,000.4. La cantidad demandada de cierto bien está dada por Qd=2,200-3p y la cantidad ofrecida por los

productores es Q0= -200+5p

5. Graficar en un mismo diagrama de ejes Q, P (P en el eje vertical) las funciones de demanda y oferta de este bien. Señalar en la gráfica el punto de equilibrio (Q, P) indicando en los ejes correspondientes los valores Q y P.

6. Un servicio de paquetería cobra la siguiente tarifa por llevar paquetes de una ciudad a otra:

T=¿ {30 , si 0≺x≤2¿ ¿¿¿ Donde x es el peso en kilogramos del paquete enviado.








Dibujar la gráfica de la comisión T como función de X (sugerencia: utilice escalas de 0 a 6 en el eje horizontal (X) y de 0 a 80 para el eje vertical (T))

7. La Compañía “Good Light” va a entregar mensualmente 5000 luminarias a un precio de S/. 500 por unidad. Si el precio es de S/. 350 por unidad se ofrece solo 2000 unidades. Determinar la ecuación de oferta de dicho producto. Graficar su ecuación.

TRABAJO ENCARGADO1. Encuentre la distancia que separa a los puntos:

a) P(3 ,−√3 ) y Q(7,3√3)

b) P(a,2) y Q(b,2)

c) P(-1,-3) y Q(-5,-6)

d) P(4,1) y Q(7,10)

e) P(4,-2) y Q(-6,3)

f)

A( m,n) y B( m-n√32

,n+m√3

2).

2. Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos:a. A(-5,3); B(3,2) y C(-1,-4)b. A(2,-1); B(6,7) y C(-4,-3) c. A(3,1); B(-1,-1) y C(1−√3 ,2√3 )

d. A(6,5); B(3,7) y C(2,-1)

3. Demostrar mediante la fórmula de distancia que los puntos A(-3,10); B(1,2) y C(4,-4) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta.

4. La abscisa de un punto es -6 y su distancia al punto A(1,3) es √74 . Determine la ordenada del punto.

5. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7,1) y B(3,b) es 5.

6. Determinar el valor de a si la distancia entre los puntos A(a,8) y B(5,-2) es 2√41 .

7. El ángulo que forman la recta L1 que pasa por A(2,-1) y B(x,3) con la recta L2 que pasa por C(-1,5) y D(8,2) es 135º. Hallar la abscisa de B.

8. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta de menor inclinación pasa por P(2,-1) y Q(9,7) y la recta de mayor inclinación pasa por a(3,9) y B(-2,y).

9. Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3,1) y B(4,3) con la recta que pasa por C(1,-2) y D(6,7).

10.Una recta pasa por el punto A(2,4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Hallar su ecuación.

11.Hallar el valor del ángulo que forman la recta que pasa por A(-4,5) y B(3,9) con la recta que pasa por C(-2,4) y D(9,1).

12.El punto P de ordenada 10 está sobre la recta que pasa por los puntos A(7,-2) y B(9,4). Hallar la abscisa de P.

13.Demostrar que el triángulo de vértices A(4,7); B(-1,-8) y C(8,-5) es un triángulo rectángulo. Hallar el perímetro y su área.

14.Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-6,-2); B(-2,-1); C(-1,3) y D(-5,2) es un rombo. Hallar su área.

15.Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-2,6); B(4,3); C(1,-3) y D(-5,0) es un cuadrado. Hallar su perímetro y su área.




Xh

222 r)k-y()h-x( Y

k

C(h,k)

r

O





16.Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1,1) y B(3,1). Hallar las coordenadas del tercer vértice.

17.Hallar la ecuación de la recta de pendiente -3/4 y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 24u2

18.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,2) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 180u2

19.Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2,-4) y cuya suma de sus intersecciones con los ejes coordenados es 3.

UNIDAD IV: ECUACIONES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS

I.1. LA CIRCUNFERENCIA:Definición como Lugar Geométrico:

Una Circunferencia es el conjunto de puntos ( x,y )∈R2cuyas distancias (no dirigidas) a un punto fijo son

iguales. El punto fijo se llama centro y la distancia constante no dirigida es el radio.

Teorema: La circunferencia de centro C(h,k) y radio r>0 es la gráfica de la ecuación:

( x−h )2+( y−k )2=r2 …… Forma Ordinaria de la Ecuación de la Circunferencia.

Nota:Si el centro de la circunferencia está en el origen, la ecuación de la circunferencia se reduce a:

x2+ y2=r2 …… Forma canónica de la ecuación de la Circunferencia.

Casos Particulares de la Ecuación de una Circunferencia:a.Circunferencia tangente al eje X:

En este caso: |k|=r y la ecuación de la circunferencia toma la forma:

( x−h )2+( y−k )2=k2

b. Circunferencia tangente al eje Y:

En este caso: |h|=r y la ecuación de la circunferencia toma la forma:

( x−h )2+( y−k )2=h2

c.Circunferencia tangente a los ejes coordenados:

En este caso: |h|=|k|=r y la ecuación de la circunferencia toma la forma:

( x−h )2+( y−k )2=h2

Nota:

Dada una ecuación de la forma x2+ y2+Ax+By+C=0 (Forma general) puede representar:

Una circunferencia : Si r2=−C+h2+k2≻0

Un Punto: Si r2=−C+h2+k2=0

Ningún Lugar Geométrico: Si r2=−C+h2+k2≺0




VdL

Y

1L

r

O

F

L

P

R

X





Ejemplos:1. Encuentre la ecuación en forma general de la circunferencia con centro C(3,2) y radio r=4.2. Encuentre la ecuación en forma general de la circunferencia con centro C(-3,-1) y radio r=6.

3. Encontrar la ecuación en forma general de la circunferencia con centro C (3/4,1/2 ) y radio r=2.4. Encontrar la ecuación en forma general de la circunferencia con centro C(0,-3) y radio r=3.5. En las siguientes ecuaciones, determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto

o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circunferencia, dé su centro, su radio y grafique.a) x2 +y2 -2x-2y–1=0b) x2 +y2 -2x+2y–7=0c) x2 + y2 - 6x+10=0d) x2+y2+4x+10y+29=0e) x2 +y2 -2x-2y–1=0

f) x2 +y2 -6x+8y+12=0g) 9x2 +9y2 +12x -72y-77=0h) 8x2 +8y2 -12x-72y+17=0i) 16x2 +16y2 -40x +24y-110=0j) 25x2 +25y2 -20x -30y-87=0

k) x2 + y2 + 6x-14y–6=0l) 9x2 + 9y2 -144x+12y+580=0m) 4x2 +4y2 -12x+8y+77=0n) 36x2 +36y2 -48x+36y16=0o) 9x2 + 9y2 + 12x - 72y -77=0

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-4,-1) y que es tangente a L: 3x+2y-12=0.7. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta L: x+2y-6=0 y que pasa por los puntos

A(7,3) y B(-3,-7).8. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en S(4,0) y pasa por T(7,1).9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,4), B(4,-3) y C(-2,5).10. Determinar el valor de k para que la recta L: 3x-2y+k=0 sea tangente a la circunferencia

x2 +y2 -4x+6y-39=0.2.2. LA PARÁBOLA:

Definición como Lugar Geométrico:

Una parábola es el conjunto de puntos ( x,y )∈R2 , tales que su distancia a un punto fijo F

(llamado foco) es la misma que su distancia a una recta fija Ld (llamada directriz). Es decir:


d(P,Ld )=d(P,F)



(+)

(-)

(-)

(+)

)k-y(p4)h-x( 2 Gráfica





ECUACIONES DE LA PARÁBOLA:

Forma Canónica: y2=4 px ó x

2=4 py

Forma Ordinaria: ( y -k )2=4 p ( x -h ) ó ( x -h )2=4 p( y -k )

Forma General: y2+Dx+Ey+F=0 ó x

2+Dx+Ey+F=0

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA:1. Foco “F”: es el punto fijo de la parábola.

2. Directriz “Ld ”: recta fija, perpendicular al eje focal “L1 ”.3. Vértice “V”: es el punto medio del segmento que une la directriz y el foco.

4. Eje focal “L1 ” es la recta perpendicular a la directriz “Ld ” y que pasa por el vértice y el foco.5. Radio vector “PF” es el segmento que une un punto P de la parábola y el foco F.6. Cuerda focal “LR”: segmento de recta que une dos puntos de la parábola y pasa por el foco.7. Excenticidad “e” es la razón constante entre la distancia de un punto al foco y la distancia de

dicho punto a la directriz.8. Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

Parábola de eje focal paralelo al eje “X” V(h,k) F(h+p,k)

LR=|4 p|

d (F,V )=

LR4

Ld: x=h-p L1: y=k

( y−k )2=±4 p ( x−h )

Parábola de eje focal paralelo al eje “Y” V(h,k) F(h,k+p)

LR=|4 p|

d (F,V )=

LR4

Ld: y=k-p L1: x=h

( x -h )2=±4 p( y−k )Ejercicios:1. Hallar los elementos, la ecuación y construir la gráfica de la parábola en c/caso; si se dan:

a. F(5,7) y Ld : x+1=0

b. F(-4,2) y Ld : y+3=0

c. F(1,2) y Ld : x-5=0

d. F(1,-5) y Ld : x+2=0

e. F(7,2) y la directriz Ld : x-5=0

f. V(-3,2) y F(-1,2)

g. F(-1,-3) y Ld el eje X

h. F(-3,1) y Ld : 2y-3=0

i. F(3/4,4) y Ld : 4x+5=0

j. V(3,-1) y Ld : y+3=0








2. Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique si la curva representa una parábola exprese la ecuación en la forma canónica adecuada, identifique cada uno de los elementos y trace la curva (grafica señalando los elementos)

a. y=3+2x−x2

b. 2 x=5 y− y2

c.

y2−2 y−8 x+25=0d.

y2−12 y+46=0

e. 3 y2+2x=0

3. Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V(-2,1) y cuyos extremos del lado recto son: (0,0) y (-4,0)

4. Hallar la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento entre los puntos: L(3,5) y R(3,-3).

2.3. LA ELIPSE:

Definición como Lugar Geométrico:

Es el conjunto de puntos ( x,y )∈R2 , tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos

llamados focos (F1¿¿

) es siempre igual a una constante denotada por 2a. Es decir:E={P( x , y )∈R2 /d (P ,F1)+d (P , F2)=2a}

Una elipse tiene dos ejes (segmentos rectilíneos) de simetría (perpendiculares), el más largo se llama eje mayor y el más corto es su eje menor. El punto en el cual los dos ejes se cortan es el centro de la elipse.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:1. Punto Medio C: entre los focos, se llama centro de la elipse.

2. Vértices “V 1¿¿”: puntos donde el eje focal corta a la elipse.

3. Los Focos “F1¿¿”: que son los puntos fijos de la elipse.4. Eje focal “L”: recta que pasa por los focos.5. La recta “L1” llamada Eje Normal: pasa por M y es perpendicular al eje focal.

6. El segmentoV 1V 2=2a , es llamado eje mayor de la elipse.

7. El segmentoB1B2=2b , es llamado eje menor de la elipse.

8. Los segmentos L1R1 y L2R2 que pasan por el foco, se llama lado recto.




Y

O

F

L

P(x,y)

1V

X

1D

2V

1F

2F

L

R

1R

2B

1B1L

M

2D

Y

O

F

P(x,y)

X

kc,-h(F1 )k,ch(F2 C(h,k)

)k,ah(V2 )k,ah(V1 -

a>b





Casos Particulares:1. La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje “X”, está dada por:

( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

… Elipse de eje mayor paralelo al eje X, a>b)




Y

O

F

P(x,y)

X

1F

2F

C(h,k)

1V

2V

a<b





2. La ecuación de la elipse de centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje “Y”, está dada por:

( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

… Elipse de eje mayor paralelo al eje Y, a<b)

Elipse de eje focal paralelo al eje “X” C(h,k) V1(h+a,k) y V2(h-a,k) F1(h+c,k) y F2(h-c,k) B1(h,k+b) y B2(h,k-b)

( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

Elipse de eje focal paralelo al eje “Y” C(h,k) V1(h,k+a) y V2(h,k-a) F1(h,k+c) y F2(h,k-c) B1(h+b,k) y B2(h-b,k)

( x−h )2

b2+

( y−k )2

a2=1

LR=2b2

a e= c

a

Elipse de centro el origen eje focal el eje “X” C(0,0) V1(a,k) y V2(a,k) F1(c,k) y F2(c,k) B1(h,k+b) y V2(h,k-b)

LR=2b2

a

e= c

a

x2

a2+ y2

b2=1

Elipse de centro el origen y eje focal el eje “Y” C(h,k) V1(0, a) y V2(0,-a) F1(h,k+c) y F2(h,k-c) B1(b,0) y V2(-b,0)

LR=2b2

a

e= c

a

x2

b2+ y2

a2=1

Observación:1. Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la

distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligadas por la relación: a2=b2+c2








2. Para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b2

a y la excentricidad

está dada por la relación: e=

ca=√a2 -b2

a≺1

3. d (F1 ,F2 )=2c

4. La distancia entre las directrices es d=D1D2=

2a2

c=2a

ePRACTICA DIRIGIDA

1. Demuestre que los triángulos que tienen los siguientes vértices son rectángulosa) (6, 7), (3, -4) y (-1, 0)b) (5, -3), (4, 4) y (1, 0)

c) (-2, -17), (-6, 11) y (6, 7)d) (-2, 1), (2, -2) y (8, 6)

2. Dado un cuadrilátero de vértices A(-3, 2), B(3, 4), C(5, -4) y D(-1, -2); demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD son vértices de un paralelogramo.

3. Demuestre que el cuadrilátero cuyos vértices son A(11, 8), B(6, -2), C(-5, -4) y D(0, 6) es un rombo.

4. Demuestre que los puntos (6, 3), (3, 7), (-5, 1) y (-2, -3) son los vértices de un rectángulo.

5. Demuéstrese que la recta que pasa por los puntos (-4, 3) y (6, -1) es perpendicular a la recta que pasa por (2, 4) y (-2, -6).

6. Dados los vértices de un triángulo M 1 (2 ,1 ) ,M 2 (−1 ,−1 ) yM 3 (3 ,2 ), hallar las ecuaciones de sus alturas.

7. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la que pasa por los puntos (3, -2) y (-3, -1).

8. Hallar la tangente del ángulo que forma la recta que pasa por (2, 7) y (-1, -2) con la recta que pasa por (6, 4) y (-2, 2).

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6, -3) y tiene ángulo de inclinación 135º

10. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto A(-4, -1) y que es tangente a la recta L :3x+2 y−12=0

11. Dada la circunferencia C :25 x2+25 y2+30x−20 y−62=0a) Hallar el centro y radio de Cb) Graficar la circunferencia

c) Hallar la longitud de Cd) Hallar el área del circulo

12. Hallar la ecuación de la parábola de:a) Vértice en el origen y foco (0, -3).b) Vértice (2, 3) y foco (5,3)c) Vértice en el origen, directriz x+5=0

d) Vértice (4, -2) lado recto igual a 8, eje y+2=0e) Vértice (3, 1), directriz y=3f) Foco (-3, 8), directriz el eje X

13. Hallar el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son:a) x2−4 x− y+3=0b) y2+6 x+6 y+15=0

c) y2+12x−6 y+45=0d) x2−12 x−10 y+36=0

14. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2+8 y=0 que es paralela a 3 x+4 y−7=0







15. Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 cada una. Halle la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Determine el precio por unidad cuando se requieren 30 unidades.

16. Un fabricante de refrigeradores produce 3000 unidades cuando el precio es de $940 y 2200 unidades cuando el precio es $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad, q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de oferta.

17. Sea p= 8100

q+50 la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y suponga que la

ecuación de demanda es p= −7100

q+65. Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y

dedúzcalo por medio de una gráfica.

18. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son:3q−200 p+1800=0 y 3q+100 p−1800=0, encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una gráfica.


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