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UNIDAD IIIn m

Solución de problemasestáticos y dinámicos

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Propósito de la unidadDesarrolla habilidades para la evaluación de argumentos lógicos propios y de otras personas a fin de seleccionar alternativas de solución a situaciones y eventos que se le presenten.

Resultado de aprendizaje2.1 Elabora modelos de situaciones de la vida cotidiana y académica para explicar problemáticas sencillas en otros contextos (20 horas).2.2 Construye argumentos lógicos para resolver situaciones o eventos de los ámbitos académico, social y profesional (20 horas).

Estrategias de aprendizajeIntegrar equipos en parejas o tríadas, de acuerdo con las indicaciones del docente.Realizar los ejercicios marcados por el docente, aun cuando se considere que son muy fáciles, y comparar sus respuestas con las de los compañeros.Anotar o diagramar el proceso que se sigue en la realización de la búsqueda de soluciones de ejercicios o problemas.

L U Í l l E J i J I l

Punto de partidaBajo la dirección de tu docente, lee el siguiente texto:

Hay que “ver de verdad”¿Por qué nos descansa el ver una montaña? Porque nos gusta, porque es bella, porque es distinta. Porque el paisaje montañoso nos saca de repente del entorno gastado y aburrido de nuestra vida diaria y nos coloca en medio de un aire puro, de un cielo abierto, de unas laderas verdes y unas cumbres agrestes que exhiben novedad y frescura y cortes limpios y perfiles atrevidos. ¿Por qué nos descansa ver el mar cuando llegamos a una playa larga y profunda ante el azul intenso, o nos asomamos a un acantilá'db desnudo, con el hervor sonoro de las espumas blancas contra las rocas impasibles? Porque nos encanta el espectáculo olvidado de la naturaleza virgen en sus distancias eternas, sus formas siempre nuevas, su belleza inagotable en horizontes sin fin. Por eso nos descansa mirar al mar, respirar el aire de las montañas, caminar por el campo, perdemos entre árboles, malezas y riachuelos y pájaros. La naturaleza es el mejor refugio para el descanso de las tensiones del mundo de hoy, porque sigue siendo sana, original, distinta...

Todo eso es verdad, pero hay algo más profundo en esa actitud, y merece la pena reflexionar sobre ello. Y ese "algo" es lo siguiente: ver una montaña nos descansa radical y primariamente porque la "vemos"; y ver el mar nos descansa íntima y reposadamente porque lo "vemos". La ciudad, por el contrario, nos cansa porque hemos dejado de "verla" , porque con tanto pasar y repasar del mismo sitio al mismo sitio todas las mañanas y todas las tardes, hemos dejado de verla, de sentirla, de notaría, de dejarnos impactar por sus formas y sus colores, y con ello han quedado embotados, atorados y adormecidos nuestros sentidos; y al replegarse éstos en la rutina hostil, se han desatado los pensamientos, imaginaciones, temores y elucubraciones... y así nos va.

Es verdad que la belleza y la novedad de la montaña nos ayudan a fijarnos en ella y, consiguientemente, a verla; pero lo que nos descansa no es la belleza imponente del escarpado pico, sino el hecho de que lo "vemos". Nuestros^ ojos, cansados como están de tráfico y televisión y revistas y cine, sei encuentran de repente ante un espectáculo digno, nuevo, refrescante, sorprendente, que invita a la contemplación; y entonces esos ojos nuestros, felices agradecidos, se sienten súbitamente gozosos de ser ojos, de poder ver, de dejarse llenar por la visión plena y reposada que acaricia sus membranas y suaviza sus humores con la ternura humana de su función vital. Y el ojo ve, y los sentidos sienten, y el cuerpo resucita, y la mente se pacifica, y los pensamientos se frenan..., y el organismo entero se alegra y se esponja y se vivifica con el bienestar armónico de todo tu ser. El ver nos hace vivir.

En realidad no es el entorno el que nos descansa o nos fatiga, sino nuestra percepción de él a través de la novedad de los sentidos o de la rutina de la memoria, según sea el caso. No me olvido de aquella muchacha que, criada en el campo, vino por primera vez a una gran ciudad, se asomó a una ventana y exclamó extasiada: "¡Me estaría aquí todo el tiempo viendo pasar los coches!". Para ella el descanso era la ciudad. Estaba harta de ver vacas en su pueblo...

(Vallés: 42-44).

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V

F ura 3.1 Tomar las riendas de nuestro pensamiento nos ayuda a resolver problemas.

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Solución de problemas estáticos y dinámicos

En grupo, respondan las siguientes preguntas.¿En qué están de acuerdo con este escrito? ¿Refleja algo de lo que hemos tratado hasta el momento? ¿Qué

aspectos?Escribe en el siguiente espacio las conclusiones a las que llegaron:

Actividad de evaluaciónA lo largo de esta unidad, trabajaremos con distintos métodos para representar problemas de forma gráfica, lo cual nos permitirá resolverlos más fácilmente, además de potenciar nuestras habilidades con respecto a la resolución de problemas en general.

El producto final que generaremos será una tabla lógica en donde representemos el proceso de solución de un problema bajo los siguientes criterios:

+ Identifica variables o clases.+ Identifica la relación entre variables.+ Considera la relación mutuamente excluyente.+ Encuentra la solución y la explica por escrito. . , Razonamiento verbal promueve

' ' el desarrollo de otras habilidades mentales.

Relación entre el procesamiento deainformación, razonamiento verbal y

solución de problemaDe acuerdo con Margarita A. de Sánchez (1991), el razonamiento verbal está directamente relacionado con el razonamiento deductivo, esto es, el tipo de razonamiento que parte de premisas y que obtiene conclusiones de la observación del entorno. La deducción es útil para el razonamiento en tanto que nos permite establecer implicaciones de generalizaciones aplicadas a situaciones o casos específicos. El pensamiento deductivo contribuye a mejorar las habilidades de pensamiento y el desempeño intelectual en general.

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------------1 T ----j------- 1--------r resentación gráfica

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ición de problemas..................................

Como en cualquier problema que se nos plantea, lo primero que debe hacerse es entenderlo cabalmente. Esto puede lograrse mediante la representación gráfica del mismo. En esta unidad de aprendizaje analizaremos métodos para representar problemas de manera gráfica que nos permitan entenderlos y, como consecuencia, resolverlos.

Variable esencial como ejeHay problemas que, para resolverse, necesitan la organización de los datos de una sola variable que conduzca a la respuesta. Por ejemplo:

Juan es más alto que Andrés. Jacinto es menos alto que Juan y Andrés no es más alto ni tan alto como Jacinto. La información que se presenta en la situación descrita se refiere a una variable: la estatura de los personajes

a los que alude; sin embargo, está presentada de un modo que no puede ser leído con facilidad. Más adelante analizaremos cómo representarlo.

Referencia de la variable para enunciados directos, indirectos, con inversión de datos e indeterminadosPara poder hacer una lectura más clara de los datos del problema planteado anteriormente, lo más conveniente sería acomodarlos de acuerdo con la variable, del menor al mayor, del modo siguiente:

La primera oración es muy clara y nos permite colocar, de menor a mayor, a Andrés a la izquierda de Juan. Más adelante vemos que si Jacinto es menor que Juan, el más alto de los tres es Juan. Finalmente, Andrés, que no es más alto ni tan alto como Jacinto, es más bajo que Jacinto, de modo que es el menor de todos. Así, la información queda presentada como sigue:

Andrés Jacinto Juan

-----X----- x------x----- >Vemos que esta representación depende del uso de una referencia: la línea en la cual están ordenados los

elementos. Para describirlos, empleamos dos tipos de enunciados: directos e indirectos.Los enunciados directos son aquellos en los que la variable se reconoce fácilmente, porque se emplea la misma

palabra (o palabras) para referirse a ella en distintas ocasiones.Laura vendió menos libros que Antonio. José vendió más libros que Antonio. Raúl vendió más libros que Laura, pero menos que Antonio. ¿Quién vendió más libros?


La variable en este caso es la cantidad de libros vendidos y sólo hacemos uso de los términos "más" y "menos" para aludirla, de modo que resulta sencillo establecer la relación de orden; por otro lado, la palabra vender se repite a lo largo de todo el enunciado, por lo que no hay que hacer ninguna interpretación sobre su significado en sucesivas ocasiones.

L_ R A J-*----X------X------X

Los enunciados indirectos son aquellos en los que se presentan muchas relaciones entre diferentes variables, o bien, se usan diferentes palabras para referirse a la misma variable.

Observemos el siguiente problema:Julián es más rápido que Tomás. Pedro es más lento que Tomás, pero corre dos kilómetros más por hora que Samuel. Por otra parte, se sabe que a Julián le toma más tiempo recorrer la misma distancia que Miguel y Samuel es más rápido que Luis. ¿Quién es el más rápido?

Empleamos varios términos para nombrar la misma variable, la rapidez: "más lento que", "dos kilómetros más por hora", "le toma más tiempo".

L S P T J M-x----- x------ x— x------------- x--X

Otro caso en el que los enunciados planteados en un problema no son directos, de acuerdo con Margarita A. de Sánchez (1991), es cuando durante la lectura del problema se presentan datos sin relación con los anteriores y, por lo tanto, no pueden representarse de inmediato, a esto se le denomina inversión de datos. En este caso, la información se deja momentáneamente a un lado hasta que surgen los datos necesarios para completarla. Los datos faltantes permiten establecer los nexos necesarios para completar la representación gráfica. Esta estrategia se llama postergación.

Por ejemplo:El tiempo que les toma a Saturno y Neptuno dar una vuelta sobre su propio eje es menor que el de la Tierra.El de Saturno es menor que el de Neptuno, pero mayor que el de Júpiter.

Al iniciar nuestra representación, los datos no eran suficientes para poder decidir quién tenía el menor tiempo, si Saturno o Neptuno, por lo que debimos esperar para leer más información del problema y obtener este dato faltante. Como había inversión de datos, tuvimos que emplear la postergación.

115

A- S-x- Nx- Tx-

Finalmente, en ocasiones, la información no es suficiente o resulta ambigua como para hacer imposible un ordenamiento definitivo o certero; por lo tanto, el orden sólo puede expresarse en términos de posibilidades.

Veamos el ejemplo siguiente:Nicias y Catalina ganan lo mismo. Nicias gana más que Bárbara, quien a su vez gana menos que Elisa.

De acuerdo con la información de los enunciados, Eurídice podría ganar más o menos que Nicias, pero esta información no se encuentra en los datos propuestos, por lo que el ordenamiento siempre quedaría incompleto, por lo tanto, en este tipo de problemas sólo se pide que se escoja una opción que represente el escenario más probable:

¿Cuál de las siguientes posibilidades es la más correcta? a Nicias gana menos que Eurídice.

Nicias gana más que Eurídice. c Nicias podría ganar más o podría ganar menos que Eurídice.

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Así, la opción más adecuada es la letra c (representamos la posición de Eurídice con una línea punteada porque no es definitiva).

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^■Actividad de aprendizaje 1Representa las siguientes situaciones mediante el uso de un diagrama. El último elabórenlo en el pizarrón entre todos:

Las piezas A, B, C y D de un concierto deben ser ejecutadas siguiendo los parámetros enlistados a continuación,a) La pieza D debe ser la última en ejecutarse.

La pieza A debe seguir a la pieza C. c La pieza B debe ser tocada después de la pieza C.

116m a m


Sofía tiene cinco clases a la semana de actividades adicionales: Ballet, Piano, Jardinería, Expresión corporal y Gimnasia. Expresión corporal le gusta más que Piano y Jardinería. Jardinería le gusta más que Piano. Ballet le gusta menos que Piano y Gimnasia le gusta más que Expresión corporal.

En una convención, se reservó una hilera de ó sillas (representada con los espacios vacíos a continuación) para los alumnos del CONALEP que resultaron elegidos para asistir. Claudia debe sentarse 4 sillas adelante de Diana y Enrique debe sentarse 3 sillas antes de Claudia. Debe haber tres sillas de por medio entre Enrique y Josefina. Raúl no puede sentarse delante de Josefina, porque ése es el lugar de Harumi, en la primera fila.

4) Un mensajero debe entregar siete paquetes, exactamente -L, M, N, O, S y T-, uno a la vez, no necesariamente en ese orden, sino de acuerdo con las siguientes reglas:

+ P debe ser entregado el primero o el séptimo.+ El mensajero debe entregar el paquete N en algún momento después de entregar el paquete L.+ El mensajero debe entregar T en algún momento después de entregar M.+ El mensajero debe entregar sólo un paquete entre la entrega del paquete L y el paquete O (aunque L se puede

entregar después de O).+ El mensajero entrega exactamente un paquete entre la entrega de M y P (aunque M se puede entregar después de P).

El hombre que calculaba. Capítulo 4 (fragmento)

Tres días después nos aproximábamos a una pequeña aldea -llamada Lazakka- cuando encontramos, caído en el camino, a un pobre viajero herido.

Socorrímosle y de su labios oímos el relato de su aventura.

^Actividad de aprendizaje 2

117

Para conocer el final de esta lectura visita la siguiente página: h ttp ://g o o .g l/N s y v 6

Llamábase Salem Nasair y era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. Al regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una turba de persas, nómades del desierto. La caravana fue saqueada y casi todos sus componentes perecieron a manos de los beduinos. Sólo se había salvado él, que era el jefe, al ocultarse en la arena, entre los cadáveres de sus esclavos.

Al terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz angustiosa:-¿Tenéis, por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comer? ¡Estoy

casi muriéndome de hambre!-Tengo solamente tres panes -respondí.-Yo traigo cinco -afirmó a mi lado el "Hombre que calculaba".-Pues bien -sugirió el sheik-; ¡untemos esos panes y hagamos una

sociedad única. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.

Así hicimos y, al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, la perla de Oriente.

Al atravesar una hermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cortejo. Al frente marchaba, en brioso alazán, el poderoso Ibraim Maluf, uno de los visires del califa en Bagdad.

Al ver el visir a sheik Salem Nasair en nuestra compañía, gritó, haciendo parar su poderosa escolta, y le preguntó:

-¿Qué te ha pasado, amigo mío? ¿Por qué te veo llegar a Bagdad sucio y harapiento, en compañía de dos hombres que no conozco?

El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurrió en el camino, haciendo los mayores elogios respecto de nosotros.

-Paga sin pérdida de tiempo a esos dos forasteros, ordenó el visir.Y sacando de su bolsa 8 monedas de oro, las entregó a Salem Nasair,

insistiendo:-Q uiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los

Creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo beduinos practicaron al matar a nuestros amigos y saquear caravanas dentro de nuestras fronteras.

-Voy a dejaros, amigos míos -d ijo Nasair-; mas, antes deseo agradeceros el gran servicio que me habéis prestado. Y para cumplir la palabra, os pagaré el pan que tan generosamente me dierais.

Y dirigiéndose al "Hombre que calculaba" le dijo:-Por tus cinco panes te daré cinco monedas.Y volviéndose hacia mí, concluyó:-Y a ti, "bagdalí", te daré, por los tres panes, tres monedas.Con gran sorpresa nuestra, el "Calculista" objetó, respetuosamente:-¡Perdón, oh, sheik! La división hecha de ese modo será muy sencilla, mas

no es matemáticamente exacta. Si yo di 5 panes, debo recibir 7 monedas; y mi compañero, "el Bagdad" que dio tres panes, solamente debe recibir una moneda.

Contesta las siguientes preguntas:Teniendo en cuenta que cada vez que se repartían el pan durante el camino, cada pieza se partía en tres partes

iguales, ¿crees que el reparto propuesto por el "Calculista" es correcto?¿Qué procedimiento podrías emplear para probar que el reparto es correcto o incorrecto?

http://goo.gl/Nsyv6


Variables esenciales como ejeLa representación en una dimensión se refiere a problemas en los cuales existe una sola variable que toma diferentes valores.

Las variables que intervienen en estos problemas son cualitativas y ordenables, y de valores relativos. Las figuras que se emplean para representar las características de estas variables son los diagramas y gráficos lineales, y las líneas rectas en las cuales se fijó una referencia.

Las referencias utilizadas son:+ Un punto para indicar el origen a partir del cual podemos representar el valor de la variable.+ Una línea para todos los valores de las variables, referidos a una sola dimensión.+ Varias líneas apoyadas en una base o referencia común.

Los problemas en donde se dan los datos y se plantea una pregunta para responderla con la información que se proporciona, se llaman estructurados. En ellos se da la información necesaria y suficiente para encontrar la solución.

Problemas con características absolutas y numéricasLa estrategia "representación en dos dimensiones" consiste en analizar cada una de las variables, ponerlas en números y sacar conclusiones de lo que no está, a partir de lo que sí está. Para ello es necesario identificar las variables incluidas en el problema y representarlas mediante números. Posteriormente se debe dibujar una tabla de doble entrada en la que se colocan los nombres de las variables y dejar espacio para completar los valores no desconocidos, pero que se pueden inferir a partir de los que sí se presentan.

Esta representación también se denomina tabla numérica, porque emplea números para mostrar los valores de las variables.

Construcción del esquema tabularUn aspecto relevante en esta estrategia es que te permite tomar conciencia de los procesos que realizas para resolver problemas, más que la respuesta per se. Esta autoconciencia no sólo es útil en la escuela, sino que, en la vida cotidiana, permite reconstruir un hecho con base en descripciones verbales incompletas o recibidas poco a poco.

Además, las ventajas de este tipo de representación son las siguientes:+ Permite visualizar el problema.+ Facilita la comprensión del problema.+ Ayuda a imaginarnos el problema.+ Permite evitar errores debido al apresuramiento, la impulsividad, la lectura deficiente, etc.+ Ayuda a organizar la mente para comprender las relaciones entre los datos del problema.+ Facilita la respuesta.

Proceso de soluciónLos pasos de esta estrategia son los siguientes:

+ Leer todo el problema e identificar las variables y la pregunta o lo que se pide.+ Elaborar una tabla que incluya las variables por representar y los totales.+ Leer el problema parte por parte y representar los datos que se presentan hasta completar la lectura de todo

el enunciado.+ Hacer deducciones a partir de los datos conforme se complete la tabla.

Cuando los datos son insuficientes, es necesario postergarlos hasta encontrar otros que complementarán la información.

Una vez completa la tabla, debes verificar la congruencia interna de los datos y formular la respuesta del problema.

Es importante tener en cuenta que, para resolver este tipo de problemas, debes leer detenidamente los datos, deteniéndote a analizar cada información sobre las variables que se otorgue.

Pensemos en el siguiente ejemplo:En los Juegos Olímpicos de 2012, se obtuvieron los

siguientes resultados en los tres primeros lugares: Estados Unidos, China y Gran Bretaña, respectivamente.

a) Estados Unidos obtuvo el mismo tanto de medallas de plata y de bronce.

b) China, que obtuvo 88 medallas en total, consiguió 27 medallas de plata, dos menos que las que obtuvo Estados Unidos.

c) Las medallas de oro que obtuvo Gran Bretaña son las mismas que las que Estados Unidos obtuvo de plata.

d) La diferencia de medallas de oro entre Estados Unidos y China es de 8, una unidad menor que la que hay entre las obtenidas por China y Gran Bretaña, país que logró 29 de estas preseas.

e¡ Gran Bretaña, que consiguió 65 medallas en total, obtuvo diez medallas de bronce menos que las que obtuvo Estados Unidos.

¿Cuántas medallas de bronce obtuvo China?¿Cuántas medallas de plata obtuvo Gran Bretaña?

Con el dato ofrecido en el inciso a), debemos hacer una postergación, porque a pesar de que sabemos que el valor numérico del número de medallas es igual, no podemos establecer cuál es ese valor. Más adelante, en el inciso b), encontramos ese valor, además del número de medallas de plata obtenidas por China. El total de sus medallas también es un dato que debemos postergar hasta reunir más información. El inciso c) también nos da un dato directo. El inciso d) nos proporciona la cantidad de medallas de oro ganadas por los tres países, una vez que hacemos las operaciones aritméticas (29+7 para calcular las medallas obtenidas por China y 36+8 para calcular las de Estados Unidos). Con el dato del inciso e) sabemos que Gran Bretaña obtuvo 19 medallas de bronce.

Sólo quedan sin completar los espacios correspondientes a las preguntas que se nos plantean; sin embargo, se pueden conocer los datos que van ahí, si se considera el total de medallas ganadas por cada país: China, 88 y Gran Bretaña, 65, como se enuncia en los incisos b) y e), respectivamente. Así, la tabla queda como sigue: -

EEUU

China

Gran Bretaña

46 29 29

38 27 23

29 17 19

"■Actividad de aprendizaje 3Resuelve los siguientes problemas:

Durante el acopio de víveres para ayudar a las personas damnificadas del estado de Chiapas, los hermanos de Eduardo, Jaime, Sara y Carlos, aportaron un total de 23 bolsas de frijol y un número de latas de atún inferior en 20 a los paquetes de leche evaporada que se recopilaron. Jaime aportó 25 latas de atún más que paquetes de frijol y Sara aportó 8 paquetes de frijol, es decir, 2 paquetes menos de los que recaudó Jaime. Además, Sara juntó igual número de paquetes de frijol que de latas de atún y se ha determinado que Carlos aportó la quinta parte del número de latas de atún de las que donó Jaime. ¿Cuántas latas de atún logró juntar Carlos?

2) Octavio, Flavio, Tomás y Manuel organizaron un bazar para vender ropa usada con el fin de juntar dinero para una obra benéfica. Después de revisar sus roperos reunieron un total de 69 piezas, entre camisas, pantalones, sudaderas, pants y chamarras. Octavio no tenía pants ni sudaderas, pero ¡untó tres pantalones y el


doble más uno de camisas; de las seis chamarras que se ¡untaron, Flavio llevó dos y Tomás, una. Manuel puso 13 piezas, de las cuales 5 eran sudaderas y el resto de pantalones. Tomás, que tiene muchos pants, donó seis de éstos y el triple de camisas que Flavio; en total aportó 24 prendas (cada pants cuenta como una prenda). Flavio llevó igual número de pantalones que Manuel, cinco camisas y cuatro sudaderas de las 11 que se juntaron. Determina cuántas prendas y de qué tipo reunió cada uno.

Problemas de características conceptuales osemánticasEl nivel de complejidad de las situaciones que se plantean es mayor que en los problemas anteriores; en este caso, para resolver los problemas se necesita establecer relaciones entre conceptos o elementos semánticos, mantener un registro de las relaciones que se postergan, plantear y verificar hipótesis, deducir y aplicar algunas propiedades de las tablas que se infieren de las condiciones o restricciones de los problemas.

Una restricción es una condición que deben cumplir los valores de las variables. Las restricciones permiten delimitar los valores que toman las variables y ayudan a completar la tabla.

Retomar el concepto de clase o categoríaEn esta técnica es necesario postergar muchos datos, hacer anotaciones adicionales y leer o releer el problema conforme se va completando la tabla. Esto quiere decir que, como apuntábamos anteriormente, la información que se proporciona sirve como base para deducir nuevos datos.

Asimismo, emplear las restricciones nos permite completar la información no proporcionada y aportar pistas para relacionar los datos.

Los elementos que se consideran para resolver un problema son:+ El enunciado.+ Las variables.+ Los datos o valores de las variables.+ La pregunta o lo que se pide.+ Las restricciones.

Construcción del esquema tabularLa estrategia general para resolver estos problemas es la misma utilizada en las tablas; i el orden de aplicación de los pasos de la estrategia no es rígido, cambia en funciói conforme se establecen nuevas relaciones durante la resolución del problema. Se necesita y leer el problema varias veces para asociar los datos postergados con la información completa la tabla.

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Proceso de soluciónPara resolver problemas mediante este tipo de estrategia, sigue los siguientes pasos:

+ Lee el problema para identificar las variables.+ Organiza la tabla donde analizarás éstas.+ Vuelve a leer el problema.+ Obtén los primeros datos que te ayuden a completar la tabla.+ Deduce información.+ Aplica las restricciones y completa la tabla.

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V -

Evidencia a recopilar 1Utiliza la habilidades que desarrollaste en esta sección para realizar las tablas solicitadas en la Actividad de evaluación.

Ejemplo:Durante tres días -de lunes a miércoles-, un oficial de sanidad inspeccionará exactamente seis edificios: tres hoteles: Grace, Jacaranda y Lido; y tres restaurantes: Sevilla, Vesubio y Zenda. Cada día, se inspeccionan dos edificios: uno en la mañana y otro en la tarde. Las inspecciones deben ocurrir de acuerdo con las siguientes condiciones:

a Los hoteles no se inspeccionan en miércoles.El Grace se inspecciona en algún momento antes que el Jacaranda,

c] El Grace no se inspecciona el mismo día que el Sevilla.Si el Zenda se inspecciona en la mañana, el Lido también se inspecciona en la mañana.

Si el Sevilla se inspecciona en la mañana del lunes, ¿cómo queda el resto de los edificios?Para resolver este problema, empleamos una tabla como las que hemos construido anteriormente:m Lunes Martes Miércoles

AM

PM

Se sugiere también que se empleen mayúsculas para distinguir a los hoteles: G, J y L, y minúsculas para distinguir a los restaurantes: s, v y z.

La regla a) indica que los hoteles no son inspeccionados el miércoles, entonces este día deben ocuparlo los restaurantes. El problema nos da datos específicos sobre el Grace, por ejemplo, que tampoco puede ser inspeccionado el lunes porque, de acuerdo con la regla c), no se inspecciona el mismo día que el Sevilla. Por lo anterior, sólo queda disponible el martes para la inspección del Grace.

Sin embargo, de acuerdo con la regla d), el Grace no puede ser inspeccionado en la tarde del martes, porque esto obligaría a que el Jacaranda fuera inspeccionado el miércoles, lo que contradice la información propuesta por el inciso a). De modo que con esto sabemos que el martes fue visitado en la mañana el Grace y en la tarde el Jacaranda.

Si es el caso, el único momento que queda disponible para el Lido es la tarde del lunes, porque los miércoles no se revisan hoteles (nuevamente haciendo alusión a la regla a).

Luego, de acuerdo con la regla d), el Zenda también se inspecciona en la tarde, pero del miércoles. Considerando lo anterior, la información de la tabla queda de la siguiente manera:■ Lunes Martes Miércoles

AM s G

PM L J

122m m m


*m Actividad de aprendizaje 4Resuelve el siguiente problema:

Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas1 y resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas, Ana, Gloria, Corina, Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades. Mercedes quería ir a comer con ellas el primer día a donde acostumbraban reunirse cuando salían de la escuela. Después de esta reunión, cada amiga tenia un día disponible para pasarlo con Mercedes y acompañarla a uno de los eventos siguientes: un partido de fútbol, un concierto, el teatro, el museo, el cine e ir de compras. Con base en la siguiente información, encuentra quién invitó a Mercedes y qué actividades realizó cada día:

a Ana, la amiga que visitó el museo y que salió con Mercedes un día después de ir al cine el lunes, tiene el cabello amarillo.Gertrudis, quien asistió al concierto y pasó el lunes con Mercedes, tiene el cabello negro,

c El día que Mercedes pasó con Corina no fue el siguiente al día que correspondió al de Marlene, d Las seis salieron con Marlene en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día después de que ésta

fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo; Gertrudis salió con Mercedes un día después de que ésta fue al teatro y el día antes de que María invitó a Mercedes,

e Ana y la amiga que invitó a Mercedes a ir de compras tienen el mismo color de cabello.

Evidencia a recopilar 2

Construcción de tablas lógicas para solución de problemasEstas tablas incluyen un tipo diferente de variable, llamada variable lógica. Éstas tienen dos características fundamentales: la primera expresa la presencia o ausencia de una relación cierta entre dos variables y, por lo tanto, sólo pueden tomar los valores de "verdadero" o "falso"; y la segunda, que son mutuamente excluyentes, o sea que en la mayoría de los casos, una vez que se da una relación cierta entre los valores de dos variables, no es posible que ocurra a la vez otra relación verdadera entre los valores de ese mismo par de variables.

En este tipo de tablas no intervienen valores numéricos, sino condiciones de falso o verdadero, es decir, sí o no.En cada casilla se representa la presencia o ausencia de una relación verdadera entre un par de valores de dos de las variables.

¿Para qué tipo de problema se utilizan? jUna tabla lógica representa ciertas relaciones entre dos objetos y contiene sólo dos símbolos: V y * , para indicar cierto o falso, o sí o no. La tabla lógica permite indicar si las relaciones de cada intersección de fila y columna son ciertas o no.

A estas variables que expresan relaciones ciertas o falsas entre los valores de otras variables se les llama variables lógicas.

Establecimiento de existencia, o no, de relación entre variablesAsí, releyendo el problema y completando los renglones de la tabla con la información que sí se brinda, en forma de cadena de datos, podemos inferir los datos que no aparecen, pero que, por lógica, se suceden.

La cadena de datos se logra realizando algunos procesos mentales como comparar datos, excluir posibilidades una vez que se observa que un par ya cumple la relación, hacer inferencias, etc.

De esta forma, en este tipo de problemas, la representación sirve para obtener, de manera organizada, nueva información, misma que facilita la resolución del problema.

123■ ■ ■

LUÍ IWSSfll 11Pasos de la estrategia:

+ Leer el problema en su totalidad.+ Identificar las variables y la pregunta del problema.+ Elaborar la tabla.+ Leer el problema, paso a paso, y registrar en la tabla o postergar la información que se obtiene según se

aplica la estrategia.+ Inferir otras relaciones con base en la información que se obtiene cuando se registran los datos y del uso de

la propiedad mutuamente excluyente de las variables lógicas.+ Releer el problema, si es necesario, para completar la información que se posterga.+ Verificar la congruencia del razonamiento que se siguió.

Relaciones mutuamente excluyentesAhora bien, una característica muy importante de las tablas lógicas, supongamos que entre un par de valores de las variables se cumple una relación, es decir, existe una relación verdadera, es que no puede existir otra relación verdadera con estos valores de la variable. A esto se le llama relaciones mutuamente excluyentes, o sea, que una relación verdadera excluye la posibilidad de que exista otra relación entre otros pares de valores de la variable que sean también verdaderos.

La ventaja de las relaciones mutuamente excluyentes es que permiten eliminar el renglón y la columna correspondiente a una relación verdadera, porque si ésta es verdadera, por lo general, no puede existir otra relación verdadera para otros valores de las variables consideradas.

Información incompletaLa utilidad de esta estrategia es que amplía las posibilidades de representar los datos de los problemas con dos dimensiones. Ayuda a resolver, de manera sistemática, problemas que incluyen variables lógicas. Además permite ejercitar el uso de relaciones, inferencias y otros procesos mentales.Ejemplo:El concejo de Minoica tiene exactamente tres miembros: Francisco, Gabriel y Hermelinda. Durante una semana, los miembros del concejo votan por la asignación de tres proyectos: de recreación, de educación y de impuestos.Cada miembro del concejo vota a favor o en contra de cada proyecto. Lo que se sabe es lo que se enuncia acontinuación:

a) Cada miembro del concejo vota por, al menos, uno de los proyectos y en contra, al menos, de otro de los proyectos.Exactamente dos miembros del concejo votaron a favor del proyecto de recreación.Exactamente un miembro del concejo votó a favor del proyecto de educación.Exactamente un miembro del conejo votó por el proyecto de impuestos,

e) Francisco votó por el proyecto de recreación y en contra del proyecto educativo.Gabriel votó en contra del proyecto de recreación,

gj Hermelinda votó en contra del proyecto de impuestos.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, de acuerdo con la información anterior? a; Francisco y Gabriel votaron de la misma forma respecto al proyecto de impuestos.

Gabriel y Hermelinda votaron igual para el proyecto de recreación, cj Gabriel y Hermelinda votaron igual para el proyecto de educación.

Francisco votó por uno de los proyectos y Gabriel votó por dos de los proyectos, e) Francisco votó por dos de los proyectos y Gabriel votó por dos de los proyectos.Los tres miembros de concejo votaron en tres asuntos. Lo que debemos hacer es vincular a

concejo con sus votos.Para lograr lo anterior, podemos plantear una reja de 3x3.

los miembros del

124

Rec

Edu

Imp

Cada miembro vota Sí al menos una vez y No al menos una vez. Así que cada miembro vota Sí una o dos veces.Dos miembros votan por el proyecto de recreación, lo que significa que uno vota contra él. Los otros dos

proyectos obtienen un voto cada uno y dos votos en contra.Dos personas votan por el proyecto de recreación, pero Gabriel no. Así, los otros dos miembros debieron

votar por el proyecto de recreación. La regla 5) nos indica que Francisco votó por el proyecto de recreación, pero también sabemos que Hermelinda votó por el proyecto de recreación. Una persona votó por el proyecto educativo (de acuerdo con la regla 3), pero esta persona no es Francisco (regla 5), así alguno de los dos, Gabriel o Hermelinda (pero no ambos), votaron por el proyecto educativo.

La visualizaáón final queda así:

r a n o n H

Rec / X /

Edu X < --------- ■ \?

Imp T 1 X

De forma similar, una persona votó por el proyecto de impuestos (regla 4), pero esa persona no es Hermelinda(regla 7), y así alguno de los dos, Francisco o Gabriel, votaron por el proyecto de impuestos. Así, ya conocemos

s casi todo el arreglo. De nueve votos (tres personas con tres votos cada uno), sabemos todo, excepto si Gabriel o Hermelinda votaron por el proyecto educativo, así como ignoramos si Francisco o Gabriel votaron por el proyecto de impuestos.

Así, vamos descartando cada opción como se indica enseguida:a Exactamente un miembro votó por el proyecto de impuestos, pero no es Hermelinda. Así, Francisco y Gabriel

no pueden votar ambos por el proyecto de impuestos, pero tampoco pueden votar en contra al mismo tiempo, b Gabriel vota contra el proyecto de impuestos, lo que significa que Hermelinda debe votar por él. c Esta opción es una reproducción de a). Exactamente un miembro vota por el proyecto escolar, pero no es

Francisco. Así que Gabriel y Hermelinda no pueden votar por el proyecto educativo, pero tampoco pueden votar en su contra al mismo tiempo.Si Gabriel vota por el proyecto de impuestos y el proyecto educativo, entonces Francisco debe votar encontra del proyecto de impuestos. Así que D debe ser verdad,

e Finalmente, esta opción es imposible por la misma razón por la que d) es posible.

•■Actividad de aprendizaje 51. Armando, Beto, Carlos y David son unos extraordinarios deportistas que han tenido mucho éxito en el tenis, nata

ción, fútbol y béisbol. Cada uno de ellos practica dos de estos deportes. Adicionalmente tienen un gran talento musical ya que todos tocan dos instrumentos:

a) Todos practican una combinación diferente de deportes.b) Ninguno juega la combinación tenis natación o beisbol-futbol.c Carlos y David, aunque tocan los mismos instrumentos, no practican ningún deporte en común.d) David odia el fútbol.e) Tres de ellos tocan el piano.

Armando ama el fútbol y aborrece tanto el tenis como el piano, g) Beto es un baterista consumado, h Cuando menos dos de ellos tocan la guitarra.

125■ ■ ' K

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1 2 6m m m

/

^Actividad de aprendizaje 6Evidencia a recopilar 3¿Alguna vez has escuchado hablar de la simulación?

Cuando queremos saber qué ocurrirá al poner un objeto en una situación determinada, o bien, cómo se vería algo si tuviera una forma o funciones específicas, podemos recurrir a la simulación, esto es, a la creación de un modelo hipotético de lo que queremos conocer.

Investiga dos casos en los que se use la simulación en la ciencia o la tecnología y descríbelos en el siguiente espacio:

Situación 1

¿Qué deportes y qué instrumentos toca cada uno de los hermanos?Gabriel es un cinéfilo que promedia cuatro films por semana. Sin embargo, de vez en cuando hay temporadas

en que se exhiben películas que él considera de muy buena calidad, por lo que se ve en la necesidad de ir al cine todos los días, por semanas completas. La última semana constituye un ejemplo, ya que desde el lunes fue (no en ese orden) a los cines Rex, Río, Bernardo Reyes, Olimpia, Plaza y dos veces al Latino a ver las películas: Gritos del Silencio, Pasiones Robadas, Fuga al Amanecer, Sol de Medianoche, Rambo II, Rocky IV y Admiradora Secreta:

Disfrutó de la comedia Admiradora Secreta un día después de haber ido al Latino y un día antes de haber asistido al cine Río.

2) Aunque le resultó lenta y aburrida, soportó Gritos del Silencio tres días antes de haber estado en el cine Rex. La magnifica película del cine Bernardo Reyes quedó entre Rambo II (un día antes) y Pasiones Robadas (un día después).

4) Se emocionó con Fuga al Amanecer, dos días después de haber ido al Olimpia y dos días antes de las películas del Latino.Rocky IV le causó mucha emoción y acentúo su afición al cine, así que al día siguiente asistió al cine Plaza.

6) Hubo tres días de diferencia entre Sol de Medianoche y la película del cine Rex.¿Cuáles películas vio Gabriel, en qué cine y qué día de la semana?

Flores (2007¡

Relación entre el problema a resolver

y la capacidad de representación

J mental de la persona___________Todos los seres humanos somos capaces de hacer representaciones mentales de problemas, gracias a esta capacidad podemos desenvolvernos adecuadamente en las actividades de todos los días.


Situación 2

Identificación de elementos básicos para

solucionar problemas dinámicos

La solución de los problemas en situaciones dinámicas, explica Margarita A. de Sánchez (1991), sólo es posible cuando las personas adquieren la habilidad de imaginarse los cambios que están ocurriendo, es decir, cuando logran representarse mentalmente lo que se describe en el problema. Dicha representación se facilita mediante la aplicación de una estrategia denominada simulación, que ayuda a lograr las imágenes de los eventos que se describen en los problemas.

Representaciones de los cambios en diagramas, gráficos, esquemas y tablasComo en las situaciones anteriores, un rasgo inicial que debe considerarse al representar un problema son las variables que se involucran en él. El cambio siempre va a estar relacionado con el paso del tiempo, por esta razón, esta variable siempre debe tenerse en cuenta.

Un diagrama, como el que se muestra en la figura, puede representar, por ejemplo, un cambio en el tiempo: un objeto determinado se movió hacia cuatro puntos diferentes en un espacio: de la posición A a la D, pasando por la B y la C.

B

Por su parte, los gráficos también pueden significar cambio. En la gráfica se muestra cómo varió en un periodo de tiempo la cantidad de alumnos que desertaron del CONALEP en una escuela determinada. Si te das cuenta,

2004 2006 2008 2010

Los esquemas también pueden indicarnos un cambio. En la figura que vemos a continuación se ha representado la forma en que la mancha urbana ha crecido en una determinada zona.

representada la cantidad de personas que entraron a ver tres películas en las distintas salas de un cine, de 7:30 a 7:50.

Película 1 15 35 42

Película 2 7 20 51

Película 3 50 150 20

128« m u

Estado inicial, intermedio y finalDado lo anterior, resulta claro que en una situación en la que está involucrada el tiempo, puede establecerse un inicio, un desarrollo y un término de las acciones, de modo que pueden marcarse, por lo menos, tres estados diferentes: el inicial, el(los) intermedio(s) y el final:


I I IEstado Estado Estado Estadoinicial intermedio intermedio final

Aplicaciónflerep

V A

técnicas ntación gráfica

DiagramasExplicaremos mediante un ejemplo cómo se pueden utilizar diagramas para resolver problemas. Lee el problema que se propone a continuación.

El mensajero de una empresa se dedicará hoy a hacer pagos y cobros a lo largo del día en diferentes bancos. Lleva 2 3 0 0 pesos y tiene el siguiente itinerario: en su primera parada, deposita 1 500 y hace un retiro de 400. En el siguiente banco, retira 3 0 0 0 y deposita 800. En su siguiente parada, deposita 1 750 y no hace ningún retiro. En la última parada, deposita 750 pesos y retira 200.

¿Con cuánto dinero regresó el mensajero a la empresa?

400Si

800 ,7 5 0 200; ,

23001500 3000

'750

1 5

r

GráficosEl término gráfico generalmente se asocia con el de "histograma", que puede ser una herramienta adecuada para la representación y solución de problemas.

Pensemos en el siguiente problema:Un caracol sube por una pared de cinco metros de altura. Durante el día sube 80 centímetros, pero durante la

noche desciende 20 centímetros. ¿Cuántos días demorará el caracol en escalar la pared?

Podemos representar esta situación en un esquema como el siguiente:

metros

De acuerdo con el esquema, al caracol le toma ó días exactos llegar al borde superior de la pared.

E s q u e m a sFinalmente, en ocasiones conviene representar la situación mediante el dibujo de un esquema. El siguiente ejemplo lo hemos tomado de Margarita A. de Sánchez (1991):

Un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200 m por minuto para pasar por un canal que mide 2 0 0 m de longitud. ¿Cuánto tiempo tardará el buque desde que inicia su entrada en el canal hasta que sale de éste?

Al concluir el primer minuto

Canal

Buque

Al concluir el segundo minuto

CanalBuque

TComo se aprecia en la representación, al buque le tomará 2 minutos salir del canal, dado que el tránsito

comienza en el momento en que el buque comienza a entrar en él, hasta que sale completamente.


U s o d e o p e r a d o r e s y e s t a d o s prohibidosConsidera el siguiente problema como punto ae partida:

Un granjero debe trasladar un perro, un pato y un costal de maíz hacia el otro lado de un río. La lancha que utiliza es muy pequeña, de manera que sólo puede llevar una de sus posesiones a la vez. Si deja al perro solo con el pato, tal vez el perro se coma al pato. Si deja al pato solo con el maíz, el pato se comería el maíz.

¿Cuál es el menor número de viajes que puede hacer el granjero sin ningún peligro?Llamaremos operadores a cada uno de los movimientos que está permitido hacer de acuerdo con el problema.

Un primer paso, por ejemplo, sería que el granjero pasara con el pato del otro lado, dejando al perro con el maíz porque eso no representa peligro para nadie.

En contraste, aquellos movimientos que no está permitido hacer son los estados prohibidos, es decir, aquellos que son ilegales, de acuerdo con las reglas propuestas por el problema.

^Actividad de aprendizaje 7La siguiente es la respuesta para resolver el problema planteado anteriormente. Léela con atención y realiza lo que se indica:

Respuesta: siete viajes sencillos. Primero traslada al pato, dejando al perro con el maíz. Después traslada al perro y regresa por el pato. Después deja al pato y transporta al maíz y deja éste con el perro. Por último regresa por el pato.

1 Representa gráficamente este problema:

2) Divide el paso en operadores y a cada uno asígnale un estado prohibido:

Operadores

V -

Discute con tus compañeros si ésta es la única solución al problema y lleguen a un consenso grupal con la dirección del docente.

131

lilíS S IIII

Identificación de las características de

problemas en los que se aplica la estrategia de

búsqueda exhaustivaalta de información, respuestas tentativas y

restriccionesPiensa en el siguiente problema:

Un empleado cobró su sueldo de $1 000 en billetes de $100 y de $50. Si en total recibió 1 3 billetes, ¿cuántos billetes de 50 recibió?

Notamos que no es posible dar una respuesta directa a este problema, sino por eliminación de alternativas de las combinaciones de billetes que pudo haber recibido el empleado.

Si representáramos este problema como una tabla de combinaciones, podríamos obtener las siguientes respuestas tentativas:

0 13 650 7 6 1 000

1 12 700 8 5 1 050

2 11 750 9 4 1 100

3 10 800 10 3 1 150

4 9 850 11 2 1200

5 8 900 12 1 1 250

ó 7 950 13 0 1 300

Notamos que al realizar todos los acomodos, obtenemos la respuesta correcta, que es 7 billetes de 100 y ó billetes de 50, ya que hemos analizado los casos, y aunque todos cumplen un requisito, la suma de sus valores se usa como una restricción para elegir la respuesta correcta.

/

^Actividad de aprendizaje 8Con la dirección del docente que te imparte el módulo de Manejo de espacios y cantidades, explora la posibilidad de resolver este mismo problema mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones.

Compara el procedimiento de plantear las ecuaciones con el de representar cada una de las cantidades para ver cuál es el más rápido y conveniente.


Aplicación de técnica de búsqueda de información

por acotación de la magnitud del error

La búsqueda por acotación de la magnitud del error consiste en identificar la alternativa correcta mediante la comparación de las repuestas tentativas con la respuesta esperada. El proceso consiste en la selección sistemática de las alternativas de respuesta que más se aproximan a la respuesta esperada, hasta que finalmente se logra la coincidencia de éstas.

Coloca signos de suma en los siguientes números de tal manera que el resultado sea 738. ó ó ó ó ó ó = 738Si sumáramos independientemente cada uno de los seis, obtendríamos 36 como resultado, por su parte, si ¡untá

ramos dos grupos de tres números 6, obtendríamos un resultado muy superior al esperado.Esta observación nos ayuda a reducir las alternativas. Así, luego de sucesivos intentos podemos concluir que la

forma más conveniente es: ó 6 6 + 6 6 + 6

Piensa en el problema siguiente:Los habitantes de una pequeña ciudad están construyendo un puente. Mientras trabajaba bajo el puente,

Marcos sólo podía ver las piernas de quienes pasaban por ahí. Contó 10 piernas en un grupo. ¿Qué combinaciones de hombres y ovejas pudo haber en ese grupo?

Como máximo, podríamos sugerir que haya 2 ovejas para no superar el número de piernas que se propone.Como máximo, podríamos proponer 3 personas, para que queden cuatro piernas disponibles para contar una

oveja.Con esta decisión estamos eliminando alternativas, es decir, estamos reduciendo nuestras posibilidades de

ofrecer una respuesta incorrecta como válida.

133• ■ B

Así, si organizamos los datos en una tabla, observamos lo siguiente:

Gente Piernas Total

1 2 2 8 10

2 4 2 8 12

3 ó 1 4 10

4 8 1 4 12

Dado el caso, tenemos dos respuestas que puedep ser consideradas correctas, que haya una persona y dos ovejas o que haya tres personas y una oveja.

Así como no pudimos establecer una respuesta correcta única, lo máximo que podemos hacer es eliminar alternativas, es decir, de entre las alternativas disponibles descartar las más posibles para quedarnos con una que pueda resolver satisfactoriamente las condiciones propuestas en el problema.

■ ■ ■| Recapitulación de los aprendizajes logrados

Actividad de soporteEsta sección tiene el objetivo de fortalecer los resultados de aprendizaje propuestos en el programa de estudios. Te servirá como un soporte para afianzar los temas y que tú mismo veas cuáles son tus fortalezas y debilidades. Aquí tendrás la oportunidad de rehacer tu evidencia, realizar actividades adicionales o corregir tu desempeño, con el fin de recuperarte y no esperar a que termine el curso. Lleva a cabo lo siguiente:

Determina si has conseguido los siguientes resultados de aprendizaje dando ejemplos de situaciones en donde se manifiesten en tu persona:

2) En caso de que no tengas ejemplos de los resultados de aprendizaje anteriores, acuerda con tu PSP cuáles alternativas pueden tomar para que se consigan. Consideren las siguientes:

Elaborar una exposición ante el grupo sobre el o los temas que se tengan menos claros.Elaborar un juego educativo (en formato físico o de internet) con el que se pueda poner a prueba alguna de las habilidades del pensamiento y presentarlo al grupo acompañado de una explicación de qué habilidad desarrolla y de qué forma.

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UNIDAD III - … · estáticos y dinámicos-,. - ... Los enunciados directos son aquellos en los...

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