360IV. MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y DETERMINANTES.

IV.1. MATRICES

IV.1.1. INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES: MENSAJES CIFRADOS

IV.1.2. ALGEBRA DE MATRICES

IV.1.3. DETERMINANTES

IV.1.4. INVERSA DE UNA MATRIZ

IV.2. SISTEMAS DE ECUACIONES

IV.2.1. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

IV.2.2. SOLUCION GAUSSIANA

361

IV. MATRICES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y DETERMINANTES.

Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el inglés J. J.

Sylvester. Su desarrollo se debe a W. R. Hamilton y a A. Cayley. Además de su utilidad

para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de manera natural en

geometría, estadística, economía, etc.

Nuestra cultura está llena de matrices de números: El horario de los trenes de cada una de

las estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada

uno de los días de la semana es otra, etc.

Las tablas de sumar y multiplicar, la disposición de los alumnos en clase, las casillas de un

tablero de ajedrez, las apuestas del Loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros

tantos ejemplos de la vida cotidiana de matrices.

Actualmente, muchos programas de un computador utilizan el concepto de matriz. Así, las

Hojas de Cálculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas

en cuyas celdas se pueden introducir datos y fórmulas para realizar cálculos a gran

velocidad. Esto requiere utilizar las operaciones con matrices.

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos arreglos se presentan en diversas

ramas de las matemáticas aplicadas. Las matrices son útiles porque permiten considerar a

un arreglo de muchos números como un solo objeto, representado por medio de un solo

símbolo y realizar cálculos con estos símbolos en una forma muy compacta.

En el primer capítulo (MATRICES), vamos a introducir el concepto de matriz, sus

propiedades más esenciales, la manera de operarlas y algunas aplicaciones sencillas. Entre

las diversas aplicaciones de las matrices, destaca la elegante manera que auxilian la

solución de sistemas de ecuaciones lineales, como veremos en el capítulo (SISTEMAS DE

ECUACIONES).

362

IV.1 MATRICES

Al finalizar este capítulo, usted deberá encontrarse capacitado para comprender la notación

matricial y algunas de sus operaciones elementales, entre las que destacan:

• Conocer la nomenclatura básica de las matrices.

• Calcular sumas, productos por escalar y productos entre matrices.

• Calcular el determinante de una matriz.

• Determinar su una matriz cuadrada es invertible o no.

• Encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden 2.

363IV.1.1 INTRODUCCION A LAS MATRICES. MENSAJES CIFRADOS

Considere la secuencia de números naturales que presentamos a continuación, ella

representa un mensaje cifrado:

3 22 1 14 21 16 8 1 20 21 1 19 4

1 4 16 5 14 4 5 20 3 9 6 19 5

20 21 5 13 5 14 20 1 10 5

¿Cuánto ha tardado en descifrar este mensaje?. El código más sencillo de intentar consiste

en sustituir las letras del alfabeto por números, es decir,

A = 1 B = 2 C = 3 D = 4 E = 5 F = 6 G = 7 H = 8 I = 9

J = 10 K = 11 L = 12 M = 13 N = 14 Ñ = 15 O = 16 P = 17 Q = 18

R = 19 S = 20 T = 21 U = 22 V = 23 W = 24 X = 25 Y = 26 Z = 27

Dicho código transforma la palabra TRES, por ejemplo, en 21 19 5 20. Este código podría

ser cifrado por un aficionado sin mayores problemas, por este motivo vamos a estudiar una

manera de perfeccionar el código, de manera de dificultar su interpretación.

Consideremos que el código correspondiente a la palabra TRES lo disponemos ahora en un

arreglo rectangular de números, de la siguiente forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2051921

A continuación, elegimos un cifrador, por ejemplo el arreglo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

y formamos un nuevo esquema de la siguiente manera:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛59319857

2051921

2132

364Así, el mensaje correspondiente a la palabra TRES se envía en la forma no tan obvia de

reconocer: 57, 98, 31, 59, dificultándose notablemente su interpretación.

Antes de proseguir, explicaremos con más detalle cómo fue que se obtuvieron estos

números. El procedimiento en realidad es muy simple y consiste en lo siguiente:

• El arreglo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

se separa en filas: (2 3) y (1 2).

• El arreglo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2051921

se separa en columnas: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛521

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2019

.

• Los elementos de cada fila del primer arreglo se multiplican por los elementos de cada

columna del segundo arreglo, construyéndose de esta manera el arreglo resultante:

Primera fila por primera columna (2 3) × ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛521

= 2 × 21 + 3 × 5 = 42 + 15 = 57

Segunda fila por primera columna (1 2) × ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛521

= 1 × 21 + 2 × 5 = 21 + 10 = 31

Primera fila por segunda columna (2 3) × ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2019

= 2 × 19 + 3 × 20 = 38 + 60 = 98

Segunda fila por segunda columna (1 2) × ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2019

= 1 × 19 + 2 × 20 = 19 + 40 = 59

En el momento de descifrar el mensaje es preciso contar con un descifrador, que para este

caso consiste en el arreglo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2132

Se tiene entonces que al aplicar el arreglo descifrador, recuperamos el código de sencilla

interpretación original que corresponde a la palabra TRES:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2051921

59319857

2132

Una ventaja notable de esta forma de cifrar mensajes es que se oculta la repetición de letras:

Así, por ejemplo, al cifrar la palabra MAMA, se tiene

365

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+××+××+××+×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛27154129

261213392326

13211121311331213132

131113

2132

Los mensajes largos pueden ser distribuidos por grupos de cuatro letras, completando el

último grupo, si es necesario, con letras que no modifican el mensaje, y enviar estos grupos

uno tras otro.

EJEMPLO V.1.1.1.

Utilizando el cifrador ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2132

, codifique la expresión "DEBO ESTUDIAR TODOS LOS

DIAS MATEMATICA".

Para ello, debemos separar la expresión en grupos de cuatro letras, reemplazando por cero

el espacio en blanco y las letras necesarias para completar el último grupo.

"DEBO| EST|UDIA|R TO|DOS |LOS |DIAS| MAT|EMAT|ICA " =

4, 5, 2, 16, 0, 5, 20, 21, 22, 4, 9, 1, 19, 0, 21, 16, 4, 16, 20, 0, 12, 16, 20, 0, 4, 9, 1, 20, 0, 13,

1, 21, 5, 13, 1, 21, 9, 3, 1, 0.

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛16254

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛212050

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛19422

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1621019

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛020

164 + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛020

1612 + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20194

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛211130

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛211135

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0139

Multiplicando cada matriz por el cifrador, se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛38202213

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10261105

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛29197449

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛95585738

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛60404429

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛60406840

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4322303

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛45232613

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛45234123

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛323321

Con lo que se obtiene el siguiente mensaje cifrado:

13, 22, 20, 38, 5, 10, 61, 102, 49, 74, 19, 29, 38, 57, 58, 95, 29, 44, 40, 60, 40, 68, 40, 60, 3,

30, 22, 43, 13, 26, 23, 45, 23, 41, 23, 45, 21, 33, 2, 3.

ACTIVIDAD V.1.1.2.

1. Utilizando el código: 1, 2, …, en lugar de A, B, etc., el cifrador ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5221

y el descifrador

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−1225

, descifrar los siguientes mensajes:

a) 40, 5, 22, 3

366b) 46, 59, 24, 32

c) 21, 98, 11, 59, 76, 35, 44, 18

d) 57, 70, 31, 45, 91, 58, 55, 37

e) 97, 47, 60, 26, 31, 74, 16, 47, 68, 63, 45, 36

2. Utilizar el código y cifrador anterior, para cifrar las siguientes palabras:

a) LUIS

b) CASA

c) HOLA

d) ACTIVIDAD

e) UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS

f) PUERTO

3. Considere el siguiente código

A = 2 B = 19 C = 21 D = 23 E = 24 F = 3 G = 22 H = 4 I = 26

J = 5 K = 6 L = 9 M = 14 N = 18 Ñ = 8 O = 10 P = 11 Q = 12

R = 20 S = 16 T = 17 U = 7 V = 25 W = 27 X = 1 Y = 13 Z = 15

Repita con este código los problemas 1 y 2.

4. Multiplique las siguientes matrices:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3125

4321

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4321

3125

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2126

4235

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −4235

2126

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5234

4235

f) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−4235

5234

g) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛51024

41025

RESUMEN

En la presente sección hemos comenzado a introducir la necesidad de escribir arreglos de

números o matrices, en este caso con la aplicación de cifrar mensajes.

367

GLOSARIO

Arreglo rectangular de números: matriz.

Número natural: números utilizados para contar: 1, 2, 3,…

Matriz: disposición organizada de números como en una tabla.

368IV.1.2. ALGEBRA DE MATRICES

Consideremos el arreglo de m × n números reales, denominado matriz de números reales,

o matriz en ℝ, denotado por:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

A

L

MOMMM

L

L

321

2232221

1131211

La matriz A tiene m filas y n columnas. Se dice que esta es una matriz de m por n, o bien

que es una matriz de m × n. Se abrevia la notación para esta matriz expresándola como

A = (aij), i = 1 ,…, m; j = 1, …, n

Cuando una matriz se expresa en la forma (aij), entonces i denota la fila y j denota la

columna. Así, por ejemplo, la primera columna de la matriz es

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1

21

11

ma

aa

M

Mientras que la segunda fila corresponde a (a21, a22, … a2n). Se dice que aij es la

componente ij de la matriz.

EJEMPLO IV.1.2.1.

La siguiente matriz A, corresponde a un arreglo de 2 × 3:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

312211

A

Es decir, esta matriz tiene 2 filas y tres columnas. Las filas son = (1, 1, -2) y (-2, 1, 3),

mientras que las columnas son:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 21

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−32

Sea A = (aij), i = 1 ,…, m; j = 1, …, n. Si n = m, esto es si el número de filas es igual al número de

columnas, entonces se dice que A es una matriz cuadrada. En este caso, el número de filas,

o columnas, corresponde al orden de la matriz.

369

EJEMPLO IV.1.2.2.

Las siguientes matrices A y B son ejemplos de matrices cuadradas

• ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

121108113

A , es una matriz cuadrada de orden 3

• B = (3) es una matriz cuadrada de orden 1.

Se define la adición de matrices sólo cuando tienen el mismo tamaño. Así, sean m y n

números naturales fijos; y consideremos A = (aij), y B = (bij) matrices de m × n. Se define la

matriz suma C de A y B, C = A + B, como aquella matriz cuya componente en la fila i y la

columna j, es la suma de las componentes ij de las matrices A y B, es decir: cij = aij + bij. En

otras palabras, para sumar matrices del mismo tamaño, se suman componente a

componente.

EJEMPLO IV.1.2.3.

Sume las matrices A y B.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

121108113

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

421208311

B

A + B = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 121108113

+ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

421208311

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−−++−+−+

412211210088311113

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 502300404

Si ϑ es la matriz nula, esto es, la matriz cuyos elementos son todos cero, entonces para

cualquier matriz A del mismo tamaño, se tiene que A + ϑ = ϑ + A = A, como se puede

verificar inmediatamente.

Definamos ahora la multiplicación de una matriz por un escalar. Sea c un número real (un

escalar) y A = (aij) una matriz de m × n, se define cA como la matriz cuya componente ij es

caij. Se denota cA = (caij). Esto es, se multiplica cada componente de A por c.

EJEMPLO IV.1.2.4.

Multiplique la matriz A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 121108113

, por el escalar c = 2.

370

CA = 2 ⋅ A = 2 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 121108113

= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 2422016226

Definamos los conceptos de matriz transpuesta y matriz simétrica. Sea A = (aij) una matriz

de m × n. La matriz B = (bij) de n × m, tal que bji = aij se conoce como la matriz transpuesta

de A y se denota por At. El considerar la transpuesta de una matriz equivale a intercambiar

filas por columnas y viceversa. Si A es la matriz

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

A

L

MOMMM

L

L

321

2232221

1131211

Entonces la transpuesta de A, corresponde a

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nmmmm

n

n

t

aaaa

aaaaaaaa

A

L

MOMMM

L

L

321

2322212

1312111

Se dice que una matriz A es simétrica si es igual a su transpuesta, esto es, si At = A. Se

debe observar que una matriz simétrica necesariamente es una matriz cuadrada.

EJEMPLO IV.1.2.5.

Considere la matriz A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 121108113

, cuya transpuesta es At = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

111201183

, como A ≠ At,

la matriz no es simétrica. Por otra lado, la matriz B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3221

es simétrica.

Para terminar esta sección, vamos a definir el producto entre dos matrices, revisando

primero el siguiente caso especial: Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una

matriz con n filas y una columna.

( ) a. . .aa =A n21

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

b

. . .

b

b

= B

n

2

1

371

El producto de las matrices A y B (A⋅B) es otra matriz con una fila y una columna cuyo

único elemento es: c = a1⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + ... + an⋅ bn. Es decir: A⋅B = (c )= ba ii

n

1=i

∑ .

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de

columnas de A sea igual al número de filas de B.

EJEMPLO IV.1.2.6.

Sean ( ) 543 -2 =A una matriz con una fila y 4 columnas y

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

9

8 -

7

6

= B una

matriz con 4 filas y una columna. A⋅ B = [2⋅6 + (-3)⋅7 + 4⋅(-8) + 5⋅9] = (4) que es una

matriz de orden 1x1 con un único elemento, el 4.

Sean A una matriz de orden mxn, formada por m matrices fila [A1, A2, ..., Am] de n

elementos cada una y B una matriz de orden nxp, formada por p matrices columna [B1, B2,

..., Bp] de n elementos cada una.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

a...2a1a

. . .. . .. . .. . .

a...aa

a...aa

=A

mnmm

n22221

n11211

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

b...2b1b

. . .. . .. . .. . .

b...bb

b...bb

= B

npnn

p22221

p11211

El producto de las matrices A y B (A⋅B) es otra matriz C de orden mxp con m filas y p

columnas, cuyo elemento cij es el producto de la matriz fila Ai por la matriz columna Bj.

Es decir: cij = Ai⋅Bj = ai1⋅b1j + ai2⋅b2j + ... + ain⋅bnj = ba jk k i

n

1=k

∑ .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

•••

•••

•••

B A...B AB A

. . .. . .. . .. . .

B A...B AB A

B A...B AB A

= C

pm2m1m

p22212

p12111

Así pues, el producto de matrices, es la aplicación que asocia a cada par de matrices, una de

dimensión mxn y otra de dimensión nxp, una tercera matriz de dimensión mxp:

372 ⋅ : MmxnxMnxp ────> Mmxp

(A , B) ─────> C

tal que el elemento que ocupa el lugar q,r de la matriz producto se obtiene sumando los

productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila q-ésima de la matriz A por los

respectivos elementos de la columna r-ésima de la matriz B.

Simbólicamente: si A=(aij), B=(bij) y C=(cij) entonces: ba = c r ss q

n

1 = sr q ∑ .

Se debe observar que para poder efectuar el producto A⋅B es necesario que el número de

columnas de la matriz A coincida con el número de filas de la matriz B. Esto implica que,

en general, si existe el producto A⋅B no tiene por qué existir B⋅A. Sin embargo, si las

matrices son cuadradas y del mismo orden, siempre existen A⋅B y B⋅A (pero no tiene por

que ser iguales).

EJEMPLO IV.1.2.7.

Determine el siguiente producto de matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 071

523

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

82

16

94

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0 + 7 + 90 + 42 + 4

40 + 2 + 2710 + 12 + 12 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1646

6934 .

EJEMPLO IV.1.2.8.

Los consumos anuales de cuatro familias a, b, c y d, en pan, carne y mantequilla vienen

dados en la matriz A. Los precios de esos mismos productos en los años 1990, 91, 92, 93 y

94 vienen dados en la matriz B. La matriz C=A⋅B nos da el gasto total (en esos productos)

de cada familia en cada año.

EJEMPLO IV.1.2.9.

MODELO ECOLÓGICO DE THRALL. En un cierto sistema ecológico dividimos las

especies en tres categorías:

1) Plantas (tomillo, romero, etc.) que suministran alimento a animales

herbívoros. Las designamos por p1, p2, p3, ...

2) Animales herbívoros (conejo, liebre, etc.) que comen dichas plantas. Las

designamos por a1, a2, a3, ...

3) Animales carnívoros (zorro, lobo, etc.) que se comen a los animales

herbívoros. Las designamos por c1, c2, c3, ...

Se puede plantear la siguiente cuestión: ¿Qué cantidad de la planta pi consume

indirectamente el carnívoro cj durante un cierto periodo de tiempo?

373Podemos suponer conocidas las dos matrices siguientes:

A=(aik) que representa las cantidades consumidas por el animal ak de la planta pi. B=(bkj)

que representa las cantidades devoradas por el carnívoro cj del herbívoro ak.

El carnívoro c1, al comer de a1, consume indirectamente a11⋅b11 de p1, al comer de a2

consume a12⋅b21 de p1 etc., luego en total consume a11⋅b11 + a12⋅b21 + ... + a1n⋅bn1, es decir el

producto de la primera fila de A por la primera columna de B. Las cantidades pedidas son,

pues, los elementos de la matriz A⋅B.

ACTIVIDAD IV.1.2.10.

1. Calcule el producto A⋅B siendo: ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

82

16

94

=A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 071

523 = B .

2. Dada la matriz:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1000

1100

1110

1111

= X , determine X2 y X3.

Solución:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1000

2100

3210

4321

= X2 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1000

3100

6310

10631

= X3

3. Verifiquemos que el producto de matrices no es conmutativo.

a) Hay casos en los cuales es posible efectuar A⋅B, y no B⋅A. Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 43

21 =A y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 5

1 = B ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•

23

11 = B A . No es posible efectuar B⋅A.

b) En los casos en que es posible efectuar A⋅B y B⋅A, no siempre da el mismo

resultado. A veces ni siquiera son del mismo orden. Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 204

123 =A y

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 -1

30

1 -2

= B ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•

10 -10

07 = B A ,

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

•

5 -29 -

6012

042

=A B .

374c) En el caso de las matrices cuadradas, tampoco se verifica la propiedad

conmutativa. Si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 10

02 =A y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 12

11 = B ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•

12

22 = B A ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•

14

12 =A B .

4. Verifique la propiedad asociativa en los casos que se puedan multiplicar tres matrices.

Es decir, si A es de orden mxn, B de orden nxp y C de orden pxq, entonces:

(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C).

Solución:

Sean aij, bij y cij los elementos generales de A, B y C respectivamente.

El elemento general de A⋅B será: αis = ba sr r i

n

1=r

∑ .

El de (A⋅B)⋅C será: xij = c j ss i

p

1=s

α∑ = ( ) cba j ssr r i

n

1=r

p

1=s

∑∑ = cba j ssr r i

n

1=r

p

1=s

∑∑ .

El elemento general de B⋅C será: ßrj = cb j ssr

p

1=s

∑ .

El de A⋅(B⋅C) será: yij = a jr r i

n

1=r

∑ = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑∑ cba j ssr

p

1=sr i

n

1=r

= cba j ssr r i

p

1=s

n

1=r

∑∑ .

Es decir, xij = yij y por tanto (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C). c.q.d.

EJERCICIOS V.1.2.11.

1. Realice las siguientes operaciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 25

38 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 85 -

3 -2 + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 10

01 .

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

136

301 -

012

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

103 -

6 -219

31 -9 -

-2 ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100

010

001

.

2. Dadas las matrices A y B, hallar la matriz D tal que A + B – D = ϑ, donde

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

utsrqp

DBA ,345123

,654321

3. Verifique que A⋅(B+C) = A⋅B+A⋅C.

4. Verifique que (A+B)⋅ C = A⋅ C+B⋅C.

375

RESUMEN

En la presente sección hemos revisado el álgebra elemental de matrices (suma,

multiplicación por escalar y multiplicación entre matrices). Se verifica que las operaciones

de suma y multiplicación entre matrices sólo es posible bajo ciertas condiciones. Se definen

además los conceptos de matriz cuadrada, la transpuesta de una matriz y cuando una matriz

es simétrica.

AUTOEVALUACION

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. Toda matriz cuadrada es simétrica.

2. La multiplicación de matrices es conmutativa.

3. La multiplicación y suma de matrices es asociativa.

4. A = (1) es una matriz simétrica.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. Verdadero.

4. Verdadero.

GLOSARIO

Columna: arreglo vertical de números.

Fila: arreglo horizontal de números.

Números reales: los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Matriz: arreglo organizado de números como en una tabla.

376

IV.1.3. DETERMINANTES

A cada matriz cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado

determinante de A, denotado por det (A), | A | o

Una tabla ordenada n ⋅ n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada

determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera

vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta

indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

• = a11

•

Así, el determinante de una matriz 1 x 1, A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A)

= |a11| = a11. Mientras que el determinante de una matriz de orden dos, corresponde al

producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto entre los elementos

de la diagonal secundaria.

EJEMPLO IV.1.3.1.

Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3)

= -3, det (3x+5) = 3x+5.

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como

sigue:

377

a12a21a33 - a32a23a11

Se debe observar que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz.

Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo

negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a

resolverlos:

EJEMPLO IV.1.3.2.

Calcule el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 x 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con

signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal

puede indicarse de la forma siguiente:

378

Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna

que contienen su coeficiente.

EJEMPLO IV.1.3.3.

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Se deben tener en cuenta las siguientes dos propiedades básicas del determinante, que son

muy utilizadas en los cálculos:

• El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

• El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del

producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n x n (siendo n un número par). Para calcular

el det (A) se procede de la siguiente manera:

379Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante.

Es decir:

EJEMPLO IV.1.3.4.

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si

cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos

calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.

ACTIVIDAD IV.1.3.5.

1. Calcule los siguientes determinantes:

380

Solución:

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.

= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) =

= 74+112 = 186.

2. Para una matriz cuadrada de orden 2, verifique que el determinante de A, es igual al

determinante de la transpuesta de A.

RESUMEN

En la presente sección se ha definido el determinante de una matriz, la manera de calcularlo

y se han visto algunas de sus más importantes propiedades.

381

IV.1.4. INVERSA DE UNA MATRIZ

Llamaremos matriz identidad de orden n, a la matriz que tiene todos los elementos de su

diagonal principal iguales a uno, y la denotaremos por In.

EJEMPLO IV.1.4.1.

Las matrices identidades de orden 2 y 3 son:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 10

01 = I 2

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100

010

001

= I 3

Una matriz cuadrada de orden n, digamos A, es invertible si existe una matriz A-1, tal que:

A ⋅ A-1 = A-1 ⋅ A = In

Se puede probar que las únicas matrices invertibles, es decir, que existe su inversa, son

aquellas tales que el determinante es distinto de cero. Por lo tanto, antes de buscar la

inversa de una matriz, debemos calcular el determinante. Si este resulta ser cero, entonces

la matriz A no es invertible y no tiene sentido buscar su inversa. En cambio, si el

determinante es distinto de cero, estamos seguros de que la matriz inversa A-1 existe.

Det(A)= | a | ≠ 0 ⇒ ∃ A-1

Algunas propiedades de la inversa de una matriz son las siguientes:

• In-1 = In

• (A-1)-1 = A

• (A ⋅ B)-1 = B-1 ⋅ A-1

EJEMPLO IV.1.4.2.

Para la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 53

21 =A , su inversa es ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1 -3

25 - = A 1- .

382

Para la matriz ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

341

431

321

= B su inversa es

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

21 -1

21 -

210

21 -

213 -

27

= B 1 - .

EJEMPLO IV.1.4.3.

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden 2 cuyo determinante es distinto de

cero, se cuenta con una sencilla formula basada en lo que se denomina el método de

Cramer:

Sea A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dcba

, tal que det(A) = ad - bc ≠ 0, entonces, la matriz inversa de A, denotada

por A-1, se encuentra dada por:

A-1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−acbd

A)det(1

Es decir, la inversa de una matriz de orden dos, corresponde a permutar los elementos de la

diagonal principal, multiplicar por –1 los elementos de la diagonal secundaria y dividir todo

por el determinante de la matriz original.

Se motiva al lector para que verifique multiplicando A con A-1, que efectivamente esto

corresponde a la inversa de la matriz de orden 2.

383

EJEMPLO IV.1.4.4.

Encuentre la inversa de la matriz A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1112

. Como el determinante de A = 1, se tiene que

la matriz es invertible, y aplicando la formula anterior se tiene:

A-1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−2111

EJEMPLO IV.1.4.5.

Encuentre la inversa de la matriz A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6231

. Como det(A) = 0, se tiene que la matriz A

no es invertible (no tiene inversa).

ACTIVIDAD IV.1.4.6.

1. Aplique la formula para hallar la matriz inversa de: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 11

1 -2 =A

Solución:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

32

31 -

31

31

= A 1 - .

2. Demuestre que si A cumple que A2 + 2ª = I entonces A es invertible.

Solución:

De A ⋅ (A + 2I) = I se deduce que A-1 = A + 2I.

3. Una matriz A de orden 2 verifica la ecuación A3 + 2A2 + I = θ. Halle A-1.

Solución:

A-1 = - A2 - 2A.

4. Demuestre las propiedades:

• In-1 = In

• (A-1)-1 = A

• (A ⋅ B)-1 = B-1 ⋅ A-1

384

RESUMEN

En la presente sección se revisa la definición de matriz invertible, su relación con el

determinante y algunas de las propiedades más fundamentales. Para terminar, se presenta

una formula que permite encontrar la inversa de una matriz de orden 2.

AUTOCOMPROVACION

Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. Si una matriz tiene determinante igual a cero, no se sabe si es invertible o no.

2. Las únicas matrices que tienen inversa son las de orden 2.

3. Hay matrices que no tienen inversa.

RESPUESTAS

1. Falso.

2. Falso.

3. Verdadero.

GLOSARIO

SIMBOLOS

385

IV.2. SISTEMAS DE ECUACIONES

En el presente capítulo revisaremos el concepto de sistemas de ecuaciones algebraicas

lineales. Para resolver estos sistemas, una alternativa simple consiste en transformar el

problema a la representación matricial. Una vez logrado esto, el problema se ha

transformado al de invertir una matriz.

Los objetivos de este capítulo son:

• Transformar sistemas de ecuaciones lineales en su representación matricial.

• Identificar si el sistema de ecuaciones tiene solución.

• Conocer el método de gauss para resolver sistemas de ecuaciones.

• Invertir matrices cuadradas utilizando el método de gauss.

386

IV.2.1. INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es un conjunto de expresiones algebraicas de

la forma:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

c = x a + . . . + x a + x a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c = x a + . . . + x a + x ac = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

] 1 [

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m > n, m = n ó m<n. Los escalares aij y ci son

números reales. El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Es importante observar que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número

de incógnitas. En definitiva el número de ecuaciones y el número de incógnitas determinará

si el sistema tiene una única solución, infinitas o ninguna.

Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

EJEMPLO IV.2.1.1.

El arreglo:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

0 = t + z 3 -y +x 1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas. Los coeficientes de la primera

ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1. El término independiente de la misma es

el 2.

La solución de un sistema es cada conjunto de valores que satisface a todas y cada una de

las ecuaciones. Nos preocuparemos en la próxima sección de ver un método que nos

permita encontrar la solución de un sistema de ecuaciones.

387

EJEMPLO IV.2.1.2.

Dado el sistema: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

0 = t + z 3 -y +x 1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

Se puede verificar que una solución es x=61 ; y=

34 - ; z=0; t=

67 .

Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:

1. Incompatible. No tiene solución.

2. Compatible. Tiene solución.

a. Compatible determinado. Única solución.

b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

EJEMPLO IV.2.1.3.

Los siguientes sistemas se pueden clasificar de la manera que se propone:

⎭⎬⎫

8 =y 2 + x 2

3 =y +x incompatible. No tiene solución.

⎭⎬⎫

1 =y -x 3 =y +x

compatible determinado. Única solución.

⎭⎬⎫

6 =y 2 + x 2

3 =y +x compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

Siempre resulta interesante discutir un sistema. Esto es, averiguar si tiene o no tiene

solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es

compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Para poder manejar en forma más simple los sistemas de ecuaciones, es conveniente utilizar

la notación matricial, como veremos a continuación.

En efecto el sistema

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

c = x a + . . . + x a + x a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c = x a + . . . + x a + x ac = x a + . . . + x a + x a

mnn m 22 m 11 m

2nn 2 22 2 11 2

1nn 1 22 1 11 1

388Se transforma a la notación matricial de la siguiente manera:

A ⋅ x = C

Donde A es la matriz de coeficientes asociados:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

a...aaa

. . .. . .. . .. . .. . .

a...aaa

a...aaa

a...aaa

=A

n321

n3333231

n2232221

n1131211

mmmm

El vector x corresponde al vector incógnita.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

xM2

1

y el vector c, corresponde al vector de términos libres:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mc

cc

cM2

1

EJEMPLO IV.2.1.4.

Representar el siguiente sistema de ecuaciones en la notación matricial:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

0 = t + z 3 -y +x 1 = t 2 + z +y

2 = t - z +y 2 - x 3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

012

131121101123

tzyx

389

ACTIVIDAD IV.2.1.5.

1. Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Solución.

y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas (invertir la matriz con la

formula).

2. Transforme el siguiente sistema a la notación matricial.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−=+−

013332

yxzy

xyx

3. Transforme la siguiente formulación matricial en un sistema de ecuaciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛01

4321

yx

RESUMEN

En la presente sección se revisa la manera de transformar un sistema de ecuaciones lineales

a un problema de encontrar la inversa de una matriz.

390IV.2.2. SOLUCION GAUSSIANA

Llamaremos a una matriz A, triangular superior, si son nulos los elementos por debajo de la

diagonal principal. Es decir: aij=0 para i>j.

EJEMPLO IV.2.2.1.

Son matrices triangulares superiores:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

a...000

. . .. . .. . .. . .. . .

a...a00

a...aa0

a...aaa

=A

nn

n333

n22322

n1131211

,

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

400

730

815

= B .

Una matriz A, la llamaremos triangular inferior, si son nulos los elementos por encima de la

diagonal principal. Es decir: aij=0 para i<j.

En esta sección nos preocuparemos de conocer cómo el método de gauss es aplicado para

encontrar la inversa de una matriz, o también para encontrar la solución de un sistema lineal

de ecuaciones algebraicas.

El método consiste básicamente en ir transformando la matriz original, mediante

operaciones entre sus filas, a una matriz triangular superior y a partir de ella determinar la

inversa o la solución del sistema, según sea el caso.

Veamos primero el caso de determinar la inversa de una matriz A. Sea A = (ai j) una matriz

cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1,

seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz ampliada de orden n × 2n, M = (A I ) esto es, A está en la

mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la

diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se

indica en el siguiente ejemplo.

391EJEMPLO IV.2.2.2.

Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo

término de la diagonal principal.

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los

ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la

diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una

matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la

mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un

escalar.

EJEMPLO IV.2.2.3.

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz ampliada M = (A I),

392

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si

hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado

(en ese caso A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos

operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más.

Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la

segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

393

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1

, teniendo que dar

como resultado la matriz identidad I.

Comprobación: AA-1

= I

A continuación veremos la manera de aplicar el método de gauss para encontrar la solución

de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada,

específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Esencialmente aplicamos el mismo procedimiento que para invertir una matriz, pero esta

vez sólo trabajamos con un vector en el lado derecho (el de los términos libres del sistema).

Después de las transformaciones entre filas, lo que quede en esa columna corresponderá a

la solución del sistema.

EJEMPLO IV.2.2.4.

Sea el sistema,

su matriz ampliada asociada es

394Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a

los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los

términos independientes:

De este modo, el sistema tiene la solución única

x = 2, y = -1, z = 3.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de

Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

EJEMPLO IV.2.2.5.

Halle el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando

matrices:

a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula.

Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

395

La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.

x = -9 - y + 10t

z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t).

Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t

= 0 tendremos la solución del sistema

x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.

b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya

nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución.

Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación

0x + 0y + 0z + 0t = -5

obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene

solución.

ACTIVIDAD IV.2.2.6.

1. Sean

a) ¿Qué clase de matrices son?

396b) Calcular:

- A - B + C.

A + B - C.

3A + C/2.

c) Calcular:

(A · B) /C.

d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

Solución:

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya

que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque

los elementos simétricos son opuestos entre sí.

b)

397

c)

Puesto que (A ⋅B) /C = A ⋅ B ⋅ C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el

producto.

Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la

mitad izquierda quede la matriz identidad,

Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

Por último, calculamos (A⋅B)⋅C-1.

398

= .

Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

d)

Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera

fila entre cuatro. De este modo, se tiene

.

399Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

.

Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a

transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -

3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad,

que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir

AA-1 = I.

Procedamos a la comprobación:

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

400

Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de

una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.

RESUMEN

En la presente sección se ha visto la manera de aplicar el método de gauss, tanto para

resolver sistema de ecuaciones como para encontrar la inversa de una matriz.