UNIDAD Nº 8 - UNSJ
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UNIDAD Nº 7 RESPUESTA DE COMPONENTES PASIVOS A LA CORRIENTE CONTINUA
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UNIDAD Nº 7
RESPUESTA DE COMPONENTES
PASIVOS A LA CORRIENTE
CONTINUA
Señal cuadrada Una onda cuadrada simétrica IDEAL adquiere
instantáneamente ( en tiempo cero ) la máxima
amplitud, permanece durante un tiempo en
dicho valor y luego cae instantáneamente a su
amplitud máxima pero con polaridad opuesta
permaneciendo el mismo tiempo anterior en
esta polaridad.
10 %
90 %
Tiempo de
Crecimiento
Tiempo de
Decrecimiento
Comportamiento de una resistencia
a la función escalón V
t
0
00
t
t
V
Lo dicho para onda CUADRADA la señal escalón no
se establece en forma instantánea pero a los fines
prácticos se puede considerar que así es
A
V E
I
R
VIR.IVR
Al estar la tensión dividida por una constante significa que
la tensión y la corriente en una resistencia están en FASE
V
I
t
Comportamiento de una bobina a
la función escalón
E I VR
VL
Aplicando Kirchoff
LR VVE
R.iVR
dt
di.LVL
dt
diLR.iE
Para resolver esta ecuación a través de integrales se aplica :
diRiE
dtL
RiEdt
diL .
.
1.
1..
Integrando ambos miembros respecto de su variable :
i
0
t
0
diR.iE
1dt
L
1
Arreglando el segundo miembro para llevarlo a la forma :
)ax(lndx)ax(
1
di
iR
ERdt
L
it
00
111
it
iR
E
Rt
L 00
ln.1
.1
Aplicando Barrow se llega a :
0lnln
10
1
R
Ei
R
E
Rt
L
i
R
Eln
R
Eln
R
1t
L
1
Aplicando reglas del logaritmo se llega a :
R.iE
Eln
R
1
iR
ER
E
lnR
1t
L
1
Aplicando antilogaritmos se tiene :
R.iE
EtL
R
e
Despejando el valor de la corriente por el circuito se obtiene :
t.L
R
e.ER.iE
R.i.EEt.
L
R
e
)1(R
Ei
t.L
R
e
R
LRealizando un análisis dimensional de se concluye que :
di
dt.VL
dt
di.LV LL
seg.Amper
seg.VoltsL
di
dtVL L
Sabiendo que :
R
L seg.
seg
Para se tiene : 0t 0)1(R
Ei
0.L
R
e
Para se tiene : tR
E%63,0)1(
R
Ei R
L.
L
R
e
Para se tiene : 5tR
E)1(
R
Ei R
L5.
L
R
e
A “ ” se lo conoce como CONSTANTE DE TIEMPO
v i
t
R
E ER
E%63
E I VR
VL
Cuando la tensión se anula
0dt
diLR.i
0VV LR
Despejando
dtL
1di
R.i
1R.i
dt
diL
Integrando ambos miembros
dtL
1di
i
1
R
1
i
0i
t
0
¿ Cuales son los límites de integración ahora ?
t
0
i
i
tL
1iln
R
1
0
0tL
1ilniln
R
10
tL
1
i
iln
R
1
0
tL
R
0
ei
i
Con lo cuál el valor de la corriente buscada es :
tL
R
0 eii
Para se tiene : 0t
Para se tiene : 5t
0
0L
R
0 ieii
0eii R
L5
L
R
0
t
v i
Circuito bajo tensión Circuito sin tensión
RESPUESTA A UN ESCALON DE TENSIÓN
DE UN CIRCUITO R - L
La tensión en la resistencia sigue las mismas variaciones que
la corriente. Cabe preguntarse ahora ¿ como será la tensión
en la bobina con el circuito bajo tensión ?
Sabiendo que la corriente :
tL
R
0 e1.ii
dt
e1id
Ldt
diLV
tL
R
0
L
tL
R
0L eL
R0i.LV
tL
R
0L eL
Ri.LV
E
t
L
R
L eEV
t
VR
VL
v
v
05
%32
0
L
L
L
Vt
EVt
EVt
Que sucede cuando la frecuencia de la señal cuadrada es
tal que el semiperiodo de la señal coincide con
t
100 V
63.2 V
23.26 V
71.8 V
26.42 V
74.92 V
76.74 V 73.58 V
V VR
Comportamiento de un capacitor a
la función escalón
E I VR
VC
R
C
Aplicando Kirchoff
CR VVE
R.iVR
dtiC
VC 1
Por definición dt
dqi con lo cual :
dtdt
dq
Cdt
dqRE .
1.
dqCdt
dqRE
1.
C
q
dt
dqRE .
Aplicando el mismo método del tema anterior
dt
dqR
C
qE .
dq
C
qE
dtR
1
.1
Integrando ambos miembros
qt
dq
C
qE
dtR
00
1.
1
Acomodando un poco la integral del segundo miembro
qt
dq
qECC
dtR
001
1.
1
qt
qECCtR 00
ln1
EClnqECln.10tCR
1
EC
qEClnt
CR
1
EC
)C
qE(C
lnt.CR
1
Aplicando antilogaritmos se llega a :
E
C
qE
e CR
t
Sabiendo que la tensión en el capacitor esta dada por el
cociente C
qVC
E
VEe
CCR
t
Con lo cuál : )1(. CR
t
C eEV
Volts
segAmp
Amp
VoltsCR
...][
volts
segAmpC
dv
dtiC
dt
dqi
dv
dqC
..
¿ A que se lo conoce con el nombre de = R . C ?
CRseg .][ Constante de tiempo
)1(. CR
t
C eEV
0)1(0 0 CC VeEVt
EVeEVCRt CC 63,0)1( 1
EVeEVCRt CC )1(5 5
t
v v
VC
VC
Para hallar el valor de la corriente de carga del capacitor
dt
VdCidti
CV C
CC .1
dt
eEdCi
CR
t
C
)1([.
CR
t
C eCR
ECi1
0.
CR
t
C eCR
ECi
.
. CR
t
C eR
Ei
La tensión en la resistencia esta en fase con la corriente por
lo cuál se puede poner que :
CR
t
R eEV
EVeEVt RR 0.0
EVeEVCRt RR 37,01
05 5
RR VeEVCRt
RiVR .
t
v v
VR
Graficando la tensión en la resistencia y el capacitor es :
t
v
VR
VC
En el caso en que la llave se pase a la posición A
E I VR
VC
R
C
A
Aplicando Kirchoff
CRVV 0
RiVR
.
dtiC
VC 1
dtdt
dq
Cdt
dqR .
1.0
dqCdt
dqR
1.0
C
q
dt
dqR .0
Aplicando el mismo método del tema anterior
dt
dqR
C
q.0
dqq
dtCR
11
q
q
t
dqq
dtCR
0
11
0
0lnln0
1qqt
CR
q
q
t
qtCR
00
ln1
0
ln1
q
qt
CR
0
1
q
qe
tCR
tCR
eqq
1
.0
0
1
q
qe
tCR
Aplicando dt
dqi
CR
tCR
tCR
eqdt
eqd
i1
..
1
1
0
0
tCR
eiCR
q 1
0 .
La carga que tiene el capacitor está dada por
C
qV 0
0
CR
t
eR
Vi
.0
La tensión en la resistencia es :
CR
t
eRR
VRiV
R
.. 0
CR
t
eVVR
.0
La tensión en el capacitor esta dada por :
dteR
V
Cdti
CV
CR
t
C
.11
0
CR
eV
CRV
CR
t
C
1
.10
El signo negativo indica
que la corriente circula en
sentido contrario.
CR
t
eVVC
.0
El signo positivo indica
que la corriente sigue
circulando en el mismo
sentido.
t
v
VR
VC
CARGA DESCARGA
INTEGRADORES Y DIFERENCIADORES
v i
t
R
E ER
E%63
Teniendo en cuenta que la constante de tiempo
es el tiempo necesario para que el capacitor se cargue al 63 %
observemos que si este tiempo es muy rápido el capacitor se
cargará y descargará rápidamente
CR .
v
t
2
T
T
vR
vC
Teniendo en cuenta que la derivada matemática de la señal
escalón esta dada por lo que se conoce como función
impulso o delta de Dirac:
f(x) df(x)
dx
t
Comparando con la carga y descarga en un circuito R – C se
deduce que :
v
vR
f(x)
t t
dx
xdf )(
CONCLUSIÓN : Para que un circuito R-C sea un BUEN
derivador de la señal de entrada, la constante de tiempo debe
ser mucho menor que el semiperiodo de la señal
y tomar la señal de la RESISTENCIA 2
T
Teniendo en cuenta que la integral matemática de la señal
escalón esta dada por :
f(x)
t
V
tVdtV .
VC
T
T
2
210
TV VC
t
Observemos que sucedería cuando la constante de tiempo
es muy lenta es decir el capacitor se cargará y descargará muy
lentamente
Comparando con la carga y descarga en un circuito R – C se
deduce que :
v f(x)
t t
dxxf )(vC
CONCLUSIÓN : Para que un circuito R-C sea un BUEN
integrador de la señal de entrada, la constante de tiempo debe
ser mucho mayor que el semiperiodo de la señal
y tomar la señal del CAPACITOR 2
T
Como conclusión de todo lo hablado resulta que si se cumple la
condición vista para cada caso :
R
C
C
R
VENT
dtVVENTC
VENT dt
VdV ENT
R
Analicemos dos casos
1º en carga 2
TC.R 1.0t
EVeEVCRt CC 1.0)1(1.0 1.0
CR
t
R eEV
EVeEVCRt RR 9.01.0 1.0
)1(. CR
t
C eEV
En descarga C.R1.0t
CR
t
C eVV
.0
EVeEVCRt CC 09.01.01.0 1.0
)1.0( 0 EesV
2
TC.R
CR
t
R eVV
0
0
1.0
0 09.01.01.0 VVeVVCRt RR
VR
VC
t
t
09.0 V
01.0 V
0V1.0
V VC
t
Observemos que sucede cuando la constante de tiempo
es muy lenta es decir el capacitor se cargará y descargará muy
lentamente
El capacitor va tomando carga hasta llegar al valor medio
de la señal el cual es la integral de la señal dada.
Eliminando el valor de continua la señal obtenida es :
V VC
t
2 º en carga 2
T
EVeEVCRt CC )1(10 10
CR
t
R eEV
010 10
RR VeEVCRt
En descarga CRt .10
CR
t
C eVV
.0
010 10
CC VeEVCRt
)( 0 EesV
CR
t
R eVV
0
010 10
0
RR VeVVCRt
Esto se ve representado en la próxima gráfica
t
VR
VC
t
Si ahora el circuito es un circuito resistivo – inductivo y se
cumplen las mismas condiciones entre el semiperiodo y la
constante de tiempo se tiene que :
R
R
VENT
dt
VdV ENT
L
VENT
dtVV ENTRL
L
Se llega a la siguiente conclusión
R - C
R - L
Constante
de tiempo
Tipo de
circuito
CR .
R
L
Buen
Derivador Buen
Integrador
2
T
2
T
Problema :
Encuentre los componentes adecuados para obtener la
derivada de una señal cuadrada de frecuencia de 1 KHz.
msegT
msegTKHzf 5.02
11
CR .Se conoce que : eligiendo uno de los componentes
tendremos el otro haciendo un simple despeje:
Como es mas fácil encontrar el valor de la resistencia se
adopta el valor del capacitor y se despeja el valor de la
resistencia adecuada
Se adopta FC 1.0
2
T mseg
T5.01.0
21.0
CR .05.0
FaradiosRseg 63 101.0.10.05.0
500105.0101.0
10.05.0 3
6
3
Faradios
segR
Los componentes adecuados para encontrar una buena
derivada a la señal de 1 KHz es un capacitor de FC 1.0
y una resistencia de 500R
2
T mseg
T5.010
210
CR .5
FaradiosRseg 63 101.0.10.5
KFaradios
segR 50105.0
101.0
10.5 4
6
3
Los componentes adecuados para encontrar una buena
integral de la señal de 1 KHz es un capacitor de FC 1.0
y una resistencia de KR 50
Busquemos ahora los componentes para hallar la integral de
la señal de entrada
SERIE DE FOURIER
El teorema de Fourier dice qu una onda NO SINUSOIDAL y PERIÓDICA puede ser representada por una serie de ondas sinusoidales relacionadas armónicamente más una tensión de corriente continua.
El análisis puede ser aplicado a cualquier onda para determinar la respuesta en frecuencia del circuito a la cuál se aplica la onda, también para determinar el contenido de armónicas de la onda
Una forma de escribir la serie de Fourier es la siguiente :
..........32.............
3cos2coscos2
)(
321
321
0
wtsenbwtsenbwtsenb
wtawtawtaa
wtF
En donde y son las amplitudes de las armónicas y
el valor de está dado por el valor medio de la señal.
iaib
2
0a
Para hallar los distintos coeficientes se tiene que :
T
i
T
i
T
wtdwtnsenwtFT
a
wtdwtnwtFT
b
wtdwtFT
a
0
0
00
)(2
1
cos)(2
1
)(2
1
Los cálculos matemáticos en esta curso no se tienen en
cuenta solo veremos como se componen algunas señales con
sus armónicas.
Onda cuadrada
Como se observa la onda
cuadrada puede compararse
con una onda senoidal de
igual frecuencia.
A medida que se van
sumando las distintas
armónicas que forman la
onda cuadrada se ve que se
va acercándose a la forma
de onda.
Se observa que sumando la
1º y 3º armónica se va
aproximando a la señal
cuadrada
1º fundamental
o armónica
Realizando un análisis de la onda cuadrada se llega a la
conclusión de que está formada por armónicas IMPARES es
decir que los coeficientes “ ” de las ondas pares valen cero. ib
Realizando una gráfica de las amplitudes de las armónicas
versus el número de la armónica se llega a :
A
A
4
A
3
A
2
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº Arm
Amp
La onda cuadrada tiene un número infinito de armónicas
impares teóricamente. Una buena aproximación son 10
armónicas. La amplitud de la armónica disminuye en
proporción a la inversa del orden de la armónica.
ONDA DIENTE DE SIERRA
Como se observa la onda
triangular puede compararse
con una onda senoidal
negativa de igual frecuencia.
A medida que se van
sumando las distintas
armónicas que forman la
onda diente de sierra se ve
que se va acercándose a la
forma de onda.
Se observa que sumando la
1º , 2º , 3º , etc armónica se
va aproximando a la señal
cuadrada
1º armónica
La onda diente de sierra IDEAL crece a un ritmo uniforme
desde su amplitud máxima negativa hasta su amplitud
máxima positiva, decreciendo instantáneamente hasta su
amplitud máxima negativa.
La onda diente de sierra tiene un número infinito de armónicas
senoidales negativas pares e impares teóricamente. Una
buena aproximación son 10 armónicas. La amplitud de la
armónica disminuye en proporción a la inversa del orden de la
armónica.
A
4
A
3
A
2
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Amp
A
Nº Arm
Onda Triangular
1ª Armónica
2ª Armónica
3ª Armónica
3ª Armónica
1ª Armónica
2ª Armónica
4ª Armónica
5ª Armónica
