Unidad10 medidas de dispercion gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti 82

MEDIDAS DE DISPERSION O VARIACION Las medidas de Tendencia Central son útiles para encontrar el valor único, de un conjunto de datos; en cambio las medidas de dispersión describen la forma como los datos estadísticos tienden a ubicarse alrededor de la media aritmética.

Las medidas de dispersión pueden ser expresadas de dos maneras: una primera manera de expresarlas es forma de valor Absoluto y la segunda forma es de expresarlas en una forma porcentual o relativa. Las medidas de dispersión más comunes que son expresadas en Valores Absolutos son:

1. La Desviación Media (D.M) 2. La Desviación Estándar o Típica. ( 3. La varianza. (

La medida de dispersión que es expresada en un Valor Relativo o Porcentual es el Coeficiente de Varia-ción. LA DESVIACION MEDIA (D.M) La Desviación Media, es igual a la suma de todos de todos los valores absolutos, formados por la diferen-cia de cada elemento menos la media aritmética, dividido entre el número total de elementos de la mues-tra (n) o población (N).

DATOS NO AGRUPADOS:

Para datos no agrupados la Desviación Media, está definida por la siguiente expresión:

∑| |

Pero ; entonces

∑| |

.

: Dato estadístico.

: Media Aritmética Ejemplo: Hallar la Desviación Media de: 2, 3, 8, 11

X | | 2 3 8

11

| | | | | | | |

∑ ∑| |

El valor promedio es igual a: = ∑

=

= 6

Ahora: D.M = ∑| |

D.M =

= 3.5

Significa que la Desviación Media (D.M), tiene una dispersión de 3,5 unidades por encima y por debajo del valor promedio de 3,5.



DATOS AGRUPADOS:

Para datos que se encuentran en una tabla o una distribución de frecuencias, la Desviación Media, está definida por la siguiente expresión:

∑ | |

Pero ;

∑ | |

Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referencia a las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la Desviación Media (D.M)

Calificaciones Marca de clase (X)

f .fX | | | |

2,5 - 2,8 2,65 7 18,55 2,65 - 3,56 0,91 6,37

2,9 - 3,2 3,05 7 21,35 3,05 - 3,56 0,51 3,57

3,3 - 3,6 3,45 9 31,05 3,45 - 3,56 0,11 0,99

3,7 - 4,0 3,85 8 30,80 3,85 - 3,56 0,29 2,32

4,1 - 4,4 4,25 3 12,75 4,25 - 3,56 0,69 2,07

4,5 - 4,8 4,65 6 27,90 4,65 - 3,56 1,09 6,54

∑

∑ | |

1 Paso: Calculemos la media

Dada la ecuación: ∑

∑

= 3,56

2 Paso: Calculemos la Desviación media (D.M)

Por definición se tiene que: ∑ | |

0,54

Significa que la dispersión de la información estadística, con relación al promedio es de 0,54 ; que es muy pequeña.

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR ( ) y VARIANZA (

La Desviación Típica, es la medida de dispersión más utilizada en estadística, ya que no solo destaca las pequeñas desviaciones sino también las grandes desviaciones. La varianza, es la Desviación Típica elevada al cuadrado. I DATOS NO AGRUPADOS

Cuando los datos estadísticos no están agrupados en una tabla de frecuencias, la Desviación típica está definida por las siguientes ecuaciones:

√∑

√∑

: Desviación Típica Muestral

: Desviación típica Poblacional.



: Dato estadístico.

: Muestra= Número total de datos

Ejemplo: Las calificaciones de un estudiante en una asignatura “ABC”, en un periodo académico son: 3, 1,5, 4,0 2,5, 3,0. Encontrar:

1. La calificación promedio 2. La desviación típica muestral. 3. La desviación típica poblacional 4. La varianza.

X

3 1,5 4

2,5 1,5

0.5 -1 1,5 0 -1

0,25 1

2,25 0 1

∑ 12.5 ∑ ∑

Solución

1. La calificación promedio está definida por: ∑

remplazamos

= 2,5

2. La desviación típica muestral está definida por: √∑

√

= 1,06

3. La desviación típica poblacional está definida por: √∑

√

=0,94

Significa que la diferencia entre cada una de las calificaciones, con relación a la calificación promedio es de 0,94 II DATOS AGRUPADOS

Para Datos Agrupados, la Desviación Típica o Estándar, se define como:

√∑

√∑

√∑

: Desviación Típica Muestral

: Desviación típica Poblacional.

: Marca de clase.

: Promedio

: Muestra= Número total de datos.

: Frecuencia absoluta.



: Frecuencia relativa. Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referencia a las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la Desviación Típica y la Varianza.

Califica-ciones

Marca de clase

(x) f h

2,5 - 2,8 2,65 7 0,175 -0,91 0,8281 5,7967 0,1449

2,9 - 3,2 3,05 7 0,175 -0,51 0,2601 1,8207 0,0455

3,3 - 3,6 3,45 9 0,225 -0,11 0,0121 0,1089 0,0027

3,7 - 4,0 3,85 8 0,2 0,29 0,0841 0,6728 0,0168

4,1 - 4,4 4,25 3 0,075 0,69 0,4761 1,4283 0,0357

4,5 - 4,8 4,65 6 0,15 1,09 1,1881 7,1286 0,1782

∑

∑

∑ = 16,956

∑

Dada la ecuación: ∑

∑

= 3,56

O también:

∑

∑ 3,56

Ahora, la desviación típica muestral será igual a:

√∑

Remplazamos:

√

= 0,659

La desviación típica poblacional es igual a:

√∑

Remplazamos

√

0,651

O también:

√∑ Remplazamos:

√ 0,6509

La varianza será igual a: = DISPERSION RELATIVA o COEFICIENTE DE VARIACION (CV) El Coeficiente de Variación, es igual al cociente formado por el valor de la Desviación Típica sobre el valor del valor Promedio o Media Aritmética, expresado en porcentajes. Es decir:

x 100%

x 100%



Nota: En un análisis comparativo entre dos grupos, lo óptimo o lo mejor, es el que tenga menor valor porcentual del coeficiente de variación. Por lo tanto, el rendimiento se define como:

Ejemplo: El director de una Institución Educativa, tiene las calificaciones finales, de dos estudiantes A y B, que son:

Estudiante A ( ) 4 4 4,5 5 4,5

Estudiante B 5 4,2 4,7 4 4,1

Y se pregunta:

1. ¿Cuál es la calificación promedio de cada uno de ellos? 2. ¿Qué estudiante tiene menor dispersión absoluta? ( ) 3. ¿Qué estudiante tiene menor dispersión relativa? (CV=?) 4. ¿Cuál de los dos estudiantes, es académicamente el mejor?

Solución Sea: : Estudiante A : Estudiante B

: Calificación promedio del estudiante A

: Calificacion promedio del estudiante B

: Dispersión Absoluta del estudiante A

: Dispersión Absoluta del estudiante B : Dispersión relativa del estudiante A

: Dispersión relativa del estudiante B

Tabla de operaciones

1. Calificación Promedio del estudiante A

= ∑

=

= 4,4

2. Dispersión absoluta del estudiante A

= √∑

= √

= 0,4183

3. Dispersión relativa del estudiante A

x100%

x100%

Calificación Promedio del estudiante B

= ∑

=

= 4,4

Dispersión absoluta del estudiante B

= √∑

= √

= 0,4301

Dispersión relativa del estudiante B

x100%

x100%

4 4

4,5 5

4,5

-0,4 -0,4 0,1 0,6 0,1

0,16 0,16 0,01 0,36 0,01

5 4,2 4,7 4

4,1

0,6 -0,2 0,3 -04 -03

0,36 0,04 0,09 0,16 0,09

∑ = 22 ∑ = 0 ∑ = 0,7 ∑ = 22 ∑ =0 ∑

= 0,74



9,50%

4. Rendimiento Académico Estudiante A

Rendimiento = 100% - %

= 100% - 9,50% = 90,5%

9,77%

Rendimiento Académico Estudiante B Rendimiento = 100% - %

= 100% - 9,77% = 90,23%

TALLER

La siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un curso

de la I.E.M. María Goretti.

1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77

1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63

1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67

1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71

1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55

Encontrar

1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas. 2. ¿Cuál es la estatura promedio del curso? 3. ¿Cuál es la desviación media? 4. ¿Cuál es la desviación típica o estándar muestral? 5. ¿Cuál es el valor del coeficiente de variación?



EJERCICIOS: ESTADÍSTICA

1. Estas son los puntajes obtenidos por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso: 38 51 32 65 25 28 34 12 29 43 71 62 50 37 8 24 19 47 81 53 16 62 50 37 4 17 75 94 6 25 55 38 46 16 72 64 61 33 59 21 13 92 37 43 58 52 88 27 74 66 63 28 36 19 56 84 38 6 42 50 98 51 62 3 17 43 47 54 58 26 12 42 34 68 77 45 60 31 72 23 18 22 70 34 5 59 20 68 55 49 33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase. 2. En una cierta ciudad, se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante las 52

semanas del año, siendo los siguientes los datos obtenidos: 6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9

12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10

3 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11

7 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8

Confecciona una tabla de intervalos de clase. 3. Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12,

10 y15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias. ¿Qué porcentaje de chicos tienen 12 años? ¿Cuántos chicos tienen menos de 14 años? 4. En cada día del mes de enero, en un camping hubo la siguiente cantidad de turistas: 12, 14, 17, 16,

19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Cons-truye una tabla de frecuencias para estos datos.

5. Representa mediante diagrama de barras, de sectores y de línea, los beneficios de la empresa ASIS (en millones) que han sido:

1970 200 1976 425 1971 250 1977 400 1972 250 1978 400 1973 300 1979 300 1974 350 1980 350 1975 400 1981 400

6. Compara los beneficios, mediante diagrama de barras compuestas, obtenidos por la empresa ASIS, utilizando los datos del ejercicio anterior, con los de la empresa Pérez, siguientes:

1970 300 1976 200

1971 350 1977 175

1972 275 1978 150

1973 300 1979 100

1974 250 1980 75

1975 200 1981 50

7. Representa mediante histograma y polígono de frecuencias, realizando también su ojiva, las siguien-tes poblaciones:

a) Las estaturas de 30 soldados de una compañía en cm. 170 176 180 185 170 176

162 162 185 170 176 180

160 167 167 180 162 176

185 176 167 170 185 176

187 170 162 176 170 167

b) Las cantidades en l/m2 que los pluviómetros de 20 ciudades recogieron en un día de lluvia.

8 2 10 17 15

10 17 8 2 10

15 15 2 1 17

2 8 8 15 15

8. Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000, $450000, $600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e indica cuál representa mejor a los datos.



9. El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima compe-

tencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco úl-timas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?

Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1

Tomás 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7

Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2

Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno. 10. Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo

ha ido a un recital o concierto.

2 – 4 – 3 – 2 – 1 – 1 – 6 – 3 – 0 – 3 – 2 – 4 – 6 – 9 – 3 – 2 – 1 – 6

Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana y rango.

11. En un diagnostico de educación física se pidió a los alumnos de los cuartos medios que hicieran ab-

dominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:

4º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54 33 45 44 41

34 36 34 54

4º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42 49 40 37 34 44

41 43

¿Cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿qué distribución estadístico permite comparar

la distribución de este tipo de datos?

12. A continuación se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnóstico de salto

largo.

4º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.8 2.9 3.3 3.9

4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6

4º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 2.6 5.5 5.4

4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2

a) Calcula el promedio de ambos cursos.

b) Construye una tabla de frecuencias para cada curso

c) Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento mas parejo?

13. Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:

175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas de

tendencia central.

14. A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos han sido:

87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82 141

92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132

110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101 118 138 99

105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8 y confecciona una tabla de frecuencias y calcula las medidas

de tendencia central.

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