1. Luis Gonzalo Revelo Pabn 57 Dpto. de Matemticas - GorettiLA IGUALDAD: son expresiones numricas o algebraicas que se encuentran en el primero y segundomiembro de una igualdad, separadas por el signo de igualdad (=). Donde la igualdad puede ser falsa overdadera.La igualdad es numrica si solo tiene nmeros y la igualdad es algebraica (o literal) si tiene nmeros yletras.Por ejemplo, son Igualdades Numricas y Algebraicas1. 3+2 = 5 Es una expresin numrica VERDADERA. 2 2 22. 4 -3 =1 Es una expresin numrica FALSA 2 223. (a+b) =a +2ab+b Es expresin algebraica VERDADERA, para cualquier valor numrico, que tome las variables a y b.4. Es expresin algebraica VERDADERA, solamente se cumple para x =21 y para to- dos los valores que tome x diferentes a 21, la expresin algebraica es FALSA.Por tanto hay dos tipos de igualdades a saber: La Identidad algebraica y La Ecuacin algebraica.LA IDENTIDAD ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple para todos los valores que tome la(s)variable(s).Ejemplo 1: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdaderapara todos los valores que tome x.Ejemplo 2: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera paratodos los valores que tome x, y.Ejemplo 3: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera paratodos los valores que tome x, y.LA ECUACION ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple solamente para algunos valores quetome la(s) variable(s).Ejemplo 1: La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuacin, ya que solamente es vlida para x = 4Ejemplo 2: La igualdad algebraica 4x 3 = 2x +1 es una ecuacin ya que solamente se cumple para x = 2Ejemplo 3: La igualdad algebraica 4 = 2x(x 1), es una ecuacin, ya que se cumple solamente cuando lavariable x toma los valores de x = 2 y x = 1IDENTIDAD TRIGONOMETRICAUna identidad trigonomtrica es una igualdad entre dos expresiones que contienen funciones trigonom-tricas y es vlida o verdadera para todos los valores permisibles que tome o se le asigne a la variableangular.Ejemplo 1: La igualdad es una Identidad trigonomtrica, ya que se cumple para todoslos valores que tome el ngulo A.Ejemplo 2: La igualdad , es una identidad trigonomtrica, ya que es verdadera paratodos los valores que tome el ngulo A.Ejemplo 3: La igualdad, es una identidad trigonomtrica, ya que es verdadera para to-dos los valores que tome el ngulo A. Existen tres tipos de identidades llamadas Identidades fundamentales a saber: Identidades trigonomtri-cas por Cociente, Identidades trigonomtricas Reciprocas e Identidades trigonomtricas Pitagricas.RAZONES TRIGONOMETRICAS

2. Luis Gonzalo Revelo Pabn 58 Dpto. de Matemticas - GorettiIDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE:Denominamos as a las siguientes identidades porque cada una de ellas representa la divicion o cocienteentre dos razones trigonometricas.1. Tang A =2. Cotag A =IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS RECIPROCASLas siguientes identidades se cumplen o son verdaderas para cualquier valor que se le asigne al ngulode la funcin trigonomtrica, con la nica excepcin de que el denominador no debe ser cero. Las siguien-tes expresiones se denominan identidades recprocas:1. Sen A = 4. Cotag A =2. Cos A = 5. Sect A =3. Tang A =6. Cosec A =Demostracin:1.- Por definicin de razn trigonomtrica del Sen A, es igual a: Sen A =El reciproco o inverso de Sen A, ser igual a:= Cosec ADe igual manera se efecta, para demostrar a las dems identidades trigonomtricas reciprocas.IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS PITAGORICASSe denominan identidades Pitagricas, porque son el resultado de la aplicacin del teorema de Pitagri-cas con las razones trigonomtricas.1.2.3.Demostracin:De acuerdo al teorema de Pitgoras se tiene que:Al dividir cada uno de los trminos de la ecuacin entreSe obtiene que:( )( ) 3. Luis Gonzalo Revelo Pabn 59Dpto. de Matemticas - GorettiPero:Al remplazar en la ecuacin anterior se obtiene que:..(1)Ahora, al dividir cada uno de los trminos de la ecuacin pitagrica (1), entre se obtiene que:De igual manera al dividir cada uno de los trminos de la ecuacin pitagrica (1), entre se obtieneque:EJERCICIOS CON LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICASCon las identidades trigonomtricas fundamentales se puede realizar las siguientes tipos de ejercicios: 1. Tipo Simplificacin. 2. Tipo Demostracin.1.- TIPO SIMPLIFICACION: En este tipo de ejercicios se busca reducir hasta la ms mnima expresin, ala expresin trigonomtrica que se haya planteado.Para la simplificacin o reduccin de la expresin trigonomtrica que se haya plantado o dado, esta sim-plificacin se la obtiene mediante la ayuda de las identidades trigonomtricas fundamentales (Identidadestrigonomtricas por cociente, inversas y Pitagricas) y con la realizacin de factorizaciones, como de laelaboracin de las operaciones que se encuentran en la expresin.Ejemplos: Efectuar las operaciones indicadas, en cada de las siguientes expresiones:1.2.3.4.5.6.Solucin1. =2.=3.=.4.5.6.Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones1.2.3.4.5.Solucin:1.2.3.4.5. 4. Luis Gonzalo Revelo Pabn 60 Dpto. de Matemticas - GorettiEjemplos: Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la ms mnima expresin:1.2.3.4.5.6.7.+Solucin:1.2. 3.= 4. 5.6. 7.+=TALLERSimplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la ms mnima expresin:1.2.3.4.5.6.7.8.9. * +10.2.- TIPO DEMOSTRACION. Para demostrar (verificar) si una Identidad Trigonomtrica es verdadera, seelige a uno cualquiera de los dos miembros de la igualdad y por medio de operaciones algebraicas y de laaplicacin en cada paso que se efectu de las Identidades inversas, Identidades por cociente como delas Identidades pitagricas al miembro que se haya elegido, hasta llegar a demostrar que el miembroelegido es igual al otro miembro de la igualdad. 5. Luis Gonzalo Revelo Pabn 61Dpto. de Matemticas - GorettiEn general, se inicia con el miembro de la igualdad ms complicado.Para tener xito en la demostracin o verificacin de la Identidad Trigonomtrica se requiere tener: Una completa familiaridad con la Identidades fundamentales Una completa familiaridad con los procedimientos de factorizacin, y operaciones con fracciona- rios, etc. Practicar.Ejemplos: Demostrar las siguientes Identidades.1.2.3.4.5.Solucin:1.Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. As:2.Para verificar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. As: =3.Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. As:4. 6. Luis Gonzalo Revelo Pabn 62 Dpto. de Matemticas - GorettiPara demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. As:Dividimos cada termino entre Cos A5.Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. As:TALLERDemostrar las siguientes Identidades.1.2.3.4.5.6.7.8. 7. Luis Gonzalo Revelo Pabn 63Dpto. de Matemticas - Goretti9.110.11.12.13.LA ECUACION TRIGONOMETRICA: Es una igualdad que contiene funciones trigonomtricas y es ver-dadera solamente para algunos valores que tome la variable angular.Resolver una ecuacin trigonomtrica, es determinar los valores del ngulo desconocido de una funcintrigonomtrica.ECUACION TRIGONOMETRICA DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO.El mtodo para resolver una ecuacin trigonomtrica con una incgnita de segundo grado consiste enreducirla a una ecuacin algebraica, tomando a la funci n trigonomtrica como una incgnita auxiliar.Luego se efecta los siguientes pasos:A) Se elige como incgnita a una letra cualquiera del abecedario, a la funcin trigonomtrica cuyo ngulo se desea encontrar. Donde cada una de las races aceptadas, tiene una ecuacin trigonomtrica de las siguientes formas:B) Se remplaza en la ecuacin donde se encuentra la funcin trigonomtrica por la letra elegidaC) Por medio de los procedimientos ordinarios del algebra se resuelve la ecuacin algebraica, con relacin a la incgnita auxiliar y se analizan las races teniendo en cuenta las condiciones de la magnitud a las cuales est sujeta la funcin trigonomtrica.D) En este estudio nicamente se ofrecern soluciones particulares que oscilen entre 0 grados y 360 grados. (Si se buscan todas las soluciones se tiene en cuenta (180) o (360), de cada resultado obtenido dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ngulo y el signo que le corresponde a funcin trigonomtrica en cada uno de los cuadrantes. Ahora s el ngulo es negativo para convertirlo en un ngulo positivo aplicamos la expresin 360+ (-Angulo negativo))Ejemplos: Determinar los valores del ngulo x entre 0 y 360 que satisfacen cada una de las siguien-tes ecuaciones:1.2.3.4.5.Solucin:1...La funcin seno es positiva en el primero y segundo cuadrante, por lo tanto el ngulo del segundo cua-drante es igual a 180- 30 = 150. Respuesta: 30 y 1502...La funcin coseno es positiva en el primero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ngulo en cuarto cuadrantees igual a 360 - 0 = 360. Respuesta 0 y 3603... 8. Luis Gonzalo Revelo Pabn 64Dpto. de Matemticas - GorettiComo el ngulo negativo lo convertimos en un ngulo positivo mediante la ecuacin: 360 + (-n), rempla-zamos para obtener: 360+ (-13,562151) = 346,437849Ahora:La funcin seno es negativa en el tercero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ngulo del tercer cuadrantees igual a 180+ 13,562151 = 193,562151. Respuesta: 346,437849 y 193,5621514. . ..El ngulo negativo lo convertimos a un ngulo positivo mediante la expresin: 360+(-n), remplazamospara obtener: 360 - 79,97501214 = 280,0249879Ahora, la funcin tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto el ngulo en el se-gundo cuadrante es igual a 180 - 79,97501214 = 100,0249879. Respuesta: 280,0249879 y100,0249879.5...La funcin coseno es negativa en el segundo y tercer cuadrante, por lo tanto el ngulo del tercer cuadran-te es igual a 180+ 60 = 240. Respuesta: 120 y 240Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones trigonomtricas.1.2.3.4.5.6.Solucin:1.. .. ...a) ... Convertimos a un ngulo positivo..Ahora la funcin seno sus valores son negativos en tercero y cuarto cuadrante. Por lo tanto en el cuartocuadrante el ngulo que satisface a esta ecuacin es:b). Esta ecuacin No tiene solucin, porque el valor mximo de la funcin seno esRespuesta: X=321,8275 y 218,17242.. 9. Luis Gonzalo Revelo Pabn 65 Dpto. de Matemticas - Goretti.....a) ...Convertimos a un ngulo positivo..b)... Respuesta: A= 30 y 2703......a) ....b)... Respuesta: X= 0 y 604....... ..a) ... 10. Luis Gonzalo Revelo Pabn 66Dpto. de Matemticas - Gorettib).Esta ecuacin No tiene solucin, porque el valor mximo de la funcin seno es :Respuesta: X=305.. 3( ) +5. 3( ) +5..... .=a). (3).(3) Esta ecuacin no tiene solucin porque, porque el valor mximo que toma la funcincoseno es.b). (0,5). (0,5). . Ahora la funcin coseno tiene un valor positivo, en el primero y cuarto cuadrante. Por lo tanto el nguloque satisface esta ecuacin en el cuarto cuadrante es igual a 360, remplazando se obtiene:360-60= 300Respuesta: Las soluciones de esta ecuacin trigonomtrica son: 60 y 3006... .=a). (2).(2) Esta ecuacin no tiene solucin porque, porque el valor mximo que toma la funcincoseno es.b). (1). (1) 11. Luis Gonzalo Revelo Pabn 67 Dpto. de Matemticas - Goretti. .y 360Respuesta: Las soluciones de esta ecuacin trigonomtrica son: 0 y 360TALLER.Resuelva las siguientes ecuaciones trigonomtricas.1.Rta: 60 y 3002.Rta: 210 y 3303.Rta: 45 y 2254. Rta: 655.. Rta: 356. Rta: 177.Rta:0, 90, 3608. Rta: 909.Rta: 45, 22510.Rta: 60, 12011.Rta: 90,210,33012. Rta: 30, 150, 210, 33013.Rta:30, 15014.Rta: 210, 270, 33015. Rta: 0, 27016.Rta: 90, 180, 27017. Rta: 114,46 y 245,54