UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Introducción a la teoría de juegos

Rafael Salas abril de 2010

Teoría de Juegos

Interacción estratégica entre un reducido número de agentes

Separación del comportamiento competitivoInterdependencia entre sus accionesEjemplo: dupolio, oligopolio, negociación, etc.Aplicaciones fuera de la economía: política, deportes, vidacotidiana

Veamos qué es un juego, qué tipos de juegos existen y cómo se resuelven

Teoría de Juegos

Es una manera formal de tratar situaciones donde aparecen:

Más de un agente o jugadorInteracción entre ellosEstrategia: los agentes son conscientes de elloRacionalidad: los agente persiguen su mejor acción

Veamos sus elementos...

Elementos del juego:

QUIÉN juega. Cuántos jugadores existen

QUÉ juegan. El conjunto de estrategias o acciones posibles

CUÁNDO juegan. Si es simultáneo (estático) o secuencial (dinámico)

QUÉ CONOCEN cuando juegan

CUÁNTO ganan o pierden con sus acciones y las de los otros

Representación del juego:

Forma normal o estratégica:

Se determinan los jugadores, sus estrategias y los pagos de cada jugador para combinación de estrategias

Ejemplo 1: dilema de los presos...

Ejemplo 1: dilema de los presos

En forma estratégica.

Idea de mejor respuesta

.

JUG 2

JUG 1-1

A B

A

B

-1 0

-9

0

-9

-6

-6

Ejemplo 1: dilema de los presos

Mejores respuestas de 1:

.

JUG 2

JUG 1-1

A B

A

B

-1 0

-9

0

-9

-6

-6

Ejemplo 1: dilema de los presos

Mejores respuestas de 1 y de 2:

Este es un juego con estrategias discretas. Véamos un caso con estrategias contínuas...

.

JUG 2

JUG 1-1

A B

A

B

-1 0

-9

0

-9

-6

-6

Ejemplo 2: El modelo de Cournot

QUIÉN juega: Dos empresas, que producen bien homogéneo

P=a-YY=Y1 + Y2

Ci(Yi)=cYi

QUÉ juegan: Cúantas cantidades producen

CUÁNDO juegan. Es una decisión simultánea (estática)

Ejemplo 2: El modelo de Cournot

QUÉ CONOCEN: Al ser un juego simultáneo no conocen las acciones de los otros cuando juegan (información imperfecta).

Si conocen que son racionales (conocimiento de dominio público). Los pagos de ambos...

CUÁNTO ganan o pierden: sus beneficios dependen de las estrategias de los dos (existe interdependencia):

Bi=P(Y)Yi-cYi

Ejemplo 2: El modelo de Cournot

MEJOR RESPUESTA:

MRi=Yi=(a-c-Yj)/2

Concepto de equilibrio:

EQUILIBRIO DE NASH (EN):

Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a las estrategias de los otros

Esas mejores respuestas son compatibles entre sí

Una forma de verlo en la representación normal: observar las celdas donde los pagos están subrayados. Ejemplo 1...

Ejemplo 1: dilema de los presos

Mejores respuestas de 1 y de 2 en rojo:

(B,B) es un equilibrio de Nash con pagos (-6,-6)

.

JUG 2

JUG 1-1

A B

A

B

-1 0

-9

0

-9

-6

-6

Interpretación del EN:

Dado que es un juego simultáneo, ningún jugador sabe realmente lo que el resto va a mover. El EN requiere:

Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a cualquier conjetura, creencia o expectativa sobre las estrategias de los otros

Esas conjeturas resultan ser las correctas en equilibrio

Propiedades del EN:

Dado que los agentes realizan sus mejores respuestas, ningún agente tiene incentivos a desviarse unilateralmente en equilibrio (es una propiedad deseable de la solución de equilibrio)

En el caso de que los jugadores pudieran comunicarse antes del juego: sólo el EN es un acuerdo auto-sostenible. En el caso de llegar a otros acuerdo diferentes, éstos corren el riesgo de ser incumplidos, dado el incentivo que existe a desviarse

Una ventaja: El EN siempre existe, bajo condiciones relativamente amplias

Modelo de Cournot

Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=a-Y, donde Y=Y1+Y2 y los costes Ci=c Yi.

El equilibrio de Cournot es el EN de este juego simultáneo en el que las dos empresas deciden sobre Yi

.

Solución del modelo de Cournot

Solución al sistema simultáneo:

MR1=Y1=((a-c)-Y2)/2

MR2=Y2=((a-c)-Y1)/2

Es: Yi=(a-c)/3, i=1,2

Solución subóptima...

Incentivos a formar un cartel

Solución subóptima, puesto que pueden aumentar los beneficios las dos empresas actuando como un monopolio:

Yi=(a-c)/4, i=1,2

Sin embargo, si llegan e ese acuerdo, existen incentivos a desviarse:

Si Y1=(a-c)/4, MR2= Y2=3(a-c)/8

Es algo parecido al dilema de los presos.

Modelo de Cournot con N empresas

Solución al sistema:

MRi=Yi=((a-c)-Yj)/2, ji, i

Si hay simetría: Yi=Y1= Y2=···= YN

Lo que implicaYi=(a-c)/N+1

Solución del monoplio si N=1, Y=(a-c)/2, y de la competencia perfecta si N (Y=a-c)

Práctica

(1) Modelo de Cournot:

Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-X, donde X=X1+X2 y los costes Ci=10 Xi.

Calcula el equilibrio de CournotVerifica los incentivos a formar un Cartel (colusión en un monopolio)Verifica los incentivos a romper ese Cartel (de formarse)Compara la situación con la competitiva

.

Práctica

(2) Modelo de Cournot:

Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-0,5X, donde X=X1+X2 y los costes C1=5 X1 y C2=0,5 X2

2

Calcula el equilibrio de CournotCalcula la solución de colusión en un monopolioCompreba el aumento de beneficiosCompara con la situación competitiva

.

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Introducción a la teoría de juegos

Rafael Salas abril de 2010