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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA: CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN TESIS DE GRADO PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN – MENCIÓN MATEMÁTICA. TEMA: LA TRIGONOMETRIA Y SU INCIDENCIA EN LA RESOLUCION DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON VECTORES EN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR N°11 “HÉROES DEL CENEPA” AUTOR: TÉC. DAMIÁN ALVAREZ ROBALINO. DIRECTOR: MSC. HUGO SIMALUISA Quito - ECUADOR 2015
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TESIS DE GRADO PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE
LICENCIADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN – MENCIÓN
MATEMÁTICA.
TEMA:
LA TRIGONOMETRIA Y SU INCIDENCIA EN LA RESOLUCION DE
EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON VECTORES EN ESTUDIANTES DE
PRIMER AÑO DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR
N°11 “HÉROES DEL CENEPA”
AUTOR:
TÉC. DAMIÁN ALVAREZ ROBALINO.
DIRECTOR:
MSC. HUGO SIMALUISA
Quito - ECUADOR
2015
i
CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado presentado por el señor
Técnico Damián Humberto Álvarez Robalino, para optar el Grado Académico
de Licenciado en Ciencias de la Educación – Mención MATEMATICA cuyo
título es: LA TRIGONOMETRIA Y SU INCIDENCIA EN LA RESOLUCION
DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON VECTORES EN ESTUDIANTES DE
PRIMER AÑO DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR
N°11 “HÉROES DEL CENEPA”.
Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito D. M. a los veinte días del mes de febrero del 2015.
Msc. Hugo Simaluisa
DIRECTOR DE TESIS
ii
MENCIÓN DE RESPONSABILIDAD
Por la presente declaro que este tema de investigación es fruto de mi trabajo
y esfuerzo diario, no contiene material previamente publicado o escrito por
otra persona que de manera substancial haya sido aceptado, excepto donde
se ha hecho reconocimiento debido en el texto.
Quito, Julio de 2015.
____________________________
Damián Humberto Álvarez Robalino
C.I. 1600358327
iii
Dedicatoria.
A mi madre quien con su apoyo moral logro cristalizar mis anhelos, ya que
tomado de sus manos inicie mi aprendizaje por la vida. Ahora casi todo lo
que soy se lo debo a sus ejemplos de tenacidad y valor.
A mi hija Kenny Micheel que aunque con su corta edad, no sabe ni entiende
lo importante que ha sido durante mi vida universitaria, como la fuente de
inspiración para no dejarme derrotar de las adversidades que nos presenta
la vida.
Por ser siempre mis más directas y respetables amigas. Gracias.
La humildad trae gracia y felicidad a la vida; permite acomodarse a las
situaciones difíciles sin pensar en lo que se está dejando ó renunciando, nos
vuelve más sencillos y naturales, permite que nos concentremos en lo que
estamos haciendo, y que lo hagamos correctamente.
La humildad hace que podamos ver los beneficios en cada escena de la
vida, haciendo que nuestras interacciones giren en un ambiente más
agradable, así logramos un lugar en el corazón de todos, eliminando en un
segundo aquello que nos hiere y no nos deja crecer.
Siendo humildes comprenderemos que aún tenemos mucho por mejorar,
mucho que aprender y que podemos ocuparnos en la tarea de crecer.
iv
Agradecimiento.
Agradezco a Dios nuestro señor por la oportunidad que he tenido de
aprender, mejorar y crecer junto a personas tan especiales para mí.
Agradecimiento especial para mi Profesor Guía Director de tesis, por su
amistad, paciencia y su constante apoyo durante el desarrollo de esta tesis.
De igual forma deseo expresar mi agradecimiento al Comité Calificador de
esta tesis, por su apoyo para la culminación de mi carrera.
A los profesores titulares y asistentes de la Universidad Tecnológica
Equinoccial, por los aportes académicos y amistosos.
A mi familia por tener la paciencia de esperarme con tanta vehemencia.
A mis compañeros y amigos por compartir las angustias y gratificaciones, a
todos ellos gracias.
Con mucho cariño, Damián Álvarez Robalino.
INDICE DE CONTENIDOS
CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR ................................................................ i
MENCIÓN DE RESPONSABILIDAD ........................................................... ii
Dedicatoria. ................................................................................................. iii
Agradecimiento........................................................................................... iv
RESUMEN EJECUTIVO................................................................................ v
Introducción. ................................................................................................ 1
CAPITULO I .................................................................................................. 3
EL PROBLEMA ............................................................................................ 3
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................... 3
1.3 FORMULACION DEL PROBLEMA .................................................... 5
1.4 PREGUNTAS DIRECTRICES: ........................................................... 5
1.5 OBJETIVOS ....................................................................................... 5
1.5.1 OBJETIVO GENERAL .................................................................... 5
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................... 6
1.6. JUSTIFICACIÓN ............................................................................... 6
CAPITULO II ................................................................................................. 8
MARCO TEORICO ........................................................................................ 8
2.1 LA TRIGONOMETRIA ....................................................................... 8
2.1.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................. 10
2.1.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS .............................. 12
2.2 RESOLUCION DE VECTORES ....................................................... 19
2.2.1 ELEMENTOS DE UN VECTOR .................................................... 19
2.2.2 CLASES DE VECTORES ............................................................. 21
2.2.3 EJEMPLO VECTORIAL .................................................................. 23
2.2.4 OPERACIONES CON VECTORES................................................. 31
2.3 MARCO INSTITUCIONAL .............................................................. 38
2.4 FUNDAMENTACION INSTITUCIONAL .......................................... 40
UNIDAD EDUCATIVA MILITAR N°11 “HEROES DEL CENEPA” .......... 40
2.4.1 MISIÓN ......................................................................................... 40
2.4.2 VISIÓN .......................................................................................... 40
2.4.3 PRINCIPIOS Y VALORES ............................................................ 40
VALORES INSTITUCIONALES ............................................................... 41
2.5 HIPÓTESIS. ..................................................................................... 44
2.5.1 Preguntas bases. ........................................................................ 44
2.6 VARIABLES ................................................................................... 45
2.6.1 VARIABLE INDEPENDIENTE ..................................................... 45
2.6.2 VARIABLE DEPENDIENTE ........................................................... 45
2.7 OPERACIONALIZACIONES DE LAS VARIABLES ........................ 45
CAPITULO III .............................................................................................. 46
METODOLOGIA DE LA INVESTIGACIÓN ................................................. 46
3.1 TIPO DE INVESTIGACION .............................................................. 46
3.1.1 INVESTIGACION EXPLORATIVA ................................................ 46
3.1.2 INVESTIGACION EXPLICATIVA ................................................. 46
3.1.3 INVESTIGACION BIBLIOGRAFICA - DE CAMPO ...................... 47
3.2 METODOS DE INVESTIGACION .................................................... 47
3.2.1 MÉTODO DE OBSERVACIÓN DIRECTA ..................................... 47
3.2.2 MÉTODO DEDUCTIVO ................................................................. 47
3.2.3 MÉTODO DE ANÁLISIS ............................................................... 48
3.2.4 MÉTODO ESTADISTICO .............................................................. 48
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA .............................................................. 48
3.3.1 POBLACION. ................................................................................ 48
3.3.2 MUESTRA .................................................................................... 49
3.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS .. 51
3.4.1 ENCUESTA .................................................................................. 51
3.4.2 TRATAMIENTO DE LA INFORMACION ...................................... 52
3.4.3 CODIFICACION ............................................................................. 52
CAPITULO IV .............................................................................................. 54
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ................................. 54
4.1 PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ............................................. 54
4.1.1 ENCUESTA APLICADA A LOS DOCENTES DEL PLANTEL ...... 54
4.1.3 ENCUESTAS APLICADAS A PADRES DE FAMILIA ................... 74
4.2 VERIFICACION DE HIPOTESIS ...................................................... 84
CAPÍTULO V ............................................................................................... 86
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................... 86
5.1 CONCLUSIONES ............................................................................ 86
5.2 RECOMENDACIONES .................................................................... 87
CAPÍTULO VI .............................................................................................. 88
LA PROPUESTA......................................................................................... 88
6.1 TEMA ............................................................................................... 88
6.2 TITULO DE LA PROPUESTA. ......................................................... 88
6.3.1 OBJETIVO GENERAL .................................................................. 88
6.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................... 89
6.3.3 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA .................................................... 89
6.4 POBLACIÓN OBJETO .................................................................... 90
6.5 LOCALIZACIÓN. ............................................................................. 90
6.6 DESARROLLO DE CONTENIDOS .................................................. 90
Bibliografía ............................................................................................... 129
ÍNDICE DE TABLAS
Cap. II Tabla 1 Funciones trigonométricas .................................................. 13
Cap. II Tabla 2 Ángulos notables de funciones trigonométricas .................. 17
Cap. II Tabla 3 Operacionalización de las variables.................................... 47
Cap. IV Tabla 4 Análisis Pregunta No. 1 Docentes ..................................... 53
Cap. IV Tabla 5 Análisis Pregunta No. 2 Docentes ..................................... 54
Cap. IV Tabla 6 Análisis Pregunta No. 3 Docentes ..................................... 55
Cap. IV Tabla 7 Análisis Pregunta No. 4 Docentes ..................................... 56
Cap. IV Tabla 8 Análisis Pregunta No. 5 Docentes ..................................... 57
Cap. IV Tabla 9 Análisis Pregunta No. 6 Docentes ..................................... 58
Cap. IV Tabla 10 Análisis Pregunta No. 7 Docentes ................................... 59
Cap. IV Tabla 11 Análisis Pregunta No. 8 Docentes ................................... 60
Cap. IV Tabla 12 Análisis Pregunta No. 9 Docentes ................................... 61
Cap. IV Tabla 13 Análisis Pregunta No. 10 Docentes ................................. 62
Cap. IV Tabla 14 Análisis Pregunta No. 1 Estudiantes .............................. 63
Cap. IV Tabla 15 Análisis Pregunta No. 2 Estudiantes .............................. 64
Cap. IV Tabla 16 Análisis Pregunta No. 3 Estudiantes .............................. 65
Cap. IV Tabla 17 Análisis Pregunta No. 4 Estudiantes .............................. 66
Cap. IV Tabla 18 Análisis Pregunta No. 5 Estudiantes .............................. 67
Cap. IV Tabla 19 Análisis Pregunta No. 6 Estudiantes .............................. 68
Cap. IV Tabla 20 Análisis Pregunta No. 7 Estudiantes .............................. 69
Cap. IV Tabla 21 Análisis Pregunta No. 8 Estudiantes .............................. 70
Cap. IV Tabla 22 Análisis Pregunta No. 9 Estudiantes .............................. 71
Cap. IV Tabla 23 Análisis Pregunta No. 10 Estudiantes ............................ 72
Cap. IV Tabla 24 Análisis Pregunta No. 1 Padres de Familia .................... 73
Cap. IV Tabla 25 Análisis Pregunta No. 2 Padres de Familia .................... 74
Cap. IV Tabla 26 Análisis Pregunta No. 3 Padres de Familia .................... 75
Cap. IV Tabla 27 Análisis Pregunta No. 4 Padres de Familia .................... 76
Cap. IV Tabla 28 Análisis Pregunta No. 5 Padres de Familia .................... 77
Cap. IV Tabla 29 Análisis Pregunta No. 6 Padres de Familia .................... 78
Cap. IV Tabla 30 Análisis Pregunta No. 7 Padres de Familia .................... 79
Cap. IV Tabla 31 Análisis Pregunta No. 8 Padres de Familia .................... 80
Cap. IV Tabla 32 Análisis Pregunta No. 9 Padres de Familia .................... 81
Cap. IV Tabla 33 Análisis Pregunta No. 10 Padres de Familia .................. 82
Cap. IV Tabla 34 La trigonometría incide positivamente en la resolución de
vectores ....................................................................................................... 83
ÍNDICE DE FIGURAS
Cap. II Figura 1 Sistema de Coordenadas con cuadrantes y funciones
trigonométricas .............................................................................................. 9
Cap. II Figura 2 Ángulos y lados Trigonométricos ....................................... 10
Cap. II Figura 3 Ángulos y lados inversos trigonométricos .......................... 12
Cap. II Figura 4 Triángulo rectángulo .......................................................... 14
Cap. II Figura 5 Círculo Trigonométrico ...................................................... 17
Cap. II Figura 6 Relaciones trigonométricas para cualquier ángulo ........... 18
Cap. II Figura 7 Sentido de un vector.......................................................... 22
Cap. II Figura 8 Punto de Aplicación de un vector ...................................... 22
Cap. II Figura 9 Vector Ligados .................................................................. 23
Cap. II Figura 10 Vector Deslizante ............................................................ 23
Cap. II Figura 11 Vectores libres. ................................................................ 23
Cap. II Figura 12 Vectores Paralelos .......................................................... 24
Cap. II Figura 13 Vectores Coplanares ....................................................... 24
Cap. II Figura 14 Vectores Concurrentes .................................................... 24
Cap. II Figura 15 Vectores Paralelos. ......................................................... 25
Cap. II Figura 16 Sistema de Coordenadas Rectangulares ........................ 26
Cap. II Ecuación 1 Fórmula de Seno .......................................................... 10
Cap. II Ecuación 2 Fórmula de Coseno ...................................................... 11
Cap. II Ecuación 3 Fórmula de Tangente .................................................... 11
Cap. II Ecuación 4 Fórmula de Cosecante .................................................. 12
Cap. II Ecuación 5 Fórmula de Secante ...................................................... 12
Cap. II Ecuación 6 Fórmula de Cotangente ................................................ 13
Cap. II Ecuación 7 Fórmula de Seno de un ángulo ..................................... 15
Cap. II Ecuación 8 Fórmula de Coseno de un ángulo ................................. 15
Cap. II Ecuación 9 Fórmula de Tangente de un ángulo .............................. 16
Cap. II Ecuación 10 Fórmula de Cotangente de un ángulo ......................... 16
Cap. II Ecuación 11 Fórmula de Secante de un ángulo .............................. 16
Cap. II Ecuación 12 Fórmula de Cosecante de un ángulo .......................... 16
v
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
LA TRIGONOMETRIA Y SU INCIDENCIA EN LA RESOLUCION DE
EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON VECTORES EN ESTUDIANTES DE
PRIMER AÑO DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR
N°11 “HÉROES DEL CENEPA”
Autor: Téc. Damián Álvarez Robalino
Director: MSC. HUGO SIMALUISA
Fecha: Quito 2015
RESUMEN EJECUTIVO
En los últimos años ha surgido una creciente preocupación y un alto interés
por saber las causas que desembocan en un fracaso escolar en la mayoría
de países, un problema determinado por múltiples factores como el contexto
social, la familia, el funcionamiento decadente del sistema educativo, la
gestión de poco impacto positivo de los docentes, la indisposición del propio
estudiante y su falta de motivación son múltiples circunstancias que ahondan
la problemática del proceso educativo. La física es la ciencia que estudia el
comportamiento y las relaciones entre la materia, la energía, el espacio y el
tiempo, investiga los fenómenos que ocurren en la naturaleza y en el
universo con el objeto de establecer leyes matemáticas que puedan predecir
su comportamiento, para lo cual utilizamos una herramienta geométrica que
representa una magnitud física denominada vector el cual lo podemos
identificar mediante el reconocimiento de elementos trigonométricos, el
papel del maestro en esta perspectiva didáctica es fundamental, no sólo
transmitiendo información sino diseñando actividades a través de las cuales
el estudiante obtenga la información indispensable y necesaria para el
entendimiento, y que el aprendizaje abarque todas las formas y los
numerosos mecanismos matemáticos que pueden contribuir a un mejor
entendimiento y no crear la confusión de reconocimiento debido al proceso
mecánico de aprendizaje. DESCRIPTORES: Trigonometría,
Vectores
1
Introducción.
El presente, es un trabajo de investigación sistemático con el propósito de
aumentar y guiar los conocimientos obtenidos he investigados, para aportar
a la cátedra de Matemática.
El objetivo fundamental es dar a conocer la importancia de la trigonometría
plana para la resolución de ejercicios y problemas con Vectores en dos
dimensiones en los estudiantes de Primer año Bachillerato de la Unidad
Educativa Militar N°11 “Héroes del Cenepa” y a su vez servir como fuente
de consulta e investigación para las futuras generaciones de esta distinguida
Institución.
Los estudiantes del primer año de bachillerato presentan dificultades para el
entendimiento de la resolución de ejercicios y problemas con vectores en
dos dimensiones, al efectuar cálculos matemáticos, explicar el proceso de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas, es compleja, y se recurre a
realizar estudios de elementos particulares de las matemáticas, en este
caso, referimos al proceso de enseñanza de la trigonometría, dada la
importancia y la complejidad del tema en la cotidianidad, donde convergen
procesos y cálculos de resolución, se desarrolla el estudio desde el enfoque
cualitativo, para conocer el cómo los docentes están enseñando la
trigonometría, bajo la perspectiva cualitativa, utilizando la teoría
fundamentada como metodología.
Para lo cual vemos necesario realizar en estudiantes de Primero Bachillerato
un análisis de la importancia de la trigonometría que ellos ya han estudiado
en años anteriores (décimo año de educación básica), y su relación con la
resolución de vectores en dos dimensiones.
El documento consta de seis capítulos en los cuales podemos encontrar el
tema, el planteamiento del problema, la formulación del problema, las
2
preguntas directrices, los objetivos general y específicos, la justificación y la
importancia, fortalecido por un MARCO TEÓRICO que consta de la
fundamentación científica, La trigonometría, importancia de la trigonometría,
razones trigonométricas, razones trigonométricas inversas; los vectores:
elementos de un vector, clases de un vector, resolución de las partes de un
vector, su hipótesis, variables independientes, variables dependientes y
operacionalización de las variables. LA METODOLGIA DE LA
INVESTIGACIÓN, su diseño de la investigación, los métodos utilizados de
investigación, la población y la muestra, técnicas e instrumentos de
recolección de información, encuesta, técnicas para el procesamiento y
análisis de resultados, codificación, tabulación, graficación, análisis e
interpretación, criterios para la elaboración de la propuesta. Finalizando
con el MARCO ADMINISTRATIVO; recursos, presupuesto, cronograma y
bibliografía.
3
CAPITULO I
EL PROBLEMA
1.1 TEMA
¿Es factible que la utilización de la trigonometría y su incidencia en la
resolución de ejercicios y problemas con vectores facilite el entendimiento y
aprendizaje en los estudiantes de primer año de bachillerato de la Unidad
Educativa Militar N°11 “Héroes del Cenepa”?
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En los últimos años ha surgido una creciente preocupación y un alto interés
por saber las causas que desembocan en un fracaso escolar en la mayoría
de los países, un problema determinado por múltiples factores como el
contexto social, la familia, el funcionamiento decadente del sistema
educativo, la gestión de poco impacto positivo de los docentes, la
indisposición del propio estudiante y su falta de motivación son múltiples
circunstancias que ahondan la problemática del proceso educativo.
La física es la ciencia que estudia el comportamiento y las relaciones entre la
materia, la energía, el espacio y el tiempo, investiga los fenómenos que
ocurren en la naturaleza y en el universo con el objeto de establecer leyes
matemáticas que puedan predecir su comportamiento, los cuales utilizan una
herramienta geométrica que representa una magnitud física denominada
VECTORES, que son fundamentalmente elementos de la matemática, se
definen a partir de la geometría euclidiana, o desde la geometría analítica,
válidas para la utilización en la caracterización de algunas de la variables
dinámicas de la Física.
En la Unidad Educativa Militar N° 11 “Héroes del Cenepa” los estudiantes
del primer año de Bachillerato Ciencias Generales presentan dificultad para
el entendimiento de la asignatura de Física específicamente en este primer
4
año debido a que la asignatura es nueva para todos los cadetes que
ingresan al bachillerato y al revisar los contenidos de la asignatura
conjuntamente con el departamento académico y de evaluación de la
Institución se puede notar el problema del entendimiento del capítulo de
Vectores. Al revisar los contenidos de este capítulo pudimos notar que se
debe a la falta de bases trigonométricas que ya se habían estudiado en años
anteriores, y al cambiarlos de nombre por la resolución de triángulos
rectángulos (trigonometría) a descomposición de un vector en el plano, el
cadete ingresa en una confusión de reconocimiento debido al proceso
mecánico de aprendizaje.
El papel del catedrático en esta perspectiva didáctica es fundamental. Su
papel no es sólo transmitir información sino sobre todo diseñar actividades a
través de las cuales el estudiante obtenga la información indispensable y
necesaria para el entendimiento de la resolución de triángulos rectángulos
mediante sus razones trigonométricas, que no solo podamos estudiarlos de
forma memorística sino también utilizando los medios tecnológicos e
informáticos, sobre esta base son numerosos los mecanismos matemáticos
que pueden contribuir a un mejor entendimiento y con ello aumentar el
rendimiento académico de los estudiantes que se encuentran en este nivel
de estudio.
Los efectos del conocimiento y entendimiento de la trigonometría para la
resolución o formación de vectores es de gran importancia para el estudio de
la asignatura de física que ayuda al desarrollo del pensamiento lógico Este
proyecto está realizado para servir de apoyo y guía para los estudiantes de
los primeros años de bachillerato quienes inician su aprendizaje y estudio de
la física.
5
1.3 FORMULACION DEL PROBLEMA
“Incide la trigonometría en la resolución de vectores en los estudiantes del
primer año de Bachillerato General Unificado ”
1.4 PREGUNTAS DIRECTRICES:
1. ¿Cómo se relaciona la Trigonometría en la resolución de vectores?
2. ¿Los estudiantes de primer año de bachillerato General Unificado
entienden y asimilan la relación entre la trigonometría y la resolución
de vectores?
3. ¿Qué rendimiento académico se presenta en los estudiantes cadetes
de primer año de bachillerato de la Unidad Educativa Militar N° 11
“Héroes de Cenepa” al tratar la temática de resolución de vectores?
4. ¿Cómo mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje de la temática
la resolución de vectores con la aplicación de la trigonometría?
5. ¿Qué impacto de mejora en el rendimiento académico se obtendría
mediante la aplicación de la trigonometría para la resolución de
vectores?
1.5 OBJETIVOS
1.5.1 OBJETIVO GENERAL
Identificar cual es la dificultad en los estudiantes de física del primer año de
bachillerato de la Unidad Educativa Militar No.11 Héroes de Cenepa en la
resolución de problemas de vectores por medio de la utilización de la
trigonometría
6
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar si los cadetes de primer año de bachillerato de la Unidad
Educativa Militar N° 11 “Héroes de Cenepa” utilizan la trigonometría
en la resolución de ejercicios y problemas de vectores.
Demostrar que la aplicación de la trigonometría en la temática de la
resolución de vectores de dos dimensiones facilita el proceso
enseñanza – aprendizaje en los cadetes de primer año de bachillerato
de la Unidad Educativa Militar N° 11 “Héroes de Cenepa”.
Verificar si se mejora del rendimiento académico de los cadetes de
primer año de bachillerato de la Unidad Educativa Militar N° 11
“Héroes de Cenepa” al utilizar la trigonometría en la temática de la
resolución de vectores de dos dimensiones.
1.6. JUSTIFICACIÓN
Las dificultades que presentan en los estudiantes para solucionar los
problemas de vectores en dos dimensiones, al efectuar cálculos
matemáticos y trigonométricos que observamos en el año lectivo 2012 –
2013 con las evaluaciones sobre este tema presentan un bajo rendimiento
según datos obtenidos en el archivo de la secretaria del plantel, donde la
mínima puntuación fue de 2/10 y la máxima de 8/10, en los exámenes que
analizó esta temática.
La dificultad del entendimiento de la asignatura de Física específicamente en
primer año en la materia se da porque es nueva para todos los cadetes que
ingresan al bachillerato, y al revisar los contenidos de la asignatura
conjuntamente con el departamento académico y de evaluación de la
Institución se puede notar el problema para el entendimiento del capítulo de
Vectores que al revisar los contenidos del mismo pudimos notar que se debe
7
a la falta de bases de trigonometría que ya se habían estudiado en años
anteriores, y al cambiarlos de nombre a la resolución de triángulos
rectángulos (trigonometría) a descomposición de un vector en el plano, el
cadete ingresa en una confusión de reconocimiento debido al proceso
mecánico de aprendizaje.
El papel del maestro en esta perspectiva didáctica es fundamental. Su papel
no es sólo transmitir información sino sobre todo diseñar actividades a través
de las cuales el cadete obtenga la información indispensable y necesaria
para el entendimiento de la resolución de triángulos rectángulos mediante
sus funciones trigonométricas que no solo podamos estudiarlos de forma
memorística sino también utilizando los medios tecnológicos e informáticos,
son numerosos los mecanismos matemáticos que pueden contribuir a un
mejor entendimiento.
Los efectos del conocimiento y entendimiento de la trigonometría para la
resolución o formación de vectores es de gran importancia para el estudio de
la asignatura de física debido a que es una rama de la matemática que se
encarga del desarrollo del pensamiento lógico Este proyecto está realizado
para la utilización de estudiantes de los primeros años de bachillerato que
ingresen al conocimiento y estudio de la física.
Este trabajo investigativo es conveniente realizarlo ya que pretende ser una
guía Técnica – Práctica para estudiantes de los primeros años de
bachillerato de la Unidad Educativa Militar N°11 “Héroes del Cenepa”, por
estar realizado pensando en ellos quienes al ingresar al bachillerato
necesitan fuentes de investigación y consulta que les sirva para guiarse
durante el aprendizaje y a su vez entender la importancia de la
trigonometría para la resolución de vectores en dos dimensiones.
8
CAPITULO II
MARCO TEORICO
2.1 LA TRIGONOMETRIA
„”El término matemáticas viene del griego "máthema", que quiere decir
aprendizaje, estudio y ciencia. Y justamente las matemáticas son una
disciplina académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la
estructura y el cambio.” (Peña Geraldino, 2005) El alcance del concepto ha
ido evolucionando con el tiempo, desde el contar y calcular hasta abarcar lo
mencionado anteriormente. Aunque algunos las consideran como una
ciencia abstracta, la verdad es que no se puede negar que está inspirada en
las ciencias naturales, y uno de sus aplicaciones más comunes se lleva a
cabo en la Física.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico
es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos trigōno
triángulo y metron medida. (Alvarenga, 2002)
La Trigonometría, es una rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos (Aguilar A.,Bravo F.,
2009), de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de
ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la
trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la
trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la
superficie de una esfera.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones
trigonométricas:
Seno Cosecante
Coseno Secante
Tangente Cotangente
9
Cap. II Figura 1 Sistema de Coordenadas con cuadrantes y funciones trigonométricas
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria Elaborado Por: Damián Álvarez R.
El sistema de coordenadas de la fig.1 muestra que mediante sus cuadrantes
podemos encontrar los puntos determinados para poder aplicar en todos
aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría
se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las
esferas en la geometría del espacio, como observamos en la misma figura,
las funciones trigonométricas en un ángulo de 450, seno, coseno, tangente y
sus reciprocas.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo,
son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la
medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de
navegación por satélites.
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al
estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo,
con una aplicación inmediata en geometría. Con este propósito se definieron
una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para
convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con
aplicaciones en los campos más diversos.
10
2.1.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir
las razones Seno, Coseno y Tangente, del ángulo , correspondiente al
vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
Cap. II Figura 2 Ángulos y lados Trigonométricos
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
El Seno: (Se denota como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la
razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Cap. II Ecuación 1 Fórmula de Seno
Fórmula de seno
A
a
b
B
C
c
α
11
El coseno: (Se denota como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa:
Cap. II Ecuación 2 Fórmula de Coseno
Fórmula de Coseno
La tangente: (Se denota como tan) es la razón entre el cateto opuesto sobre
el cateto adyacente:
Cap. II Ecuación 3 Fórmula de Tangente
Fórmula de Tangente
A
a
b C
c
α
A
a
b C
c
α
B
B
12
2.1.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS
Cap. II Figura 3 Ángulos y lados inversos trigonométricos.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de
centro A y radio 1
La Cosecante: (Se denota como csc o cosec) es la razón recíproca de seno,
o también su inverso multiplicativo:
Cap. II Ecuación 4 Fórmula de Cosecante
Fórmula de Cosecante
La Secante: (Se denota como sec) es la razón recíproca de coseno, o
también su inverso multiplicativo:
Cap. II Ecuación 5 Fórmula de Secante
Fórmula de Secante
13
La Cotangente: (Se denota como cot o cta) es la razón recíproca de la
tangente, o también su inverso multiplicativo:
Cap. II Ecuación 6 Fórmula de Cotangente
Fórmula de Cotangente
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas seno, coseno y
tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las
expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante,
secante y cotangente no suelen utilizarse.
Cap. II Tabla 1 Funciones trigonométricas
Funciones Trigonométricas
FUNCIONES FUNCIONES RECÍPROCAS
Seno θ =
Hipotenusa
OpuestoCateto
Cosecante θ =
OpuestoCateto
Hipotenusa
Coseno θ =
Hipotenusa
AdyacenteCateto
Secante θ =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
Tangente θ =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto Cotangente θ =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
Fuente: ROJO, Alonso – Física – México 1979. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones
trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto
de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una
circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las
describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e
incluso a números complejos.
14
Existen seis razones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen
en relación de las dos primeras razones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio de sus relaciones.
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo.
Cap. II Figura 4 Triángulo rectángulo
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte
de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre
de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo , es el lado que
esta frente al ángulo
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo , es un lado
que esta junto al ángulo
15
Relaciones Trigonométricas de ángulos notables Cap. II Tabla 2 Ángulos notables de funciones trigonométricas
0° 30° 45° 60° 90°
Sen 0
1
Cos 1
0
Tan 0
1
Csc 0 2 2
2 3
2 1
Sec 1 3
2 2
2 2
Ctg 0 1 3
1 0
Cap. II Figura 5 Círculo Trigonométrico
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria.
Fuente: ROJO, Alonso – Física – México 1979. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
16
APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
EJERCICIO 1
Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º con el suelo y, la sombra de una
jirafa es de 86 cm. ¿Cuál es la altura de la jirafa medido en metros?
Solución:
Datos e incógnitas Reemplazo:
ᶿ = 65° cm
h
8665tan
AB= 86 cm h = 86 cm tan 65°
AC(h)=? h = 184,4276 cm
Resolución: h = 1,84 m
adyacenteCateto
opuestoCatetotan
La Jirafa mide aproximadamente 1.84 m
Razonamiento:
Los rayos del sol al formar un ángulo de 65° unen dos rectas como muestra
la gráfica y la sombra de la jirafa muestra el lado perpendicular es decir la
recta de 86 cm, si estamos buscando la altura que esta de frente al sol para
que forme la jirafa con su utilizamos una función trigonométrica en los cuales
relacione los dos lados y un ángulo que es lo que tenemos; la cual es la
tangente de un ángulo que es igual a división entre el cateto opuesto y el
cateto adyacente como nos muestra en su fórmula reemplazamos y
despejamos la incógnita que no sabes en este caso la altura y nos da 1,84m
C
65°
86 cm B A
17
EJERCICIO 2
Si nos alejamos en la línea recta 30 m, sólo hay que levantar la vista 30º
para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?.
Solución:
30°
30m
Datos e incógnitas. Resolución:
ᶿ = 30°
x = 30 m
h = ?
Reemplazo:
17,32 m = h
La altura de la antena es de 17,32 m
RAZONAMIENTO:
Al alejarse de un punto va en dirección horizontal que es de 30 m y al
levantar la vista forma un ángulo de 30° por lo tanto forma otra recta
inclinada que vendría hacer la hipotenusa al formarse un triángulo rectángulo
que tiene una recta opuesta vertical que sería la altura con lo que tenemos;
dos rectas y un ángulo utilizamos la tangente de un ángulo que es igual a
18
división entre el cateto opuesto y el cateto adyacente como nos muestra en
su fórmula reemplazamos y despejamos la incógnita que no sabes en este
caso la altura y nos da 17,32 m
EJERCICIO 3
Calculemos la longitud de una escalera, sabiendo que está apoyada en la pared a una
distancia de 1,8 m y alcanza una altura de 7 m.
Datos e incógnitas. Reemplazo:
a = 1,80 m 2278,1 mmc
b = 7 m 22 4924,3 mmc
c = ? 224,52 mc
c = 7,23 m
Resolución:
22bac
La longitud de la escalera es de 7,23 m
RAZONAMIENTO:
La Escalera como se muestra en la gráfica esta inclinada el espacio
horizontal de un extremo a la pared como del otro el espacio vertical de 1,80
m y 7m respectivamente vienen hacer los catetos o lados del triángulo
rectángulo que se forma y la escalera es la hipotenusa la cual resolvemos
mediante el teorema de Pitágoras que dice es la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados de los catetos y nos da 7,23 m
19
2.2 RESOLUCION DE VECTORES
En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico)
es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud
física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su
sentido (que distingue el origen del extremo) (SCHAUM, 1991). Vector es la
forma simbólica de representar una magnitud y su notación está dada por
una letra mayúscula con una flecha en su parte superior ( ).
En matemáticas se define un “vector como un elemento de un espacio
vectorial” (WILSON, 1991), esta noción es más abstracta y para muchos
espacios vectoriales no es posible representar a sus vectores mediante un
módulo o longitud y una orientación.
Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano
o en el espacio .
Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza
un automóvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca
el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la
dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un
objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la
dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.
2.2.1 ELEMENTOS DE UN VECTOR
Todo vector tiene los siguientes elementos:
Módulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad física
vectorial, está representado por la longitud del vector, tomado o
medido a cierta escala.
A
20
Dirección: Está representado por la recta que contiene al vector .se
define como el ángulo que hace dicho vector con una o más rectas de
referencia, según sea el caso en el plano o en el espacio.
Sentido: Indica la orientación de un vector, gráficamente está dado
por la saeta el vector.
Cap. II Figura 7 Sentido de un vector
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Punto de aplicación: Es el punto sobre el cual se supone actúa el
vector .Ejemplo:
Representar el Vector F cuya Dirección es 30° Y su módulo 10 Kg-f
Cap. II Figura 8 Punto de Aplicación de un vector
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
21
2.2.2 CLASES DE VECTORES
1.- FIJOS O LIGADOS: Llamados también vectores de posición. Son
aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posición de un cuerpo o
representan una fuerza en el espacio.
Cap. II Figura 9 Vector Ligados
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
2.- VECTORES DESLIZANTES: Son aquellos que pueden cambiar de
posición a lo largo de su directriz.
Cap. II Figura 10 Vector Deslizante
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
3.- VECTORES LIBRES: Son aquellos vectores que se pueden desplazar
libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir
modificaciones.
Cap. II Figura 11 Vectores libres
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
22
4.- VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si las rectas que
las contienen son paralelas.
Cap. II Figura 12 Vectores Paralelos
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
5.- VECTORES COPLANARES: Cuando las rectas que lo contienen están
en un mismo plano.
Cap. II Figura 13 Vectores Coplanares
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
6.- VECTORES CONCURRENTES: Cuando sus líneas de acción o
directrices se cortan en un punto.
Cap. II Figura 14 Vectores Concurrentes
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
23
100 m
53,13°
143,13°
D
7.- VECTORES COLINEALES: Cuando sus líneas de acción se encuentran
sobre una misma recta.
Cap. II Figura 15 Vectores Paralelos
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
2.2.3 EJEMPLO VECTORIAL
Determinar las componentes rectangulares de un vector mediante su
coordenada polar.
D ( 100 m ; N 53,13° O)
Datos e incógnitas
Dx = ?
Dy = ?
β = 53,13°
D = 100 m
θ = 143,13°
Transformación a componentes rectangulares.
Dx = D. cos θ Dy = D. sen θ
Dx = 100m cos 143,13° Dy = 100m sen 143,13°
Dx = - 80 m Dy = 60 m
Resultado:
D ( -80 ; 60 )m
Formas de expresión de un vector en .
Existen distintas formas de expresiones de un vector: coordenadas
rectangulares, coordenadas polares, coordenadas geográficas, en función
de sus vectores base y en función de su módulo y vector unitario.
24
A
COORDENADAS RECTANGULARES.
Están formadas por dos ejes numéricos perpendiculares entre sí, que se
intersecan en un punto “O” al que se le llama “el origen”. Una de las rectas
se acostumbra representarla en posición horizontal y se le da el nombre de
eje X o eje de las abscisas; a la otra recta, vertical, se le denomina eje Y o
eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos ejes de coordenadas
rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes (Vallejo Zambrano, 2005).
Cap. II Figura 16 Sistema de Coordenadas Rectangulares
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria Elaborado Por: Damián Álvarez R.
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par de
números ordenados (x,y), denominado Coordenadas rectangulares que
corresponden a la intersección de la abscisa y la ordenada.
Representar el Punto A(4,6)m en
A
64
A m
A(4,6)m
-x x
y
25
B
COORDENADAS POLARES.
Están formadas por un eje numérico de referencia x, denominado eje polar.
En un punto de este se halla el origen de coordenadas 0, llamado origen o
polo (Vallejo Zambrano, 2005).
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado
(r, θ), donde r es el radio vector y representa la distancia positiva del origen
al punto, ángulo polar representa la medida del ángulo desde el eje polar
hasta el radio vector, en sentido anti horario.
Representar el punto B(50km;120°) en
B
(r, θ)
180
°
0° - 360°
90
°
270
°
θ
r
B(50km, 120°)
180
°
0° - 360°
90
°
270
°
50k
26
Bx = B. cos θ By = B. sen θ
Bx = 50Km cos 120° By = 50Km sen 120°
Bx = - 25 Km By = 43,30 Km
Resultado : jiB 30,4325
km
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Están formadas por dos ejes perpendiculares entre sí, el punto de
intersección de los ejes se considera como el origen de cada uno de ellos.
Estos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro puntos cardinales;
Norte, Sur, Este y Oeste (Vallejo Zambrano, 2005).
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado
(r, rumbo), donde r es el radio vector y representa la distancia positiva del
origen al punto, y el rumbo representa la dirección medida a partir del Norte
o Sur. Para representar el rumbo, primero se menciona la palabra Norte o
Sur. La que corresponda, luego el ángulo agudo y finalmente la posición
Este u Oeste.
(r, rumbo)
O E
N
S
θ
r
27
Representar el punto C( 120km; N 75° E ) en
C
Cx = C. cos θ Cy = C. sen θ
Cx = 120Km cos 15° Cy = 120Km sen 15°
Cx = 115,91 Km Cy = 31,06 Km
Resultado: jiC 06,3191,115
Km
EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BASE.
Es cuando un vector
D en el plano está definido en la forma jDyiDx
, está
expresado en función de los vectores base, donde Dx es la componente
escalar en el eje x; Dy, la componente escalar en el eje y (Vallejo
Zambrano, 2005).
Ejemplo: KmjiD )37(
Conocidas las componentes escalares Dx y Dy, expresamos el vector en
coordenadas rectangulares:
Dx = 7 km ),( DyDxD
Dy = -3 km KmD )3;7(
C(120km; N75°E)
120°)
O E
N
S
75° 120 km
28
Conocidas las componentes rectangulares, expresamos el vector en
coordenadas polares:
KmD )3;7(
D2 = Dx2 + Dy2
2237 kmkmD
D = 7,62 km
Dx
Dytg 1
km
kmtg
7
31
1
2,231 2,233601
8,336 8,336;62,7 kmD
EXPRESIÓN DEL VECTOR EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO
D
DU D
km
kmjiU D 62,7
37
U D
DD *
kmjiU D
394,0919,0 jikmD
394,0919,062,7
-x x
y
-y
ɵ Dx
29
Ejemplo
En el océano pacifico un buque carguero presenta coordenadas
determinadas desde un puerto y su punto inicial (3, 2)m y su punto final (-5,-
2)m. Determinar:
a. Las componentes del vector
b. El modulo
c. Dirección (rumbo)
d. Los ángulos directores
e. El vector en función de los vectores base
f. Vector unitario
Datos e incógnitas:
= (3,2) m.
= (-5,2) m.
Bx = ? -8m 2 Ѳ .
By = ?
B= ?
Ѳ= ?
α = ?
β = ? 5 3
?B
U -2 -4m
?)( ji
BBx
12 XXX 12 YYY
X = - 5m – 3m Y= -2m - 2m
X = - 8m Y= - 4m
?)( ji
BBx
mji)48(
?B
U
30
)(jiB
CosCosU
mCosCosUjiB)57,11643,153(
mUjiB)447,0894,0(
√
√
√
31
2.2.4 OPERACIONES CON VECTORES.
ADICIÓN DE VECTORES
Dos o más vectores cualesquiera, cuya suma sea un cierto vector A
, se dice
que son componentes de dicho vector. “Si las componentes son mutuamente
perpendiculares toman el nombre de componentes rectangulares”
(Grossman, 2008).
Para sumar dos o más vectores tenemos dos formas el Método gráfico y el
Método analítico, Los cuales están divididos en: el Método grafico como
método del paralelogramo cuando sumamos dos vectores y método del
polígono cuando sumamos dos o más vectores, el Método Analítico
conocido también como método algebraico lo utilizamos cuando los vectores
están expresados como vectores base o en sus componentes rectangulares.
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
A partir de un punto cualquiera del plano se traza los dos vectores y se
forma un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo que va desde el
origen al vértice opuesto, representa el vector resultante o suma (Vallejo
Zambrano, 2005).
Si los vectores podemos representarlos gráficamente también podemos
representar su suma gráficamente. Para sumar dos o más vectores
gráficamente unimos sus orígenes en un mismo punto (0,0).
Va a sumar los vectores: BA
. El primer vector tiene su origen en el punto
(0,0) y su extremo en (2,2) y el segundo vector su origen o punto de
aplicación en (0,0) y su extremo en el punto (5,2).
32
Es aconsejable que dibuje en un eje de coordenadas.
trazas a partir de A
una paralela a B
y otra paralela a A
a partir de B
como
lo tiene en la figura 2:
Estas dos rectas se cortan en un punto C y este punto lo unes con el origen
de las dos rectas y obtienes el vector cuyo origen está situado en
(0,0) y su extremo en (7,4) y es el resultado de la suma .
33
b) El extremo del vector está situado en el punto (2,2) y el extremo
del vector en (5,2). Los dos valores que definen a un punto, es decir,
los valores de x y de y se llaman componentes (las componentes). Si
sumamos ordenadamente las componentes de x e y tenemos (2+5,2+2) =
(7,4) que es el valor obtenido gráficamente.
Sumar gráficamente los vectores y cuyas longitudes,
direcciones y sentidos se expresan en la figura a partir del punto (1,2).
En la figura 3 hemos colocado los dos vectores a sumar en un punto distinto
de (0,0), se encuentra en el punto (1,2).
34
Resultado:
Resolvemos, figura 3, gráficamente por medio del trazado de las paralelas a
ambos vectores a partir de A y B, como en el caso anterior. Se cortan en el
punto C. Unimos este punto con O y tenemos el vector resultante de la suma
de los vectores cuyas coordenadas corresponden
al punto (8,6).
Esta respuesta no sería correcta porque hemos partido del punto (1,2). Esto
quiere decir que hemos de restar las componentes de los puntos (8,6) y
(1,2); (8,6) - ( 1,2) = (8 – 1, 6 – 2) = (7,4). Gráficamente tienes representados
estos cálculos en la figura 4:
En el eje de ordenadas vemos que el punto C alcanza el valor 6, pero como
ha partido desde el valor 2 y no desde el (0,0), en realidad su valor es de 6 –
2 = 4 y lo mismo sucede con el valor de la abscisa que alcanza el valor 8
pero ha partido desde el 1 y no desde (0,0) en cuyo caso tendremos que
restarle 1 a 8 con lo que vemos que el valor de la suma es igual a (7,4).
35
El resultado es el mismo al obtenido al sumar sus componentes.
MÉTODO DEL POLÍGONO
A partir de un punto cualquiera del plano se trazan todos los vectores, uno a
continuación del otro, manteniendo iguales sus módulos y direcciones.
Uniendo el origen del primer vector con el extremo del último, se obtiene el
vector resultante o suma (Vallejo Zambrano, 2005).
36
MÉTODO ALGEBRAICO
Para sumar algebraicamente dos o más vectores en el plano, éstos deben
estar expresados en función de sus vectores base o componentes (Vallejo
Zambrano, 2005).
jAyiAxA
jByiBxB
jCyiCxC
------------------------------------------
jCyByAyiCxBxAxCBA
jRyiRxR
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
El producto de un escalar k por un vector A
, es otro vector cuyo módulo es k
veces la longitud del vector A y cuya dirección y sentido coincide con la de
A
si k > 0 ; es opuesto a la de A
, si k < 0. Si k = 0, la longitud es igual a
cero y el vector se convierte en nulo.
El producto de un escalar k por un vector A
, se obtiene multiplicando k por
las componentes de A
jkAyikAxAk
37
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto de dos vectores, es un escalar igual al
producto de los módulos de los vectores dados, por el coseno del menor
ángulo que forman entre sí (Vallejo Zambrano, 2005).
cos... BABA
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las
componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
ɵ
38
2.3 MARCO INSTITUCIONAL
MARCO LEGAL
La constitución del Ecuador del año 2008 en su Art. 26. Manifiesta “La
educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber
ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria de la
política pública y de la inversión estatal, garantía de la igualdad e inclusión
social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas, las familias
y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el
proceso educativo”.
Por lo expuesto podemos considerar que a la educación en nuestro país se
le está dando la importancia trascendental que tiene en la formación de un
individuo, pero no la educación tradicionalista que imperó durante muchos
años sino como lo dice el Art. 27. de la misma constitución “La educación se
centrará en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en el marco
del respeto a los derechos humanos, al medio ambiente sustentable y a la
democracia; será participativa, obligatoria, intercultural, democrática,
incluyente y diversa, de calidad y calidez; impulsará la equidad de género, la
justicia, la solidaridad y la paz; estimulará el sentido crítico, el arte y la
cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y el desarrollo de
competencias y capacidades para crear y trabajar”.
El Colegio Militar “Héroes del Cenepa” es uno de los 13 colegios
pertenecientes al Comando de Educación y Doctrina del Ejército, fue creado
el 15 de julio de 1999, mediante acuerdo Inter-Ministerial entre el Ministerio
de defensa y el Ministerio de Educación, ubicado en la Provincia de Pastaza,
cantón Mera; brinda educación integral en los tres niveles: inicial, básico y
bachillerato, amparado en la siguiente base legal:
39
De acuerdo a la Constitución Política del Estado Ecuatoriano año 2008, en el
Titulo VII Régimen del buen vivir, capítulo primero Inclusión y equidad;
Sección primera Educación en el artículo 343, establece un sistema nacional
de educación que tendrá como finalidad el desarrollo de capacidades y
potencialidades individuales y colectivas de la población, que posibiliten el
aprendizaje, y la generación y utilización de conocimientos, técnicas,
saberes, artes y cultura. El sistema tendrá como centro al sujeto que
aprende, y funcionará de manera flexible y dinámica, incluyente, eficaz y
eficiente. El sistema nacional de educación integrará una visión intercultural
acorde con la diversidad geográfica, cultural y lingüística del país, y el
respeto a los derechos de las comunidades, pueblos y nacionalidades;
La Ley Orgánica de Educación, en su Art. 2 Principios, literal hh Acceso y
permanencia, expresa que “Se garantiza el derecho a la educación en
cualquier etapa o ciclo de la vida de las personas, así como su acceso,
permanencia, movilidad y egreso sin discriminación alguna”
El Art. 3 de la Ley Orgánica de la Educación; Fines de la Educación literal d)
considera “El desarrollo de capacidades de análisis y conciencia crítica para
que las personas se inserten en el mundo como sujetos activos con vocación
transformadora y de construcción de una sociedad justa, equitativa y libre; o.
La promoción de la formación cívica y ciudadana de una sociedad que
aprende, educa y participa permanentemente en el desarrollo nacional;
El Reglamento de Educación del Ejército, (RPC-110-09) establece que “el
Sistema Educativo del Ejército tiene como objetivos entre otros: lit. e.-
Promover la investigación y difusión científica, el desarrollo y empleo de
proyectos.
El Convenio Interinstitucional Docente, de Fomento y Desarrollo Educativo
entre el Ministerio de Educación y la Dirección de Educación de la Fuerza
Terrestre, de fecha 03 –ABR-995, establece, entre las obligaciones del
MEC, lit. a) específica “declarar como experimentales a los establecimientos
40
y unidades educativas militares previo estudio y aprobación, así como los
que se crearen, regentados por la Fuerza Terrestre, y clasificarlos como
fisco-militares regidos por convenios especiales, leyes y reglamentos de
educación nacional y la reglamentación orgánica educativa y administrativa
de la Fuerza Terrestre”
2.4 FUNDAMENTACION INSTITUCIONAL
UNIDAD EDUCATIVA MILITAR N°11 “HEROES DEL CENEPA”
2.4.1 MISIÓN
El Colegio Militar No. 11 “HÉROES DEL CENEPA” impartirá educación
integral a la niñez y juventud, en los niveles inicial, básico y bachillerato en
Ciencias de carácter general y/o técnico, que contribuyan al desarrollo de la
sociedad, a través de un modelo pedagógico alternativo, dentro de un marco
de lealtad a la institución, disciplina consciente y práctica permanente de
valores.
2.4.2 VISIÓN
Ser una institución de excelencia educativa con liderazgo provincial y
reconocimiento nacional, profundamente comprometida con el cambio social
educativo, sentimiento de nacionalidad, honor, disciplina, lealtad y una firme
convicción de servicio a la comunidad.
2.4.3 PRINCIPIOS Y VALORES
Los siguientes principios coherentes con los planteamientos filosóficos del
Ejército, expuestos en el Modelo Educativo vigente, son los que guían el
desarrollo de los procesos y actividades del presente plan:
El Colegio Militar “Héroes del Cenepa”, se propone la formación del cadete
en, con y para la vida, con el desarrollo de sus habilidades, destrezas y
41
capacidades que los guíen a un constante aprender y afrontar, con
eficiencia, los retos de la vida.
Orientar el desarrollo personal, por medio de la formación del carácter y de
la voluntad al enseñarles, desde tempranas edades, a recibir
responsabilidades y a desarrollar nuevos sentimientos de amor al prójimo,
obediencia y dedicación, formulando, de esta manera, un compromiso sano
con la Institución en la que se están educando y por ende, una entrega
denodada a la Patria.
Fomentar el trabajo en equipo a través de la integración armónica de
funciones y actividades desarrolladas por diferentes personas cuya
implementación requiere que las responsabilidades sean compartidas por
sus miembros.
Implementar el mejoramiento continuo como un proceso constante donde la
perfección nunca se alcanza pero siempre se busca, filosofía que trasciende
a todos los aspectos de la vida, esto hace que la mejora continua se
convierta en una cultura de vida.
Fomentar la práctica permanente de los valores morales, éticos, cívicos, así
como el respeto a la dignidad humana.
VALORES INSTITUCIONALES
Los valores que se han analizado para la estructuración del presente plan y
la elaboración de los grandes objetivos estratégicos, son los siguientes:
DISCIPLINA: Capacidad de actuar ordenada y perseverantemente
con lineamientos, siguiendo un orden para alcanzar los objetivos
deseados, la principal necesidad para adquirir este valor es la
autoestima: es decir la capacidad de pedirnos a nosotros mismos un
42
esfuerzo extra, para ir consiguiendo las metas de mejor manera. SIN
DISCIPLINA ES PRÁCTICAMENTE IMPOSIBLE TENER
FORTALEZA Y TEMPLANZA ANTE LAS ADVERSIDADES QUE SE
PRESENTEN DÍA A DÍA.
RESPONSABILIDAD: Es un valor que en la conciencia de la
persona, le permite reflexionar, administrar, orientar y valorar las
consecuencias de sus actos, siempre en el plano de lo moral. Una vez
que pasa al plano ético (puesta en práctica), persisten estas cuatro
ideas para establecer la magnitud de dichas acciones y afrontarlas de
la manera más propositiva e integral, siempre en pro del
mejoramiento laboral, social, cultural y natural. Con una capacidad de
decisión para asumir las atribuciones, derechos y deberes
individuales y grupales, difusión y práctica de obligaciones y derechos
en el contexto de las aspiraciones y normas de la comunidad y del
Plantel; disciplina en el cumplimiento del trabajo cotidiano.
ÉTICA: Conjunto de normas que regulan el comportamiento de las
personas; la ética estudia la moral y determina como deben actuar los
miembros de una sociedad, por lo tanto se define como la ciencia del
comportamiento moral, claro está la ética no es coactiva, ya que no
pone castigos legales. La ética ayuda a la justa aplicación de las
normas.
RESPETO: Es un valor que permite al hombre reconocer, aceptar y
valorar las diferencias, sociales, ideológicas y culturales; manifestada
en vivencias de derechos y deberes. El respeto no solo se manifiesta
hacia la actuación de las personas o hacia las leyes, también se
expresa hacia la autoridad como sucede con sus alumnos y sus
maestros o los hijos y los padres.
43
SOLIDARIDAD: La solidaridad nace del ser humano y se dirige
esencialmente al ser humano, está llamada a impulsar los verdaderos
vientos de cambio que favorezcan el desarrollo de los individuos y las
naciones, está fundada principalmente en la igualdad universal que
une a todos los hombres, esta igualdad es una derivación directa e
innegable de la verdadera dignidad del ser humano, que pertenece a
la realidad intrínseca de la persona, sin importar su raza, edad, sexo,
credo, nacionalidad o partido. La solidaridad trasciende a todas las
fronteras: políticas, religiosas, territoriales, culturales, para instalarse
en cualquier ser humano, y hacer sentir en nuestro interior la
conciencia de una “familia” al resto de la humanidad.
EFICIENCIA: Es el uso racional de los medios con que se cuenta
para alcanzar un objetivo predeterminado. Se trata de la capacidad de
alcanzar los objetivos y metas programadas con el mínimo de
recursos disponibles y tiempo, logrando de esta forma su
automatización.
TRANSPARENCIA: Es actuar con rectitud mediante un
comportamiento evidente, el COMIL dará a conocer los resultados de
la gestión fiscal, a través del proceso de rendición de cuentas. Los
resultados de la gestión institucional, se dan a conocer a la sociedad y
están a disposición de cualquier tipo de control de las entidades
competentes.
LEALTAD: Fidelidad en el trato y el desempeño. El personal
administrativo y docente del COMIL es fiel a los compromisos que se
derivan de sus funciones y sus principios.
COMPROMISO: Cumplimiento óptimo de las obligaciones contraídas.
El COMIL cumple la misión prevista en su plan estratégico, frente a
las entidades sujetas a su control y a la comunidad en general,
44
posibilitando un mejoramiento continuo en el uso de los recursos. El
personal administrativo y docente del colegio desarrollan las
funciones encomendadas, aportan a la consecución de sus planes y
hacen propia la misión y la visión del establecimiento.
HONESTIDAD: Cualidad de las personas que determina actuar
siempre con base en la verdad y en la auténtica justicia. Ser honesto
es ser real, acorde a la evidencia que presenta el mundo, es ser
genuino, objetivo, auténtico, la honestidad expresa respeto por uno
mismo y en aquellos quienes están en contacto con ella.
2.5 HIPÓTESIS.
La trigonometría incide positivamente en la resolución de ejercicios de
operaciones con vectores.
2.5.1 Preguntas bases.
1. ¿Cómo se relaciona la Trigonometría en la resolución de vectores?
2. ¿Los estudiantes de primer año de bachillerato General Unificado
entienden y asimilan una relación entre la trigonometría y la
resolución de vectores?
3. ¿Qué rendimiento académico se presenta en los estudiantes cadetes
de primer año de bachillerato de la Unidad Educativa Militar N° 11
“Héroes de Cenepa” al tratar la temática de resolución de vectores?
4. ¿Cómo mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje de la temática
la resolución de vectores con la aplicación de la trigonometría?
5. ¿Qué impacto de mejora en el rendimiento académico se obtendría
mediante la aplicación de la trigonometría para la resolución de
vectores?
45
2.6 VARIABLES
2.6.1 VARIABLE INDEPENDIENTE
La trigonometría
2.6.2 VARIABLE DEPENDIENTE
Resolución de un vector.
2.7 OPERACIONALIZACIONES DE LAS VARIABLES
Cap. II Tabla 3 Operacionalización de las variables
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES INDICES INSTRUMENTO
IND
EP
EN
DIE
NT
E
LA TRIGONOMETRIA
MEDICION PENSAMIENTO
* IDENTIFICACION 10%
JU
EG
O G
EO
ME
TR
ICO
CU
ES
TIO
NA
RIO
* REFLEXION 10%
* OBTENCION 10%
* INTERPRETACION
20%
DE
PE
ND
IEN
TE
RESOLUCIÓN DE UN VECTOR.
PENSAMIENTO CRITICIDAD
* ANALISIS 15%
* INTERPRETACION
15%
* RESOLUCION 20%
Fuente: Investigación de laboratorio Elaborado Por: Damián Álvarez R.
46
CAPITULO III
METODOLOGIA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1 TIPO DE INVESTIGACION
La investigación de la trigonometría y su incidencia en la resolución de
vectores en estudiantes de primer año de bachillerato de la Unidad
Educativa Militar N°11 "Héroes del Cenepa", por su naturaleza e idoneidad
se enmarca en los siguientes tipos de investigación.
3.1.1 INVESTIGACION EXPLORATIVA
Con la investigación explorativa será posible aproximarnos y familiarizarse
con hechos relativamente desconocidos, acerca de la información de la
trigonometría y su incidencia en la resolución de vectores, con el fin de
mejorar procesos de resolución, aumentar el grado y generar ideas con
respecto a la forma correcta de abordar una investigación en particular. Con
el propósito de que estos estudios no se constituyan en pérdida de tiempo y
recursos, es indispensable aproximarnos a ellos, con una adecuada revisión
de la bibliografía.
3.1.2 INVESTIGACION EXPLICATIVA
Se encarga de buscar el porqué de los hechos mediante el establecimiento
de relaciones causa-efecto. La trigonometría mediante las funciones
trigonométricas expresan tanto las componentes rectangulares del vector
como la dirección del vector. En este sentido, Analiza las variables objeto de
este estudio y pueden ocuparse tanto de la determinación de las causas,
como de los efectos, mediante sus aplicaciones al cuantificar indicadores y
con ello hacer su análisis, con la prueba de su hipótesis. Sus resultados y
conclusiones constituyen el nivel más profundo de conocimientos.
47
3.1.3 INVESTIGACION BIBLIOGRAFICA - DE CAMPO
Esto se aplica en toda investigación porque se obtiene de fuentes primarias,
es decir, de donde se origina la información. Se debe estudiar en el campo
es decir los estudiantes, aplicar las encuestas, o hacer entrevistas, o al
profesorado y recabar información con una directa participación en el campo
o lugar donde se aplica la investigación, es decir la Unidad Educativa Militar
N°11 "Héroes del Cenepa". La bibliográfica es tener la información de libros,
los resultados que se tiene con la investigación de campo y analizarla en un
lugar de estudio o despacho.
3.2 METODOS DE INVESTIGACION
En la investigación de la trigonometría y su incidencia en la resolución de
vectores en estudiantes de primer año de bachillerato de la Unidad
Educativa Militar N°11 "Héroes del Cenepa", usaremos los siguientes
métodos de investigación:
3.2.1 MÉTODO DE OBSERVACIÓN DIRECTA
El método de observación directa, es el más importante porque los
estudiantes hacen que se observe los fenómenos que ocurren, las
calificaciones, se pueden cualificar y con ello se puede deducir que mejoras
se pueden hacer.
3.2.2 MÉTODO DEDUCTIVO
El método deductivo es un método científico que considera que la conclusión
se halla implícita dentro las premisas. Esto quiere decir que las conclusiones
son una consecuencia necesaria de las premisas: cuando las premisas
resultan verdaderas y el razonamiento deductivo tiene validez, no hay forma
48
de que la conclusión no sea verdadera. El método deductivo logra inferir
algo observado a partir de una ley general, como son las funciones
trigonométricas, algunas proposiciones son extraídas de la experiencia,
aceptadas algunas verdades dictadas por el juicio, por la intuición e incluso
por la imaginación, se procede a deducir de ellas otras verdades. A partir
de estas definiciones se deducen después las propiedades; estudiando,
analizando y clasificando tales definiciones se llega a extraer las
propiedades que en ellas se contienen.
3.2.3 MÉTODO DE ANÁLISIS
Consiste en la separación de las partes de un todo a fin de estudiarlas por
separado así como examinar las relaciones entre ellas. En nuestro caso
dividir la investigación en sus dos variables que son la Trigonometría y la
incidencia de la resolución de un vector, estudiar la influencia positiva o
negativa que se dé entre ellas.
3.2.4 MÉTODO ESTADISTICO
El método estadístico consiste en una serie de procedimientos para el
manejo de los datos cualitativos y cuantitativos de la investigación. Dicho
manejo de datos tiene por propósito la comprobación, en una parte de la
realidad de una o varias consecuencias verticales deducidas de la hipótesis
general de la investigación.
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
3.3.1 POBLACION.
La población la constituyen 100 estudiantes de LA UNIDAD EDUCATIVA
MILITAR N°11 “HEROES DEL CENEPA” de la especialidad de Bachillerato
General Unificado de primero, segundo, tercero y egresados, sus padres de
49
familia y docentes del área de Ciencias Exactas, situada en el Cantón Mera
de la provincia de Pastaza a Km. 1 de la vía Mera – Baños ubicado a 1.170
m.s.n.m.
3.3.2 MUESTRA
Población puede definirse como el conjunto total de individuos, objetos o
medidas que poseen algunas características comunes observables en un
lugar y en un momento determinado. Cuando se vaya a llevar a cabo alguna
investigación debe de tenerse en cuenta algunas características esenciales
al seleccionarse la población bajo estudio.
La muestra para este tema de investigación son los 100 estudiantes de la
Unidad Educativa militar N°11 “Héroes del Cenepa”, estudiantes del primero,
segundo y tercer año de bachillerato General Unificado que en su plan de
estudios se encuentran las asignaturas de Física y Matemática en los cuales
involucra los temas de trigonometría y Vectores, 100 padres de familia y 8
docentes del área de Ciencias Exactas que han impartido cátedra durante su
proceso educativo a este grupo de cadetes, y considerando el tamaño de la
población la muestra es la totalidad de la población.
La muestra se la determina con la fórmula basada en el libro de Evaluación
de proyectos de Gabriel Baca Urvina.
PQZNE
PQNZn
22
2
)1()(
“Normalmente, los estudios se efectúan tomando en consideración a sólo
una parte de la población, por la cual existe interés, la cual recibe el nombre
de muestra, ésta debe ser representativa, ya que de lo contrario las
conclusiones que se obtengan de ella y que servirán para analizar el
50
comportamiento de la población de la que se extrajo la muestra, no serán
válidas.”1
Como se ha indicado en el punto anterior consideraremos la Fórmula de
Baca Urvina, a fin de que nuestra muestra sea confiable, y utilizaremos un
rango de erro del 5 %.
PQZNE
PQNZn
22
2
)1()(
En Donde:
n = Tamaño de la muestra
N = Población.
P = Probabilidad afirmativa
Q = Probabilidad negativa
E = Nivel de Error
Z2= Nivel de Confianza.
Reemplazando los datos tenemos:
n = ?
N = 100 alumnos
P = 0.5
Q = 0.5
E = 5%
Z2= 1.96
1 HERNANDEZ, Abraham. Formulación y Evaluación de Proyectos de Inversión. Cuarta Edición Thompson Learning.
51
Como nuestro universo es de 100 alumnos y el mismo número se ha
considerado para los representantes el número de encuestas para alumnos
y padres de familia es de 80.
En el caso de los profesores el número de encuestas será por el total del
universo es decir a los 8 profesores.
3.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS
Las técnicas utilizadas para la recolección de Información fueron la
entrevista con los ex estudiantes de la Unidad Educativa Militar N°11
“Héroes del Cenepa” los cuales ya habían culminado su bachillerato ya que
ellos nos podían ayudar con su experiencia y conocimiento acerca de la
importancia de aprender trigonometría y vectores para su futuro universitario.
Encuestas que ayudó a recaudar datos de información por medio de un
cuestionario prediseñado, y no modifica el entorno ni controla el proceso que
está en observación.
3.4.1 ENCUESTA
La encuesta se realizó para estudiantes del primer año de Bachillerato
General Unificado de la Unidad Educativa Militar N°11 “Héroes del Cenepa”,
quienes ya habían aprobado la asignatura durante el primer año de
bachillerato. Lo cual decía lo siguiente:
52
La encuesta es un método de la investigación de mercados que sirve para
obtener información específica de una muestra de la población mediante el
uso de cuestionarios estructurados que se utilizan para obtener datos
precisos de las personas encuestadas.
Para la investigación de una las TICS y su influencia en el proceso de
enseñanza aprendizaje utilizaremos la aplicación de encuestas a todos los
individuos que conforman la población a ser investigadas es decir a los
estudiantes del segundo año de bachillerato especialidad aplicaciones
informáticas a sus padres de familia y a los docentes de la misma.
La encuesta constará de un cuestionario de 10 preguntas de tipo
dicotómicas, de opción múltiple y preguntas con respuesta a escala que
pretenden explicar cuanto conocimiento tienen los encuestados de las
variables y de la relación entre ellas, así como la aceptación a la
investigación propuesta.
3.4.2 TRATAMIENTO DE LA INFORMACION
La codificación de datos tanto de las entrevistas como de las encuestas, lo
cual nos daba una idea más clara del problema de entendimiento o el porqué
de la complejidad del mismo y con la Tabulación de los Datos anteriores,
pudimos empezar el análisis y la interpretación de los mismos los cuales
fundamentaban el objetivo de nuestro proyecto de investigación.
3.4.3 CODIFICACION
La codificación de los datos obtenidos a través de las distintas técnicas e
instrumentos de recolección de información de la población obtenida de la
Unidad educativa Militar N°11 “Héroes del Cenepa” y los estudiantes de los
segundos y tercer año de bachillerato además de la muestra de los cadetes
del primer año de Bachillerato General Unificado nos manifiestan la
importancia de la trigonometría en la resolución de las partes de un vector ya
53
que su falta de dominio hacen ver complejo el aprendizaje del mismo que en
un año anterior de estudios es decir décimo año de educación general
básica ya lo estudiaron como un tema dentro de la asignatura de matemática
denominado funciones trigonométricas.
54
CAPITULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1 PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1.1 ENCUESTA APLICADA A LOS DOCENTES DEL PLANTEL
1.- ¿Qué materias de las que se estudia cree que es la que mayor
dificultades de enseñanza se tiene?
Cap. IV Tabla 4 Análisis Pregunta No. 1 Docentes
Análisis Pregunta No. 1
TOTAL %
Matemáticas 4 50,00%
Lengua y Literatura 1 12,50%
Entorno Social 1 12,50%
Entorno Natural 1 12,50%
Otras 1 12,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
Un docente basado en su experiencia conoce las materias de las que se
estudian presentan mayor dificultad de enseñanza a los estudiantes, bajo
esta premisa y en función de los resultados de las encuestas, el 50 %
manifiesta que “Matemáticas”, 12,5 % “Lengua y Literatura”, 12,5 %
“Entorno Natural”, 12,5 % “otras” y 12,5 % “Entorno Social”
INTERPRETACIÓN
De los resultados obtenidos se puede observar que la materia de mayor
dificultad de entendimiento y aprendizaje es la matemáticas es matemáticas,
por lo cual la asignatura debe ser dictada por un docente pedagogo
especialista en Matemáticas.
55
2.- ¿Qué factor es el que consideras complica el aprendizaje efectivo
de la materia que has escogido?
Cap. IV Tabla 5 Análisis Pregunta. No. 2 Docentes
Análisis Pregunta No. 2
TOTAL %
El método de enseñanza 2 25,00%
Falta de bibliografía 1 12,50%
La complejidad de los temas estudiados 2 25,00%
Poco Interés del alumnado 3 37,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
De los docentes encuestados de este particular basado en su experiencia el
factor que consideran complica el aprendizaje efectivo de la materia a los
estudiantes, el 37,50 % manifiesta que “Poco interés del alumnado”, 25 %
“El método de enseñanza”, 25 % “La complejidad de los temas estudiados”
y el 12,5 % “Falta de Bibliografía”
INTERPRETACIÓN
Los docentes del plantel deben tener pleno conocimiento sobre los
métodos, estrategias y factores que complican el aprendizaje entre los
cuales recalcan el poco interés que presenta el alumnado en el aprendizaje
de las matemáticas.
56
3.- ¿Qué factor facilitaría tu aprendizaje?
Cap. IV Tabla 6 Análisis Pregunta No. 3 Docentes
TOTAL %
Un mejor esquema metodológico 3 37,50%
Mayor desarrollo de ejercicios y prácticas vinculadas a los temas tratados
2 25,00%
Mayor motivación del estudiante por el aprendizaje
3 37,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
De los docentes encuestados de este particular basado en su experiencia el
factor facilita el aprendizaje a los estudiantes, el 37,50 % manifiesta que “
Mayor motivación del estudiante por el aprendizaje”, 37,50 % “Un mejor
esquema metodológico” y el 25 % “Mayor desarrollo de ejercicios y prácticas
vinculadas a los temas tratados”
INTERPRETACIÓN
La mayor motivación del estudiante por el aprendizaje viene siendo el
parámetro fundamental en el ciclo del aprendizaje los docentes y su
experiencia, facilitaran un mejor esquema metodológico para un mayor
desarrollo de ejercicios y prácticas vinculadas a los temas tratados.
57
4.- ¿Piensa que los temas aprendidos en el colegio aportan a la vida del
estudiante como profesional en un futuro?
Cap. IV Tabla 7 Análisis Pregunta No. 4 Docentes
TOTAL %
SI 7 87,50%
NO 1 12,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
Los docentes piensan que los temas aprendidos en el colegio aportan a la
vida del estudiante como profesional en un futuro en un 87,50 % que si y un
12,50 % apenas que no.
INTERPRETACIÓN
Las mallas curriculares generadas con sus directrices aportan directamente
en la vida profesional en un futuro ya que no les podemos encontrar con los
temas directamente pero esa secuencia del aprendizaje ha hecho llegar al
entendimiento y el desarrollo del pensamiento lógico que se necesita en
todas las profesiones y vida particular de cada individuo.
58
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha tenido dificultad para
enseñar la resolución de problemas de vectores en 2 dimensiones?
Cap. IV Tabla 8 Análisis Pregunta No. 5 Docentes
TOTAL %
SI 5 62,50%
NO 3 37,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
En matemáticas enseñar la resolución de problemas de vectores de dos
dimensiones el 62,50% si presenta dificultad mientras que el 37,50% no.
INTERPRETACIÓN
La dificultad en la enseñanza de la resolución de problemas de vectores de 2
dimensiones en las asignaturas de Física y Matemática se presenta porque
para que el alumno asimile el conocimiento debe dominar los temas de
trigonometría y geometría estudiado en años anteriores en lo cual esa
secuencia del aprendizaje dificulta el entendimiento y el desarrollo del
pensamiento lógico en esta particularidad.
59
6.- ¿Usted como docente estima que es factible optar por la resolución
de problemas de vectores con 2 dimensiones utilizando trigonometría?
Cap. IV Tabla 9 Análisis Pregunta No. 6 Docentes
Análisis Pregunta No. 6
TOTAL %
SI 7 87,50%
NO 1 12,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
La factibilidad de optar por la resolución de problemas de vectores con 2
dimensiones utilizando trigonometría es de un 87,50% mientras que no un
12,50%.
INTERPRETACIÓN
El profesional docente busca los mejores mecanismos y recursos
metodológicos para su mejor desarrollo del entendimiento en su clase y para
la resolución de problemas de vectores con 2 dimensiones la utilización de la
trigonometría es fundamental para el desarrollo y el entendimiento de este
tema.
60
7.- ¿Facilitaría el proceso enseñanza aprendizaje la utilización de la
trigonometría en la resolución de problemas de vectores con 2
dimensiones?
Cap. IV Tabla 10 Análisis Pregunta No. 7 Docentes
TOTAL %
SI 6 75,00%
NO 2 25,00%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Alvarez R.
ANÁLISIS
Para facilitar el proceso enseñanza aprendizaje, la utilización de la
trigonometría en la resolución de problemas de vectores con 2 dimensiones
un 75% opina que sí, mientras que no un 25%.
INTERPRETACIÓN
El docente en busca del mejoramiento del proceso enseñanza aprendizaje
en la resolución de vectores de dos dimensiones toma como el mejor
recurso metodológico la utilización de la trigonometría ya que gracias a su
experiencia cree fundamental el dominio de este tema en particular.
61
8.- ¿Podría decir usted que al enseñar a resolver problemas con
vectores de 2 dimensiones con un método que facilitaría su solución
mejoraría el rendimiento académico del estudiantado?
Cap. IV Tabla 11 Análisis Pregunta No. 8 Docentes
TOTAL %
SI 5 62,50%
NO 3 37,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
El enseñar a resolver problemas de vectores de dos dimensiones con un
método que facilitaría su solución mejoraría el rendimiento académico del
estudiantado un 62,50% opina que si, mientras que un 37,50% que no.
INTERPRETACIÓN.-
Los profesionales del área de Matemáticas para elevar el nivel de su
enseñanza buscan las mejores alternativas y métodos que ayuden a la
solución de problemas encontrar el método indicado mejora el rendimiento
académico del estudiantado por lo cual los recurso metodológicos que más
se puedan utilizar sin duda facilitaran el aprendizaje del mismo.
62
9.- ¿Ha notado interés por parte de los estudiantes en aprender más
sobre la resolución de problemas de vectores en 2 dimensiones
aplicando el método de trigonometría?
Cap. IV Tabla 12 Análisis Pregunta No. 9 Docentes
TOTAL %
SI 6 75,00%
NO 2 25,00%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
El interés por parte de los estudiantes en aprender más sobre la resolución
de problemas de vectores de dos dimensiones aplicando el método de
trigonometría es un 75%, mientras que un 25% opina que no.
INTERPRETACIÓN.-
La experiencia docente puede notar el interés por parte de los estudiantes
en aprender más sobre la resolución de problemas de vectores de dos
dimensiones aplicando el método de trigonometría porque al identificar las
partes del vector puede resolver con mayor facilidad.
63
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
Cap. IV Tabla 13 Análisis Pregunta No. 10 Docentes
TOTAL %
SI 7 87,50%
NO 1 12,50%
TOTAL 8 100%
Fuente: Encuesta a los docentes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los docentes encuestados afirman que el aprendizaje de un estudiante
mejora con la participación efectiva de sus padres y una relación armónica
con el profesor, esto se puede apreciar en una marcada diferencia pues un
87,50% de profesores encuestados afirman este criterio y el restante 12,50%
opina que el proceso de aprendizaje lo mejora otros factores.
INTERPRETACIÓN
El triángulo educativo es importante en el proceso de enseñanza y
aprendizaje, la integración de estudiantes, padres de familia y profesores,
motiva y aporta a la mejora de la autoestima, responsabilidad y salud
emocional, esto conlleva a que el estudiante tenga una mejor madurez y su
determina que formación como profesional sea exitosa.
64
4.1.2 ENCUESTAS APLICADAS A ESTUDIANTES
1.- ¿Qué materia de las que estudia cree que es la que mayores
dificultades de aprendizaje tiene?
Cap. IV Tabla 14 Análisis Pregunta No. 1 Estudiantes
TOTAL %
Matemáticas 56 70,00%
Lengua y Literatura 12 15,00%
Entorno Social 2 2,50%
Entorno Natural 6 7,50%
Otras 4 5,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los estudiantes según su entendimiento las materias de las que se estudian
presentan mayor dificultad de aprendizaje, bajo esta premisa y en función de
los resultados de las encuestas, el 70 % manifiesta que “Matemáticas”, 15 %
“Lengua y Literatura”, 7,5 % “Entorno Natural”, 5 % “otras” y 2,5 % “Entorno
Social”
INTERPRETACIÓN.-
De los resultados los estudiantes que la materia con mayor dificultad de
aprendizaje es matemáticas, con una gran diferencia con otras asignaturas.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Matemáticas Lengua yLiteratura
EntornoSocial
EntornoNatural
Otras
70,00%
15,00%
2,50% 7,50% 5,00%
65
2.- ¿Qué factor es el que consideras complica el aprendizaje efectivo
de la materia que has escogido?
Cap. IV Tabla 15 Análisis Pregunta No. 2 Estudiantes
TOTAL %
El método de enseñanza 16 20,00%
El profesor de la Materia 12 15,00%
La complejidad de los temas estudiados 52 65,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
De los estudiantes encuestados de este particular basado en su experiencia
el factor que consideran complica el aprendizaje efectivo de la materia que
escogieron, el 65 % manifiesta que “La complejidad de los temas
estudiados”, 20 % “El método de enseñanza” y 15 % “El profesor de la
Materia”
INTERPRETACIÓN
Los estudiantes al tener dificulta del entendimiento en un tema muestra la
falta de conocimiento en procesos anteriores de enseñanza por lo cual los
docentes deben buscar los métodos, estrategias y factores que faciliten el
aprendizaje entre los cuales se recalca también el poco interés que presenta
el alumnado en el aprendizaje de las matemáticas.
0,00% 50,00% 100,00%
El método de enseñanza
El profesor de la Materia
La complejidad de los temasestudiados
20,00%
15,00%
65,00%
66
3.- ¿Qué factor facilitaría tu aprendizaje?
Cap. IV Tabla 16 Análisis Pregunta No. 3 Estudiantes
TOTAL %
Un mejor esquema metodológico 56 70,00%
Mayor práctica 16 20,00%
Mayor Explicación 8 10,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
De los Estudiantes encuestados de este particular basado en su experiencia
el factor facilitaría el aprendizaje es, el 70 % manifiesta que “Un mejor
esquema metodológico”, 20 % “Mayor Práctica” y el 10 % “Mayor
explicación”
INTERPRETACIÓN
La mayor motivación del estudiante por el aprendizaje viene siendo el
parámetro fundamental en el ciclo del aprendizaje el esquema metodológico
de los docentes basado en su experiencia, ayudara a un mayor desarrollo de
problemas y prácticas vinculadas a los temas tratados.
70,00%
20,00%
10,00% Un mejor esquemametodológico
Mayor práctica
Mayor Explicación
67
4.- ¿Piensa que los temas aprendidos en el colegio aportan a tu vida
como profesional en un futuro?
Cap. IV Tabla 17 Análisis Pregunta No. 4 Estudiantes
TOTAL %
SI 56 70,00%
NO 24 30,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Estudiantes piensan que los temas aprendidos en el colegio van a
aportan en su vida como profesional en un futuro en un 70 % que si y un 30
% apenas que no.
INTERPRETACIÓN
El estudiante esta consiente de la importancia de los temas y asignaturas
aprendidos en su vida colegial, y que los mismos van aportar directamente
en su vida profesional y particular.
70,00%
30,00%
SI
NO
68
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha tenido dificultad para
comprender la resolución de problemas de trigonometría?
Cap. IV Tabla 18 Análisis Pregunta No. 5 Estudiantes
TOTAL %
SI 68 85,00%
NO 12 15,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Estudiantes en matemáticas han tenido dificultad para comprender la
resolución de problemas de trigonometría el 85% si presenta dificultad
mientras que el 15% no.
INTERPRETACIÓN
El aprendizaje de Trigonometría en la asignatura de Matemáticas se
presenta como una dificultad al no poder asimilar el conocimiento en
geometría lo cual es una secuencia del aprendizaje por lo que dificulta el
entendimiento y el desarrollo del pensamiento lógico en esta particularidad.
0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00%
SI
NO
85,00%
15,00%
69
6.- ¿Conoce el método de resolver problemas de vectores en 2
dimensiones aplicando trigonometría?
Cap. IV Tabla 19 Análisis Pregunta No. 6 Estudiantes
TOTAL %
SI 20 25,00%
NO 60 75,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Estudiantes conocen el método de resolver problemas de vectores de
dos dimensiones aplicando trigonometría si el 25% y no el 75%.
INTERPRETACIÓN
Los estudiantes en esta particularidad desconocen a la trigonometría como
parte importante para la resolución de vectores los cuales deben ir
asimilando el conocimiento como tema nuevo o desconocido en el estudio
de vectores.
25,00%
75,00%
70
7.- Si para la resolución de problemas de vectores en 2 dimensiones, la
aplicación de trigonometría facilitaría el proceso, ¿usted aplicaría este
método de solución en su aprendizaje?
Cap. IV Tabla 20 Análisis Pregunta No. 7 Estudiantes
TOTAL %
SI 60 75,00%
NO 20 25,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Si los Estudiantes para la resolución de problemas de vectores de dos
dimensiones, la aplicación de trigonometría facilitaría el proceso, Se aplicaría
este método de solución en su aprendizaje si el 75% y no el 25%.
INTERPRETACIÓN
Para los estudiantes el aprendizaje que le faciliten procesos para la solución
de problemas de vectores siempre va ser una gran ayuda más aún si los
métodos a aprender son de temas ya conocidos como la trigonometría.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
SI NO
75,00%
25,00%
71
8.- ¿Es usted consiente que al aprender a resolver problemas de
vectores en 2 dimensiones con un método que facilitaría su solución
mejoraría su rendimiento académico?
Cap. IV Tabla 21 Análisis Pregunta No. 8 Estudiantes
TOTAL %
SI 64 80,00%
NO 16 20,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
El aprender a resolver problemas de vectores de dos dimensiones con un
método que facilitaría su solución mejoraría el rendimiento académico un
80% opina que sí, mientras que un 20% que no.
INTERPRETACIÓN
Los estudiantes están conscientes que el aprendizaje de nuevos métodos de
resolución de Vectores daría un mejoramiento académico y que todo recurso
metodológicos que más puedan utilizar sin duda facilitaran el aprendizaje del
mismo.
80,00%
20,00%
SI
NO
72
9.- ¿Tiene interés en aprender más sobre la resolución de problemas de
vectores de 2 dimensiones aplicando el método de trigonometría?
Cap. IV Tabla 22 Análisis Pregunta No. 9 Estudiantes
TOTAL %
SI 48 60,00%
NO 32 40,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
El interés por parte de los estudiantes en aprender más sobre la resolución
de problemas de vectores de dos dimensiones aplicando el método de
trigonometría es un 60%, mientras que un 40% opina que no.
INTERPRETACIÓN
Existe Interés por parte de los estudiantes en aprender más sobre la
resolución de problemas de vectores de dos dimensiones aplicando el
método de trigonometría ya que les ayuda a resolver con mayor facilidad.
60,00%
40,00% SI
NO
73
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
Cap. IV Tabla 23 Análisis Pregunta No. 10 Estudiantes
TOTAL %
SI 64 80,00%
NO 16 20,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Estudiantes del Plantel Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los estudiantes creen que su aprendizaje mejora con la vinculación de
estudiantes, padres de familia y profesores en un 80% que sí, mientras que
un 20% opina que no.
INTERPRETACIÓN
Para el estudiante el triángulo educativo es muy importante la vinculación de
estudiantes, padres de familia y profesores, en el proceso enseñanza
aprendizaje siendo los tres autores principales eleva su autoestima y
responsabilidad al ver el compromiso formado para su bienestar.
80,00%
20,00%
74
4.1.3 ENCUESTAS APLICADAS A PADRES DE FAMILIA
1.- ¿Qué materia de las que estudia su hijo ha notado que tiene
mayores dificultades de aprendizaje?
Cap. IV Tabla 24 Análisis Pregunta No. 1 Padres de Familia
TOTAL %
Matemáticas 63 78,75%
Lengua y Literatura 6 7,50%
Entorno Social 1 1,25%
Entorno Natural 6 7,50%
Otras 4 5,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los padres de familia basados en su experiencia conocen las materias de
las que se estudian presentan mayor dificultad de enseñanza a los
estudiantes, bajo esta premisa y en función de los resultados de las
encuestas, el 78,75 % manifiesta que “Matemáticas”, 7,5 % “Lengua y
Literatura”, 7,5 % “Entorno Natural”, 5 % “otras” y 1,25 % “Entorno Social”
INTERPRETACIÓN
De los resultados que infieren los padres de familia la materia con mayor
dificultad de aprendizaje es matemáticas, al ser una ciencia exacta y
continua va ser siempre una de las asignaturas con más problemas para su
aprendizaje.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
78,75%
7,50% 1,25% 7,50% 5,00%
75
2.- ¿Qué factor es el que considera complica el aprendizaje efectivo de
las materias que se dictan en el colegio de su hijo?
Cap. IV Tabla 25 Análisis Pregunta No. 2 Padres de Familia.
TOTAL %
El método de enseñanza 32 40,00%
Falta de bibliografía 8 10,00%
La complejidad de los temas estudiados 24 30,00%
Poco Interés el alumnado 8 10,00%
Poco interés del profesor 8 10,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
De los Padres de familia encuestados de este particular basado en su
experiencia el factor que consideran complica el aprendizaje efectivo de la
materia a los estudiantes es, el 40 % manifiesta que “El método de
enseñanza”, 30 % “La complejidad de los temas estudiados”, 10 % “Poco
interés del alumnado”, 10 % “Poco interés del Profesor” y el 10 % “Falta de
Bibliografía”.
INTERPRETACIÓN
Los padres de Familia manifiestan el método de enseñanza con el cual se
llega al estudiante como uno de los factores principales para la complejidad
del aprendizaje sin dejar de lado la dificultad que presentan los temas
estudiados dejando ver la importancia de mantener estrategias eficaces para
la mejor adquisición del conocimiento.
0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00%
El método de enseñanza
Falta de bibliografía
La complejidad de los…
Poco Interes el alumnado
Poco interés del profesor
40,00%
10,00%
30,00%
10,00%
10,00%
76
3.- ¿Qué factor facilitaría el aprendizaje de las materias que estudia su
hijo en el colegio?
Cap. IV Tabla 26 Análisis Pregunta No. 3 Padres de Familia
TOTAL %
Un mejor esquema metodológico 24 30,00%
Mayor práctica 32 40,00%
Mayor Motivación 16 20,00%
Mayor apoyo de los padres 8 10,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
De los Padres de familia encuestados de este particular basado en su
experiencia del factor que facilitaría el aprendizaje efectivo de la materia a
los estudiantes es, el 40 % manifiesta que “Mayor Práctica”, 30 % “Un mejor
esquema metodológico”, 20 % “mayor motivación” y el 10 % “mayor apoyo
de los padres”
INTERPRETACIÓN
Los padres de Familia manifiestan que con una mayor practica en ejercicios
tipo y él envió de deberes con su respectiva revisión, sumando un mejor
esquema metodológico podrían facilitar el aprendizaje efectivo de la
asignatura, dando a notar que la mejor forma de aprender Matemática es
realizando ejercicios uno mismo.
30,00%
40,00%
20,00%
10,00%
Un mejoresquemametodológico
Mayor práctica
77
4.- ¿Piensa usted que los temas aprendidos en el colegio aportan a la
vida de su hijo como profesional en un futuro?
Cap. IV Tabla 27 Análisis Pregunta No. 4 Padres de Familia
TOTAL %
SI 64 80,00%
NO 16 20,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia manifiestan que los temas aprendidos en el colegio
aportan a la vida del estudiante como profesional en un futuro en un 80 %
que sí y un 20 % apenas que no.
INTERPRETACIÓN
Los padres de familia con su experiencia al haber culminado su vida
estudiantil conocen el aporte importante en la vida profesional en un futuro
debido a que todo aprendizaje ayuda llegar al entendimiento y el desarrollo
del pensamiento lógico necesidad de todo individuo.
80,00%
20,00%
SI
NO
78
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha notado dificultad en
resolución de problemas en las tareas que su hijo realiza en casa?
Cap. IV Tabla 28 Análisis Pregunta No. 5 Padres de Familia
TOTAL %
SI 64 80,00%
NO 16 20,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia manifiestan que dentro de la materia de matemáticas
se ha notado dificultad en resolución de problemas en las tareas que su hijo
realiza en casa en un 80 % que sí y un 20 % apenas que no.
INTERPRETACIÓN
Las tareas que realiza el estudiante dentro del campo matemático para un
padre de familia son complejas de revisar pero se ha podido notar la
dificultad presente en el estudiante en relación a este tema en particular.
0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00%
SI
NO
80,00%
20,00%
79
6.- ¿Usted como padre de familia estaría de acuerdo en cambiar el
proceso de aprendizaje con el fin de mejorar el entendimiento de la
materia por parte de su hijo?
Cap. IV Tabla 29 Análisis Pregunta No. 6 Padres de Familia
TOTAL %
SI 76 95,00%
NO 4 5,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia estarían de acuerdo en cambiar el proceso de
aprendizaje con el fin de mejorar el entendimiento de la materia por parte de
su hijo en un 95 % que sí y un 5 % apenas que no.
INTERPRETACIÓN
Todo cambio en bienestar del estudiante va ser visto de buena manera por
sus representantes y mejorar el proceso enseñanza aprendizaje es una
tarea de todos los individuos que conforman el proceso educativo.
95,00%
5,00%
80
7.- ¿Ha escuchado mencionar a su hijo alguna dificultad en la
resolución de ejercicios de vectores en 2 dimensiones a través de la
utilización de trigonometría?
Cap. IV Tabla 30 Análisis Pregunta No. 7 Padres de Familia.
TOTAL %
SI 12 15,00%
NO 68 85,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia han escuchado mencionar a sus hijos alguna
dificultad en la resolución de ejercicios de vectores con dos dimensiones a
través de la utilización de trigonometría en un 15 % que si y un 85 % que no.
INTERPRETACIÓN
Los distintos métodos de enseñanza utilizados para le resolución de
vectores son de gran importancia y la utilización de la trigonometría en este
tema no ha presentado dificultad en la resolución de los mismos según los
criterio de estudiantes a sus padres.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
SI NO
15,00%
85,00%
81
8.- ¿Cree usted que el rendimiento de su hijo mejoraría si se utilizan
alternativas de mejor resolución de problemas para ejercicios y tareas
en casa, a fin de reforzar el entendimiento del estudiante?
Cap. IV Tabla 31 Análisis Pregunta No. 8 Padres de Familia
TOTAL %
SI 76 95,00%
NO 4 5,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia manifiestan que el rendimiento de sus hijos mejoraría
si se utilizan alternativas de mejor resolución de problemas para ejercicios y
tareas en casa, a fin de reforzar el entendimiento del estudiante en un 95 %
que sí y un 5 % que no.
INTERPRETACIÓN
Los distintos procesos pedagógicos utilizados para el mejoramiento del
aprendizaje en los estudiantes siempre van hacer visto de la mejor forma por
quienes buscan el mejor beneficio de sus hijos, el utilizar alternativas y
reforzar el entendimiento va ser la mejor solución.
95,00%
5,00%
SI
NO
82
9.- ¿Ha notado interés por parte de los estudiantes en aprender más
sobre la resolución de problemas de matemáticas por su propia cuenta
como por ejemplo, clases particulares, bibliografía, internet, repasos
grupales con compañeros entre otros?
Cap. IV Tabla 32 Análisis Pregunta No. 9 Padres de Familia
TOTAL %
SI 48 60,00%
NO 32 40,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia han notado interés por parte de los estudiantes en
aprender más sobre la resolución de problemas de matemáticas por su
propia cuenta como por ejemplo, clases particulares, bibliografía, internet,
repasos grupales con compañeros entre otros en un 60 % que sí y un 40 %
que no.
INTERPRETACIÓN
La complejidad en dificultades de resolución de vectores ha generado interés
por parte de los estudiantes en aprender más sobre la resolución de
problemas de matemáticas por su propia cuenta como por ejemplo, clases
particulares, bibliografía, internet, repasos grupales con compañeros
utilizando alternativas y reforzar el entendimiento.
60,00%
40,00% SI
NO
83
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
Cap. IV Tabla 33 Análisis Pregunta No. 10 Padres de Familia
TOTAL %
SI 76 95,00%
NO 4 5,00%
TOTAL 80 100%
Fuente: Encuesta a los Padres de Familia Elaborado por: Damián Álvarez R.
ANÁLISIS
Los Padres de Familia creen que el aprendizaje de un estudiante mejora con
la vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores en un 95 % que
sí y un 5 % que no.
INTERPRETACIÓN
Para los padres de Familia el triángulo educativo es muy importante en el
proceso enseñanza aprendizaje la vinculación de estudiantes, padres de
familia y profesores, genera un realce en la autoestima y responsabilidad de
todos los autores del proceso educativo al ver el compromiso formado para
el bienestar y superación personal.
95,00%
5,00%
84
4.2 VERIFICACION DE HIPOTESIS
Cap. IV Tabla 34 La trigonometría incide positivamente en la resolución de vectores.
LA TRIGONOMETRÍA INCIDE POSITIVAMENTE EN LA RESOLUCIÓN DE
EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON VECTORES.
ENCUESTAS APLICADAS A
ESTUDIANTES
RESULTADO
ESPERADO
RESULTADO
OBTENIDO V F
¿Qué materia de las que estudias
crees que es la que mayores
dificultades de aprendizaje tiene?
OPCION A
>60% 70% x
¿Qué factor es el que consideras
complica el aprendizaje efectivo de la
materia que has escogido?
OPCION A
>60% 20% x
¿Qué factor facilitaría tu aprendizaje? OPCION A
>60% 70% x
¿Piensa que los temas aprendidos en
el colegio aportan a tu vida como
profesional en un futuro?
OPCION A
>65% 70% x
¿Dentro de la materia de matemáticas
ha tenido dificultad para comprender
la resolución de problemas de
trigonometría?
OPCION A
>60% 85%
x
¿Conoce el método de resolver
problemas de vectores de 2
dimensiones aplicando trigonometría?
OPCION B
>50% 75% x
Si para la resolución de problemas de
vectores de 2 dimensiones, la
aplicación de trigonometría facilitaría
el proceso, ¿usted aplicaría este
método de solución en su
aprendizaje?
OPCION A
>60% 75% x
¿Es usted consiente que al aprender a OPCION A 80% x
85
resolver problemas de vectores de 2
dimensiones con un método que
facilitaría su solución mejoraría su
rendimiento académico?
>60%
¿Tiene interés en aprender más sobre
la resolución de problemas de
vectores de 2 dimensiones aplicando
el método de trigonometría?
OPCION A
>50% 60% x
¿Cree usted que el aprendizaje de un
estudiante mejora con la vinculación
de estudiantes, padres de familia y
profesores?
OPCION A
>60% 80% x
TOTAL 9 1
En la Unidad Educativa Militar N° 11 “Héroes del Cenepa” los estudiantes
del primer año de Bachillerato General Unificado presentan dificultad para el
entendimiento de la asignatura de Física, debido a que la materia es nueva
para todos aquellos estudiantes que ingresan al bachillerato. Al revisar los
contenidos de la asignatura conjuntamente con el departamento académico
y de evaluación de la Institución se puede notar el problema para el
entendimiento del capítulo de Vectores radia en la falta de bases de
trigonometría, que ya se habían estudiado en años anteriores, y al cambiar
de nombre de: resolución de triángulos rectángulos (trigonometría) a:
descomposición de un vector en el plano, el estudiante tiende a confundirse
y deja de recordar los temas tratados en años lectivos anteriores debido al
proceso mecánico de aprendizaje, lo que deriva en la baja puntuación en las
evaluaciones, un rendimiento académico inferior al esperado y con ello la
desmotivación de los estudiantes, por consiguiente el problema se transfiere
a los representantes, profesores y a la misma unidad educativa.
86
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1 CONCLUSIONES
El objeto de esta investigación es analizar la complejidad de entendimiento
sobre la asignatura de Física en los primeros años de bachillerato
específicamente en la temática de vectores, en donde, para la resolución de
estos ejercicios se aplica trigonometría.
El estudio de la trigonometría está basada en funciones trigonométricas y el
teorema de Pitágoras, bases que ayudan para el aprendizaje de mediciones
de vectores en dos dimensiones.
Se ha investigado a los cadetes de la Unidad Educativa Militar N°11 “Héroes
del Cenepa” que ya han culminado su bachillerato, investigación que aportó
con información y una base clara de posibles causas que derivan en la
dificultad que los cadetes tienen para la resolución de vectores con la
aplicación de la trigonometría, de igual manera con la tabulación de
resultados obtenidos a través de la aplicación de una encuesta, se ha
aplicado un análisis así como la interpretación de estos resultados, estos
resultados que fundamentan el presente proyecto de investigación.
La tabulación y análisis de los resultados obtenidos a través de las distintas
técnicas e instrumentos de recolección utilizados en el presente proyecto
aplicados sobre muestra tomada de la Unidad educativa Militar N°11
“Héroes del Cenepa” indica la importancia así como la facilidad que se
obtiene a través de la utilización de la trigonometría en la resolución de las
partes de un vector, puesto que la falta de dominio sobre otras técnicas o
mecanismos denota mayor complejidad en la actividad de aprendizaje del
estudiantado, pese a que se considera que esta temática ya fue estudiada
87
en años lectivos anteriores, en donde se orienta el dominio de la
trigonometría.
5.2 RECOMENDACIONES
Se recomienda a los profesores que se imparta a los alumnos la importancia
de la física y la relación importante que tiene con las distintas asignaturas,
así como también su utilización en problemas de años lectivos superiores,
sin olvidar la fundamentación de los ejercicios es decir promover el refuerzo
educativo por medio de la práctica de resolución de problemas, los
profesores deben tener la capacidad de enseñanza así como de motivación
para que sus doctrinas sean de calidad y que el estudiante capte
mayormente los pasos a seguir en la resolución de problemas, enfatizando
que a medida que el estudiante avance en su carrera educativa tendrá
mayor facilidad si perfecciona este proceso y que le permitirá obtener
mejores resultados si su entendimiento es óptimo.
El departamento académico de la Unidad Educativa Militar N°11 “Héroes del
Cenepa”, debe socializar a los profesores de la rama de física y matemática
sobre la falta de dominio de bases académicas en los estudiantes para la
resolución de problemas de vectores, demostrando que esto deriva en el
rendimiento académico del estudiantado, así como debe promover el manejo
de herramientas pedagógicas para la enseñanza de esta temática, con el fin
de obtener mayor ventaja posible facilitando el proceso de aprendizaje.
Para los estudiantes las acciones tomadas a tiempo en el aprendizaje
lograrán disminuir la complejidad en la resolución de problemas de vectores
y por ende ayudarán en su mejor desempeño académico durante su vida
estudiantil actual y futura.
88
CAPÍTULO VI
LA PROPUESTA
6.1 TEMA
Elaborar un opúsculo de aplicación Inicio Vectorial para los estudiantes de
primer año de bachillerato para mejorar el desenvolvimiento académico en la
asignatura de física en la resolución de vectores en dos dimensiones en la
Unidad Educativa militar “Héroes del Cenepa” en el año lectivo 2013 – 2014.
PRESENTACIÓN
En esta guía de aprendizaje Inicio Vectorial para estudiantes de bachillerato
encontrara las técnicas de resolución de vectores en dos dimensiones
mediante la trigonometría y su resolución de triángulos rectángulos. Lo cual
servirá como material de apoyo en su aprendizaje en el estudio de la física.
6.2 TITULO DE LA PROPUESTA.
Opúsculo Matemático “INICIO VECTORIAL”
6.3.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar con un opúsculo las distintas metodologías de resolución de
ejercicios y problemas con vectores en dos dimensiones mediante ejercicios
de aplicación de trigonometría y resolución de triángulos rectángulos, para el
correcto aprendizaje de la física en el bachillerato.
89
6.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
A. Determinar las distintas formas utilizadas para la resolución de
triángulos rectángulos.
B. Identificar los elementos trigonométricos utilizados en la resolución de
Vectores en dos dimensiones.
C. Analizar las partes de un Vector que se obtienen mediante la
trigonometría.
D. Verificar la relación existente entre la trigonometría y la resolución de
vectores en dos dimensiones.
6.3.3 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
CRITERIOS PARA LA ELABORACION DE LA PROPUESTA.
Para elaboración de esta propuesta se considerada exponer una realidad
que se está dando no en una sola institución sino en varias, la perdida de
comprensión y la mecanización del estudiante en la cual ha caído nuestro
sistema educativo adquisición del conocimiento pese a que en la actualidad
existen varias técnicas de aprendizaje de trigonometría y vectores, con la
pedagogía se encuentra en su mayor auge por existir ahora variedad de
instrumentos didácticos y pedagógicos no hemos dejado que el estudiante
desarrolle el pensamiento lógico de forma correcta para ello esta propuesta
quiere servir como una fuente más de ayuda para el estudiante que tenga
problemas de entendimiento durante su proceso de adquisición del
conocimiento.
90
6.4 POBLACIÓN OBJETO
ESTUDIANTES DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR
N°11 "HEROES DEL CENEPA"
6.5 LOCALIZACIÓN.
Provincia: Pastaza
Cantón: Mera
Parroquia: Mera
Comunidad: Unidad Educativa Militar N° 11 “Héroes del Cenepa”
Dirección: Km. 1 vía Mera – Baños
Teléfono: 032790119 - Fax: 032790068
Correo electrónico: [email protected]
6.6 DESARROLLO DE CONTENIDOS
1. NOCIONES GENERALES.
2. TRIGONOMETRIA
3. RAZONES TRIGONOMETRICAS
4. TEOREMA DE PITAGORAS.
5. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
6. VECTORES.
7. ELEMENTOS DE UN VECTOR.
8. DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO.
9. FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR Y TRANSFORMACIONES.
10. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VECTORIALES
91
Opúsculo Matemático
Introducción al
Estudio de los
Vectores
92
Precisiones para el proceso de enseñanza‐aprendizaje para la asignatura de
física del primer año de bachillerato, a continuación debe iniciárselo al
estudiante en la investigación, entendiéndola como un proceso
fundamentado en la exploración y en el desarrollo de la capacidad para el
pensamiento científico, crítico y reflexivo, considerando elementos básicos.
FÍSICA.
Es la ciencia que se encarga del estudio de los fenómenos naturales y trata
de descubrir las leyes que los rigen, además de las propiedades del espacio,
el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones.
Metodología.
El Opúsculo Matemático Inicio Vectorial desarrolla, ordena y sistematiza los
principios fundamentales del estudio de la física desde un punto de vista
unificado y moderno.
El orden de presentación de los diferentes temas determinados por
preferencias pedagógicas, nos permite obtener una secuencia lógica y
progresiva, al fin de motivar, mantener el interés y entusiasmo de los
estudiantes se incluyen en secciones separadas el desarrollo, procesos de
resolución, reemplazo de fórmulas, gráficos, datos e incógnitas, cuadros de
magnitudes, transformaciones y aplicaciones prácticas.
1.- NOCIONES GENERALES.
¿Qué es Ciencia?
Ciencia es el conjunto de conocimientos obtenidos mediante la observación
y el razonamiento, sistemáticamente estructurados y de los que se deducen
principios y leyes generales.
El objeto de la ciencia es establecer un conjunto de leyes que permitan
responder a cualquier pregunta que se le hace mediante un método
científico.
93
¿Qué es el Método Científico?
Método científico es el camino que sigue el investigador para llegar a la
verdad, mediante las operaciones de: 1.- Observación o experimentación,
2.- Organización, 3.- Hipótesis y teoría, 4.- Verificación
El método científico es un proceso destinado a explicar fenómenos,
establecer relaciones entre los hechos y enunciar leyes que expliquen los
fenómenos físicos del mundo y permitan obtener, con estos conocimientos,
aplicaciones útiles al hombre.
LA MATERIA.
Materia es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio. Se considera que
es lo que forma la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables
por medios físicos. Es decir es todo aquello que ocupa un sitio en el espacio,
se puede tocar, se puede sentir, se puede medir, etc.
RELACIONES DE LA FÍSICA CON OTRAS CIENCIAS
El aporte de esta ciencia al avance y descubrimiento de nuevos
conocimientos han permitido el desarrollo de la tecnología y la sociedad, a lo
largo de la historia.
La Física con la Astronomía.- Desde el principio del conocimiento, el
hombre, siempre ha sentido curiosidad por los fenómenos que ocurren a su
alrededor. La Astronomía es la ciencia que se ocupa del estudio de los
cuerpos celestes, sus movimientos, los fenómenos ligados a ellos, su
registro y la investigación de su origen, se relaciona con la rama de la Física
a través de la OPTICA.
Física con Biología.- Los aportes de la física al estudio de los seres
vivos, ha permitido desentrañar los misteriosos antiguos secretos, de la
unidad fundamental de la vida: La célula.
94
La Física con los Deportes.- Las leyes físicas quedan relacionadas con los
deportes y la gimnasia desde el punto de vista que nuestros movimientos
están regidos por la gravedad. En efecto, la atracción que ejerce sobre
nuestro cuerpo, la atracción gravitatoria de la tierra. La estructura
ósea de nuestro organismo, desde nuestros primeros pasos en la infancia,
debe luchar por conseguir una posición de equilibrio cuando estamos
parados o nos desplazamos.
La Física con la Química.- La Química es una de las ciencias que más
afinidad tiene con la Física. En efecto, los fenómenos físicos ocurren
generalmente en conjunción con los químicos. No olvidemos que
química + física = Biología, o sea la manifestación de la vida y los seres
vivos.
La Física y la Matemática.- Es la ciencia que estudia lo "propio" de las
regularidades, las cantidades y la formas, sus relaciones, así como su
evolución en el tiempo.
La Física y la Geografía.- Es la ciencia que estudia la superficie terrestre
considerada en su conjunto y, específicamente, el espacio geográfico natural
SISTEMA DE UNIDADES.
Es un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el
resto. Existen varios sistemas de unidades, los más importantes son: El
sistema internacional, el sistema inglés y el Sistema Técnico.
Sistema Internacional de Unidades o SI.- Es el sistema más usado
denominado también sistema métrico decimal. Formado por:
Sistema MKS = metro, kilogramo, segundo.
Sistema CGS = centímetro, gramo, segundo.
95
Sistema Ingles.- Son las unidades no-métricas o denominado
sistema imperial, es aún usado ampliamente en los Estados Unidos
de América y, cada vez en menor medida, en algunos países con
tradición británica.
Sistema FPS = pie, libra, segundo.
Sistema Técnico.- Es cualquier sistema de unidades en el que se
toma como magnitudes fundamentales la longitud, la fuerza, el tiempo
y la temperatura.
Sistema MKS (europeo) = metro, unidad técnica de masa, segundo.
Sistema FPS (Ingles) = pie, slug, segundo.
El sistema de unidades de medida en las ciencias exactas nos ayuda a
encontrar o a definir la magnitud exacta para una medición.
Magnitud.- Es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir, es decir
es todo lo que podemos medir. Por ejemplo: la temperatura, la velocidad, la
masa, el tiempo, etc.
Medir.- Es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un
patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea
medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud, es
decir comparar una magnitud con otra.
Unidad.- Es una cantidad que se adopta como patrón para comparar con
ella cantidades de la misma especie. Ejemplo: Cuando decimos que un
objeto mide dos metros, estamos indicando que es dos veces mayor que la
unidad tomada como patrón, en este caso el metro.
Las Magnitudes Físicas podemos distinguir dos tipos: fundamentales y
derivadas o complementarias.
96
Magnitudes Físicas Fundamentales.- Son aquellas que se definen por sí
misma y son independientes de las demás, no se definen en términos de
otras magnitudes y dependen del sistema de unidades.
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO DIMENSIÓN
Longitud metro m L
Masa kilogramo kg M
Tiempo segundo s T
Temperatura kelvin °k °T
Cantidad de Sustancia mol mol N
Intensidad Luminosa candela cd ᵠ
Intensidad de Corriente amperio A I
Magnitudes Físicas Derivadas.-
MAGNITUD CONCEPTO UNIDAD SIMBOLO EQUIVALENCIA DIMENSIÓN
AREA lado x lado metro
cuadrado m
2 m * m L
2
VOLUMEN lado x lado x lado metro cúbico m3
m * m * m L3
DENSIDAD
volumen
masa
cubicometro
ramoki log 3m
kg kg . m
-3 L
-3 . M
VELOCIDAD tiempo
ciadis tan
segundo
metro
s
m m . s
-1 L . T
-1
ACELERACIO
N tiempo
velocidad cuadradosegundo
metro
2s
m m . s
-2 L . T
-2
FUERZA masa x
aceleración Newton N kg . m . s
-2 M . L . T
-2
PRESIÓN area
fuerza Pascal Pa kg . m
-1 . s
-2 M . L
-1. T
-2
TRABAJO
(ENERGÍA)
Fuerza x
distancia Joule J kg . m
2 . s
-2 M . L
2. T
-2
97
POTENCIA tiempo
trabajo Vatio W kg . m
2 . s
-3 M . L
2. T
-3
FRECUENCIA tiempo
vueltasn Hertzio Hz
s
T
-1
VELOCIDAD
ANGULAR tiempo
angularciadis tan
segundo
radián
s
rad rad . s
-1 L° . T
-1
ACELERACIÓ
N ANGULAR tiempo
angularvelocidad
cuadradosegundo
radian
2s
rad rad . s
-2 L° . T
-2
INTENSIDAD
DE CAMPO
ELECTRICO metros
voltios
metros
voltio
As
kgm3
m . kg . s-3
. A.1
M . L . T-3
. I-1
CALOR
ESPECIFICO kelvinramoki
joule
log
kkg
J
kkg
s
mkg
2
2
L2 . T
-2 . °T
-1
VISCOSIDAD
DINÁMICA cuadradometro
segundonewton
2m
sN
2
2
m
ss
mkg
M . L
-1. T
-1
Magnitudes Físicas Eléctricas.-
MAGNITUD CONCEPTO UNIDAD SIMBOLO EQUIVALENCIA DIMENSIÓN
CARGA
ELECTRICA
Intensidad x
tiempo Culombio Ϲ A . s I . T
TENSIÓN
ELECTRICA
Energía
carga Voltio V Kg . m
2 . s
-3. A
-1 M.L
2 . T
-3 . I -
1
RESISTENCIA
ELECTRICA
Tensión
intensidad Ohmio Ω Kg . m
2 . s
-3. A
-2
M.L2 .
T-3 .
I -
2
98
CAPACIDAD
ELECTRICA
Carga
tensión Faradio f Kg
-1. m
-2 . s
4. A
2
M-1
.L-2
T4 .
I
2
Magnitudes Suplementarias.-
MAGNITUD CONCEPTO UNIDAD SIMBOLO EQUIVALENCIA DIMENSIÓN
ANGULO
PLANO
ESPACIO
ANGULAR RADIAN rad
1 rev.
360°
2π
α (°L)
ANGULO
SOLIDO
ESPACIO
ANGULAR
STEREO
RADIAN
Sr
1 rev.
360°
2π
β (°L)
PREFIJOS QUE FORMAN LOS MULTIPLOS DEL S.I.
PREFIJOS SIMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN
EXA E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
PETA P 1015 = 1 000 000 000 000 000
TERA T 1012 = 1 000 000 000 000
GIGA G 109 = 1 000 000 000
MEGA M 106 = 1 000 000
KILO K 103 = 1 000
HECTO H 102 = 1 00
DECA D 101 = 1 0
99
PREFIJOS QUE FORMAN LOS SUBMULTIPLOS DEL S.I.
PREFIJOS SIMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN
deci D 10-1 = 0, 1
centi C 10-2 = 0, 01
mili M 10-3 = 0, 001
micro µ 10-6 = 0, 000 001
nano N 10-9 = 0, 000 000 001
pico P 10-12 = 0, 000 000 000 001
femto F 10-15 = 0, 000 000 000 000 001
ato A 10-18 = 0, 000 000 000 000 000 001
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
Unidades de Medida:
( Longitud ): Kilometro, metro, centímetro, yarda, pie, etc.
( masa ) : Kilogramo, gramo , libra, onza, etc.
( tiempo ) : segundo, minutos, horas, días, meses, años, lustro,
década, etc.
100
Ej: Transformar:
2,5 kilómetros a metros 7530 centímetros a Decámetros
2,5
km
1000 m
= 2500 m
1 km
35680 gramos a kilogramos 72,4 kilogramos a libras
35680 gr 1 kg = 35,68 kg
1000 g
Transformar 3 horas a segundos
3 h 60 min 60 seg. = 10800
seg. 1 h 1 min
Transformar a escritura decimal y viceversa:
123 000 000 km = 1,23 x 108 km
63649 m = 6,3649 x 104m
0, 000000467 gr = 4,67 10-7gr
0,09721 seg = 97,21 x 10-3 seg.
7530 cm 1 m 1 Dm = 7,53 Dm
100 cm 10 m
72,4 kg 2,2
libras = 159,28 libras
1 kg
101
2.- LA TRIGONOMETRIA
La Trigonometría, es la parte de la geometría que estudia la relación entre
los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, de las propiedades y
aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones
trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto
de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una
circunferencia unitaria (de radio unidad). Existen seis razones
trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las
dos primeras razones, aunque se pueden definir geométricamente o por
medio de sus relaciones.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte
de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre
de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
Funciones trigonométricas de ángulos notables
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas seno, coseno y
tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las
102
expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante,
secante y cotangente no suelen utilizarse.
Figura 4 Funciones trigonométricas
FUNCIÒN SÌMBOLO COORDENADAS
RECTANGULARES
TRIÀNGULO
RECTANGULO
FÒRMULA
Seno senθ
Coseno cosθ
tangente tanθ
Fuente: Vallejo, Zambrano – Física Vectorial – Quito 2012. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Relaciones Trigonométricas de ángulos notables Figura 5 ángulos notables de funciones trigonométricas
0° 30° 45° 60° 90°
Sen 0
1
Cos 1
0
Tan 0
1
Csc 0 2 2
2 3
2 1
Sec 1 3
2 2
2 2
Ctg 0 1 3
1 0
4.- TEOREMA DE PITAGORAS.
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados
menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
103
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo.
Figura 6 Triángulo rectángulo
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria. Elaborado Por: Damián Álvarez R.
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (cateto 2)2
222 bac
22 bac
5.- RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
Un triángulo rectángulo está compuesto de seis elementos: tres lados,
dos ángulos agudos y un Angulo recto. La suma de los ángulos agudos
es de 90º.
( x, y )
r
y
θ
0
104
En la resolución de triángulos rectángulos se aplica:
a) El teorema de Pitágoras.
b) Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.
1. En el triángulo rectángulo ABC, determinar:
C
b a
A c B
a). B en términos de a, b: b). b en términos de a, c:
√
c). a en términos de c, C: d). C en términos de b, c:
e). b en términos de c, B: f). c en términos de a, C:
EJEMPLO
105
2. Resolver los triángulos rectángulos:
a). X Z
Y
b).
d
C
√
D E c = 37m
28
y = 22cm
x
106
3 m
4 m
EJERCICIO 1
Homero desea alcanzar el fruto de un árbol con una barra de gancho, si se
encuentra a 3 m del árbol y la altura del fruto es de 4m. ¿Cuál deberá ser la
longitud de la barra y el ángulo que deberá formar Homero para poder
alcanzar el fruto?
Solución:
Datos e incógnitas. Resolución:
x = 3 m adyacenteCateto
opuestoCatetotan
y = 4 m
ᶿ = ? 222 yxr
r = ?
Reemplazo:
m
m
3
4tan 33,1tan 1 13,53
22 yxr 2243 mmr
22 169 mmr 225mr mr 5
La barra debe tener una longitud de 5 m y el ángulo que debe formar
Homero es de 53,130.
RAZONAMIENTO:
Si la distancia desde Homero ha el árbol de frutos es de 3m y la altura al
fruto desde el suelo es de 4 m forman un ángulo de 900 por ende un
triángulo rectángulo en el cual la longitud de la barra que necesita para bajar
el fruto vendría hacer la hipotenusa de este triángulo, por medio del teorema
de Pitágoras sacamos el resultado que es de 5m. El ángulo de inclinación
que necesita Homero teniendo los dos catetos lo podemos resolver con la
tangente del ángulo que es igual al cateto opuesto dividido para el cateto
adyacente que nos da 53,130.
107
15 m
EJERCICIO 2
La longitud desde la copa de una montaña a una laguna es de 25 m, en la cual la copa
de la montaña y su base forman un ángulo recto hacia la laguna ubicada a 15 m.
Determinar la altura de la montaña y los ángulos que se forman.
Datos e incógnitas. Resolución:
x = 15 m 22yxr
r = 25 m hipotenusa
OpuestoCatetosen
y = ? hipotenusa
AdyacenteCatetocos α
α = ? β
β = ?
Reemplazo:
222 yxr 222 yxr 22xry
221525 mmy 22 225625 mmy 2400my my 20
hipotenusa
OpuestoCatetosen
hipotenusa
AdyacenteCatetocos
m
msen
25
15
m
m
25
15cos
6,01 sen 6,0cos 1
87,36 13,53
La altura de la montaña es de 20 m y los ángulos que se forman son de 36,87° y 53,13°
108
RAZONAMIENTO:
Si observamos la longitud desde la copa de la montaña a la laguna es de 25 m
(hipotenusa), y entre la copa de la montaña y su base forman un ángulo recto hacia la
laguna ubicada a 15 m (cateto), podemos utilizar el teorema de Pitágoras en el cual la
diferencia entre la hipotenusa y uno de sus catetos nos dará como resultado el otro
cateto, para poder encontrar los ángulos mediante cualquiera de las funciones
trigonométricas ya que son ángulos complementarios al conocer el uno conoceremos el
ángulo faltante.
6.- VECTORES
Vector es la representación simbólica de una magnitud física que significa
“que conduce”, quedando definido por un módulo y una dirección u
orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta
dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la
fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.
Uno de los objetivos de la física es la descripción de los fenómenos
naturales mediante magnitudes. Algunas magnitudes, para quedar bien
definidas, solo requieren de un número y de una unidad. A estas
magnitudes, como la masa, la densidad y el tiempo entre otros, se les llama
magnitudes escalares.
Por ejemplo para informar cuál es de la densidad del hierro, basta con
escribir 7.9 g/ .
Otras magnitudes no se pueden definir solamente con un número seguido de
una unidad de medida. Por ejemplo, resultaría imposible localizar un punto
de partir de otro sin conocer las posiciones con respecto a un sistema de
referencia .Para resolver este problema utilizaremos el concepto de vector,
en donde podemos distinguir las siguientes características: módulo (la
distancia entre los puntos), dirección (el ángulo con respecto a un eje) y
sentido (si es positivo o negativo), mediante una punta de flecha en uno de
109
los extremos de la recta. Llamamos magnitud vectorial a toda magnitud que
se expresa mediante un vector. Un ejemplo sencillo de magnitud vectorial
es el de la posición de un objeto con respecto a un punto de referencia. Al
trazar el vector A queda perfectamente determinada la posición del punto A
con respecto al punto O.
Los vectores(o las magnitudes vectoriales) se denotan simbólicamente con
una letra que lleva una flecha encima. Por ejemplo, la aceleración la
velocidad la posición .El valor numérico, es decir, la magnitud de un
vector representante con la misma letra pero sin la flecha o entre barras, por
ejemplo, la magnitud del vector, se representan por | | o por .
Los vectores son elementos de los espacios vectoriales y .Para
representar geométricamente un vector es necesario un sistema de
referencia, que puede ser el sistema de coordenadas cartesinas.De esta
manera, una vez se defina la unidad de longitud, esta debe ser proporcional
a las magnitudes que se desee escribir como vectores.
Un vector es un segmento dirigido con origen y punto final.
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Punto
Origen
110
7.- ELEMENTOS DE UN VECTOR
Todo vector tiene los siguientes elementos:
Módulo o Intensidad: Representa el valor de la cantidad física
vectorial, está representado por la longitud del vector, tomado o
medido a cierta escala.
Dirección: Está representado por la recta que contiene al vector .se
define como el ángulo que hace dicho vector con una o más rectas de
referencia, según sea el caso en el plano o en el espacio.
Sentido: Indica la orientación de un vector, gráficamente está dado
por la cabeza de la flecha del vector.
Figura 7 Sentido de un vector
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
Punto de aplicación: Es el punto sobre el cual se supone actúa el
vector. Ejemplo:
Representar el Vector F cuya Dirección es 30° Y su módulo 10 Kg-f
Figura 8 Punto de Aplicación de un vector
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
111
CLASES DE VECTORES
1.- FIJOS O LIGADOS: Llamados también vectores de posición. Son
aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posición de un cuerpo o
representan una fuerza en el espacio.
Vector Posición.
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
2.- VECTORES DESLIZANTES: Son aquellos que pueden cambiar de
posición a lo largo de su directriz.
Figura 9 Vector Posición
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
3.- VECTORES LIBRES: Son aquellos vectores que se pueden desplazar
libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir
modificaciones.
Figura 10 Vectores libres
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
112
4.- VECTORES PARALELOS: Dos vectores son paralelos si las rectas que
las contienen son paralelas.
Figura 11 Vectores Paralelos
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
5.- VECTORES COPLANARES: Cuando las rectas que lo contienen están
en un mismo plano.
Figura 12 Vectores Coplanares
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
6.- VECTORES CONCURRENTES: Cuando sus líneas de acción o
directrices se cortan en un punto.
Figura 13 Vectores Concurrentes
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
113
100 m
53,13°
143,13°
D
7.- VECTORES COLINEALES: Cuando sus líneas de acción se encuentran
sobre una misma recta.
Figura 14 Vectores Paralelos
Fuente: VALERO, Michel - Física Fundamental – Bogotá/ Norma 1991 Elaborado Por: Damián Álvarez R.
8.- DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO.
Determinar las componentes rectangulares de un vector mediante su
coordenada polar.
D ( 100 m ; N 53,13° O)
Datos e incógnitas.
Dx = ?
Dy = ?
β = 53,13°
D = 100 m
θ = 143,13°
Transformación ha componentes rectangulares.
Dx = D. cos θ Dy = D. sen θ
Dx = 100m cos 143,13° Dy = 100m sen 143,13°
Dx = - 80 m Dy = 60 m
Resultado:
D ( -80 ; 60 )m
9.- FORMAS DE EXPRESIÓN DE UN VECTOR Y TRANSFORMACIONES.
Existen distintas formas de expresiones cartesianas de un vector:
coordenadas rectangulares, coordenadas polares, coordenadas geográficas,
en función de sus vectores base y en función de su módulo y vector unitario.
114
COORDENADAS RECTANGULARES.
Están formadas por dos ejes numéricos perpendiculares entre sí, que se
intersecan en un punto “O” al que se le llama “el origen”. Una de las rectas
se acostumbra representarla en posición horizontal y se le da el nombre de
eje X o eje de las abscisas; a la otra recta, vertical, se le denomina eje Y o
eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos ejes de coordenadas
rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes.
Figura 15 Sistema de Coordenadas Rectangulares
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria Elaborado Por: Damián Álvarez R.
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par de
números ordenados (x,y), denominado Coordenadas rectangulares que
corresponden a la intersección de la abscisa y la ordenada.
Representar el Punto A(4,6) en
A
jiA 64
A(4,6)
-x x
y
115
COORDENADAS POLARES.
Están formadas por un eje numérico de referencia x, denominado eje polar.
En un punto de este se halla el origen de coordenadas 0, llamado origen o
polo.
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado
(r, θ), donde r es el radio vector y representa la distancia positiva del origen
al punto, ángulo polar representa la medida del ángulo desde el eje polar
hasta el radio vector, en sentido anti horario.
Representar el punto B(50km;120°) en
B
jiB 30,4325
(r, θ)
180
°
0° - 360°
90
°
270
°
θ
r
B(50km, 120°)
180
°
0° - 360°
90
°
270
°
50k
116
Bx = B. cos θ By = B. sen θ
Bx = 50Km cos 120° By = 50Km sen 120°
Bx = - 25 Km By = 43,30 Km
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Están formadas por dos ejes perpendiculares entre sí, el punto de
intersección de los ejes se considera como el origen de cada uno de ellos.
Estos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro puntos cardinales;
Norte, Sur, Este y Oeste.
La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado
(r, rumbo), donde r es el radio vector y representa la distancia positiva del
origen al punto, y el rumbo representa la dirección medida a partir del Norte
o Sur. Para representar el rumbo, primero se menciona la palabra Norte o
Sur. La que corresponda, luego el ángulo agudo y finalmente la posición
Este u Oeste.
Representar el punto C( 120km; N 75° E ) en
C
(r,
O E
N
S
θ
r
117
jiC 06,3191,115
Cx = C. cos θ Cy = C. sen θ
Cx = 120Km cos 15° Cy = 120Km sen 15°
Cx = 115,91 Km Cy = 31,06 Km
EN FUNCIÓN DE LOS VECTORES BASE.
Es cuando un vector
D en el plano está definido en la forma jDyiDx
, está
expresado en función de los vectores base, donde Dx es la componente
escalar en el eje x; Dy, la componente escalar en el eje y.
Ejemplo: KmjiD )37(
Conocidas las componentes escalares Dx y Dy, expresamos el vector en
coordenadas rectangulares:
Dx = 7 km ),( DyDxD
Dy = -3 km KmD )3;7(
Conocidas las componentes rectangulares, expresamos el vector en
coordenadas polares:
C(120km; N75°E)
120°)
O E
N
S
75° 120 km
118
KmD )3;7(
D2 = Dx2 + Dy2
2237 kmkmD
D = 7,62 km
Dx
Dytg 1
km
kmtg
7
31
1
2,231 2,233601
8,336 8,336;62,7 kmD
10.- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VECTORIALES.
ADICIÓN DE VECTORES
Dos o más vectores cualesquiera, cuya suma sea un cierto vector A
, se dice
que son componentes de dicho vector. Si las componentes son mutuamente
perpendiculares toman el nombre de componentes rectangulares.
Para sumar dos o más vectores tenemos dos formas el Método gráfico y el
Método analítico, Los cuales están divididos en: el Método grafico como
método del paralelogramo cuando sumamos dos vectores y método del
polígono cuando sumamos dos o más vectores, el Método Analítico
conocido también como método algebraico lo utilizamos cuando los vectores
están expresados como vectores base o en sus componentes rectangulares.
-x x
y
-y
ɵ Dx
119
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
A partir de un punto cualquiera del plano se trazan los dos vectores y se
forma un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo que va desde el
origen al vértice opuesto, representa el vector resultante o suma.
Si los vectores podemos representarlos gráficamente también podemos
representar su suma gráficamente. Para sumar dos o más vectores
gráficamente unimos sus orígenes en un mismo punto (0,0).
Vamos a sumar los vectores: BA
. El primer vector tiene su origen en el
punto (0,0) y su extremo en (2,2) y el segundo vector su origen o punto de
aplicación en (0,0) y su extremo en el punto (5,2).
120
MÉTODO DEL POLÍGONO
A partir de un punto cualquiera del plano se trazan todos los vectores, uno a
continuación del otro, manteniendo iguales sus módulos y direcciones.
Uniendo el origen del primer vector con el extremo del último, se obtiene el
vector resultante o suma.
MÉTODO ALGEBRAICO
Para sumar algebraicamente dos o más vectores en el plano, éstos deben
estar expresados en función de sus vectores base o componentes.
jAyiAxA
jByiBxB
jCyiCxC
------------------------------------------
jCyByAyiCxBxAxCBA
jRyiRxR
121
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
El producto de un escalar k por un vector A
, es otro vector cuyo módulo es k
veces la longitud del vector A y cuya dirección y sentido coincide con la de
A
si k > 0 ; es opuesto a la de A
, si k < 0. Si k = 0, la longitud es igual a
cero y el vector se convierte en nulo.
El producto de un escalar k por un vector A
, se obtiene multiplicando k por
las componentes de A
jkAyikAxAk
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto de dos vectores, es un escalar igual al
producto de los módulos de los vectores dados, por el coseno del menor
ángulo que forman entre sí.
cos... BABA
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las
componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
ɵ
122
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Ejemplo 1
En el océano pacifico un buque carguero presenta coordenadas
determinadas desde un puerto y su punto inicial (3.2m) y su punto final
(-5,-2). Determinar:
a) Las componentes del vector
b) El modulo
c) Dirección (rumbo)
d) Los ángulos directores
e) El vector en función de los vectores base
f) Vector unitario
Datos e incógnitas:
P.o = (3,2) m.
P.f = (-5,2) m.
Bx = ? -8m 2 Ѳ .
By = ?
B= ?
Ѳ= ?
α = ?
β = ? 5 3
?B
U -2 -4m
?)( ji
BBx
123
12 XXX 12 YYY
X = - 5m – 3m Y= -2m - 2m
X = - 8m Y= - 4m
?)( ji
BBx
mji)48(
?B
U
)(jiB
CosCosU
mCosCosUjiB)57,11643,153(
mUjiB)447,0894,0(
√
√
√
124
Ejemplo 2
Dado el vector F = (4 i – 7 j ) kgf, determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector. d) La dirección.
b) Las coordenadas del punto extremo del vector. e) Los ángulos directores.
c) El modulo del vector. f) El vector unitario.
a) Fx = 4kgf Y Fy = -7kgf
b) F (4, -7)kgf Ɵ Fx
c) F² = Fx²+Fy² F² = (4kgf)²+ (-7kgf)² ɸ F
F = 8,06kgf
d) tan Ɵ =
=
Fy
Ɵ = -60,25° Ɵ = 360° -60,25° Ɵ = 299,74° ɸ = 299,74 -270° ɸ = 29,74° S29, 74°E
e) cos α =
=
→ α = 60,24°
cos β =
=
→ β = 150,28°
f) u F =
=
–
= 0,496 i -0,868 j
Ejemplo 3
Parara ir de una ciudad a otra un vehículo recorre por carreteras rectas.
Primero (42Km; N15°E), luego (46 +46 ) Km y finalmente (80Km; N20°E)
125
Determinar:
a) Los desplazamientos realizados
b) Los vectores posición de cada punto
c) El desplazamiento total realizado
d) El modulo del desplazamiento
e) La distancia recorrida
𝒅𝟏 ∆𝒓𝟏 𝟒𝟐𝑲𝒎
𝒅𝟐 ∆𝒓𝟐 √ 𝟒𝟔 𝟐 𝟒𝟔 𝟐𝑲𝒎
𝟔𝟓 𝟎𝟓𝑲𝒎
𝒅𝟑 ∆𝒓𝟑 𝟖𝟎𝑲𝒎
e)
d=𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑
d=42Km+65,05Km+80Km
d=187,05Km
a)
∆ 𝟏 𝟒𝟐𝑲𝒎;𝑵𝟏𝟓 𝑬 𝟒𝟐𝑲𝒎;75°) = (10, 87𝒊 +40, 57𝒋 )
km
∆ 𝟐 (46𝒊 +46𝒋 ) km
∆ 𝟑 𝟖𝟎𝑲𝒎;𝟐𝟎 𝟕𝟓 𝟏𝟖𝒊 +27, 36𝒋 ) km
∆ 𝟏 𝑨 𝒐
∆ 𝟐 𝑨 𝑩
𝑩 ∆ 𝟐 𝑨
∆ 𝟑 𝑪 𝑩
𝑪 ∆ 𝟑 𝑩
b)
𝑨= (10, 87𝒊 𝟒𝟎 𝟓𝟕𝒋 𝒌𝒎
𝑩= (46𝒊 𝟒𝟔𝒋 𝒌𝒎 (10, 87𝒊 𝟒𝟎 𝟓𝟕𝒋 𝒌𝒎
𝑩= (56,87𝒊 𝟖𝟔 𝟓𝟕𝒋 𝒌𝒎
𝑪= (75,18𝒊 𝟐𝟕 𝟑𝟔𝒋 𝒌𝒎 (56,87𝒊 𝟖𝟔 𝟓𝟕𝒋 𝒌𝒎
𝑪= (132 𝟎𝟓𝒊 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟑𝒋 𝒌𝒎
∆ ∆ 𝟏 ∆ 𝟐 ∆ 𝟑
c)
∆ = [(10, 87𝒊 𝟒𝟎 𝟓𝟕𝒋 (46𝒊 𝟒𝟔𝒋 + (75, 18𝒊 𝟐𝟕 𝟑𝟔𝒋 ]𝒌𝒎
∆ = (132, 05𝒊 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟑𝒋 𝑲𝒎
d)
∆𝒓𝟐= [(𝟏𝟑𝟓 𝟎𝟓 𝟐 𝟏𝟏𝟑 𝟗𝟑 𝟐]
∆𝒓= 174,41𝑲𝒎
C
20
∆
B
𝑪
∆ 𝟐
𝑩 A
∆ 𝟏
15
0
24K
126
EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA
1. La longitud del hilo que sostiene una cometa es de 250m y el ángulo
de elevación de la cometa es de 40°.hallar su altura suponiendo que
el hilo que la sostiene se mantiene recto.
2. Desde un sitio situado a 210m medido sobre la horizontal de una
tienda se observa que el ángulo de elevación de su cúspide es de
60°.calcular la altura de la tienda.
3. Desde la parte superior de una torre de 130m de altura se observa
que el ángulo de presión de una flor que está a nivel con la base de la
torre es de 23°43minutos cuáles son las distancias de la flor a la
punta y a la base de la torre.
4. Para calcular el ancho de un rio se midió una distancia XY a lo largo
de su orilla tomando tomándose el punto X directamente opuesto a un
árbol Z sobre el otro lado. Si observo que el ángulo XYZ era de 66° y
la distancia XY 20m. Hállese el ancho del rio.
5. Las mangas de una camisa forman un triángulo isósceles y sus
ángulo iguales son de 35° y la base o unión es de 390cm. Hallar las
medidas de los lados de las magas de la camisa y el ángulo faltante
que forma.
6. Una escalera de 25cm está apoyada sobre la pared de un edificio
estando su base a 15cm del edificio. Que ángulo forma la escalera
con el piso?.
7. Franklin compra un tubo grande y quiere armar un triángulo
rectángulo, pero al cortar mal el tubo hizo un triángulo isósceles que
los tubos de los lados que salieron iguales median 40cm de largo y
los ángulos que estaban en la base era cada uno de 25°.ayuda a
encontrar las otras medidas del triángulo hecho por Franklin.
127
EJERCICIOS DE VECTORES.
1. Un oso panda se encuentra en un punto de ordenadas (-2,4) Km con
respecto a una montaña llena de bambú. Determinar el vector
posición del oso panda a la montaña.
2. un helicóptero se encuentra a 125km de la torre de control en
dirección SUR 17° ESTE. Determinar el vector posición del
helicóptero.
3. Un barco se encuentra a 325Km del farol del control en dirección
N27°E . Determinar el vector posición del barco.
4. Desde la torre de control se divisa una avioneta en (5,2)Km y un avión
comercial (1,-3).Calcular :
a.- La posición a la avioneta con respecto al avión comercial.
b.- La posición del avión comercial con respecto a la avioneta.
5. Si desde un observatorio instalado en la playa se ve un avión a una
distancia de 2.5Km en dirección SE y un barco a una distancia de
3.8Km en dirección Sur 72®Oeste.¿cuál es la posición del avión
respecto al barco?
6. Desde la orilla de un rio se divisa a una mujer en (-3,1)Km y su perrito
(8,4)Km. calcular:
a.- La posición de la mujer con respecto a su perrito.
b.- La posición del perrito con respecto a la mujer.
7. La magnitud de una escalera es de 6m y forma un ángulo de 35® con
el piso pero en sentido positivo de las x. determinar:
a.- Las componentes del vector
b.- Las coordenadas del vector
c.- Los ángulos directores
d.- El vector unitario.
8. El bus se encuentra a 250Km de su parada en dirección SO
.Determinar el vector posición del bus.
128
9. Para ir de una ciudad a otra un vehículo recorre por carreteras
rectas,(42Km;N15®E),luego(46i +46j)Km y finalmente (80km;20®).
Determinar:
a.- Desplazamientos realizados
b.- Vector posición de cada punto
c.- Desplazamiento total realizado
d.- Modulo del desplazamiento
e.- Distancia recorrida
10. Su mama se encuentra a un punto de ordenadas (8,-6)Km con
respecto a la cocina. Determinar el vector posición.
129
Bibliografía
Aguilar A.,Bravo F. (2009). Geometría y Trigonometría. México:
Pearson.
Alonso R., Marcelo; Acosta M., Virgilio. (1983). Introducción a la Física.
Bogota, Colombia: Cultural Ltda.
Alvarenga, B. (2002). Física General. México: Eros.
Bedoya, L. (1993). Serie Matemática Progresiva. Santa fé de Bogotá,
Colombia: Grupo Editorial Norma.
Blatt, F. (1991). Fundamentos de Física (Tercera ed.). México: Prentice
Hall.
Castaneda, H. (1983). Física (Vol. 1). Medellin, Colombia: Susaeta
Ediciones & cia. Ltda.
Galdós, L. (1989). Geometría Trigonometría (1era ed.). Madrid: Cultural
S.A.
Granville, W. (1995). Trigonometria Plana y Esférica. México D.F.:
Limusa S.A.
Grossman, S. (2008). ÁLGEBRA LINEAL. México: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A.
Peña Geraldino, R. (2005). Matemática IV. Santo Domingo: Antillas.
Rojo, A. (1979). Física (Vol. 1). México: Reverte.
SCHAUM, D. (1991). FÍSICA GENERAL. MÉXICO, D.F.: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA DE MÉXICO, S.A.
Trigonometría. (21 de Abril de 2015). wikipedia. (L. E. Wikipedia, Editor)
Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
Valero, M. (1982). Fisica Fundamental I. Bogotá, Colombia: Norma S.A.
Vallejo Zambrano. (2005). Física Vectorial I. Quito: Rodin.
Wikipedia(FÍSICA). (19 de abril de 2015). Wikipedia. (W. L. Libre, Editor)
Obtenido de
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsica&oldid=8
1722492
130
Wikipedia(Vector). (23 de Abril de 2015). Wikipedia. (W. L. libre, Editor)
Obtenido de
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector&oldid=81976364
WILSON, J. D. (1991). Física con aplicaciones. México: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA DE MÉXICO, S.A.
ANEXOS
TABULACION.
IMPORTANCIA DE LA TRIGONOMETRIA PARA LA RESOLUCION DE
VECTORES EN DOS DIMENSIONES EN LOS CADETES DE PRIMER AÑO
DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR N°11 “HÉROES
DEL CENEPA”
Cadetes del COMIL - 11
Numero de
cadetes
Relación de la trigonometría y los
vectores
Complejidad Funciones
Trigonométricas
Complejidad Partes de un
Vector
Dificulta de aprendizaje de Vectores en el primer año de
bachillerato
3ro Bachillerato 21 10 2 18 18
2do bachillerato “A” 22 16 4 18 20
2do Bachillerato “B” 20 14 4 18 19
1ro Bachillerato “A” 20 9 10 19 18
1ro Bachillerato “B” 17 9 12 17 16
Elaborado por: El Autor
Fuente: Investigación
4.1.2.- GRAFICACION.
IMPORTANCIA DE LA TRIGONOMETRIA PARA LA RESOLUCION DE
VECTORES EN DOS DIMENSIONES EN LOS CADETES DE PRIMER AÑO
DE BACHILLERATO DE LA UNIDAD EDUCATIVA MILITAR N°11 “HÉROES
DEL CENEPA”
4.1.3. RECURSOS.
Este proyecto de investigación están definidos tres recursos:
a.- Los Recursos humanos que son las personas necesarias para el trabajo
de Investigación en este caso el autor de este tema investigativo, estudiante
de la Universidad tecnológica Equinoccial Sr. Téc. Damián Humberto Álvarez
Robalino, las autoridades de la Unidad Educativa Militar N°11 “Héroes del
Cenepa” con su ayuda y factibilidad de información, Srs. docentes del área
de Matemática con ardua experiencia en los años lectivos anteriores y los
1ro CIENCIAS "A"
1ro CIENCIAS "B"
2do CIENCIAS "A"
2do CIENCIAS "B"
3ro CIENCIAS
Srs. cadetes del Primer año Bachillerato Ciencias Generales y años
superiores, así como egresados son quienes serán el equipo de apoyo para
que se pueda realizar este tema de investigación.
b.- Los Recursos materiales, además de los instrumentos de recolección de
información como encuestas, material informático como son computador,
impresora, etc.
c.- Los Recursos económicos debido a encontrarse la unidad educativa
militar N°11 “Héroes del Cenepa” en una zona distante utilizaremos recursos
propios costeados por el autor de este tema Investigativo
ENCUESTAS
ENCUESTAS APLICADAS A ESTUDIANTES
IMPORTANCIA DE LA TRIGONOMETRIA Y SU INCIDENCIA EN EL
RENDIMIENTO ESCOLAR DE LOS ALUMNOS EN EL APRENDIZAJE DE
VECTORES EN DOS DIMENSIONES
CUESTIONARIO – ALUMNOS - EXALUMNOS
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos
por usted. Lea detenidamente cada enunciado, marque una sola alternativa
con una X dentro de la casilla correspondiente.
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el
éxito de la investigación.
1.- ¿Qué materia de las que estudias crees que es la que mayores
dificultades de aprendizaje tiene?
A. Matemáticas……………….………………………………………………….
B. Cívica.....………………….…………………..………………………………
C. Entorno
Social................….…………………………………………………..
D. Entorno
Natural……………………………………………………………….
2.- ¿Qué factor es el que consideras complica el aprendizaje efectivo
de la materia que has escogido?
A. El método de
enseñanza………………………………….…………………
B. El profesor de la materia…………………………………………………….
C. La complejidad de los temas estudiados …………………………………
3.- ¿Qué factor facilitaría tu aprendizaje?
A. Un mejor esquema metodológico………………………………..…………
B. Mayor desarrollo de ejercicios y prácticas vinculadas a los temas
tratados……………………………………………………………………….
C. Mayor explicación por parte del profesor………………….………………
4.- ¿Piensa que los temas aprendidos en el colegio aportan a tu vida
como profesional en un futuro?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha tenido dificultad para
comprender la resolución de problemas de trigonometría?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
6.- ¿Conoce le método de resolver problemas de vectores de 2
dimensiones aplicando trigonometría?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
7.- Si para la resolución de problemas de vectores de 2 dimensiones, la
aplicación de trigonometría facilitaría el proceso, ¿usted aplicaría este
método de solución en su aprendizaje?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
8.- ¿Es usted consiente que al aprender a resolver problemas de
vectores de 2 dimensiones con un método que facilitaría su solución
mejoraría su rendimiento académico?
A. Si………………………………………………………..…………………..
B. No…………….……………………………………….….…………………
9.- ¿Tiene interés en aprender más sobre la resolución de problemas de
vectores de 2 dimensiones aplicando el método de trigonometría?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN!
ENCUESTAS APLICADAS A DOCENTES
EL TRABAJO DOCENTE Y SU INCIDENCIA EN EL APRENDIZAJE DE
VECTORES EN DOS DIMENSIONES
CUESTIONARIO – DOCENTES
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean
respondidos por usted. Lea detenidamente cada enunciado, marque
una sola alternativa con una X dentro de la casilla correspondiente.
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el
éxito de la investigación.
1.- ¿Qué materia de las que estudias crees que es la que mayores
dificultades de enseñanza se tiene?
A. Matemáticas………………………………………………………………….
B. Cívica.....……………………………………..………………………………
C. Entorno Social.......................…………………………..…………………..
D. Entorno
Natural……………………………………………………………….
2.- ¿Qué factor es el que consideras complica el aprendizaje efectivo
de la materia que has escogido?
A. El método de enseñanza……………………………….…………………
B. Falta de bibliografía…..………………………………..………………….
C. La complejidad de los temas estudiados ………………………………
D. Poco interés del alumnado………………………………………………..
3.- ¿Qué factor facilitaría tu aprendizaje?
A. Un mejor esquema metodológico……………………………………….….
B. Mayor desarrollo de ejercicios y prácticas vinculadas a los temas
tratados……………………………………………………………………….
C. Mayor motivación del estudiante por el aprendizaje…………………….
4.- ¿Piensa que los temas aprendidos en el colegio aportan a la vida del
estudiante como profesional en un futuro?
A. Si……………………………………………………………….……………..
B. No…………….………………………………………………….……………
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha tenido dificultad para
enseñar la resolución de problemas de vectores de 2 dimensiones?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
6.- ¿Usted como docente estima que es factible optar por la resolución
de problemas de vectores con 2 dimensiones utilizando trigonometría?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
7.- ¿Facilitaría el proceso enseñanza aprendizaje la utilización de la
trigonometría en la resolución de problemas de vectores con 2
dimensiones?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
8.- ¿Podría decir usted que al enseñar a resolver problemas de vectores
de 2 dimensiones con un método que facilitaría su solución mejoraría
el rendimiento académico del estudiantado?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
9.- ¿Ha notado interés por parte de los estudiantes en aprender más
sobre la resolución de problemas de vectores de 2 dimensiones
aplicando el método de trigonometría?
A. Si……………………………………………………………….………………
B. No…………….…………………………………………………….………….
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN!
ENCUESTAS APLICADAS A PADRES DE FAMILIA
EL TRABAJO DE PADRES DE FAMILIA Y SU INCIDENCIA EN EL
RENDIMIENTO ESCOLAR DE LOS ALUMNOS
CUESTIONARIO – PADRES DE FAMILIA
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean
respondidos por usted. Lea detenidamente cada enunciado, marque
una sola alternativa con una X dentro de la casilla correspondiente.
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el
éxito de la investigación.
1.- ¿Qué materia de las que estudia su hijo ha notado que tiene
mayores dificultades de aprendizaje?
A. Matemáticas………………………………………………………………….
B. Cívica.....…………………………..…………………………………………
C. Entorno Social......................………………………………………………..
D. Entorno Natural………………………………………..…………………….
2.- ¿Qué factor es el que considera complica el aprendizaje efectivo de
las materias que se dictan en el colegio de su hijo?
A. El método de
enseñanza………………………………….…………………
B. Falta de bibliografía…..…………………………..………………………….
C. La complejidad de los temas estudiados …………………………………
D. Poco interés del alumnado………………………..………………………..
E. Poco interés por el
profesor…………………………………………………
3.- ¿Qué factor facilitaría el aprendizaje de las materias que estudia su
hijo en el colegio?
A. Un mejor esquema metodológico…………………………………………
B. Mayor desarrollo de ejercicios y prácticas vinculadas a los temas
tratados…………………………………………………………..……………
C. Mayor motivación del estudiante por el
aprendizaje………………………
D. Mayor apoyo de los padres de familia en
casa…………………………….
4.- ¿Piensa usted que los temas aprendidos en el colegio aportan a la
vida de su hijo como profesional en un futuro?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
5.- ¿Dentro de la materia de matemáticas ha notado dificultad en
resolución de problemas en las tareas que su hijo realiza en casa?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
6.- ¿Usted como padre de familia estaría de acuerdo en cambiar el
proceso de aprendizaje con el fin de mejorar el entendimiento de la
materia por parte de su hijo?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
7.- ¿Ha escuchado mencionar a su hijo alguna dificultad en la
resolución de ejercicios de vectores con 2 dimensiones a través de la
utilización de trigonometría?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
8.- ¿Cree usted que el rendimiento de su hijo mejoraría si se utilizan
alternativas de mejor resolución de problemas para ejercicios y tareas
en casa, a fin de reforzar el entendimiento del estudiante?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
9.- ¿Ha notado interés por parte de los estudiantes en aprender más
sobre la resolución de problemas de matemáticas por su propia cuenta
como por ejemplo, clases particulares, bibliografía, internet, repasos
grupales con compañeros entre otros?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
10.- ¿Cree usted que el aprendizaje de un estudiante mejora con la
vinculación de estudiantes, padres de familia y profesores?
A. Si……………………………………………………………………………..
B. No…………….………………………………………………………………
¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN!
