Factorización y productos notables.La factorización es un procedimiento por el cual se deshace la multiplicación, y su importancia es grande ya que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones y en general, dentro del proceso de solución de problemas de diferentes temas de la matemática, ayuda sistemáticamente, a encontrar la solución buscada.La factorización es una operación que consiste: dado un polinomio P(x) hallar dos o más polinomios de menos grados llamados factores de P(x) dados que multiplicados entre sí de P(x).

Hallar el producto y descomponer en factores son dos operaciones inversas, es decir:

Multiplicación

5(X + 1)(X - 3) 5x2 - 10x - 15

Factorización

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.Existen varios métodos de factorización completa de un polinomio, la utilización de los mismos esta en relación de la naturaleza del polinomio.

FACTOR COMÚN.Cuando todos los términos del polinomio dado tienen un factor común o varios en virtud de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se puede sacar factor común.Conmutando dicha igualdad se tiene la distributividad aplicada en sentido inverso: ab + ac + ad = a ( b + c + d )Para sacar el factor común a un polinomio se dividen todos los términos del polinomio por el factor común escribiendo los cocientes parciales entre paréntesis, indicando el producto del polinomio cociente por el factor común.

Ejemplo: Factorizar 3x3y - 24 x2y + 6xy = 3xy ( x2 - 8x + 2 )FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.Para factorizar un polinomio por este criterio se agrupa aquellos términos que tengan un factor común y se aplica la regla anterior. El polinomio necesita tener como mínimo cuatro términos para formar 2 grupos de dos elementos.Ejemplo: Factorizar a2x - ax2 - 2a2 y + 2axy + x3 - 2x2y = ( a2 x - 2 a2 y ) - ( ax2 - 2axy ) + ( x3 - 2 x2 y ) = a2 ( x - 2y ) - ax ( x - 2y ) + x2 ( x - 2y ) = (x - 2y ) ( a2 - ax + x2 )

Con los seis términos del polinomio anterior se pueden formar tres grupos de dos términos o dos grupos de tres resultando el mismo producto.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Este método solo puede utilizarse en trinomios que cumplan con ciertas condiciones:a) Los signos de los términos son iguales o alternos.b) El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos.c) El segundo término es el doble producto de las raíces de los términos primero y tercero.

Al trinomio que cumpla las condiciones anteriores se denomina trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos: Factorizara) 1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2

1 / 5 x2 5 y 2 ( 1/ 5 x2 ) ( 5 y ) = 2 x2 y

Después de verificar si el polinomio en cuestión es trinomio cuadrado perfecto se escriben las raíces cuadradas del primer y tercer término separadas por el signo del segundo término dentro de un paréntesis que deberá elevarse al cuadrado.

1 / 25 x4 + 2 x2 y + 25 y2 = ( 1 /5 x2 + 5y)2

b) 25 x2 + 10 x -1c) a2 - ab + b2

Los ejemplos b y c no son trinomios cuadrados perfectos por no cumplir con todas las condiciones mencionadas.

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c.El método para factorizar trinomios de este tipo, de segundo grado o reducibles a segundo grado, consiste en abrir dos paréntesis los cuales tendrán como primer término la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Después del primer término, en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que resulta de la ley de los signos de la multiplicación del segundo y tercer término del trinomio. Por último, se buscan dos números que como producto tengan al tercer término y como suma, al segundo término del trinomio. El mayor de éstos se coloca en el primer factor y el menor en el segundo.Ejemplos: Factorizar

a) x2 + 30 x - 400 solución: x2 + 30x - 400 = ( x + 40) ( x - 10)

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c.Cuando el polinomio tiene como coeficiente del término de mayor exponente un número distinto a la unidad se procede de la siguiente forma: se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del término cuadrático y se divide por el mismo. Se hacen los arreglos correspondientes con el objeto de expresar el polinomio de la forma x2 + bx + c y factorizar de la forma anterior.Ejemplos: Factorizar

a) 3 x2 - 5 x - 2

solución:

= (x – 2) (3x + 1) b) 27ab - 9b2 -20a2

solución: se ordena y se puede reducir el procedimiento

DIFERENCIA DE CUADRADOS.Diferencia de cuadrados perfectos se le llama al binomio cuyos términos tengan raíz cuadrada exacta. Para factorizarlo se saca la raíz cuadrada a cada uno de los términos que serán colocadas en dos binomios factores que deberán tener signos alternados en cada factor respectivamente.

a2 – b2 = ( a – b ) (a + b ) el orden de los factores no altera el producto a bEjemplos: Factorizar

a) 225x8 – 256y2z6

solución: 225x8 – 256y2z6 = (15x4 + 16yz3 ) (15x4 - 16yz3 )b) (x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36) solución: (x2y2 – 4y2) – (9x2 – 36) = y2 (x2 –4) – 9(x2 – 4) = (y2 – 9) (x2 – 4) = (y + 3)(y –3)(x + 2)(x – 2)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.La suma o diferencia de cubos se descompone en dos factores donde el primero está compuesto por la suma o diferencia de las raíces cúbicas del binomio a factorizar y el segundo por un trinomio cuyo primer término es el producto de la primera raíz elevada al cuadrado por la segunda raíz elevada a la cero, el segundo termino se obtiene restando uno y sumando uno a los exponentes de los factores del término anterior respectivamente y multiplicando las dos potencias, y el tercer término, al igual que el segundo se resta uno y se suma uno a los exponentes de los factores del término anterior respectivamente multiplicando dichas potencias. En caso de que el primer factor sea una suma, los signos de los términos en el segundo factor estarán alternados; en caso de que en el primer factor sea una diferencia, los signos de los términos en el segundo factor serán positivos.

positivo Signos alternados a3 + b3 = ( a + b) (a2 b0 - a1 b1 + a0 b2) a b

a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )

negativo positivos a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )

Ejemplos: Factorizar a) a12 + b12

solución: a12 + b12 = (a4 + b4)

= (a4 + b4 ) (a8 – a4 b4 + b8 )

b) x3 – 8y3

solución : x3 – 8y3 = ( x – 2y)

= ( x – 2y ) ( x2 + x y + 4y2 )

SUMA O DIFERENCIA DE BASES CON EXPONENTES IMPARES IGUALES.Cuando el binomio no es una suma o diferencia de cubos se procede a factorizar exactamente de la misma forma; se le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor separadas del signo del segundo término del polinomio a factorizar. En el segundo factor se escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del binomio a factorizar seguida de la segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se obtiene sumando uno y restando uno a los exponentes del primer término respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los términos del segundo factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término.

Ejemplos: a) a7 – b7 Solución: a7 – b7 = (a – b )( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6) = (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 ) b) 32 x5 + y10

Solución: 32x5 + y10 =

( 2x)5 + ( y2)5 =

= ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR EL MÉTODO DE EVALUACIÓN.Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más términos. El método utilizado es por le regla de Ruffini con el objetivo de encontrar un cociente (factor ) que al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo producto, el dividendo (polinomio a factorizar). Para cumplir con lo anterior es necesario observar que el residuo debe ser cero, o sea:

Teorema del factor.-Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0Condición necesaria de divisibilidad.- Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no suficiente que el término independiente del dividendo sea divisible entre a.Método de evaluación.-

Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x, para él utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.

Ejemplos: 1) Factorizar por evaluación x4 + 3x3 – 23x2 – 75x – 50 Solución: Se buscan los divisores de 50: a = hay que verificar con cada uno de los divisores hasta encontrar P(a) = 0 P(1) = = -144

P(-1) = 0 éste es un factor Por Ruffini: 1 3 -23 -75 -50 -1 -1 -2 25 50

1 2 -25 -50 0

quedando los factores: (x3 + 2x2 –25x –50) (x + 1)Para factorizar completamente hay que factorizar cada uno de los factores si es posible. El primero de los factores anteriores no está completamente factorizado por lo que hay que hacerlo nuevamente por Ruffini o por cualquier otro método, en este caso trataremos nuevamente por Ruffini.

1 2 -25 -50 Siguiendo los pasos anteriores

-2 -2 0 50 se separan en factores 1 0 -25 0 quedando : x3 + 2x2 – 25x – 50 = (x2 – 25)(x + 2) juntando todos los factores del polinomio inicial: (x + 1)(x2 – 25)(x + 2)observando el factor de en medio puede verse que aún falta por factorizar por lo que el resultado de la factorización completa es: (x + 1) (x + 5) (x – 5) (x + 2).Es recomendable utilizar como último recurso el método de evaluación pues es un procedimiento más largo que los anteriormente vistos.

RESUMIENDO:Para factorizar una expresión algebraica es necesario reconocerla en alguna de las siguientes:

Expresión algebraica de dos términos Expresión algebraica de tres términos

Expresión algebraica de cuatro o mas términosDespués de identificarla factorizar siguiendo el orden correspondiente. Expresión de dos términos: 1.- Factor común 2.- Diferencia de cuadrados perfectos 3.- Suma o diferencia de cubos 4.- Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales. Expresión de tres términos: 1.- Factor común 2.- Trinomio cuadrado perfecto 3- Trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c 4.- agrupación de términos Expresión de 4 o más términos: 1.- Factor común 2.- Factor común por agrupación del mismo número de términos 3.- Factor común por agrupación de diferente número de términos 4.- Método de evaluación