Vectores

PrecálculoQuinta Edición

Prof. Juan Serrano, MA

PROF. JUAN_SERRANO

Introducción

En aplicaciones de

matemáticas, ciertas cantidades se

determinan por completo por su

magnitud; por

ejemplo, longitud, masa, área, temper

atura y energía.

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Descripción geométrica de

vectores

Un vector en el plano es un segmento de recta con

una dirección asignada.

A.

.B

AB

Este vector se denota por:

El punto A es el punto

inicial y B es el punto

terminal.

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La longitud del segmento de recta AB se conoce como la magnitud o longitud del vector y se denota mediante:

Se usan letras en negritas para denotar vectores. Estos se escriben de la siguiente forma:

Se considera que dos vectores son iguales si tienen igual magnitud y la misma dirección.

AB

ABu

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Si el desplazamiento del vector AB va seguido

del desplazamiento BC, entonces el

desplazamiento resultante es AC.

Suma de vectores

A

C

BA B

B CA C

BCABACPROF. JUAN_SERRANO

Si a es un número real y v es un vector, se define

un nuevo vector av como sigue: el vector av tiene

magnitud y tiene la misma dirección que v si

a>0 o la dirección opuesta si a<0.

Suma de vectores

v

u

v + u

va

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Forma de componentes de

un vector

),( 22 yxQ

1212 , yyxxv

Si un vector v se representa en el plano con

punto inicial y punto terminal ),( 11 yxP

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Ejemplo (1)

a) Encuentre la forma de componentes del

vector u con punto inicial (-2, 5) y punto

terminal (3, 7).

b) Si el vector se bosqueja con

punto inicial (2, 4), ¿cuál es el punto

terminal?

c) Bosqueje representaciones del vector

con puntos iniciales

(0, 0), (2,2), (-2, -1) y (1, 4).

7,3v

3,2w

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Solución (a)

2,5v

____________,____v

Ejemplo:

a) Los puntos son: (-2, 5) (3, 7).

3 (-2) 7 5

____________,____v 3 2 7 5

Por lo tanto el vector deseado es:

2,5vPROF. JUAN_SERRANO

Encuentre la forma de componentes del

vector u. Usa la formula:

1. (3, 4), (6, -8)

2. (-3, -7), (-9, -10)

3. (6, 7), (2, 0)

4. (0,0), (7, 8)

5. (5, 0), (7, 0)

6. (9, 5), (10, 0)

7. (0, 9), (9, 0)

1212 , yyxxv

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Solución (b)

4) (2, es inicial punto ely 7,3v

7,3__________,yxv

4

2

y

x

2 4

3

7

= 5

= 11

El punto terminal es (5, 11)PROF. JUAN_SERRANO

Halla el punto resultante y traza

cada vector en el plano.

1) v = <3, 5>, el punto inicial es (8, 0)

2) v = <0, 9>, punto terminal es (10, 2)

3) v = <9, 0>, punto terminal es (-10, 2)

4) v = <-9, -9>, punto inicial es (0, 0)

5) v = <-3, -5>, punto terminal es (-6, -5)

6) v = <7, -7>, punto inicial es (0, 0)

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3,2w ,(0, 0), (2,2), (-2, -1), (1, 4)

(4, 3), (8, 5) y (10, 5).

(-2, -1)

(1, 4).

(0, 0)

(4,3),

(8,5), (10,5),

(2,2),

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Resuelve según se hizo

clases

1) w = < 5, -6>, (3, 0), (4, 9), (4, 7), (10,2), (7, 8),(9, 0)

2) v = <5, 6>, Punto inicial (8, -9).

3) u = <7, 9>, Punto terminal (-5, -7)

4) Punto inicial (0, 0), Punto terminal (9,0). Halla el vector.

5) Punto terminal (9,7), Punto inicial (6,-7).

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Examen

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22 ABD

MAGNITUD DE UN VECTOR

22BAABD

: :1 vectordelmagnitudlaEncuentraEjemplo

3,2u

2 3

_____

________

ABD

ABD

61.3

4 9

13

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Ejercicios de práctica:

Halla la magnitud o longitud de cada

vector.

1) u = <2, -3>

2) w = <4, 3>

3) v = <10, 9>

4) u = <-7, 0>

5) v = <0, -9>

6) w = <-6, -8>

7) u =<3/5, 4/5>

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Halla la magnitud del vector

representado:

5,4El vector es

Utilizando la información dada, halla el vector representado y su magnitud.

5

42 2

v A B

Solución:

2 2____ ____

____ ____

5 4

25 16

___41

6.40

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Halla la magnitud de cada

vector:

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Dados C(8, -2) y D(4, 6), encuentra la

magnitud y dirección de CD.

2 2

2 1 2 1CD x x y y

2 2__ __ __ __CD

8 4 -2 6

2 24 8CD

80CD

CD

8.9

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Dibuja cada vector. Luego encuentra la

magnitud redondeada a la decima mas

cercana.

1) A(4, 2), B(7, 22)

2) A(0, -20), B(40, 0)

3) A(0, 6), B(-6, 0)

4) A(12, -4), B(19, 1)

5) A(1, 4)

6) A(-3, 4)

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Utilizando vectores, dibuja la siguiente figura:

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Operaciones algebraicas en

vectores

:, entonces,ba y v,baSi u 2211

2121 , bbaavu

bbaavu 2121 ,

Rc 11,cbcacu

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Operaciones con vectores

v u v y u, v, v, u a u , encuentr, y v , Si u 32322132

1,12,13,2vu

5,32,13,2vu

6,43,222u

6,32,133v

0,16,36,42,133,2232 vu

Solución: Por las definiciones de operaciones con vectores, se tiene:

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Propiedades de los vectores

uccu

un vector de Longitud

u0u

wv)(uw)(vu

uvvu

vectoresde Suma

00

00

1

)()()(

)(

)(

escalarun por r Multiplica

c

u

uu

cudducucd

udcuudc

cvcuvuc

Un vector de longitud 1 se llama vector unitario. Dos vectores

unitarios útiles son i y j, definidos por:PROF. JUAN_SERRANO

EjerciciosEncuentra 2u, -3v, u + v, 3u – 4v

8,9 v,3,2 u 5)

1,-2- v,0,0 u 4)

2,0- v,0,-1 u 3)

2,-8 v,2,5- u 2)

3,1 v,2,7u 1)

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Preguntas…???

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