Introducción al método de los Introducción al método de los elementos finitoselementos finitos

Métodos Numéricos 2Métodos Numéricos 2Métodos Numéricos 2Métodos Numéricos 2

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Dep. de Matemàtica Aplicada IIIDep. de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de CatalunyaUniversitat Politècnica de Catalunya

wwwwww--lacan.upc.eslacan.upc.es

Ventajas del método de los Ventajas del método de los elementos finitos (EF)elementos finitos (EF)

Mallas no estructuradas: Mallas no estructuradas:

dominios con contornos dominios con contornos

irregulares, irregulares, adaptatividadadaptatividad

Las condiciones de contorno se imponen de forma Las condiciones de contorno se imponen de forma

2

Las condiciones de contorno se imponen de forma Las condiciones de contorno se imponen de forma sistemática (sin casuística)sistemática (sin casuística)

Programas de EF con rutinas generales: cálculo Programas de EF con rutinas generales: cálculo sistemático de todo, describiendo de forma adecuada sistemático de todo, describiendo de forma adecuada los datos del problema (geometría, condiciones de los datos del problema (geometría, condiciones de contorno...) un solo código de EF permite resolver contorno...) un solo código de EF permite resolver varios problemas de contorno.varios problemas de contorno.

Problema mecánico (I)Problema mecánico (I)Principio de los trabajos virtualesPrincipio de los trabajos virtuales

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para cualquier desplazamiento virtual v (con v=0 en para cualquier desplazamiento virtual v (con v=0 en ΓΓdd))

Problema mecánico (II)Problema mecánico (II)Residuos ponderadosResiduos ponderados

Ecuación de equilibrioEcuación de equilibrio

Premultiplicando por v tal que v=0 en Premultiplicando por v tal que v=0 en ΓΓdd

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ConsiderandoConsiderando

Utilizando el teorema de la divergencia de GaussUtilizando el teorema de la divergencia de Gauss

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Dado que v=0 en Dado que v=0 en ΓΓdd, , σσn=t en n=t en ΓΓnn y y σσ es un tensor es un tensor simétricosimétrico

Problema modeloProblema modelo

concon

Residuos ponderadosResiduos ponderadosForma fuerteForma fuerte

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concon

Premultiplicando por una función de test v tal que Premultiplicando por una función de test v tal que v=0 en v=0 en ΓΓdd

utilizandoutilizando

aplicando el teorema de la divergencia de Gaussaplicando el teorema de la divergencia de Gauss

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dado que v=0 en dado que v=0 en ΓΓdd y un=gy un=gnn en en ΓΓnn

Forma débilForma débil

“Encontrar u“Encontrar u∈∈HH11((ΩΩ)) tal que u=utal que u=udd en en ΓΓdd yy

para cualquier función de test vpara cualquier función de test v∈∈HH11((ΩΩ) tal que ) tal que v=0 en v=0 en ΓΓdd” , donde” , donde Bilineal, Bilineal,

simétrica y simétrica y

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Es fácil demostrar que la forma fuerte y la forma Es fácil demostrar que la forma fuerte y la forma débil son equivalentes.débil son equivalentes.

simétrica y simétrica y coercivacoerciva

Interpolación seccional (Spline)Interpolación seccional (Spline) Se considera una interpolación seccional (lineal CSe considera una interpolación seccional (lineal C00, ,

cúbica Ccúbica C11,...),...)

Ni(x)

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Ventajas:Ventajas:–– soporte compacto (bases locales) soporte compacto (bases locales) ⇒⇒ matrices casimatrices casi--vacías vacías

–– fácilmente integrablefácilmente integrable

–– coeficientes ucoeficientes uii con significado físicocon significado físico

Valores prescritosValores prescritos

Se fijan los coeficientes que corresponden a valores Se fijan los coeficientes que corresponden a valores conocidos por las condiciones de contorno esencialesconocidos por las condiciones de contorno esenciales

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–– uuhh(x) verifica (salvo error asociado a la (x) verifica (salvo error asociado a la interpolación) la condición de contorno esencial interpolación) la condición de contorno esencial u=uu=udd en en ΓΓdd

–– NNii(x)=0 en (x)=0 en ΓΓdd para ipara i∉∉B B (funciones de test v)(funciones de test v)

Existen otras técnicas: multiplicadores de Lagrange, Existen otras técnicas: multiplicadores de Lagrange, métodos de penalización, método de Nitsche...métodos de penalización, método de Nitsche...

Discretización de la forma débilDiscretización de la forma débil Imponiendo la forma débil para v=Imponiendo la forma débil para v=NNii(x) con i(x) con i∉∉BB y y

sustituyendo la interpolación usustituyendo la interpolación uhh(x) (x)

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Sistema lineal de ecuacionesSistema lineal de ecuaciones

Ejemplo 1D (con spline lineal CEjemplo 1D (con spline lineal C00))

Interpolación:Interpolación:

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Sustituyendo la aproximación y v=NSustituyendo la aproximación y v=Nii para i=1...5para i=1...5

o, equivalentemente,o, equivalentemente,

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Sistema lineal 5Sistema lineal 5××5:5:

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La matriz del sistema es La matriz del sistema es tridiagonaltridiagonal (en general es (en general es una matriz con pocos coeficientes no nulos)una matriz con pocos coeficientes no nulos)

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Matriz simétrica y diagonalmente dominante: Matriz simétrica y diagonalmente dominante:

matriz matriz simétrica y definida positivasimétrica y definida positiva

Si la forma bilineal a(,) es simétrica y coerciva, la Si la forma bilineal a(,) es simétrica y coerciva, la matriz resultante es simétrica y definida positiva.matriz resultante es simétrica y definida positiva.

El coeficiente (i,j) de la matriz es no nulo sólo si los El coeficiente (i,j) de la matriz es no nulo sólo si los nodos i y j pertenecen al mismo elemento: matrices nodos i y j pertenecen al mismo elemento: matrices casicasi--vacíasvacías

Cálculo de integrales: cuadratura Cálculo de integrales: cuadratura compuestacompuesta Hay que calcular integralesHay que calcular integrales

con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en

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con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en cada elemento)cada elemento)

Se usa una Se usa una cuadratura de Gauss compuestacuadratura de Gauss compuesta(cuadratura de Gauss en cada elemento)(cuadratura de Gauss en cada elemento)

Matrices elementalesMatrices elementales

Ensamblado de matrices elementalesEnsamblado de matrices elementales

La matriz elemental La matriz elemental KKee contiene la contribución del contiene la contribución del elemento elemento ΩΩee a la matriz totala la matriz total

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elemento elemento ΩΩee a la matriz totala la matriz total

donde () denota donde () denota númeronúmero de nodo de nodo locallocal y nnode es y nnode es el número de nodos del elemento. La el número de nodos del elemento. La matriz de matriz de conectividadesconectividades da la correspondencia entre número da la correspondencia entre número de nodo local y número global. de nodo local y número global.

EjemploEjemplo

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KK==

Definición de la Definición de la geometríageometría

(matriz de conectividades)(matriz de conectividades)

(#) numeración local

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KK==KK11==

××××

(#) numeración local

××××

20

KK==KK22==

21

KK==KK33==

Matriz simétrica y semidefinida positiva (falta imponer valores prescritos)

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KK==KK44==

Funciones de formaFunciones de forma

NN (x)=?(x)=?

Cálculo de la matriz elementalCálculo de la matriz elemental

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NNii(x)=?(x)=?

Cuadratura numéricaCuadratura numérica

ΩΩee

(x1,y1)

(x2,y2)(x3,y3)

(x4,y4) Elemento de Elemento de referenciareferencia

Cuadrilátero de 4 nodos Q1: Cuadrilátero de 4 nodos Q1: bilineal, 1,x,y,xybilineal, 1,x,y,xy

Transformación Transformación isoparamétricaisoparamétrica

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Cuadrilátero de 9 nodos Q2: Cuadrilátero de 9 nodos Q2: bicuadráticobicuadrático

Elemento bilineal Q1Elemento bilineal Q1

N1 N2

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N3 N4

Elemento bicuadrático Q2Elemento bicuadrático Q2

N1 N2

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N8 N9

TriángulosTriángulos::

–– Coordenadas de áreaCoordenadas de área

–– Puntos de Puntos de integración integración

P1P1

P2P2

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integración integración específicos para específicos para triángulostriángulos

–– Interpolación lineal Interpolación lineal (P1, 1, x, y), (P1, 1, x, y), cuadrática (P2, 1, x, cuadrática (P2, 1, x, y, xy, xy, xy, x22, y, y22) ...) ...

P3P3

P2P2

Tetraedro de 4 nodos lineal Tetraedro de 4 nodos lineal 1, x, y, z1, x, y, z

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Hexaedro de 8 nodos trilineal Hexaedro de 8 nodos trilineal 1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz

Observaciones finalesObservaciones finales

Para realizar los cálculos sólo es necesario definir:Para realizar los cálculos sólo es necesario definir:

Forma débil del problema de contornoForma débil del problema de contorno

La geometría o malla de elementos finitos: La geometría o malla de elementos finitos: –– coordenadas nodales X coordenadas nodales X –– conectividades Tconectividades T

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–– conectividades Tconectividades T

El elemento de referencia: El elemento de referencia: –– puntos y pesos de integración (cuadratura de puntos y pesos de integración (cuadratura de

Gauss)Gauss)–– valor de las funciones de forma y derivadas en los valor de las funciones de forma y derivadas en los

puntos de integraciónpuntos de integración