VIGAS NUDO RIGIDO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCIÓN ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCUTRAS

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INGENIERÍA CIVIL

VIGAS DE CIMENTACION CON NUDO

RÍGIDO

Edwin Morales Sanipatin

JULIO/2012

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

Análisis Matricial de Estructuras Página

2

MARCO TEORICO

ANÀLISIS CON NUDO RÌGIDO

El modelo de cálculo al que se basa las vigas de cimentación con muros de corte es el análisis de

vigas con sectores de rigidez infinita. La longitud de los elementos que ingresan al nudo tiene rigidez

axial infinita y rigidez a flexión infinita, es decir los sectores de los Muros de corte no van a sufrir

deformaciones.

A continuación se presenta los gráficos en los que se detalla lo anteriormente explicado, además se

detalla cada elemento de este sistema estructural y las coordenadas que se adaptan.

Para encontrar la matriz de rigidez de este elemento emplearemos las siguientes ecuaciones, las

mismas que se basan en análisis de una viga de cimentación totalmente flexible y se complementa con

el aumento de la rigidez por poseer nudos rígidos:



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1. Empezamos por las ecuaciones fundamentales para la rigidez en una viga de cimentación sin nudo

rígido:

Dónde: E: Modulo de Elasticidad del Material

I: Inercia a flexión del Elemento

λ: Constante que depende del suelo β (Coeficiente de Balasto) y del Elemento (EI/r)

Los valores de C,S,c,s se obtiene así:

f: Esla luz libre de la viga

El aporte de los sectores de rigidez infinita a la matriz de rigidez del elemento es el siguiente:

Rigidez Local a flexión:

Rigidez recíproca a flexión:

( )

Rigidez Local a flexión:

Rigidez Local a flexión corte:

Rigidez recíproca a flexión corte:



4

Rigidez Local a flexión corte:

Rigidez recíproca a flexión corte:

Rigidez Local al corte:

Rigidez recíproca al corte:

Rigidez Local al corte:

Dónde:

β1, β2son los coeficientes de balasto del suelo en donde se ubican las secciones rígidas

r1, r2 son las bases de las secciones de rigidez infinita

C1, C2 son las longitudes de las secciones de rigidez infinita

La matriz de rigidez del elemento es entonces:

[

]

Empleado el formulario anterior para obtener la matriz de rigidez de cada elemento podemos hallar la

matriz de rigidez de toda la estructura K por método de ensamblaje directo, luego ubicamos el vector

de Cargas Q que depende de los grados de libertad de la Estructura. Una vez obtenido estas dos

matrices hallamos por solución de ecuaciones el vector de coordenadas q.

Nuevamente por ensamblaje encontramos las deformaciones p de cada elemento y por medio de las

constantes de integración de A1, A2, A3, A4, para posteriormente ubicar las ecuaciones que rigen la

flexión, cortante, giro y desplazamiento a lo largo de toda la viga. El programa de CEINCI-LAB resuelve

la viga y revuelve estos valores cada cuarto de la luz.



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Las constantes se calculan mediante el siguiente formulario de la Tabla 5.2 del Libro Análisis Estático

de Estructuras. Las soluciones particulares Ф, w, m, V se obtienen del formulario de la Tabla 5.1 del

mismo libro.

Por ultimo analizamos la presión transmitida al suelo que es igual al desplazamiento vertical por el

coeficiente de balasto del suelo:

En cada punto de la viga esta presión debe ser menor al esfuerzo admisible del suelo.

En el caso de que esta condición no se cumpla se debe cambiar la sección de la viga de cimentación,

por lo general se aumenta la base mas no altura del elemento que transmite mucha presión al suelo.

PROGRAMAS DE CEINCI-LAB

Rigidez de una Viga de Cimentación con Nudos Rígidos

La siguiente función creada en Matlab tiene como datos de entrada todos los especificados en los

gráficos, además de los parámetros que dependen del suelo βy del material de la viga E.

%Inicio function

[K3]=k_elem_viga_cim_Nudo_Rigido(r,r1,r2,h,L,C1,C2,E,bal,bal1,bal2) % r,h Dimensiones de la viga de cimentación % L Longitud del Elemento % E Modulo de Elasticidad del Elemento % bal Coeficiente de Basalto I=r*(h^3)/12; EI=E*I; %Momento de inercia y rigidez a flexión landa=((4*EI)/(bal*r))^0.25; %Longitud elástica a flexión f=L-C1-C2; s=sin(f/landa);c=cos(f/landa);S=sinh(f/landa);C=cosh(f/landa); den=S^2-s^2; B=bal*r; B1=bal1*r1; B2=bal2*r2; k=(2*EI/landa)*(C*S-s*c)/den; kp=k; a=(2*EI/landa)*(s*C-S*c)/den; t=(4*EI/landa^3)*(S*C+s*c)/den; b=(2*EI/landa^2)*(s^2+S^2)/den; bp=b; bo=(4*EI/landa^2)*s*S/den; to=(4*EI/landa^3)*(S*c+C*s)/den;



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k1=k+2*C1*b+C1^2*t+(B1*C1^3)/3; %Rigidez local a flexión a1=a+(C1+C2)*bo+C1*C2*to; %Rigidez recíproca a flexión k1p=k+2*C2*b+C2^2*t+(B2*C2^3)/3; %Rigidez local a flexión b1=b+C1*t+(B1*C1^2)/2; %Rigidez local a flexión corte bo1=bo+C1*to; %Rigidez reciproca a flexión corte b1p=b+C2*t+(B2*C2^2)/2; %Rigidez local a flexión corte bo1p=bo+C2*to; %Rigidez reciproca a flexión corte t1=t+B1*C1; %Rigidez local al corte to=to; %Rigidez reciproca al corte t1p=t+B2*C2; %Rigidez local al corte

K3=[k1 -b1 a1 bo1; -b1 t1 -bo1p -to; a1 -bo1p k1p b1p; bo1 -to b1p t1p]; return %----fin----

Modificación del Programa Krigidez_3_estructuras

Este programa devuelve la rigidez de tres tipos de sistemas estructurales, la nueva versión creada

implementa el cálculo de un sistema estructural compuesto por vigas de cimentación y nudos de

rigidez infinita. Lo que se realizó es aumentar un caso cuando icod=4.

function [SS]=krigidez_4_estructuras (ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,icod)

% Programa para encontrar la matriz de rigidez de: % ArmaduraPlana -----------------icod=1 % Viga de Cimentación -------------icod=2 % Pórtico Plano -------------------icod=3 % Viga de Cimentacion Nudo Rigido--icod=4 % % Por: Roberto AguiarFalconí % CEINCI-ESPE % Julio de 2012 Cuarta Versión (Se incorpora viga de cimentación con Nudo

Rígido) %------------------------------------------------------------- % [SS]=krigidez_4_estructuras (ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,icod) %------------------------------------------------------------- % ELEM Matriz que contiene la base y la altura de los elementos % para el caso de pórticos planos. % L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vectorque contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % BAL Matriz que contiene los balastos de cada elemento: bal,bal1,bal2; % Lrig Matriz que contiene los sectores de rigidez: C1,C2 % Srig Matriz con las bases de las secciones rígidas: r1,r2 % bal1,C1,r1 son datos del nudo inicial rígido % bal2,C2,r2 son datos del nudo final rígido



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mbr=length(L); SS=zeros(ngl);ico=length(VC(1,:)); ificod==2 bal=input('\n Indique el coeficiente de Balasto:'); end ificod==4 fprintf('\nIndique matrices con los datos de los Sectores Rígidos: BAL,Lrig,Srig'); fprintf('\nBAL= [bal,bal1,bal2]'); fprintf('\nLrig= [C1,C2]'); fprintf('\nSrig= [r1,r2]\n'); BAL=input('BAL = '); Lrig=input('Lrig = '); Srig=input('Srig = '); end

For i=1:mbr ificod==1 A=ELEM(i,1); %Area de elemento Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kdiagonal(A,Lon,E,sen,cose); elseificod==2 r=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i); [k]=k_elem_viga_cim(r,h,Lon,E,bal); elseificod==3 b=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kmiembro(b,h,Lon,E,sen,cose); else r=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);

r1=Srig(i,1);r2=Srig(i,2);C1=Lrig(i,1);C2=Lrig(i,2);

bal=BAL(i,1);bal1=BAL(i,2);bal2=BAL(i,3); [k]=k_elem_viga_cim_Nudo_Rigido(r,r1,r2,h,Lon,C1,C2,E,bal,bal1,bal2); end for j=1:ico jj=VC(i,j); ifjj==0 continue end for m=1:ico mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end return %---fin---

Es necesario detallar que solo se debe ingresar los datos de los nudos rígidos cuando icod=4 por lo

que estos datos se pedirán en pantalla una vez corrido el programa.



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Para comprender de mejor manera todo lo expuesto en la teoría y el manejo de los programas se

presenta la solución de un ejercicio particular:

EJEMPLO:

Resolver la siguiente viga de cimentación con dos sectores de rigidez infinita, la cual posee los datos

indicados:

DIMENSIONES

VIGA r= 1.0 m; h= 0.8 m f= 4.0 m ³

MURO r1= 1.0 m C1= 1.0 m ³

COLUMNA r2= 1.0 m C2= 0.4 m ³

E= 2100000 T/m²; ²



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CÁLCULOS

= 3000 T/m²

I= 0.0427 m4 C= 1.8257 c= 0.3531

S= 1.5275 s= 0.9356

Luego la matriz de rigidez del elemento es:

[

]

Ahora presentamos el proceso por medio del computador con el programa CEINCI-LAB:

% Ejercicio: VIGA DE CIMENTACION CON NUDOS RIGIDOS % 17/07.2012

% El esfuerzo admisible del suelo es 2 kg/cm2 o 20 T/m2; fprintf('Solución de Viga de Cimentación con Nudo Rígido\n'); fprintf('***********************************************\n'); nod=2; nr=1; RES=[1 0 0]; [CG,ngl]=cg (nod,nr,RES); GEN=[1 1 2 0 0 0 0]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN); [VC]=vc(NI,NJ,CG); NUDOS=[1 0 0 1 1 5.4 0]; [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); ELEM=[1 0.8]; E=2100000; icod=4; % En krigidez_4_estructuras se ingresa en pantalla: % BAL=[3000 3000 3000] % Lrig=[1 0.4] % Srig=[1 1] [SS]=krigidez_4_estructuras (ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,icod) Q=[20 -50 -3 -30]'; q=SS\Q; bal=3000;Fm=0; cada_cuarto_cimentacion(q,VC,ELEM,L,Fm,E,bal)

Los resultados obtenidos son los siguientes:

Momentos y fuerzas cada cuarto de la luz, la presión corresponde al esfuerzo transmitido al suelo:

TOT=

X Desplaz. Giro Momento Corte Presión

0 0.0082 -0.0016 19.6087 -49.6287 24.7346X

1.3500 0.0061 -0.0015 -26.8254 -20.6155 18.3244

2.7000 0.0045 -0.0009 -39.6251 0.5378 13.3807

4.0500 0.0036 -0.0004 -27.6787 16.5670 10.7303

5.4000 0.0032 -0.0002 4.0742 30.2428 9.6689



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Podemos ver que existe problema en el nudo inicial de la viga donde sobrepasa el esfuerzo admisible

del suelo, para solucionar este problema tenemos que aumentar la sección de la viga de cimentación,

variamos a una viga de 1.20 m x 0.8 m en toda su longitud, realizamos estos cambios en el programa:

ELEM=[1.2 0.8]

Srig=[1.2 1.2]

Los resultados obtenidos con esta variación de la sección son los siguientes:

Matriz de rigidez del Elemento: K=

2.3224 -0.7350 1.1821 0.5929

-0.7350 0.3028 -0.4782 -0.1911

1.1821 -0.4782 1.5466 0.5601

0.5929 -0.1911 0.5601 0.2803

Momentos y fuerzas cada cuarto de la luz, la presión corresponde al esfuerzo transmitido al suelo

TOT =

X Desplaz. Giro Momento Corte Presión

0 0.0066 -0.0013 19.6087 -49.6287 19.7877←

1.3500 0.0049 -0.0012 -26.8254 -20.6155 14.6595

2.7000 0.0036 -0.0007 -39.6251 0.5378 10.7046

4.0500 0.0029 -0.0003 -27.6787 16.5670 8.5842

5.4000 0.0026 -0.0002 4.0742 30.2428 7.7351

Ahora cumple con la condición inicial, para que el suelo pueda soportar la estructura:

VIGAS NUDO RIGIDO

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