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(*)Arquitecto Tcnico. Escuela de Arquitectura e Ingeniera de Edificacin. Universidad Politcnica de Cartagena (Espaa). (**)Ingeniero Industrial. Escuela de Arquitectura e Ingeniera de Edificacin. Universidad Politcnica de Cartagena (Espaa).Persona de contacto/Corresponding author: [email protected] (A. Garrido)

Informes de la ConstruccinVol. 61, 515, 77-85,julio-septiembre 2009ISSN: 0020-0883eISSN: 1988-3234doi: 10.3989/ic.09.025

Fecha de recepcin: 27-05-09Fecha de aceptacin: 18-06-09

Simulacin por el mtodo de Monte Carlo para generar criterios de aceptacin en el control de calidad de productos de construccin

The Monte Carlo methods for use as criteria generator in construction products quality control

A. Garrido(*), E.M. Conesa(**)

RESUMEN

En el Sector de la Construccin es habitual rea-lizar operaciones de control de la calidad de aquellos productos o procesos prescritos por los reglamentos. Raramente, por tanto, se llevan a cabo operaciones de recepcin de productos por pactos espontneos entre las partes. Esto l-timo no ocurre, fundamentalmente, porque los que toman decisiones empresariales o tcnicas a este respecto no conocen las bases estadsti-cas del control de conformidad y, por tanto, no conocen cmo operar en consecuencia. Este ar-tculo propone un mtodo para que los agentes involucradas en la recepcin de productos, una vez fijado el riesgo asociado al control estads-tico que les corresponde, definan el criterio de aceptacin ms adecuado.

Palabras clave: Monte Carlo, control de calidad, simulacin, riesgo del consumidor, curvas OC, estimacin estadstica.

SUMMARY

Quality Control in Building projects is a topic of technical specifications. Nevertheless, it is not usual that costumers ask for additional control out of de technical specifications. The reason is they dont know how to do or they consider it is a very difficult issue. This article proposes an easy way to resolve that question by an old and, to a certain extends, a young method: Monte Carlo simulator. This way, suppliers and its costumers (assessing by their advisers) have a powered tool to resolve they relationships by means of statistical method without special problems of understanding. A Method based in the consumer risk that allow establish a good control criteria.

Keywords: Monte Carlo, quality control, simu-lator, consumer risk, OC curve, statistic estima-tion.

073-20

1. ANTECEDENTES DEL MTODO

El mtodo de Monte Carlo (1) es un proce-dimiento numrico que permite aproximar la resolucin de expresiones matemticas complejas con las que resulta o bien difcil, o bien imposible (especialmente en el mbito

de la estadstica) encontrar resultados exac-tos. Al mtodo se lleg en dos etapas. En la primera, los brillantes matemticos raciona-listas del siglo XVIII abordan la bsqueda de valores crecientemente precisos de nmero irracionales por distintas vas. Pero es George Louis Leclerc, conde de Buffn, un conocido

naturalista, botnico, matemtico y cosmlo-go francs quien en 1777 aborda un mtodo experimental para la aproximacin del n-mero p, lo que supone un ingenioso modo de plantear la relacin entre la realidad y las matemticas. Buffn (Figura 1) demostr que dejando caer agujas sobre unas franjas cuya anchura fuera igual a la longitud de las agujas la probabilidad de que la aguja pase por las franjas es la indicada en la ecuacin [1]:

P a( ) = 2

[1]

De forma que, como se observa en la ecua-cin [2]:

= 2Nn

[2]

Siendo N el nmero total de intentos y n el nmero de veces que la aguja pasa por las franjas. Naturalmente se ha considerado, con una concepcin frecuentista, que la probabi-lidad es la indicada en la ecuacin [3]:

P anN

( ) =

[3]

La segunda etapa se produce 180 aos des-pus, cuando Stanislaw Ulam en 1946 jugan-do a los solitarios durante su colaboracin en el proyecto Manhattan en Los lamos, con-cibi la idea de que frmulas complejas sin solucin aparente sobre difusin de neutro-nes podan ser aproximadas mediante el es-tablecimiento de probabilidades a priori del fenmeno o, lo que significa lo mismo, darle forma probabilstica al proceso para luego reproducirlo mediante repeticiones al azar. Para que el mtodo fuera seguro se necesita-ban muchas repeticiones y para eso vino en su ayuda Von Neuman que, un ao despus, ya tena a punto el mtodo y la herramienta: los ordenadores incipientes de la poca.

2. CONCEPTOS PRINCIPALES

2.1. Riesgo del Consumidor

El riesgo del consumidor es un concepto introducido por Dodge y Romig en 1929

11. Simulacin de Buffon.

(3),normalmente notado como b, es, en el marco del control estadstico, la probabili-dad de aceptar un lote de un producto cuan-do ste no es conforme. En trminos ms generales, es la probabilidad de aceptacin cuando el nivel de calidad tiene un valor es-tablecido por el plan de muestreo de acep-tacin como no satisfactorio (5). En rigor, es la probabilidad de aceptacin de un lote cuando el producto es estrictamente confor-me. Pero como una pequea desviacin res-pecto del valor especificado implica no con-formidad se conviene en que la probabilidad de aceptar un lote no conforme sea igual a la de aceptar un lote en el que el parmetro de conformidad y el valor especificado sean iguales.

Esta probabilidad es complementaria a la unidad con el riesgo del suministrador, nor-malmente notado como a. Tal y como indi-ca la ecuacin [4]:

a = 1 - b [4]

La ecuacin [4] es vlida para un producto estricto, en el sentido explicado ms arriba.

El consumidor y el suministrador, pues, se reparte la incertidumbre asociada al hecho de que, en el control estadstico (2) (3) (10), las muestras son relativamente pequeas y, por tanto, la funcin de aceptacin que se considere es una variable aleatoria que proporciona la probabilidad de aceptacin en funcin del cuantil del valor especifica-do. De hecho, el valor de b viene dada por el rea de la distribucin de probabilidad del criterio de aceptacin que queda a la derecha del valor especificado, si se trata de una caracterstica que se considera fa-vorable con valores mayores que el espe-cificado.

Dada la definicin de b como probabilidad de aceptar un lote no conforme de un pro-ducto, es necesario establecer un procedi-miento para su determinacin. El ms ade-cuado es el de considerar esta probabilidad justo para el caso en que el lote del produc-to es estrictamente conforme.

De hecho, se puede considerar que en el control de calidad la cuestin ms impor-tante, desde el propsito de este artculo, es establecer la distribucin de probabilidad de la variable definida para operar con los valo-res resultantes del muestreo. Variable cuyos valores son comparados con el valor especi-ficado para aceptar o rechazar el lote. Dada una funcin de aceptacin determinada, su desplazamiento relativo al valor especifica-do se produce con la calidad relativa del producto proporcionando sucesivos valores de la probabilidad de aceptacin P(A) mayo-

A. Garrido, E. M. Conesa

Informes de la Construccin, Vol. 61, 515, 77-85, julio-septiembre 2009. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.08.01878

res o menores que la que hemos definido como riesgo del consumidor. Las parejas de valores P(A), q (valor del parmetro de cali-dad escogido y a comparar con el valor es-pecificado genrico qLQ) son coordenadas que unidas proporcionan una curva muy especial que denominamos Curva Opera-tiva de Control o Curva Caracterstica de Operacin, segn el vocabulario aceptado por la Norma UNE ISO 3534-2:2008 (5). Las curvas Caractersticas de Operacin indican el porcentaje de lotes que pueden ser aceptados, segn los diferentes planes de muestreo para una calidad de proceso determinada. Se entiende por eficacia a la mayor o menor rapidez con que desciende la probabilidad de aceptacin del producto ante una determinada desviacin del valor especificado.

2.2. La Curva Caracterstica de Operacin

La Curva Caracterstica de Operacin (CO) proporciona una visin panormica de la mayor o menor eficacia de un determinado criterio de aceptacin. Se entiende por efi-cacia a la mayor o menor rapidez con que desciende la probabilidad de aceptacin del producto ante una determinada desvia-cin para peor del valor especificado. Es decir, la curva CO est compuesta por los pares de puntos (q),P(A) calidad del pro-ducto), Probabilidad de Aceptacin para un determinado plan de control o, lo que es lo mismo, para un determinado criterio de aceptacin. As, por ejemplo, un criterio de estructura general, como se indica en la ecuacin [5]:

xN - KSN > Ve [5]

Tendr tantas curvas CO como tamaos de la muestra o valores de K. Pero todas ellas pasarn por el punto cuyas coordenadas viene dadas por el valor de la caracterstica de calidad elegida (q) que se corresponda con el valor especificado (Ve) y el valor del Riesgo del Consumidor (b). Valor que va implcito al tamao de la muestra y al valor de Ko, en trminos ms generales, a la es-tructura del criterio de aceptacin.

2.3. Los criterios de aceptacin o rechazo (A/R) en la normativa espaola

Podemos suponer que la mayora de las ca-ractersticas de los materiales de construc-cin tienen una funcin de densidad regida por la funcin de la ecuacin [6]:

f x e x Rx

N( ) ,=

1

2

12

2

[6]

Esta distribucin se cumple en todo caso para la distribucin de la suma de variables aleatorias con distribucin distinta de la normal, como muestra el Teorema Central del Lmite (9). Lo que es de aplicacin a la distribucin del valor medio de muestras procedentes de valores aleatorios. Es decir, por la distribucin de densidad de la curva normal. Por eso, las funciones de aceptacin han tomado formas idnticas o derivadas de dicha funcin normal, como se indica en la ecuacin [7]:

x + 1,645s [7]

Frmula que corresponde a valores de la va-riables asociados al cuantil 5/95% segn el signo negativo o positivo adoptado.

Pero tambin se adoptaron formas menos explcitas como la presentada en la frmu-la [8]:

x1KN [8]

Por otra parte, al menos en lo referente al hormign estructural, durante aos el con-cepto que ha regido el control de calidad de los materiales ha sido el de estimacin. Es decir, definida una propiedad por su valor caracterstico, el problema del con-trol consista en comparar el valor espe-cificado con una estimacin verosmil del parmetro correspondiente a la propiedad controlada en la produccin real de un de-terminado fabricante. El valor caractersti-co es aquel que representa de forma con-vencionalmente establecida (normalmente por los reglamentos) a todos los que poten-cialmente pueden darse en una poblacin determinada. En este sentido la frmula [7] proporciona valores caractersticos asocia-dos al cuantil 5% y 95% (segn la circuns-tancia de que se trate) expresada con el signo. De ah deriva el que llamemos valor caracterstico especificado a aqul respec-to del cual se toman las decisiones, como expresa la definicin de dicho valor en la Instruccin Espaola de Hormign Estruc-tural (6). As, los criterios de aceptacin tenan la forma de una estimacin a partir de la desigualdad general indicada en la ecuacin [9]:

estimacin del valor real > valor especificado [9]

Que tomaba para el hormign formas como se observa en la ecuacin [10]:

fc, real > fck [10]

Con la correlacin consiguiente en el crite-rio de aceptacin dado en la ecuacin [11]:

x1 + x2 - x3 > fck [11]



Informes de la Construccin, Vol. 61, 515, 77-85, julio-septiembre 2009. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.08.018 79

Siendo x1 + x2 - x3 un estimador rgido de fc, real

En otros casos, tomaba formas como la pre-sentada en la ecuacin [12]

x1KN > fck [12]

Siendo x1KN una estimacin de fc, real cuando KN tena el valor adecuado para que la me-diana de la distribucin del estimador coin-cidiera con la resistencia real.

Hoy en da se ha preferido desvincular la funcin de aceptacin de la estimacin, que pasar a ser un caso particular: aqul en el que el riesgo del consumidor b es igual al 50%. As ha procedido en la Instruccin Es-paola de Hormign Estructural (6) al esta-blecer valores de b menores del 50% para determinadas situaciones, o, como ocurre en el control de produccin de productos como el cemento, en los que los valores centrales asociados a la esperanza matemtica de la distribucin se aleja notablemente del valor caracterstico de la poblacin, como mues-tra ms adelante la figura 5.

La consecuencia es la libertad de los actores para fijar las condiciones que asumen en su relacin contractual. Es el caso de aquellas circunstancias en las que los reglamentos no proporcionan ninguna regla al respec-to o que se desea modificar el riesgo del consumidor. Qu hacer en esos casos? La respuesta es la deduccin de la frmula que proporciona la probabilidad de aceptacin en funcin de la caracterstica de calidad es-cogida (lo que no siempre es posible) o bien utilizar el mtodo de Monte Carlo.

3. EL MTODO DE MONTE CARLO Y LOS CRITERIOS A/R

El mtodo de Monte Carlo en la aplicacin que proponemos en este artculo funciona mediante la funcin ALEATORIO de la hoja de clculo EXCELTM de Microsoft (13) insertada en la ecuacin del fenmeno que se pretende simular.

En nuestro caso se trata de generar valores de forma indefinida y aleatoria procedentes de una poblacin cuya distribucin de den-sidad se conoce. Dado que, habitualmente, la distribucin normal es la que mejor expli-ca el comportamiento de las variables fsicas consideradas en la construccin, la ecua-cin [13] toma la forma:

X = m + Zs [13]

Siendo:X un valor aleatorio de la caracterstica con-siderada

m el valor de la media de la poblacin de procedencia

s el valor de la desviacin estndar de la poblacin

Es decir, cada valor aleatorio es selecciona-do al azar como resultado de aplicar esta frmula con valores, igualmente aleatorios, de Z. Los valores aleatorios de Z se ob-tienen al aplicar la funcin ALEATORIO. Esta funcin proporciona espontneamente un valor al azar comprendido entre 0 y 1. Dado que las probabilidades en una distri-bucin de densidad vienen representadas por el rea que queda a la izquierda o a la derecha de un determinado cuantil, si con-sideramos adicionalmente que la funcin de EXCEL, de las familia de las estadsticas, DISTR.NORM.ESTAND.INV () proporciona un valor de la variable tipificada Z para cada valor del argumento comprendido en-tre 0 y 1, tenemos la ecuacin generadora [14] (10):

X = m+DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO()).s [14]

En la que ALEATORIO () genera valores de probabilidad al azar y Z es generada por DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO ()). De este modo, obtenemos tantos valores de X como necesitemos para nuestro pro-psito.

Una vez generados los valores, en la forma que simule ms apropiadamente nuestro proceso de control, se est en condiciones de organizar los datos simulando las condi-ciones de recepcin de un material. Es de-cir, lotes, muestras, ensayos. Estamos ahora en condiciones de representarnos las cosas como si las matemticas no existieran, vana pretensin pues partimos de una frmu-la que expresa precisamente la estructura de los datos, pero nuestra pretensin sera correcta si los datos los obtuvisemos tras prolongadas sesiones experimentales en las que consiguiramos un nmero de datos su-ficientemente alto como para asegurar que las conclusiones son vlidas y, de esta for-ma, adquirir conocimiento sobre la estructu-ra de la realidad.

Como veremos en el ejemplo final, pro-cedemos a aplicar a los datos ordenados conforme a un determinado plan de con-trol el criterio de aceptacin que quera-mos poner a prueba en un nmero sufi-cientemente alto de lotes. Por ejemplo 50.000 veces.

De esta forma quedan corregidas las oscila-ciones propias del tamao de la muestra y se obtienen valores medios suficientemente estables.



3.1. Aplicacin a planes no reglados

Vamos a ver con un ejemplo cmo fun-ciona el mtodo. Naturalmente vamos a proceder del modo que le es tan caro a la estadstica. Es decir, usando un criterio de aceptacin del que se sabe todo para que sirva de contraste con los resultados obte-nidos. El criterio en cuestin pasar por ser un diseo nuestro justificado debidamente por la naturaleza de nuestro plan de con-trol, que viene condicionado por razones como el tamao de la muestra, la confian-za en la coherencia interna del sistema de produccin, etc. El criterio en cuestin es el expresado en la ecuacin [15], tomado de la Instruccin Espaola de Hormign Es-tructural (6):

xN - KrN > fck [15]

Siendo:

xN: el valor medio de la muestraK: un coeficiente modulador del efecto del criterio o constante de aceptabilidadrN: el recorrido de la muestra como (xN- x1) fck: el valor especificado

La frmula [15] presenta uno de los crite-rios de aceptacin posibles en el que se ha escogido el recorrido de la muestra en vez de (por ejemplo) el valor s de la desviacin estndar muestral suponiendo un caso de nmero bajo de muestras para tomar deci-siones sobre el lote.

Aunque se trata de un criterio para la re-sistencia del hormign estructural, proce-deremos como si sirviera (lo que no est muy alejado de la realidad) para cualquier otro material y cualquier otra caracters-tica.

La estructura del criterio nos habla de una familia de criterios, pues habr tantos crite-rios concretos como valores de K podamos imaginar. Los valores de xN y de rN se pro-ducen del azar dentro de los lmites de la estructura estadstica de la produccin. Si no existiese un valor como K el criterio ac-tuara de forma rgida y las probabilidades de aceptacin para cada nivel de calidad del producto seran igualmente fijas y de-terminadas. Sin embargo, con el coeficien-te K es posible modificar la probabilidad de aceptacin y, por tanto, la principal de ellas, la que corresponde a la situacin de producto conforme o estricto que hemos denominado supra como el riesgo del con-sumidor (b).

Es importante distinguir entre el criterio de conformidad y el de aceptacin. El prime-ro es la condicin que nos permite aceptar

un lote cuando tenemos toda la informa-cin y el criterio de aceptacin es el que nos permite, en condiciones aceptadas de incertidumbre, aceptar el lote cuando slo contamos con la informacin de la muestra. En este caso consideramos como tal criterio de conformidad el expresado en la ecua-cin [16]:

fc, real > fck [16]

Es decir el producto es conforme cuando se cumple esta condicin y no lo es cuando no se cumple. Se considera producto estricto a aquel que cumple la condicin de la ecua-cin [17]:

fc, real = fck [17]

Este valor de fc, real es el que figurar direc-tamente en las abscisas de la curva OC o bien representado por otro parmetro de ca-lidad directamente relacionada con l, como puede ser la relacin fc, real/fck o el rea que queda a la izquierda de fck en la distribucin de densidad de la caracterstica considerada del producto, etc.

Para aplicar el mtodo de Monte Carlo pro-cedemos del siguiente modo:

1. Aceptamos que: X = m + Zs [18]2. Traducimos a las funciones de EXCELX=m+DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO())s [19]

3. Estructuramos la recepcin en lotes que se juzgan con muestras de tamao N=34. Fijamos un valor especificado de 30 uni-dades5. Fijamos un valor de la desviacin estndar de 3 unidades6. Fijamos, en principio un valor de fc, real = fck 7. Generamos 50.000 grupos de 3 valores (lotes)8. Definimos exploratoriamente el criterio de aceptacin xN - KrN > fck [20]9. Fijamos un valor exploratorio para K=1,510. El criterio queda as: xN-1,5rN>fck [21]11. Aplicamos 9 a los 50.000 lotes12. Damos un valor de 1 cuando se cumple 9 y 0 cuando no se cumple 813. Sumamos las columnas de unos y ce-ros y dividimos por 50.000, siendo el re-sultado de la operacin la frecuencia re-lativa de aceptaciones en 50.000 casos. 14. Traducimos la frecuencia relativa en pro-babilidad y ya tenemos la probabilidad de aceptar un lote no conforme cuando se trata de un producto estricto. Es decir, tenemos el riesgo del consumidor de nuestro criterio de aceptacin (b).15. Analizamos el valor de b y comproba-mos que es 0,29. Es decir, el 29% de los 50.000 lotes han sido aceptados. Como se trata de un producto estricto, esta probabili-dad es el riesgo del consumidor.




16. Como este valor de b no nos conviene, puesto que aspiramos a conseguir un valor de 0,50 tanteamos si su valor crece o decre-ce con el aumento de K. 17. Comprobado que b aumenta cuando decrece K, procedemos a rpidos tanteos y en unos pocos minutos se comprueba que el valor de b buscado se obtiene cuando K = 1,019. Como hemos tomado como referencia un criterio de aceptacin que s est regulado, comprobamos en la tabla 86.5.4.3.b de la Instruccin Espaola de Hormign Estructu-ral (6) que el valor de K para el riesgo del consumidor b = 0,50 es, precisamente 1,02.Naturalmente, si queremos conocer qu criterio se corresponde con un valor de b = 0,05, si ese fuera nuestro inters, basta-ra con tantear valores de K mayores que la ltima referencia que tenamos (1,5) y con rapidez obtenemos el valor correspondiente, que es un nmero redondo, K = 4.

Para visualizar el proceso de simulacin, el concepto de Riesgo del Consumidor y efecto

2. Resistencia especificada.

3. Resistencia real.

2

3

de K en los criterios de aceptacin propor-cionamos una secuencia de imgenes. La Figura 2 muestra el carcter de dato conven-cional del valor especificado por el autor del proyecto. No va asociado a una distribucin y se fija como referente para la aceptacin o rechazo de los productos.

Tradicionalmente el valor especificado (Fi-gura 2) ha sido comparado con valores pro-cedentes de acciones experimentales no siempre bien descritas y, en muchos casos, asociados al valor medio de una muestra sin relacin alguna con la dispersin de valores como consecuencia de la propia variabili-dad de la poblacin de procedencia y de la variabilidad asociada al tamao de la mues-tra.

La Figura 2 expresa el carcter determinis-ta del valor especificado. Valor que servir de referencia para determinar si el lote es aceptado o no. Con lo que se constituye en frontera entre los valores de la funcin de aceptacin.

En la aplicacin reciente de criterios de aceptacin, toda la variabilidad es conside-rada fundamental e incluso, en reglamentos recientes, se ha optado por exigir la certifi-cacin con respaldo oficial de los parme-tros de variabilidad, tales como la desviacin estndar u otros.

En el caso de situaciones contractuales sin respaldo reglamentario el mtodo de Monte Carlo se erige en una opcin de fcil apli-cacin y, sobre todo, de fcil comprensin por todos los agentes involucrados. Veamos ahora la secuencia implcita. La Figura 3 muestra la distribucin normal N (m,s2) que aceptamos en la prctica como la apropiada para la mayora de las caractersticas de un producto industrial. El conjunto de valores que puede darse bajo la curva son repre-sentados por un valor caracterstico que es cuantil de un determinado tanto por 100. En el ejemplo el 5%.

En la Figura 4 la produccin cumple estricta-mente con el valor especificado al coincidir el valor caracterstico fc,real y el valor espe-cificado fck

La Figura 5 muestra la relacin entre la curva de distribucin de la caractersticas del pro-ducto y la distribucin del criterio de acep-tacin. Se trata de un producto estricto, pues el valor caracterstico del producto es igual al valor especificado. Como se puede ver, cuan-do se ha definido un criterio de distribucin, lo importante es la relacin con el valor espe-cificado. En este caso, el valor especificado es un cuantil del 5% por la cola derecha. Al tratarse de un producto estricto el rea que



4. Material estricto fc, real = fck.

5. Riesgo del consumidor 0,05.


4

5

6

queda a la derecha del valor especificado fck es la denominada Riesgo del Consumi-dor. El criterio de aceptacin se concreta con un valor de K = 4. Este valor es propor-cionado por el simulador de Monte Carlo una vez fijado el Riesgo del Consumidor en 0,05.

La Figura 6 muestra un caso semejante al de la Figura 5 con un valor de K = 1,019, que es el que resulta cuando, siendo el pro-ducto estricto, el Riesgo del Consumidor deseado es b = 0,50.

La Figura 7 (pg. siguiente) muestra el efec-to de buscar un Riesgo del Consumidor b = 0,70, que naturalmente es poco habi-tual, presentndose exclusivamente para mostrar el efecto del coeficiente K en el criterio de aceptacin.

La Figura 8 (pg. siguiente) muestra cmo para un producto estricto la probabili-dad de aceptacin P(A) se reduce cuando el producto tiene un valor caracterstico fc, real inferior al especificado fck. Tanto en este caso como en el de la Figura 9, el criterio de aceptacin es el mismo, con un valor de K = 1,019.

En la Figura 9 (pg. siguiente) la probabili-dad de aceptacin sube al 98% debido a que el valor caracterstico fc, real es mayor que el valor especificado fck.

La Figura 10 (pg. siguiente) representa las tres curvas CO que genera el criterio de aceptacin genrico: xN - KrN > fck para los distintos valores de K expresados en las ecuaciones 18, 19 y 20:

xN - 0,720rN > fck [22]

xN - 1,019rN > fck [23]

xN - 4,000rN > fck [24]

Tambin, podemos utilizar el simulador para comprobar qu probabilidad de aceptacin tendra un supuesto producto fabricado por nosotros si se incumple el criterio de con-formidad en un determinado grado o supe-ramos el valor especificado sustancialmente. Obviamente esta comprobacin se debe ha-cer con un valor de K resultante para el valor de b pactado con anterioridad. De esta forma se comprueba la eficacia del criterio, es de-cir, su sensibilidad a los cambios de calidad del producto. Al comprador le interesar un criterio que sea poco sensible a las bajadas de calidad y, al suministrador, justamente, lo contrario. Como se puede comprobar para el mismo valor de fc,real = 40 unidades se co-rresponden tres valores distintos de b cuando variamos el valor de K. Los valores de b vie-

nen representados en las Figuras 4, 5 y 6 por el rea a la derecha del valor especificado fck. Por otra parte, en la curva central, correspon-diente a un valor de K= 1,019, se representan





8. Probabilidad de aceptacin 2,5%.

9. Probabilidad de aceptacin 98%.

10. Curvas CO de distintos planes de control.

7

8

dos puntos (cuadrados) sealados como 7 y 8 que representan las coordenadas 32,8-0,025 y 50,0-0,98 para dos situaciones del producto realmente fabricado. Finalmente mostramos en la Figura 11 el aspecto que presenta una hoja de clculo EXCEL TM de Microsoft con el dise-o del simulador.

910

Como se puede comprobar en la ventana operativa figura la frmula generadora de los valores. Es el motor de la simulacin. La frmula del primer miembro del criterio de aceptacin y de la comparacin con el valor especificado que proporciona los 1 y 0 permiten establecer la proporcin (proba-bilidad) de aceptacin en el simulador en la celda G50005 de la Figura 11.

4. CONCLUSIONES

Como es fcil de comprobar por aquellos que se dedican al control de calidad, en la construccin abundan las situaciones en las que no se cuenta con indicaciones sobre el control de calidad en los trminos en que la estadstica permite. Por otra parte, no siempre es posible que el criterio de acep-tacin elegido pueda ser tratado matemti-camente.

Con el simulador de Monte Carlo, sin em-bargo, se puede, con la ayuda de una hoja de clculo que tenga las funciones esta-dsticas sealadas en este artculo, llevar a cabo un ajuste del criterio de aceptacin suficientemente preciso y fundado en los intereses de las partes interesadas expre-sados por los riesgos aceptados de comn acuerdo.

Por otro lado, con el simulador de Monte Carlo el suministrador est en condiciones de conocer qu margen debe establecer entre el valor especificado y el valor carac-terstico real de su produccin para esta-blecer una probabilidad de rechazo acep-table para sus intereses. En todo caso es una herramienta que hace transparente la relacin mutua entre suministrador y con-sumidor en las relaciones de transferencia de productos.



BIBLIOGRAFA

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