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CUERPOS GEOMTRICOS

Llamamos cuerpo a todo objeto que ocupa un lugar en el espacio.

Un cuerpo geomtrico se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto.

Algunos cuerpos estn limitados por superficies curvas como el baln, o solamente por superficies planas

poligonales como un bloque o un dado, o estn limitadas por regiones planas y curvas como un cono o una

tiza.

Llamamos cuerpos o slidos geomtricos a todos los cuerpos que estn limitados por superficies planas

poligonales, planas y curvas. Cuando la superficie de estos cuerpos geomtricos est limitada por regiones

poligonales se llaman poliedros; y cuando la superficie es curvada se denominan cuerpos redondos.

POLIEDRO:

Llamamos poliedro a los cuerpos geomtricos que estn limitados por regiones planas poligonales.

Ejemplos:

Los elementos fundamentales de un poliedro son:

Edificio del pentgono

en Washington
http://co.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=El+edificio+del+Pent%E1gono,+en+Washington+&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_46.Ies.LCO.jpghttp://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.educima.com/dado-t10155.jpg&imgrefurl=http://www.educima.com/es-colorear-dibujos-imagenes-foto-dado-i10155.html&usg=__bNKSiFIUpOSygrFerjA4N9rZqEA=&h=531&w=750&sz=25&hl=es&start=1&um=1&tbnid=G_FxGACaXNc3pM:&tbnh=100&tbnw=141&prev=/images?q=dado&hl=es&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_svoqN76bSzA/RzymixkqcWI/AAAAAAAAAJk/DPQTbQFLswc/s320/balon.jpg&imgrefurl=http://ultimopapa.blogspot.com/&usg=__JmnxNKnSF88gk4VlCTBVEo-lACY=&h=244&w=229&sz=7&hl=es&start=2&um=1&tbnid=ySLwB86AEOjmTM:&tbnh=110&tbnw=103&prev=/images?q=bal%C3%B3n&hl=es&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.diset.com/admin/uploads/juegos/cas/8/gato050034.jpg&imgrefurl=http://menucultural.blogcindario.com/2008/05/00005-mascotas.html&usg=__wCddHcpeNd9fbZnETCK_dt87NOc=&h=1109&w=870&sz=194&hl=es&start=2&um=1&tbnid=PzWkGL3noJyHVM:&tbnh=150&tbnw=118&prev=/images?q=gato&hl=es&sa=N&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.malatrassi.cl/catalogo/products_pictures/Bloque_(20x20x40)_V.dwg.jpg&imgrefurl=http://www.malatrassi.cl/catalogo/index.php?categoryID=9&usg=__d6dIbxe8x7zWzCLQGxqIJ8FEsTc=&h=480&w=640&sz=24&hl=es&start=1&um=1&tbnid=JrVseFvTJSI1PM:&tbnh=103&tbnw=137&prev=/images?q=bloque&hl=es&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://img.alibaba.com/photo/215698455/ice_cream_cone_23_made_by_Germany_s_machine_.jpg&imgrefurl=http://spanish.alibaba.com/product-gs/ice-cream-cone-23-made-by-germany-s-machine--215698455.html&usg=__lQon1j4MIG4btTrxm4WYjRyi0lA=&h=364&w=500&sz=34&hl=es&start=16&um=1&tbnid=ST_BUzOvvjgE-M:&tbnh=95&tbnw=130&prev=/images?q=cono+de+helado&hl=es&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://monkeyzen.com/wp-content/uploads/2008/05/tizaimantada.jpg&imgrefurl=http://monkeyzen.com/tag/iman/&usg=__v4PHvi7pzyo3sLIukPzbcXFVeG8=&h=321&w=330&sz=43&hl=es&start=21&um=1&tbnid=zG_Yt4Obupgs2M:&tbnh=116&tbnw=119&prev=/images?q=tiza&ndsp=18&hl=es&sa=N&start=18&um=1


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Caras:Polgonos que limitan al poliedro.

Aristas:Lados comunes a dos caras del poliedro,es decir, los lados de las caras del poliedro.(Interseccin de dos y slo dos caras del poliedro)}

Vrtices:Puntos donde se unen ms de dos carasdel poliedro.

ngulo diedro:Es el ngulo formado por dos carasque se cortan en una arista.

Diagonal:

Son los segmentos que unen vrtices no consecutivos delpoliedro

ngulos poliedros:ngulo formado por tres o ms caras, con un punto en comn.

ClasificacinAlgunos poliedros reciben nombres especiales en funcin del nmero de caras que poseen.

As, se llama tetraedroa todo poliedro de cuatro caras; pentaedro, al poliedro de cinco caras; hexaedro, alpoliedro de seis caras; heptaedroal de siete caras; octaedro, al de ocho; eneaedro, al poliedro de nuevecaras; decaedro, al de diez caras; endecaedro, al de once, dodecaedro, al poliedro de doce caras;pentadecaedro, al de quince caras, e icosaedro, al poliedro de veinte caras.

Los dems poliedros no reciben ningn nombre en particular; as por ejemplo, se habla de un poliedro de 17caras, de 22 caras, etctera.

Atendiendo a la regularidad de sus elementos se puede establecer otra clasificacin de los poliedros en:

1) Poliedros Regulares.Cuando todas sus caras son polgonos regulares entre s y todos sus ngulos diedros ypoliedros son tambin iguales. Como se ver ms tarde, existen nicamente c inco poliedros regulares.

2) Poliedros Irregulares.Cuando no son regulares, por no cumplirse algunas o todas las condiciones precisaspara ello.

Vrtice

Diagonal


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(Son slo 5 poliedros regulares)

Tambin llamados slidos platnicos.

Dibjalos en una cartulina, recrtalos y constryelos.


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Existen varios tipos de poliedros, los ms importantes son: los prismas y las pirmides.

PRISMAS:Un Prisma es un poliedro cuyas caras laterales son tres o ms paralelogramos y cuyas bases son polgonoscongruentes y paralelos.

Elementos de un prisma:

Baseso caras bsicas: dos polgonos iguales situados enPlanos paralelos.

Caras laterales, que son paralelogramos. Aristas bsicas: los lados de los polgonos de las bases. Aristas laterales: los lados de las caras laterales. Vrtices: los puntos donde se cortan las aristas. Altura de un prisma: segmento perpendicular que une sus

bases

En funcin del polgono de las bases, los prismas pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales,hexagonales,....

Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las aristas bsicas, se dice que el prisma es recto; en casocontrario, se llama prisma oblicuo.

En un prisma recto los ngulos diedros formados por las caras laterales y las bases son rectos.

Prisma triangular Prisma Cuadrangular Prisma Pentagonal Prisma hexagonal

Prisma recto Prisma oblicuo
http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/images/prismat.jpg&imgrefurl=http://matematicasil.blogspot.com/2006_04_01_matematicasil_archive.html&usg=__LqcGAXxWx9T3Bilsq3Px1QX4-hA=&h=141&w=98&sz=3&hl=es&start=4&um=1&tbnid=4v20uRJNX9ca3M:&tbnh=94&tbnw=65&prev=/images?q=prisma+triangular&hl=es&sa=X&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.educomputacion.cl/images/stories/matematica/prisma-hexagonal.png&imgrefurl=http://www.educomputacion.cl/content/view/150/83/&usg=__aLSsEXIjhBYMtyln0JAgRfZR2QI=&h=187&w=114&sz=28&hl=es&start=3&um=1&tbnid=1llM4UqiJ5n2gM:&tbnh=102&tbnw=62&prev=/images?q=prisma+hexagonal&hl=es&um=1http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_413.Ges.SCO.pnghttp://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/images/prismaq_h.jpg&imgrefurl=http://matematicasil.blogspot.com/2006_04_01_matematicasil_archive.html&usg=__vwDzmm6Qoubjj-3_G2s_jLm0Gdw=&h=130&w=86&sz=4&hl=es&start=4&um=1&tbnid=VWIwsVCXaVJdFM:&tbnh=91&tbnw=60&prev=/images?q=prisma+cuadrangular&hl=es&um=1http://co.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Elementos%20de%20un%20prisma?=&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_394.Ges.LCO.png


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Un tipo de prismas muy frecuente son aquellos en los que todas sus caras son paralelogramos. Estos prismasse llaman paraleleppedos.

Un paraleleppedo recto es un prisma recto cuyas bases estn limitadas por paralelogramos y por rectngulos

en sus caras laterales.

Un caso particular de paraleleppedo recto es el ortoedroen el cual todas

sus caras son rectngulos.

Un caso particular de ortoedro es el cubo, cuyas caras son cuadradas.

Si, en los prismas rectos, los polgonos de las bases son polgonos regulares, se llaman prismas regulares; si nolo son, se denominan prismas irregulares.

Paraleleppedo oblicuo Paraleleppedo recto

Prisma regular

La base es un pentgono regular

Prisma irregular

La base es un pentgono irregular
http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_404.Ges.SCO.png&imgrefurl=http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/poliedros/paralelepipedos.html?x=20070926klpmatgeo_297.Kes&ap=3&usg=__tGO9ERcSveNfHBdXua3OrGq6ex4=&h=375&w=555&sz=80&hl=es&start=17&um=1&tbnid=N6lKIV1axa7kfM:&tbnh=90&tbnw=133&prev=/images?q=paralelepipedo++recto&hl=es&um=1http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.monografias.com/trabajos10/geom/Image4637.gif&imgrefurl=http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml&usg=__R2wRi6WGhP9_DO0jzsv0BIOGwCs=&h=136&w=125&sz=4&hl=es&start=42&um=1&tbnid=_mxTCeMt7rSh_M:&tbnh=92&tbnw=85&prev=/images?q=ortoedro&ndsp=18&hl=es&sa=N&start=36&um=1


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PIRMIDES:Es el poliedrocuya base es un polgono cualquiera y sus caras

laterales son tringulos, que tienen un vrtice comn llamado

vrtice o cspide.

La altura en una pirmide es el segmento trazado en forma perpendicular desde el vrtice al plano que

contiene la base de la pirmide.

Llamamos pirmide recta a

aquella donde la altura desde el

vrtice cae en el centro de la

base. En caso contrario, la

pirmide es oblicua.

Si la base de una pirmide recta est limitada por una polgono regular, decimos que la pirmide es regular.

Las caras laterales de las pirmides regulares estn limitadas por

tringulos issceles congruentes

Las pirmides se clasifican segn el nmero de lados de su base (que

coincide con el nmero de caras laterales) en pirmides triangulares,

Cuadrangulares, pentagonales, etc.

Pirmide recta Pirmides Oblicuas

Pirmide cuadrangular regular

(base cuadrada)

Pirmide cuadrangular irregular

(base un cuadriltero)
http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://ve.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_422.Ges.SCO.png&imgrefurl=http://ve.kalipedia.com/graficos/piramide-triangular-oblicua.html?x=20070926klpmatgeo_422.Ges&usg=__VO7iFM3NG0xUVNR75ByOEKuDzhA=&h=273&w=267&sz=21&hl=es&start=7&um=1&tbnid=Rxya6s6HMU0jPM:&tbnh=113&tbnw=111&prev=/images?q=piramides+oblicuas+en+geometria&hl=es&um=1http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pyramid_(geometry).pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Diagrama_Piramide.jpg


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VOLUMEN:

El nmero que expresa la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo se conoce con el nombre de volumen delcuerpo.

Volumen de un cuerpo es el nmero no negativoque indica la porcin del espacio que ocupa elcuerpo con respecto a una unidad de medida.

En el sistema internacional la unidad bsica de medida es el metro cbico, que

corresponde al volumen de un cubo de un metro de arista y que representamos por

MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO CBICO.

Cada unidad de volumen equivale 1000 unidades del orden inmediatamente inferior-

Por ejemplo:

1 = 1 000

45

Expresar 14,86 km3 a Dm3.

1000

X 1000 x


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REA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA

Si en un prisma recortamos sus bases y despus cortamos a lo largo de una arista, como se indica en la figura,

extendiendo sobre el plano obtendrs un desarrollo de este prisma.

El rea lateral del prisma es la suma de las reas de todas sus caras laterales y por tanto vendr dada por el rea

del rectngulo. La base de este rectngulo es el permetro del hexgono de la base del prisma y la altura es laarista lateral del prisma. Por tanto: AL= P aEl rea total del prisma es la suma del rea lateral y el rea de las bases, es decir: AT= AL+ 2 Ab

REAS LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRMIDE

1. Cul ser el rea lateral y total de la pirmide de la figura?

En las pirmides rectas y de base regular, las caras laterales sern tringulos issceles todos iguales. El rea

lateral de la pirmideser, por tanto, la suma de las reas de estos tringulos, es decir:donde P es el permetro de la base y a la apotema de la pirmide.

El rea totalser donde a es la apotema del polgono de labase.Ejemplo:Una pirmide tiene por base un cuadrado cuya diagonal mide 3 cm. Hallar su rea lateral y totalsabiendo que su arista mide 7 cm.


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CUERPOS REDONDOS:

En los objetos como el baln, la tiza, el cono, una taza de caf, etc, encontramos que estn limitadossolamente por superficies curvas o por superficies planas y curvas. Estos cuerpos geomtricos se conocencomo cuerpos redondos o slidos geomtricos.En particular hablaremos de tres cuerpos redondos: El cilindro, el cono y la esfera.

Estos tres cuerpos se generan al hacer girar una lnea alrededor de un eje. La lnea que gira recibe el nombrede generatrizy los puntos que ella describe forman una circunferencia.

CONO

Slido generado al rotar un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de un cono:

Eje: es el cateto AC. Alrededor de l gira el tringulo rectngulo.

Base: es el crculo que genera la rotacin del otro cateto, AB. Por lo tanto AB

es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).

Generatriz: es la hipotenusa del tringulo rectngulo, BC, que genera la reginlateral conocida como manto del cono.

Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del crculo con la

cspide siendo perpendicular a la base.

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vrtice llamado cspide

Tipos

Si la alturacoincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.


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Al abrir un cono obtenemos su red, es decir, la plantilla dibujada en un mismo

plano para poder construirlo.

- La cara lateralo manto de un cono corresponde a un sector circular.

- Llamamos sector circulara una parte del crculo formado por 2 radios y el arco decircunferencia comprendido entre ellos.

En el manto del cono, los radios son la generatriz, y el arco equivale al permetro de

la circunferencia basal.

rea de la superficie cnica

El rea de la superficie del cono recto es:

donde res el radio de la base y gla longitud de la generatriz del conorecto.

La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triangulorectngulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: .

Volumen de un cono

El volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del

cilindroque posee las mismas dimensiones:
http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_(geometr%C3%ADa)


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CILINDRO:

Este cuerpo redondose forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias

congruentes ubicadas en planos paralelos.

Slido generado al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Elementos

Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectngulo.

Bases: son los crculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados

AB y CD del rectngulo. Cada uno de estos lados es el radio de su crculo y

tambin, el radio del cilindro.

Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al

centro de ellas. Esta es la razn por la que el cilindro es recto.

Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la

cara lateral o manto del cilindro.

El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.

Al abrir un cilindro y colocar todas las caras en un mismo plano, obtenemos su red. As:

Puedes observar que en esta red se nos forma un rectngulo

para la cara lateral, cuyos lados son el permetro de la

circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.

Tipos:

Si la alturacoincide con su eje, el cilindro es recto. Si el eje y la

altura no coinciden, el cilindro es oblicuo.
http://gabinetedeinformatica.net/wiki/index.php/Imagen:Desarrollo_del_cilindro.jpg


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La superficie de un cilindro recto de base circular est conformada por un rectngulo dealtura y base , siendo dicha superficie:

Adems dispone de dos bases circulares, de rea:

rea de la superficie cilndrica

El rea de la superficie de un cilindro es: la suma de la superficie lateral ms la superficie de las dos bases

En un cilindro recto de base circular, es:

Volumen del cilindro

El volumen de un cilindro es el producto del rea de la base por la altura del cilindro.

El volumen de un cilindro de base circular, es:

siendo la altura del cilindro la distancia entre las base

ESFERA

Slido generado al rotar un semicrculo alrededor de su dimetro.
http://gabinetedeinformatica.net/wiki/index.php/Imagen:Desarrollo_del_cilindro.jpg


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Elementos

Al girar el semicrculo alrededor del dimetro AB, se genera una superficie esfrica donde se determinan los

siguientes elementos:

Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esfrica.

Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al

punto O.

Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.

Dimetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la

superficie esfrica, pasando por el centro: AB.

La esfera tiene una sola cara curva.

Todos los puntos que forman la superficie esfrica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al

centro de la semicircunferencia que gira.

Cortes

Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma

se obtienen 2 semiesferasy el plano deja como borde un crculo mximo.

Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esfricos.

rea y volumen de la esfera

El rea de una superficie esfrica de radio r, es:

El volumen de una esfera de radio r, es:


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Ejercicios

1. Determinar el volumen de una tiza si tiene forma cilindra de 1cm de radio y 7 cm de largo.

2. Calcular el volumen de gasolina, en dm3, contenida en una caneca de 80dm de dimetro y 150 cm de

profundidad.

3. Calcular el volumen de un cono si la base es un crculo de radio 5 cm y tiene una altura de 12 cm.

4. Calcular el volumen de un cono de 20 dm de altura, si tiene por base un crculo de dimetro 12 dm.5. Determinar el volumen de un cono si su altura es igual al dimetro de la base.

6. Calcular el volumen de un cono si tiene 24 cm de altura y si la longitud de la circunferencia de la base

es 56,52 cm.

7. El volumen de un cilindro es 780 cm3. Si su altura es 12,56 cm, cul es la longitud de la circunferencia

de la base?

8. Calcular los volmenes de un cilindro y de un cono que tienen igual altura (12 cm) e igual base (6 cm de

dimetro). Cmo estn relacionados estos dos volmenes?.

9. Calcular el volumen de una esfera de radio 12 cm.

10.Calcular el volumen de una esfera de 1 dm de dimetro.

11.Un tanque esfrico tiene un dimetro interior de 4 m. Determinar su volumen en dm3.

12.Un pozo, de forma cilndrica, tiene un orificio de longitud 4 m y una profundidad de 8 m. Cuntos das

dur su perforacin si se sabe que por da se extraen 10 m3de tierra?.

13.Un cigarrillo tiene 0,8 cm de dimetro y 8 cm de longitud. Se pueden empacar 20 de estos cigarrillos

en una caja en forma de ortoedro de aristas 8 cm, 5,6 cm y 2,4 cm?.

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