Análisis Estructural Avanzado

Unidad 3. Método de las Rigideces

M.I. Ana Isabel Rosado Gruintal

Mérida, Yucatán a Marzo de 2015

Contenido

• Objetivo• Introducción• Indeterminación Cinemática.• Fundamentos del método de rigideces.• Sistema de acciones nodales equivalentes (fuerza normal, fuerza cortante y

momento flexionante) producidas por la acción de cargas en la barra.• Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos

mecánicos.• Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras

(viga, armadura, parrilla y marco).• Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura.• Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad

activos.• Calculo de las acciones finales de barra en sistema local y cálculo de las

reacciones.• Elaboración de los diagramas de los elementos mecánicos (fuerza normal,

fuerza cortante y momento flexionante).• Bibliografía. 2

Objetivo

• Desarrollar el método de las rigideces planteamientotradicional y matricial. Aplicar e interpretar el método de lasrigideces a la solución de vigas, marcos y armaduras planas.

• Construir e Interpretar diagramas de elementos mecánicos,fuerza normal, cortante y momento flexionante.

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Introducción

• El método de los desplazamientos, también llamado métodode la rigidez, los desplazamientos de los nodos necesariospara describir la deformada de la estructura, se usan en unconjunto de ecuaciones simultaneas.

• Después de obtener estos desplazamientos, estos sesustituyen en las relaciones fuerza-deformación de cadaelemento para determinar las diversas fuerzas internas.

• El numero de incógnitas en el método de rigidez es mayor queel numero de incógnitas en los métodos de flexibilidades. Porlo tanto debe evaluarse mayor numero de ecuacionessimultaneas.

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Introducción

Algunas definiciones necesarias son:

• Elementos: Son las partes que constituyen el sistema estructural que se esta representando.

• Nodos: Son los lugares de la estructura donde se conectan los elementos.

• Fuerza: Se refiere a la fuerza que actúa en una coordenada traslacional o a un momentos en una coordenada rotacional.

• Desplazamiento: Se refiere a una traslación en una coordenada traslacional o una rotación en coordenada rotacional .

• Rigidez: Es la fuerza requerida para generar una deformación unitaria en un material elástico. 5

Introducción

• Coordenadas: El sistema coordenado global se identificará conel uso de ejes x, y, y z que tienen generalmente su origen enun nodo y están posicionados de manea que todos los nodosen otros puntos de la estructura tengan coordenadaspositivas.

• Las coordenadas locales o de elemento x’, y’, y z’ tienen su origen en el nodo inicial del elemento y el eje x’ positivo esta dirigido hacia el extremo final. Ambos sistemas se rigen por la regla de la mano derecha.

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Indeterminación Cinemática.

• Una vez identificados los elementos y nodos y que se haestablecido el sistema global y local de coordenadas, puedendeterminarse los grados de libertas de la estructura.

• Marco: Cada nodo tendrá tres grados de libertad, cada uno delos cuales se identifica por un numero

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Indeterminación Cinemática

• Vigas: Cada nodo tiene dos grados de libertad.

• Armaduras: Cada nodo tiene dos grados de libertad.

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Fundamentos del método de rigideces.• El siguiente método proporciona un medio para determinar

los desplazamientos, reacciones en los soportes y las cargas internas para los elementos de una estructura.

1. Identificar la estructura con sus elementos, nodos.

2. Determinar el sistema coordenada local de cada elemento, indicando su nodo inicial y final.

3. Determinar el sistema coordenado estructural (grados de libertad desconocidos)

4. Definir las propiedades de cada elemento (A,E,I,L,θ)

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Fundamentos del método de rigideces.5. Calcular la matriz de rigidez de cada elemento en

coordenadas locales. (KL)

6. Calcular la matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales (KG) usando la matriz de transformación T.

7. Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura KT (coordenadas globales) de acuerdo a los grados de libertad desconocidos.

8. Calcular las fuerzas de empotramiento en coordenadas locales y globales. (FEML y FEMG)

9. Calcular el vector de fuerzas y desplazamientos (P y Δ)

10. Calcular los desplazamientos y fuerzas desconocidas

(P=KT* Δ) 10

Sistema de acciones nodales equivalentes• Si un elemento soporta una carga entre sus nodos, será

conveniente que los efectos de esta carga se convierta a unacarga equivalente en los nodos. Este se debe a que seplantean las ecuaciones de equilibrio en los nodos.

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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos.

• En esta sección se desarrollará la matriz de rigidez de unelemento marco referido a un sistema de coordenadas localesx’, y’ y z’. En cada extremo hay tres reacciones, que consistenen fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flexionantes.

• Se impondrán ahora desplazamientos unitarios para obtenerlas reacciones en los extremos.

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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos.

• Desplazamientos en x. Si el miembro sufre un

desplazamiento u1 o u2, se generan las fuerzas axiales en losextremos del elemento mostradas en la siguiente figura.

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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos.

• Desplazamientos en y. Las fuerzas cortantes y momentos

flexionantes resultantes que se generan cuando se impone undesplazamiento positivo U2 y U5, mientras los demás desplazamientosestánimpedidos,se muestranen lassiguientesfiguras.

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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos.

• Rotaciones en z. Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes

resultantes debido a una rotación unitaria positiva U3 y U6, mientras losdemás desplazamientos están impedidos, se muestran en las siguientesfiguras.

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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras

• A la matriz K se le llama matriz de rigidez del elemento. Los 36coeficientes que contiene, toman en cuenta las fuerzasaxiales, cortantes y momentos flexionantes pordesplazamientos del elemento. Físicamente, estos coeficientesrepresentan las reacciones sobre el elemento cuando estesufre un desplazamiento unitario especifico

• Marco:

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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras

• Viga:

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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras

• Armadura:

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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras

Propiedades de la matriz de rigidez:

• Equilibrio: Cualquier desplazamiento que ocurra debe producirun conjunto equilibrado de fuerzas de extremo. Para cadacolumna pueden satisfacerse las ecuaciones de equilibrio.

• Singularidad: Es decir que no tiene inversa

• Simetría: Debido a la simetría es posible resolver la partesuperior triangular de la matriz, incluyendo la diagonal, con elque se ahorra tiempo de almacenamiento.

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Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura.• Después de desarrollar la matriz de rigidez de cada elemento

en términos de coordenadas globales, esas matrices puedenensamblarse para formar la matriz de rigidez de la estructura.

• Cualquier elemento esta conectado a solo algunas de lascoordenadas estructurales.

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Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura.

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Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad activos.• Las ecuaciones de rigidez desarrolladas hasta el momento han

sido escritas en términos de las fuerzas y desplazamientos delelemento referenciado al sistema local.

• Es necesario referenciar las relaciones de rigidez en términosdel sistema global. Para esto se usara la matriz detransformación ortogonal.

• Además de su uso para transformar la matriz de rigidez,también se utilizara para transformar las fuerzas locales aglobales, y viceversa.

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Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad activos.

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Calculo de las acciones finales de barra en sistema local y cálculo de las reacciones

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Elaboración de los diagramas de los elementos mecánicos• Una vez calculadas las fuerzas en los extremos de los

elementos se pueden calcular los diagramas y ecuaciones deelementos mecánicos.

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Bibliografía

• Gere, James M. y Weaver, William Jr. Análisis de Estructuras Reticulares. McGraw – Hill, 1984.

• Hibbeler, Russell C. Análisis Estructural .Prentice Hall, 1997.

• Laible, Jeffre P. Análisis Estructural. McGraw – Hill.

• Laible, Jeffre P. Métodos Computacionales de Análisis Estructural. Prentice –Hall.

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