UNIDAD 2

PLANIMETRIA

2.1 Definición

La planimetría trata del trazo o medida de longitudes y direcciones de las líneas que

forman los linderos de terrenos urbanos o rústicos.

2.2 Medida de distancias: A pasos con cinta en terreno horizontal e inclinado

Consiste en conocer la distancia promedio de nuestros pasos normales y el número

de ellos cuando recorremos una distancia dada.

Para conocer la longitud de nuestros pasos, localizamos una línea recta, de longitud

conocida y la recorremos n veces. En cada una de ellas, tanto en un sentido como en el

otro, contamos el número de pasos, las cantidades resultantes las sumamos y las

dividimos entre n. Obtendremos así el promedio. Dividiendo la distancia conocida entre

el número de pasos promedio, conoceremos la longitud promedio de nuestros pasos.

Para el conteo de pasos existe un dispositivo llamado podómetro, que es colocado

en una pierna y así, al terminar cualesquier recorrido, basta con multiplicar el número

de pasos por su longitud para conocer la distancia.

Número de pasos Sentido Distancia conocida

318 A-B 250 m

315 B-A 250

317 A-B 250

318 B-A 250

316 A-B 250

317 B-A 250

Promedio = 316.833 pasos

12

Distancia = 250.000 = 0.789 = 0.80 m/paso

316.833

2.3 Problemas resueltos con cinta

Para hacer las mediciones, los trazos con cinta o ambas cosas, es necesario contar

con el apoyo de elementos auxiliares como plomadas, estacas o trompos, fichas,

niveles tubulares de burbuja, balizas (jalones) etc.

Solución por medio de cinta y elementos auxiliares de algunos problemas que

suelen presentarse en mediciones y trazos topográficos. Los puntos que se indican en

los problemas siguientes pueden ser marcados con fichas, estacas, trompos, etc.

Dada una línea AB, levante una perpendicular por el punto a (ver Fig. 1)

Solución: Se marca el punto c, equidistante el punto a. Sobre la prolongación del

lado bc, se marca el punto d, a una distancia bc, a partir del punto c. El punto d resuelve

el problema.

Desde un punto d baje una perpendicular a la línea AB (ver Fig. 2)

Solución: Se marca un punto b sobre la línea AB y se marca un punto c a la mitad de

db. A partir de c, se mide una distancia igual a cb y se marca el punto a sobre la línea

AB. El punto a, resuelve el problema.

Los dos problemas anteriores se pueden resolver por medio de los números pitagóricos

3, 4, 5. (Ver Fig. 3)

Solución: Se coloca la cinta con origen en el punto a, se clava una ficha que

corresponda a 3 metros de distancia (punto b) y se marca otro punto c a la distancia de

8 metros. La operación debe hacerse hasta que coincida en el punto a la marca de 12

m. de la cinta.

13

Por un punto d pase una paralela a una recta AB (ver Fig. 4)

Solución: Se marcan dos puntos sobre AB, el punto a y el punto b, se marca el punto

c a la mitad del segmento db y sobre la línea ac se marca el punto e , a partir del punto

c, a una distancia a ac. El punto e resuelve el problema.

El problema anterior se puede resolver también estableciendo un cuadrilátero que

tenga dos puntos de la recta AB y al punto d, de manera que los puntos abd queden a

la mitad de su lado correspondiente. ( ver Fig. 5)

Prolongación de un alineamiento cuando hay un obstáculo

Solución: Se lleva una línea Aba que libre el obstáculo. Por los puntos a, b, y c se

levantan perpendiculares, por lo que se tienen definidos los triángulos semejantes y por

lo tanto, se pueden hallar las distancias bb’ y cc’ con las que se pueden marcar los

puntos b’ y c’ que resuelven el problema (ver Fig. 6)

Distancias conocidas: Aa, Ab, Ac, y aa’ ; por lo tanto:

bb’ = aa’ AB cc’ = aa’ AC

Aa Aa

bb’ = K Ab cc’ = K A c

14

15

A Ba b

c

d

Figura 1Figura 4

Aa b

B

d

c

e

Figura 2

A a b

d

c

B

Figura 5

A

a b

d e

C

B

D

Figura 3

A

a b

B3

5

12 m

.

3 m0 m

Figura 6

A a b Bc

a´

b´

c´

2.4 Errores topográficos: Orígenes y Clases. Valor Probable y Tolerancia lineal

CAUSAS DE ERRORES

En todas las medidas que se hagan siempre se cometerán errores que no es

posible eliminar por mucho cuidado que se ponga y destreza que tengan los

encargados de ejecutarlas. Los errores obedecen a tres causas principales:

1) Errores instrumentales debidos a las imperfecciones de los instrumentos.

2) Errores personales, por las limitaciones de los sentidos como la vista y el tacto.

3) Los naturales, debidos a las variaciones del clima (lluvia, diferencia de

temperaturas, viento, etc.)

ERRORES SISTEMÁTICOS

Estos errores son los que, en igualdad de condiciones, se repiten siempre con el

mismo signo (positivo o negativo). Las magnitudes de estos errores son constantes

como cuando se hace una medida con cinta que tenga una longitud mayor o menor que

su valor nominal. Los errores sistemáticos más comunes son los siguientes:

a) Por no tener la cadena o cinta la longitud exacta; este error es negativo cuando

es más corta y positivo cuando es más grande. Las cadenas tienen en las asas

unas tuercas y contratuercas para ajustarlas. Las cintas deben comprobarse con

una comparada para conocer su longitud exacta.

b) El error por catenaria es siempre negativo y consiste en el acortamiento que

sufre el longímetro por la curvatura vertical debida a su propio peso, cuando no

se apoya sobre el suelo. La corrección que hay que aplicar se determinará al

trazar el procedimiento para medir una base para triangulación.

c) Falta de horizontalidad del longímetro, este error es negativo y se elimina si se

tiene cuidado de ponerlo horizontal lo que se consigue con la práctica.

d) La falta de alineación es siempre negativo y, para eliminarlo, hay que cuidar la

alineación del cadenero de adelante.

16

e) En terrenos cubiertos de maleza, el longímetro presenta sinuosidades que dan

lugar a un error negativo y que se elimina limpiando bien el terreno y tensando el

longímetro por medio de sacudidas en sentido vertical.

f) Cuando no se da la tensión necesaria, el longímetro se apoya en las

ondulaciones del terreno y se tiene un error negativo.

g) Una temperatura alta produce un error positivo y, en cambio, una temperatura

baja produce un error negativo. Los errores por temperatura se tienen en cuenta

solamente en medidas muy precisas.

h) Con el uso, las cadenas sufren desgastes y deformaciones de los eslabones;

pueden ser ajustadas por medio de las tuercas que tienen en las asas.

ERRORES ACCIDENTALES

Estos errores, también denominados fortuitos, se deben a una combinación de

causas que el observador o los encargados de ejecutar las medidas no pueden eliminar

por más cuidado que se ponga y pericia que se tenga. Los errores accidentales de la

misma naturaleza pueden tener el mismo signo positivo o negativo y en una serie de

medidas tienen a compensarse. Los errores más comunes son los siguientes:

a) Al presionar para clavar la ficha en el suelo puede desalojarse en un sentido o en

otro y el error puede ser positivo o negativo.

b) Al medir los extremos del longímetro, pueden estar desalojados respecto a las

fichas o puntos del terreno.

c) Las variaciones de tensión dan origen a errores de signo positivo o negativo.

d) Falta de apreciación de las fracciones del longímetro.

VALOR PROBABLE: El valor más probable de una magnitud es la medida o promedio

aritmético de varias mediciones.

TOLERANCIA

Para comprobar una distancia sería necesario medirla dos veces en ambos sentidos

y el error medio es proporcional a la raíz cuadrada del número de medidas.

17

2.5 Levantamientos con cinta

a) Por triangulación

Este tipo de levantamientos se realizan tanto en topografía como en la geodesia; y

en ambos casos para regiones a nivel nacional para levantamientos extensos en los

que se considera la forma real de la Tierra para su representación gráfica por medio de

la cartografía; y la topografía, para trabajos específicos o proyectos específicos en

regiones menos extensas, consideradas como planas.

Los levantamientos generalmente se realizan apoyándose en poligonales de poca,

regular o buena precisión, pero en la medida en que aumentan las dimensiones del

terreno y los requerimientos de precisión, se hace necesario que las figuras

geométricas sean más estables y rígidas. En ese sentido, el menor de los polígonos es

el triángulo, de manera que ligando varios de ellos por uno o más de sus lados

definimos una figura geométrica de apoyo a base de triángulos.

Una serie de triángulos, que es mucho más estable que una poligonal simple.

Pueden considerarse polígonos con punto central, aislados o ligados entre sí.

En las triangulaciones geodésicas los lados miden algunas decenas de kilómetros;

es necesario recurrir a los procedimientos que esa ciencia señala acudiendo a tratados

especializados. En topografía los requerimientos son distintos y los lados de los

triángulos miden un promedio de 1500 m., por lo que habrá que considerar los

siguientes aspectos:

- Sección de los vértices y visuales desde puntos elevados, edificios o

construcciones estables y construcciones provisionales hechas especialmente

para estos trabajos.

- Realizar el señalamiento mediante objetos o construcciones estables

(monumentos con placa, placas ancladas, columnas de concreto con dispositivo

para centraje forzado, varillas sepultadas de concreto, etc.)

- Elaborar registros especiales para cada caso y proveerse de los elementos

auxiliares necesarios (balizas, banderolas, torres, extensiones, tripiés, lámparas,

etc.)

18

- Contar con brigadas de campo capacitadas para ese tipo de trabajos.

- Tomar en cuenta los efectos de curvatura y refracción.

En dichas triangulaciones topográficas, se miden los ángulos de los triángulos y un

lado base, para que después por trigonometría se propague esa medida hacia todos los

lados. Periódicamente se realizan comprobaciones mediante otros lados base, si se

trata de una cadena de triángulos o de una red, para ir conociendo los errores y

compensándolos; también en el otro extremo, deberá existir un lado base que permita

hacer comprobaciones.

Una gran ventaja de las triangulaciones es que permiten realizar levantamientos

extensos, midiendo sólo ángulos y algunos lados considerados como base, evitando

tener que medir todos los lados de los triángulos.

b) Por radiaciones

El levantamiento se efectúa descomponiendo el polígono en triángulos; bastará

entonces medir los lados del contorno y las radiaciones del punto 0 a cada vértice del

polígono.

Polígono

19

c) Por intersecciones

Se hacen cuando desde un lado base, una poligonal abierta o una poligonal cerrada

se desea llegar a un punto inaccesible, es decir, sobre el cual tenemos visibilidad, pero

no podemos medir la distancia hasta él. Se dimen entonces los ángulos con respecto a

los lados de referencia o las direcciones desde dos o más vértices consecutivos. Así, al

dibujar las líneas y trazar los ángulos o las direcciones, las intersecciones de las líneas

nos darán el punto deseado.

Las combinaciones de los distintos instrumentos nos dan un abanico muy grande de

precisiones. Así, por ejemplo, la brújula y un telémetro o la brújula y un odómetro darán

menor precisión que cuando se la combina con una cinta de hacer. El teodolito, con la

gran variedad de marcas que existen, los variados rangos de aproximaciones y sus

características de construcción, combinados con los distintos instrumentos de medición

de distancias, nos da una gama verdaderamente grande en las precisiones. Y si, a esto

le agregamos los diversos procedimientos de campo, los métodos de comprobación, los

elementos para el cálculo y otros, sería muy difícil establecer rangos fijos o recetas para

todos los casos.

d) Por coordenadas

Para hacer el levantamiento se define un sistema de ejes coordenados x y y y de

cada vértice del polígono se llevan perpendiculares a los ejes de proyección;; por tanto,

bastará medir cada x y y de los vértices que forman el polígono. Este método es bueno

cuando se trata de un terreno sin obstáculos.

20

A B

X

Río

Punto X inaccesible desde A y B

Para el levantamiento de una curva, está se puede levantar definiendo una línea que

la corte en sus extremos y, a partir de uno de ellos, se levantan perpendiculares cada

unidad. El levantamiento del detalle se hace midiendo la x y la y correspondiente.

2.6 Concepto de Rumbo, Azimut y Declinación Magnética.

La localización de puntos y la orientación de líneas dependen con frecuencia de la

medida de ángulos y direcciones. En topografía, las direcciones se expresan por

rumbos y acimutes o azimutes.

Los ángulos que se miden en topografía se clasifican en horizontales y verticales,

dependiendo del plano en que se midan. Los ángulos horizontales son las medidas

básicas que se necesitan para determinar rumbos y acimutes.

21

Y

X

X X X X X

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8

X= Unidad

Criterio para la medición lineal en terreno horizontal y en terreno inclinado

Rumbos

Los rumbos son un medio para establecer direcciones de líneas. El rumbo de una

línea es el ángulo horizontal comprendido entre un meridiano de referencia y la línea. El

ángulo se mide(según el cuadrante) ya sea desde el norte o desde el sur, y hasta el

este o hacia el oeste, y su valor no es mayor de 90°. El cuadrante en el que se

encuentra se indica comúnmente por medio de la letra N o la S precediendo al valor

numérico del ángulo, y la letra E o la W , en seguida de dicho valor, por ejemplo, N80°E.

En la figura todos los rumbos en el cuadrante NOE se miden en el sentido del reloj, a

partir del meridiano. Así, el rumbo de la línea OA es N 70° E. Todos los rumbos del

cuadrante SOE se miden en sentido contrario al del reloj y a partir del meridiano;, así, el

rumbo de OB es S 35° E. De modo semejante, el rumbo de OC es S 55° W y el de OD

es N 30° W.

Los rumbos verdaderos se miden a partir del meridiano geográfico local; los rumbos

magnéticos, desde el meridiano magnético local; los rumbos supuestos, a partir de

cualquier meridiano adoptado, y los rumbos de cuadrícula a partir del meridiano

apropiado de cuadrícula. Los rumbos magnéticos pueden obtenerse en el campo

observando la aguja de la brújula y utilizando los ángulos medidos para obtener los

rumbos calculados.

22

N

S

W E

Meridianode referencia A

D

C B

30°70°

55°

35°

Rumbos

0

Acimutes ( o Azimutes)

Estos son ángulos horizontales medidos (en el sentido del reloj) desde cualquier

meridiano de referencia. En topografía plana, el acimut se mide generalmente a partir

del norte, pero a veces se usa el sur como punto de referencia (por ejemplo, en algunos

trabajos astronómicos y del National Geodetic Suvery). También se usa el sur en

relación con el acimut de cuadrícula de un sistema local de coordenadas planas.

Los ángulos acimutales varían de 0 a 360° , y no requieren letras para identificar el

cuadrante. Así el acimut de OA es 70°; el de OB, 145°; el de OC, 235° y el de OD,

330°. Puede ser necesario indicar en las notas de campo, al comienzo del trabajo, si los

acimutes van a medirse a partir del norte o del sur.

Los acimutes pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadricula o supuestos,

dependiendo del meridiano que se use. También pueden ser directos o inversos. Los

directos (o hacia delante) se convierten en inversos (o hacia atrás), y viceversa,

sumando o restando 180°. Por ejemplo, si el acimut de OA es 70°, es de AO es 250°. Si

el acimut de OC es 235°, el de CO es 235° - 180° = 55°.

Los acimutes pueden leerse en el círculo horizontal de un tránsito o teodolito

repetidor después de haber orientado adecuadamente el instrumento. Se hace esto

visando a lo largo de una línea de acimut conocido, con dicho ángulo marcado en el

círculo, y girando luego a la dirección deseada. Las direcciones acimutales se emplean

ventajosamente en algunos cálculos de ajuste de datos.

23

N

C

D

SB

Meridianode referencia

A

Acimutes

O

145°

COMPARACIÓN DE RUMBOS Y ACIMUTES

Rumbos Acimutes

* Varían de 0 a 90° * Varían de 0 a 360°

* Se indican con dos letras y un * Se indican sólo con un valor numérico

valor numérico

* Pueden ser verdaderos, magnéticos * (Igual)

de cuadrícula, arbitrarios, directos o

inversos.

* Se miden en el sentido del reloj y en * Se miden en el sentido contrario

sentido contrario

* Se miden desde el norte o desde el * Se miden solo desde el norte (o a veces

sur (según el cuadrante) sólo desde el sur)

Fenómenos físicos que intervienen en la determinación de los rumbos o acimutes

magnéticos.

La brújula es una aguja magnética suele sufrir desvariaciones o atracciones, debidas

a objetos cercanos o también relativamente cercanos que ejercen una atracción

magnética llamada atracción local sobre ella. Esto se debe a la existencia de alguna

acumulación de metales en el terreno o por la existencia de rieles de ferrocarril, torres

de transmisión de electricidad, algún carro tanque, la hebilla de un cinturón, un llavero,

etc.

Como este tipo de alteraciones puede ser frecuente, será necesario tomar

precauciones y buscar métodos de comprobación a fin de que nuestros levantamientos

cumplan con los objetivos propuestos.

Otro tipo de fenómenos que se presentan provienen de tormentas magnéticas y

alteraciones periódicas que se producen en el campo magnético de la Tierra:

variaciones diarias (diurnas y nocturnas, anuales, seculares, etc.). Estas alteraciones

no son tan sencillas de conocer para disminuirlas o evitarlas como en el caso de las

atracciones locales, pues es necesario recurrir a procedimientos y observaciones de la

24

astronomía práctica o de posición, o bien contar con un giróscopo para que con ellos se

pueda definir la meridiana magnética observada. A la diferencia encontrada entre la

meridiana magnética y la meridiana astronómica se le denomina variación o

declinación magnética. Se le designa con la delta minúscula (), pudiendo darse el

desplazamiento hacia el este o hacia el oeste. En la república mexicana es conocida la

declinación magnética cada año de algunas regiones del país, mediante el anuario del

observatorio astronómico del Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional

Autónoma de México.

2.7Generalidades de la brújula y condiciones que debe satisfacer, usos.

Existen diferentes tipos de brújulas, así como una gran cantidad de marcas en el

mercado para las más diversas aplicaciones. La brújula no es un instrumento muy

preciso pero sí muy práctico, que cumple perfectamente bien ciertos fines. Así, se

obtendrían resultados satisfactorios en un tiempo menor en los trabajos realizados en

áreas pequeñas o bien en levantamientos de terrenos mayores cuya representación

gráfica se realizará a pequeña escala y en los que la precisión requerida es menor que

la que se podría obtener con un teodolito.

La brújula es un instrumento cuya principal pieza la constituye una aguja imantada

que puede girar libremente alrededor de su centro de gravedad y, dado que los polos

magnéticos de la Tierra actúan como grandes imanes, la aguja tendrá siempre a estar

alineada en esa dirección, siguiendo las leyes del magnetismo para definir la línea

norte-sur o meridiana magnética.

La brújula tipo Brunton se compone de una caja de latón con un círculo graduado

que puede presentarse con una escala graduada de 0 a 360° en aquellas brújulas con

las que puede medirse un acimut o bien un círculo subdividido en 4 cuadrantes de 90°

cada uno, para definir directamente los rumbos.

En el fondo de la caja, al centro y coincidiendo precisamente con el centro del círculo

graduado, se encuentra un pivote es generalmente de acero duro, con punta

sumamente aguda y fija sobre un ágata o alguna otra roca dura. Alrededor del pivote,

pero en forma independiente, gira un dispositivo que tiene los siguientes elementos: un

25

nivel circular de burbuja de aire atrapada en un recipiente que contiene éter o bencina.

La burbuja además de aire tiene los vapores de la sustancia en la cual está inmersa y

esto, además de cierta curvatura o esfericidad del recipiente, hace que la burbuja vaya

a la parte superior. Es visible a nuestros ojos gracias a que la cubierta es de cristal. Y

haciendo los movimientos de inclinación necesarios, llevamos la brújula al centro para

con ello colocar la caja de la brújula en posición horizontal, gracias a que la directriz del

nivel es paralela con la caja en esos momentos. Posee allí mismo un semicírculo

graduado en dos sentidos, de 0 a 90°. A la izquierda y a la derecha del centro del

semicírculo, posee un índice ( y en ocasiones también un nonio) para hacer lecturas de

ángulos de inclinación o verticales, auxiliándose de un nivel tubular de burbuja colocado

en posición paralela con el fondo de la caja. Ello tiene por objeto que la directriz de nivel

se defina la posición horizontal de la caja pero colocada transversalmente a la posición

del nivel circular antes descrito.

Así colocaremos la brújula de costado, sobre una tabla o directamente sobre el

terreno. Mediante la palanca que está fuera de la caja, por la parte trasera, llevamos la

burbuja del nivel tubular al centro, de modo que el ángulo de inclinación formado por la

directriz del nivel y el terreno pueda ser medido con el semicírculo graduado. A este

dispositivo se le denomina clisímetro o clinómetro.

Para cubrir la caja, ésta tiene una tapa sujeta mediante una bisagra en un punto de

los extremos de la caja. La tapa contiene por la parte de adentro un espejo circular con

una línea perfectamente definida que divide al circulo en dos parte iguales, además de

coincidir con la graduación de 0° del círculo graduado de la brújula. El espejo sirve para

hacer visuales a través de él cuando no pueden hacerse más próxima a la caja, posee

un claro para mirar hacia abajo al punto de estación, cuando se utiliza el espejo y

apoyamos la brújula directamente en la mano.

En el lado opuesto al espejo o mejor dicho, a la tapa de la caja, existe una pequeña

mirilla o pínula que embona dentro de la tapa de la brújula cuando ésta está cerrada. Y

su punto cuando está extendida nos sirve para hacer visuales, en forma similar a

cuando hacemos puntería con un rifle, ya que dicha punta coincide con la línea del

espejo y la línea imaginaria que pasa por 0 y 180° del círculo graduado cuando se trata

de una brújula acimutal y por 0 y 0° cuando la brújula mide rumbos.

26

En la parte trasera de la caja existe una palanca o manivela, mediante la cual se

puede operar el índice 2) para colocar el nivel tubular en posición horizontal cuando la

brújula está en el centro. Con dicho índice se puede leer el valor del ángulo de

inclinación y el porcentaje de pendiente sobre el semicírculo graduado.

Las medidas descritas pueden ajustarse de acuerdo con necesidades específicas.

Por supuesto, es posible realizar las mediciones con brújula aun sin ninguno de los

elementos anteriores, como ya se dijo antes, con sólo sujetar en la mano una plomada

y la brújula. La maniobra no es sencilla y arroja menor precisión. Pero si se requiere

mayor rapidez o no se justifica el conseguir un trípode o un bastón, se buscará realizar

los procedimientos geométricos a fin de satisfacer los requerimientos geométricos de

colocar el centro de la brújula sobre el punto desde el cual se desea medir: rumbos o

acimutes. Para ello el eje imaginario de la vertical del lugar deberá ser perpendicular

con el plano horizontal sobre el cual proyectamos el conjunto de puntos por levantar.

Para la determinación del rumbo o acimut, la aguja magnética apuntará siempre en

dirección norte-sur, es decir, la meridiana estará definida en cuanto esté centrada y

nivelada o puesta en posición horizontal la brújula. En nuestro hemisferio (norte), la

punta de la aguja se dirige al norte y para evitar que se incline con relación a la posición

de la caja, que es tangente a la superficie terrestre; posee en la parte que se dirige al

sur ( o sea en el otro extremo de la aguja) un contrapeso calibrado para cada caso y

con ello la aguja girará libremente sobre el pivote. Visto lo anterior girando la caja en

cualquier sentido, la punta de la aguja que apunta al norte, nos indicará el rumbo o

acimut directamente sobre el círculo graduado.

En el caso de brújulas acimutales, el problema desaparece ya que el círculo está de

0 a 360° y, como es evidente, conocido el acimut, es posible calcular el rumbo y

viceversa.

27

2..8 Levantamiento con teodolito y cinta

2.8.1 Descripción del teodolito mecánico y electrónico

Teodolito de vernier. Descripción, condición geométrica y reglaje. Cabe mencionar

que a este instrumento en México y en otros países de América se le da el nombre de

“tránsito” , tal vez debido a un anglicismo pues en Europa continental recibe el nombre

de teodolito. No se conoce exactamente el origen de esta diferencia. Se ha especulado

al respecto y no hay un acuerdo; se dice, por ejemplo, que gracias a la posibilidad de

que el telescopio del tránsito gire sobre su eje 180° lo hace diferente del teodolito.

Efectivamente, en el pasado y algunos equipos muy especializados hoy en día no

realizan un giro completo del telescopio sobre su eje. El hecho real es que en la

actualidad y desde hace mucho tiempo, la mayor parte de este tipo de goniómetros

posee dicha característica.

Se llama tránsito a aquellos instrumentos mediante los cuales se realizan

mediciones angulares cuya aproximación se hace en una superficie metálica. Se

denomina más generalmente teodolito a aquellos goniómetros cuya óptica es más

28

CLISIMETRO Y BRUJULA EN UN SOLO EQUIPO

evolucionada o más precisa y sobre todo, cuyas lecturas angulares se realizan en

círculos hechos sobre cristal y se aproximan mediante un micrómetro de tipo óptico y un

microscopio electrónico, es decir, a instrumentos con los que se obtiene mayor

precisión y rapidez de operación.

En varios países, estos tipos de instrumentos han desplazado casi totalmente a los

tránsitos de nonio; no obstante, varios países aún los utilizan tanto en la docencia como

en los trabajos de ingeniería. Presentan algunas ventajas como su durabilidad, la

facilidad para realizar algunas reparaciones por uno mismo, etc. Y algunas desventajas

como: menor precisión, mayor lentitud de operación, mayor peso, etc.

La diferencia entre el tránsito y el teodolito es más bien desde el punto de vista

tecnológico y de recursos económicos ya que los principios geométricos son los

mismos y en todo caso el uso de uno o de otro dependerá de los objetivos que se

persigan. Al respecto cabe decir que los aparatos de micrómetro óptico se van

generalizando y su uso es muy frecuente, pero como ya se indicó se usan aún los de

lectura de nonio.

A continuación nos referimos a los denominados tránsito, con relación a su

descripción, condiciones geométricas y reglas para el empleo óptimo.

29

TR

30

Tránsito de vernier Luft

Tránsito de vernier Luft. ( descripción de las partes)

El tránsito posee una base de sustentación apoyada y atornillada sobre una cabeza

metálica con tres patas extensibles que pueden ser de madera o de aluminio, conocido

31

como trípode o tripié. La base del tránsito se llama base niveladora y está provista de

cuatro tornillos llamados tornillos niveladores opuestos 2 a 2 en forma perpendicular.

También los hay provistos de 3 tornillos niveladores colocados 2 a 1 en forma

perpendicular. Con estos tornillos, que tienen cuerda estándar, al girar los opuestos en

forma simultánea en el mismo sentido (es decir, ambos hacia adentro o ambos hacia

fuera), uno se acorta mientras el otro se alarga. Esto hace que la base realice un

movimiento basculante para que, con el auxilio de los niveles tubulares del limbo o plato

horizontal, podamos poner el aparato en posición horizontal una vez que la burbuja de

aire atrapada en el nivel se localice en la parte superior, entre las marcas que para tal

efecto existen.

Otros tránsitos vienen montados sobre una cabeza en forma de rótula y un solo

tornillo que sujeta el movimiento. Simplemente con la mano llevamos una burbuja de

nivel circular al centro, en forma aproximada, para luego afinar mediante otro tornillo

tangencial el centrado de la burbuja. Los hay también con una base llamada basculante

que consta de un semicírculo que por medio de un tornillo de cuerda sinfín realiza

movimientos de inclinación o basculantes. Estos dos últimos dispositivos son más

frecuentes en los teodolitos de micrómetro óptico.

Sobre el plato que cubre al círculo horizontal se apoyan los soportes del telescopio

que al girar sobre dos cojines en 180° describen lo que se denomina vuelta de campana

alrededor del eje de alturas, que es perpendicular al eje acimutal, cumpliendo así con la

condición geométrica correspondiente.

Unido a la base nivelante se encuentra un tubo o caja de forma cónica con un eje de

giro o eje acimutal que coincide con el centro del aparato en general y en particular con

el centro del círculo graduado o Limbo horizontal. Asimismo este eje es colineal con la

vertical ( línea cenit-nadir ) que se ve materializada por medio de la plomada cuyo

soporte en forma de gancho coincide también con el eje acimutal.

Algunos tránsitos modernos sustituyen la plomada tradicional que pende de un hilo

por un dispositivo óptico que, gracias a un prisma reflector, permite ver a través de un

pequeño anteojo, colocado horizontalmente abajo del círculo graduado, una línea

perpendicular a la línea del eje óptico de esa lente, hacia cualquier punto sobre el que

se desee centrar el aparato.

32

33

TRÁNSITO

DE

LECTURA

DE NONIO

Tránsito de lectura de nonio con los círculos cubiertos y plomada óptico

( descripción de las partes)

34

A continuación se ilustran algunos de los accesorios que todos los teodolitos pueden

poseer de forma opcional.

CLISIMETRO

NIVEL AUTOMATICO

NIVEL FIJO NIVEL BASCULANTE

NIVEL AUTOMATICO CON PLACA PLANOPARALELA O MICROMETRO

NIVEL ELECTRONICO

35

Teodolitos electrónicos

Este tipo de teodolitos operan en igual forma que los teodolitos de micrómetros

óptico. Su diferencia fundamental consiste en el dispositivo electrónico que permite leer

a elección ángulos horizontales o verticales en la pantalla (display) en forma digital,

habiendo puesto previamente en ceros la visual de origen por medio del botón

correspondiente. Por un impulso eléctrico éste coloca en coincidencia el índice con la

marca 0°.

Tanto los teodolitos de micrómetro óptico como los de lectura a base de sistemas

electrónicos se clasifican dentro de los teodolitos denominados modernos; sería

imposible presentar toda la variedad que de ellos existe. Asimismo, hacer descripciones

detalladas desde el punto de vista de sus componentes y la tecnología de su

construcción podría hacer que se omitieran aspectos importantes. Además, como en el

caso de los distanciómetros electrónicos y las computadoras, la evolución e

introducción de modificaciones hace que la actualización del lector se dé a través de

revistas y de folletos de las compañías fabricantes.

En ese mismo sentido, las revisiones de la condición geométrica se hacen en forma

similar a las de los tránsitos de nonio; para los ajustes será necesario consultar en cada

caso el correspondiente manual. Ajustar los niveles no requiere cuidados especiales

pues se realizan de la misma manera que para los teodolitos de nonio o tránsitos. Sin

embargo, los ajustes a la línea de colimación, verticalidad del hilo o marca de la retícula

y de eje de alturas, etc., varían de un fabricante a otro por la disposición de partes y

construcción de los aparatos. De hecho como la mayor parte de piezas que integran un

teodolito de este tipo vienen cubiertas, es difícil que sufran desarreglos serios y, cuando

esto sucede, lo mejor es recurrir a talleres especializados. Ello no quiere decir que

nunca se pueda ajustar un teodolito de micrómetro óptico; pero sí es importante

destacar que los ajustes deben ser hechos con cuidado y meticulosidad siguiendo el

instructivo correspondiente a fin de no dañarlo.

36

Es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para hacer las

lecturas del circulo vertical y horizontal, desplegando los ángulos en una pantalla

eliminando errores de apreciación, es mas simple en su uso, y por requerir menos

piezas es mas simple su fabricación y en algunos casos su calibración.

Las principales características que se deben observar para comparar estos equipos

hay que tener en cuenta: la precisión, el numero de aumentos en la lente del objetivo y

si tiene o no compensador electrónico.

37

38

TEODOLITOELECTRONICO

Teodolito electrónico Sokkisha DT-2E

39

2.8.2 Condiciones que debe satisfacer un teodolito para un buen funcionamiento.

En el teodolito se combinan una brújula, un telescopio central, un circulo graduado

en posición vertical. Con estos elementos y su estructura mecánica se pueden obtener

rumbos, ángulos horizontales y verticales. Asimismo mediante cálculo y el apoyo de

elementos auxiliares pueden determinarse distancias horizontales, verticales e

inclinadas; todos ellos muy bien graduados.

2.8.3 Medida de ángulos simple y por repeticiones

El ángulo es un elemento geométrico muy importante en la realización de

levantamientos topográficos. La proyección de dos lados consecutivos sobre el plano

del horizonte describe una abertura que nos define un sector de un círculo con el

vértice, dicho sector o arco puede ser medido en forma similar al uso de

transportadores en geometría, mediante un goniómetro (del griego gónia, ángulo y

metrón, medida), que reúna las mismas condiciones geométricas del transportador

sobre la hoja de papel, sólo que en el terreno y proyectando sobre el sistema de

referencia que nos da el plano horizontal.

Método simple. Consiste en colocar como origen de medición cero grados sobre la línea

que une al vértice con cualquier punto de referencia que se tome como origen. A partir

de allí podemos medir el ángulo interno, externo o de deflexión en sentido positivo

(sentido de las manecillas del reloj o sentido a la derecha) o bien en sentido negativo

(contrario a las manecillas del reloj o sentido a la izquierda ), hasta el siguiente punto de

referencia que nos defina el ángulo. Y se lee en el círculo graduado el valor

correspondiente al arco descrito entre las dos líneas.

Método de repetición. Se toma como origen en cero grados cualesquier línea, como el

método simple, se gira hasta el lado con el cual se define el ángulo por medir y se

regresa a la línea de origen. Pero no se coloca en cero grados, sino en la lectura que se

haya tenido al medir. Se repite dos, tres o más veces esta operación y, como los

40

valores se han ido acumulando (en la segunda ocasión aproximadamente el doble, en

la tercera cerca del triple, etc.), el valor angular de la última observación se divide entre

el número de veces que se hizo la repetición y el resultado o cociente será el valor

angular correspondiente (regularmente se hacen tres repeticiones y como máximo

cuatro ya que la fricción del limbo puede arrastrar su graduación y con ello perdería

precisión nuestra lectura).

Repetición Valor acumulado

1 377°20’

2 74°42’

3 112°03’

112°03’ / 3 = 37° 21’ valor promedio

Este método es muy confiable ya que ofrece la ventaja de poder detectar errores,

equivocaciones y los errores acumulados por la apreciación de los valores.

2.8.4 Métodos de levantamientos:

a) Por ángulos

Los levantamientos pueden ser por medio de poligonales cerradas dentro de las

cuales quedan comprendidas extensiones superficiales; la exactitud angular y lineal

puede ser comparada, y las poligonales abiertas que tienen aplicaciones en los

levantamientos de ríos, vías férreas y caminos, etc.

Los círculos acimutales de los teodolitos están graduados en el sentido en que giran

las manecillas del reloj y, aunque también tienen numeración en sentido opuesto y

mientras no se especifique lo contrario, siempre se entenderá que la medida de los

ángulos se hará teniendo en cuenta el sentido de las manecillas del reloj.

Para el levantamiento de un polígono cerrado, debe tenerse en cuenta la dirección

que debe seguir el caminamiento, conociendo el sentido de la graduación del círculo

acimutal. Se puede observar en la figura (a) que para obtener ángulos interiores, el

caminamiento debe seguir el sentido contrario al de las manecillas o levógiro. Siguiendo

41

el caminamiento en el mismo sentido que el de las manecillas del reloj, los ángulos que

se obtienen, en cada vértice, serán exteriores; como se aprecia en la figura (b).

Los ángulos que mide el teodolito, por medio del círculo horizontal, son diedros, de

tal manera que su eje vertical representa la arista y los giros verticales de anteojo

generan, por lo tanto, planos verticales; consecutivamente, los ángulos que se obtienen

de lados consecutivos, cualquiera que sea la inclinación de uno respecto al otro, se

considera como si ambos fueran horizontales.

Para el levantamiento de una poligonal en general, se necesitan, además del

teodolito, una cinta métrica o cualquier instrumento por medio del cual se obtengan

medidas longitudinales, un par de jalones y un juego de 11 fichas.

Los vértices de la poligonal deben estar bien definidos por medio de estacas con

escotaduras por un lado para anotar su número u otras anotaciones y en la cabeza se

clava una tachuela o se hace una marca para precisar la estación. En los lugares donde

no sea posible clavar estacas, la estación se marca con pintura.

Para medir un ángulo, se procede como sigue:

Se pone en estación el teodolito, como se explico en el apartado anterior.

Se afloja el tornillo que fija el movimiento de la aguja magnética para que gire

libremente, procurando, con el mismo tornillo limitar su movimiento para evitar

desgaste innecesario del pivote.

Se aflojan los movimientos general y de la alidada para poner el cero del limbo

cerca del cero del vernier, se fija el movimiento de la alidada por medio del

tornillo de precisión y con el tornillo tangencial se hace coincidir el cero del limbo

con el cero o índice del vernier.

Se enfoca el ocular.

Fijo el movimiento de la alidada, se suelta el movimiento general para visar el

jalón o señal en el punto de la estación anterior o de atrás, según el sentido del

caminamiento; primero se hace una puntería con el tubo del anteojo como si

fuera rifle para tener la imagen dentro del campo del objetivo y luego, con el

tornillo tangencial del movimiento general se bisecta la señal o jalón con toda

exactitud. Se fija el movimiento general y se suelta el de alidada para bisectar la

42

señal o jalón de la siguiente estación. Para bisectar con mayor exactitud deben

emplearse los tornillos tangenciales y no hacerse a pulso. Se hace la lectura del

limbo horizontal y se anota en la libreta de campo. A menos que se tenga vista

muy aguda, para mayor precisión se recomienda emplear una lupa o anteojo de

aumento. Se anota también en la libreta el rumbo magnético y se fija luego el

movimiento de la aguja.

Para su comprobación, con la misma lectura, fijo el movimiento de la alidada y

soltando el general, se visa nuevamente la señal de la estación siguiente. La

lectura del limbo horizontal deberá ser doble de la primera, o, cuando mucho,

diferir, de más o de menos, una cantidad igual a su aproximación. Así, por

ejemplo, si la aproximación del teodolito es de 30’’ o 20’’, la doble lectura debe

ser exactamente igual o diferir de más o de menos, 30’’ o 20’’ respectivamente.

En caso de no ser así, debe repetirse el procedimiento con mayor cuidado.

Para determinar con mayor precisión los vértices, se recomienda emplear miras

especiales que aseguran mayor verticalidad o emplear plomadas, en lugar de

jalones.

43

1

2

34

5

7

6

8

(a)

2

1

8

76

5

3

(b)

4

En terrenos inclinados, se hacen las lecturas del círculo vertical procurando que el

hilo medio de la retícula se proyecte sobre el jalón o señal a la misma altura del suelo

que la del anteojo del teodolito a fin de que la visual sea paralela a la del terreno. Se

toma también el ángulo de inclinación de adelante hacia atrás para tener el promedio de

las dos lecturas. Para mayor exactitud, se hacen las lecturas del círculo vertical en

ambos sentidos para obtener el promedio de las cuatro observaciones. Se puede medir

sobre la ladera cuando su pendiente es uniforme. Para reducir la distancia al horizonte,

se multiplica por el coseno del ángulo de inclinación. Si se multiplica por el seno, el

resultado será la diferencia de alturas entre ambas estaciones.

En un polígono cerrado, de acuerdo con un principio geométrico, la suma de los

ángulos interiores de un polígono es igual al número de lados, menos dos, multiplicado

por l80°, y en el caso que los ángulos medidos hubieran sido los exteriores, la suma

sería igual al número de lados más dos multiplicado por 180°. Si N es el número de

lados, el principio geométrico puede expresarse:

Suma de los ángulos interiores de un polígono cerrado = ( N – 2) 180°

Suma de los ángulos exteriores de un polígono cerrado = ( N + 2) 180°

Debido a la imposibilidad de eliminar los errores, como se manifestó anteriormente,

puede suceder que los errores se compensen y satisfagan las condiciones del principio

geométrico, pero esto no es lo común y debe tenerse una norma de tolerancia. El error

es directamente proporcional a la aproximación del teodolito, pero no directamente

proporcional al número de vértices sino a su raíz cuadrada, y puede ser positivo o

negativo el error. La tolerancia puede expresarse por la fórmula: T = + a raíz de N, en

la que a es la aproximación del teodolito y N, el número de vértices.

b) Por deflexiones

Este método, llamado también de “ángulos suplementarios” porque su valor no

excede de 180°, consiste en medir los ángulos formados por las líneas y las

prolongaciones de los lados anteriores. Las deflexiones son derechas o izquierdas,

44

según el sentido en que se haga girar el anteojo después de la vuelta de campana para

girarlo sobre la prolongación de la línea anterior.

Este método se emplea en poligonales abiertas para levantamientos de caminos,

ferrocarriles, canales, etc.

Para levantamientos por deflexiones se emplean teodolitos graduados de 0° a 180°

en ambos sentidos, pero conviene también emplear los que tienen graduaciones en

ambos sentidos y disponen de vernieres A y B, situados diametralmente opuestos.

Los teodolitos empleados para levantamientos por este método, deben estar bien

ajustados, sobre todo los I, II y III descritos, a menos que los ángulos se midan en

ambas posiciones del anteojo.

Para la medida de las deflexiones, se procede como sigue:

Se centra y nivela el teodolito en la estación

Si se emplea un teodolito con graduación de 0° a 360° en ambos sentidos y con

vernieres A y B situados exacta y diagonalmente, se hace coincidir el vernier B

en 180°, se fija el movimiento de la alidada, suelto el movimiento general, se

visa la estación de atrás y se fija este movimiento; el vernier A estará en cero y el

anteojo estará apuntando sobre la prolongación del lado anterior.

Se da una vuelta de campana y el anteojo estará apuntando sobre la

prolongación del lado anterior.

Suelto el movimiento de la alidada, se da un giro para observar la siguiente

estación, observando si el giro es hacia la derecha, la lectura angular, con el

vernier A, se hará en la graduación interior del limbo; pero si el giro es hacia la

izquierda, la lectura angular se hará con la numeración exterior del limbo.

En la libreta de campo, la lectura angular se anotará posponiendo las letras D o I

si el giro ha sido hacia la derecha o hacia la izquierda respectivamente.

Para eliminar los desajustes instrumentales y para su comprobación, se repite la

observación, pero al visar hacia atrás o a la estación anterior con el anteojo en

posición invertida, haciendo coincidir con 180° , y al dar vuelta de campana la

posición directa del anteojo estará dirigida sobre la prolongación del lado

anterior, midiendo el ángulo de deflexión de la misma manera: en la numeración

45

interior para los giros hacia la derecha y en la exterior para los de la izquierda.

En la libreta de campo se anotan los ángulos en las dos posiciones si acusan

alguna diferencia, para tomar su promedio.

Las deflexiones derechas se consideran positivas y las izquierdas, negativas.

De acuerdo con un principio geométrico, la suma algebraica de los ángulos

exteriores, en este caso las deflexiones , de un polígono cerrado, es igual a 360°,

considerando como positivas las deflexiones derechas y negativas las izquierdas como

ya se ha dicho. Si el caminamiento se hace en el sentido de las manecillas, la suma

algebraica será positiva ( + 360 ) , y será negativa ( - 360 ) cuando el caminamiento es

en sentido contrario al de las manecillas.

En la siguiente figura vemos una reproducción de la figura anterior ( por

coordenadas), pero considerando un caminamiento en sentido contrario a las

manecillas del reloj, según (a) y en el sentido de las manecillas, según (b). El objeto es

la comparación de los métodos y el sentido de los caminamientos.

46

28

1

2

3 D4

8

76

(b)

5

7

(a)

6

3

45

II

DI

I

I

D

1

I

D

D

D

I

D

Suponiendo que el caminamiento del mismo polígono se hubiera hecho en ambos

sentidos, las deflexiones correspondientes de cada vértice aunque anotados con

numeraciones en sentidos contrarios por ser ángulos opuestos por el vértice, tendrán

igual valor; pero la que en vértice es derecha (D) en la del otro sentido será izquierda (I)

y viceversa.

c) Por conservación de azimutes

Consiste este método en obtener directamente los acimutes de los lados, en el

mismo campo, al ir practicando el levantamiento. Efectivamente, el teodolito, situado en

el extremo de una línea y con una lectura en el limbo igual al acimut inverso de dicha

línea, dirigido hacia atrás al otro extremo y al girar para observar el extremo de la línea

siguiente, automáticamente, habrá sumado, al acimut diverso del lado anterior, el

ángulo formado por ese lado y el siguiente; aplicando la regla para el cálculo de los

acimutes dada y aplicada en los levantamientos por ángulos interiores.

Para un levantamiento por conservación de acimutes, se procede de la siguiente

manera:

Se centre y nivela el teodolito en el extremo final del lado de partida y acimut

conocido.

Agregando o restando 180° según que sea menor o mayor el acimut de partida,

se tiene el acimut inverso conocido.

Con toda exactitud, se coloca el vernier A para que el limbo horizontal marque

una lectura igual al acimut inverso del lado de partida, y se fija el movimiento de

la alidada.

Se suelta el movimiento general y se dirige el anteojo a la señal en el extremo de

atrás y se fija el movimiento general.

Se suelta el movimiento de la alidada y se visa el extremo de la siguiente

estación. La lectura que se tendrá en el vernier será el acimut directo de la línea

que sigue y se anota en la libreta de campo.

Se traslada el teodolito a la siguiente estación en donde se centra, nivela y se

marca para que el limbo horizontal tenga una lectura igual al acimut inverso del

47

lado anterior y se hacen los mismos movimientos descritos, y así se continúa

hasta volver al lado de partida cuyo acimut deberá ser igual al inicial si se supone

no haber habido errores o estos se hubieran compensado, tratándose,

naturalmente, de un polígono cerrado.

En caso de manifestarse el error, este debe estar dentro de la tolerancia: T = + a de

la raíz de N.

El recorrido, como en los métodos anteriores, puede hacerse en el sentido de las

manecillas del reloj o en sentido contrario. Observando los lados correspondientes de

las figuras, (a) y (b) sé aprecia que los acimutes son recíprocamente inversos.

Se conocen otros dos procedimientos para obtener los acimutes de los lados. 1. uno

de ellos consiste en observar alternativamente los acimutes en los vernieres A y B,

fijando bien el movimiento de la alidada y siempre comprobando las lecturas en cada

cambio de estación. 2. Alternando las posiciones del anteojo de manera de ir

obteniendo acimutes inversos.

Para comprender mejor cada uno de estos procedimientos, conviene la ilustración

siguiente

48

28

1

2

3 14

8

76

(b)

5

7

(a)

6

3

45

Leyendo alternativamente los vernier A y B. Estacionado el teodolito en el vértice 2 y

con una lectura en el vernier A igual a acimut del lado 1-2 (108°25’), se fija el

movimiento particular y se suelta el general para dirigir la visual a la señal en el vértice

1, se fija el movimiento general y se suelta el particular para dirigir la visual a la señal en

el vértice 1, se fija el movimiento general y se suelta el particular para visar la señal en

el vértice 3; en el vernier B se leerá el acimut de la línea 2-3 (20° 59’ ). Con este acimut

se traslada el teodolito a la estación 3 en donde se pone en estación y se observa si no

se ha movido el particular, se suelta el general para observar la señal en 2, se fija el

general y se suelta el particular para dirigir el anteojo a la estación 4 y en el vernier A se

leerá el acimut del lado 3-4 (115° 19’ ). Así se continuará observando alternativamente

en los vértices A y B hasta llegar al vértice 1 en donde se centra y nivela el teodolito,

soltando el movimiento general para dirigir la visual a la estación 8, fijo el movimiento

general y soltando el particular para visar la señal en 2; como comprobación deberá

leerse en el vernier que corresponda en el orden alternado, el acimut de partida ( 108°

25’ ) si no ha habido errores o se han compensado; pero, como lo general es que los

haya habido, estos deben estar dentro de la fórmula de tolerancia dada antes. Como

requisito, el teodolito debe estar ajustado de manera que los vernieres deben estar

precisa y diametralmente opuestos a 180°.

Alternando las posiciones del anteojo. Se centra y nivela el teodolito en el vértice 2 y

con una lectura igual al acimut de la línea 1-2, se fija la alidada y se suelta el

movimiento general para dirigir la visual al punto 1, se da al anteojo vuelta de campana

y se suelta el movimiento de la alidada para dirigir la visual al punto 3, en el vernier

opuesto se leerá el acimut directo de la línea 2-3 (20° 59’); se traslada el instrumento a

la estación 3 donde se centra y nivela, el anteojo estará invertido y se observa si no ha

habido movimiento en el limbo, se suelta el movimiento general para dirigir la visual al

vértice 2, se da una vuelta de campana y el anteojo quedará en posición directa, se

deja libre el movimiento de la alidada para dirigir la visual a la estación 4, se fija el

movimiento de la alidada y se leerá el acimut del lado 3-4 (115° 19’). Se continúa

observando alternativamente con el anteojo en ambas posiciones (directa e inversa)

hasta llegar a la estación 1 para observar la 2, en la posición correspondiente, se tiene

49

que llegar con el mismo acimut de partida, más o menos el error tolerable, según la

fórmula dada. L a línea de colimación debe estar ajustada.

Suponiendo levantado por conservación de acimutes el polígono correspondiente de

la figura (a), los datos levantados en la libreta de campo serían:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lados Observados Acimutes Rumbos

Aceptados

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1-2 108° 25’ 108° 25’ S 71° 35’ E

2-3 20° 59’ 20° 59’ N 20° 59’ E

3-4 115° 20’ 115° 19’ S 64° 41’ E

4-5 343° 54’ 343° 53’ N 16° 07’ W

5-6 251° 56’ 251° 55’ S 71° 55’ W

6-7 255° 55’ 255° 53’ S 75° 53’ W

7-8 158° 58’ 158° 56’ S 21° 04’ W

8-1 233° 22’ 233° 20’ S 53° 20 W

1-2 108° 28’ 108° 25’

Para ajustar los acimutes observados debe tenerse en cuenta que, si a partir de un

vértice se hubiera cometido un error, éste se propagaría a todos los acimutes que

siguen un segundo error que se cometiera, se sumaría al anterior y así se irían

propagando los errores y acumulándose a los anteriores hasta el enésimo que sería el

que se supusiera cometido en el último o últimos vértices. Considerando que todos los

acimutes se hubieran hecho en las mismas condiciones y con el mismo cuidado, los

ajustes se harían de acuerdo con la aproximación angular del teodolito y se aplicaría a

cada determinado vértice dividiendo el número de vértices entre el error.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se observa en el cuadro anterior

que a partir del vértice 3, al acimut de cada uno de los vértices se resta 1’ , hasta el

vértice 5, a partir del 6, además del minuto de error anterior, se agrega otro y, a partir

50

del vértice 6, se restan 2’, y al de partida se le restan los 3’ que es el error total, puesto

que la diferencia entre el acimut de partida y el de llegada es de 3’.

2.9 Agrimensura

2.9.1 Método para el cálculo de la superficie

a) Método de coordenadas

De la figura se tiene un polígono cerrado, en la que las líneas de trazos representan las

coordenadas de los vértices; su área es igual a la suma de los trapecios 1’-1-2-2’ ; 2’-2-

3-3’, y 3’-3-4-4’ menos la suma de los trapecios 1’-1-5-5’ y 5’-5-4-4’ , cuyas áreas son,

en su orden, las siguientes:

Area = ½ (Y1 + Y2)(X2 – X1) + ½(Y2 + Y3)(X3 –X2) + ½(Y3 + Y4)(X4 – X3) – ½(Y4 +

Y5)(X4 –X5) – ½(Y5 + Y1)(X5 –X1)

Sacando ½ como factor común y cambiando el signo a los dos últimos términos,

cambiando los signos y el orden de las X:

A = ½ (Y1 + Y2)(X2 – X1) + (Y2 + Y3)(X3 –X2) + (Y3 + Y4)(X4 – X3) – (Y4 + Y5)(X4 –

X5) – (Y5 + Y1)(X5 –X1) ........................................................................................... ( 1 )

Generalizando para un polígono de n lados:

A = ½ (Yn + Yn+1 ) (Xn+1 + Xn ) ............................................................................. (2)

Si los trapecios de la figura se consideran en sentido horizontal, la fórmula (1) se

convertirá:

A = ½ (Xn + Xn+1 ) (Yn+1 + Yn ) ............................................................................. (3)

51

Eliminando en la ecuación (1) los paréntesis interiores y ejecutando las multiplicaciones

algebraicas:

A = ½( Y1X2 – Y1X1 + Y2X2 –Y2X1 + Y2X3 – Y2X2 + Y3X3 –Y3X2 + Y3X4 – Y3X3

+Y4X4 –Y4X3 +Y4X5 – Y4X4 + Y5X5 – Y5X4 +Y5X1 – Y5X5 + Y1X1 – Y1X5)

Eliminando los términos iguales:

A = ½( Y1X2 – Y2X1 + Y2X3 – Y3X2 + Y3X4 – Y4X3 + Y4X5 – Y5X4 + Y5X1 –

Y1X5)..........................................................................................................................(4)

En los términos en que las Y son factores comunes, la ecuación anterior se transforma:

A = ½(Y1(X2 – X5) + Y2(X3 – X1) + Y3(X4 – X2)) + Y4(X5 – X3) + Y5(X1 – X4)).....(5)

Generalizando para un polígono de n lados:

A = ½ Yn ( Xn+1 - Xn-1 ) ........................................................................................... (6)

Tambien :

A = ½ Xn ( Yn+1 - Yn-1 ) ........................................................................................... (7)

La ecuación (4) puede transformarse en la siguiente determinante:

A = ½ ( Y1 X1 ) + ½( Y2 X2 ) + ½( Y3 X3 ) + ½ ( Y4X4 ) + ½ ( Y5 X5 )

Y2 X2 Y3X3 Y4X4 Y5X5 Y1 X1

Generalizando para un polígono de n lados:

A = ½ ( Yn Xn )

Yn+1 - Xn+1 ............................................................................................... (8)

52

POLIGONO CERRADO

Como una aplicación de las fórmulas anteriores se ilustra el siguiente ejemplo

Granja los liriosCálculo de la superficie de terrenos de temporal

Fórmula: A = ½ ( Yn + Yn+1 ) (Xn+1 + Xn )

POLIGONO CERRADO

VE

RT

.

Y

X Yn + Yn+1 Xn+1 + Xn

POSITIVO NEGATIVO

1 + 181.82 + 0.00 + 338.05 + 192.64 65121.9520

2 + 156.23 +192.64 + 559.17 + 66.28 37061.7876

20 + 402.94 +258.92 + 835.36 + 160.72 134259.0592

19 + 432.42 +419.64 + 825.21 + 112.79 93075.4359

18 + 392.79 +532.43 + 815.56 + 121.95 99457.5420

7 + 422.77 +654.38 + 879.41 + 138.17 121508.0797

8 +456.64 +792.55 +1228.36 - 24.98 30684.4328

9 + 771.71 +767.57 +1515.20 - 108.20 163944.6400

10 + 743.48 +659.37 +1451.00 - 77.52 112481.5200

11 + 707.52 +581.85 +1451.14 - 52.84 76678.2376

12 + 743.48 +529.01 +1526.53 - 143.34 218812.8102

13 + 782.91 +385.67 +1631.83 - 55.10 89913.8330

53

PRODUCTO

0 1' 2' 5' 3' 4'X

Y1 Y2

Y5 Y3 Y4

X4

X5

X1

X3

X2

Y

5''

4''1''

3''

2''

1

2

3

4

5

14 + 848.92 +330.57 +1733.94 - 52.84 91621.3896

15 + 885.02 +277.73 +1751.03 - 118.78 207987.3434

16 + 866.01 +158.95 +1666.14 - 75.23 125343.7122

17 + 800.13 + 83.72 + 981.95 - 83.72 82208.8540

SUMAS +550483.8564 -1199676.7728

Diferencia o doble área............................. 649192.9164

Area del polígono....................................... 324596.4582 Metros

cuadrados

Area entre estaciones 9-17 y cero.............. 1170.6150 =780.41x1.5

Area del terreno de temporal...................... 325767.0732 =32H57A67C

b) Método del planímetro

Se conocen varios tipos de planímetros, pero el más sencillo en cuanto a su

construcción y manejo es el polar, ideado en 1854, por el matemático y mecánico suizo

Jacobo Amsler Laffon. Este instrumento se compone de dos brazos metálicos

articulados. El brazo D lleva en uno de sus extremos, una ancla A compuesta de un

peso que mantiene fija al papel una punta de acero muy aguzada sobre la que gira el

brazo; en el extremo H, se articula al otro brazo L por medio de una charnela, pero en

los instrumentos modernos, la articulación consiste en una barrita terminada en una

pequeña esfera que encaja en una cavidad del brazo L. El brazo de la ancla D puede

ser de longitud constante o puede acortarse o alargarse, según las indicaciones del

estuche del planímetro para adaptarla a las escalas de los planos o de las áreas; pero,

para todas las escalas, se recomiendan los de barras de longitud fija y efectuar las

operaciones aritméticas como tratará más adelante.

El brazo L lleva en su extremo T un puntero que sirve para recorrer el perímetro del

plano o área por determinar, lleva un tornillo que regula, por medio de una tuerca, la

distancia del puntero para que no roce sobre el papel, y una plaquita sirve para llevar el

puntero con los dedos. En algunos planímetros modernos, el puntero consiste en un

vidrio que lleva grabado un disco pequeño. El brazo L puede ser de tamaño fijo o

54

ajustable de acuerdo con la escala del plano o área. En el otro extremo del brazo lleva

un carro compuesto con la escala del plano o área. En el otro extremo del brazo lleva

un carro compuesto del bastidor B donde va una rueda R que gira sobre el papel, su eje

es paralelo al brazo; las vueltas de la rueda las transmite por medio de un tornillo sin fin,

al disco d; las 100 divisiones de la rueda y el nonio con el que se aprecian décimas de

esas divisiones, permiten obtener tres cifras. Como apoyo del carro lleva una ruedecilla

e.

Para calcular el área total de la “Granja Santa María “. Se dibujó su plano a una

escala de 1:3333.333. El plano se fijó muy bien extendido sobre una superficie plana y

horizontal; el planímetro se sitúo de tal manera que la rueda R no saliera de los límites

del papel y que los brazos no formarán ángulos ni muy agudos ni muy obtusos al

recorrer el puntero por todo el contorno del plano, para lo cual, primeramente se hizo un

recorrido aproximado y rápido por dicho contorno. Partiendo del vértice 2 con una

lectura cero, se siguió con el puntero por todo el contorno para volver al punto 2 y se

obtuvo una lectura directa de 256 y una aproximación con el vernier de 1, siendo la

lectura completa de 2561, correspondiendo las tres primeras a un área en centímetros

cuadrados; después se hicieron cuatro recorridos más por el contorno, obteniéndose

para la última una lectura de 2804 a la cual es necesario anteponerse la unidad puesto

que el disco contador de vueltas a registrar nuevamente después de la novena, la

misma consideración hay que hacer para la lectura del cuarto recorrido del contorno.

A continuación se anotan las cinco lecturas obtenidas en el mismo número de

recorridos:

55

1

2

34

0

9

7

10

0 0

1

Planímetro en cero

6

10

0

Lectura = 2561

2

9

0

1

7

3 4

5

7

Lecturas Diferencias

1/a vuelta 256.1 256.1

2/a vuelta 511.9 255.8

3/a vuelta 767.8 255.9

4/a vuelta 1024.2 256.4

5/a vuelta 1280.4 256.2

Suma de diferencias.........................................1280.4

Promedio de diferencias................................... 256.08

Multiplicando este promedio por el cuadrado de la relación o escala:

256.08 X 3333.3332 = 256.08 X 11111111 = 284533305 cm2

Haciendo la separación por períodos:

28H 45D 33M 33d 05c cuadrados y reducidos a unidades agrarias:

28 hs. 45 as. 33.05 cs.

En lugar de tomar el promedio, se puede dividir la última lectura entre el número de

vueltas y el cociente multiplicarlo por el cuadrado de la escala. En este caso, la última o

quinta lectura 1280.4, dividida entre cinco, da el mismo resultado que si se toma el

promedio de las diferencias.

56

A continuación se muestra el siguiente dibujo (Granja Santa María) medido con

planímetro.

57

2.9.2 Problemas de medidas faltantes en poligonales cerradas

En el caso de una poligonal cerrada, se procederá a corregir la diferencia acumulada

dividida entre el número de ángulos de la figura como a continuación se explica.

1.- Cálculo de los ángulos interiores.

Con los rumbos medidos (en sentido directo) desde cada uno de los vértices de la

poligonal, haremos el análisis auxiliándose en la figura, a fin de realizar las operaciones

necesarias y de de esta manera determinar los valores de los ángulos internos de la

poligonal.

El análisis anterior y cualquier otra figura que se nos presente, será fácil de calcular,

de modo que el conocer los ángulos no representa ningún escollo para la

compensación.

2.- Compensación angular

Se verifica que la suma de ángulos interiores sea igual a 180° x (n – 2) en donde n =

número de vértices y, si la diferencia no rebasa la tolerancia especificada o definida por

nosotros para los objetivos particulares, procedemos a la compensación dividiendo el

error o diferencia entre n. Así, C = + d/n.

Una vez determinados el valor y el signo de C, ajustamos los ángulos y después

procedemos a corregir los rumbos, tomando como base aquel lado cuyos rumbos

directo e inverso sean iguales y sumando o restando en cada vértice los nuevos valores

de los ángulos compensados.

2.9.3 Problemas de división de superficies

El cual se muestra con el ejemplo siguiente:

58