1
Préstamos y Bonos III
Universidad Católica Argentina
Relación Precio/ Yield
• Una característica fundamental de los bonos es que los precios se mueven en relación inversa a las tasas de interés.
• Cuando las tasas de interés sube, los precios de los títulos bajan y viceversa.
2
Relación Precio/ Yield
Yield
Prec
io
Riesgos de Cambio de Precio
• Riesgo de Tasa de Interés–Es un riesgo sistemático asociado a la suba
de las tasas de interés.
• Riesgo de Reinversión–Riesgo de no poder reinvertir los flujos de
fondos del bono a la yield a la cual se adquirió.
3
Valuación de Bonos
• P= precio del bono
• n= cantidad de períodos
• C= cupón (tasa de interés por M)
• y= rendimiento requerido
• M= valor nominal
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn
yM
yC
yC
yC
yC
P+
++
+++
++
++
=11
...111 3
32
20
Sensibilidad Precio/Yield
Para poder estimar los cambios en el precio de un bono ante variaciones de
la yield, tenemos que calcular la derivada parcial del precio respecto de
la tasa de interés.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn
yM
yC
yC
yC
yC
P+
++
+++
++
++
=11
...111 3
32
20
4
Sensibilidad Precio/Yield
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1143
32
2 1)(
1)(...
1)3(
1)2(
1)1(
++ +
−+
+−
+++−
++−
++
−= nn
n
yMn
yCn
yC
yC
yC
dydP
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn
yM
yC
yC
yC
yC
P+
++
+++
++
++
=11
...111 3
32
20
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PynM
ynC
yC
yC
yC
yPdydP
nnn 1
11...
13
12
1111
33
22
++
+++
++
++
++−=
Derivamos
Dividimos por P y reordenamos
Duration
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PynM
ynC
yC
yC
yC
yPdydP
nnn 1
11...
13
12
1111
33
22
++
+++
++
++
++−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P
ynM
ynC
yC
yC
yC
nnn
++
+++
++
++
+= 11...
13
12
1durationMacaulay 3
32
2
1
durationMacaulay 1yPdy
dP+
−= Modified Duration
5
Duration
• Originalmente fue concebida como una media de la vida promedio de un bono.Mide el tiempo promedio que toma a un bono, considerando un flujo de fondos descontado, el pago de la obligación original
• Es una medida de riesgo (mayor Durationmayor riesgo).
• También es una medida de elasticidad.Variación del precio ante un cambio de 1% en el rendimiento requerido (yield)
Propiedades de la Duration
• La duration de un bono siempre es menor que el vencimiento (maturity).
• La duration de bonos Zero Coupon es la misma que el maturity.
• Cuanto más pequeño sea el cupón mayor será la duration, y viceversa.
• Cuanto más alta sea la yield menos variará el precio, por lo tanto menor será laduration.
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Relación Precio/ Yield
Yield
Prec
io Alta Duration
Baja Duration
Duration
∑=
++
=n
1t
ttt
P)1(
)M C (
*t (años)Duration y
t: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupónC+M: Cupón de interés y amortización del principaln: Período nP: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado) y: Yield (tasa de descuento de mercado)
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Ejemplo de Cálculo de Duration
Duration: 5,1114 años
7654321
Año
1.120120120120120120120
Flujo de Fondos
1.000,0506,6
60,868,176,385,495,7
107,1
FF Desc.(yield 12%)
5,11143,54640,36480,34050,30500,25620,19130,1071
FFD*T/P
Cuando la tasa cambia al 13%
• Valor presente del bono 13%: $ 955,8
• Pérdida de capital: $44,2 (4.42%)
Notas: Pérdida de capital del bono: $1.000 – $955,8 = 44,2Pérdida en porcentaje: 44,2 / 1.000 = 4.42 %
8
Usando la duración modificada
• Duration Modified: -4,56%• Variación de precio real: -4,42%
• La fórmula no es totalmente exacta• La fórmula da resultados exactos ante
cambios muy pequeños
0,01 *)012,(1 5,1114 Variación
+−= Tasa *
)(1Duration Variación ∆
+−=
y
Duration de un Portfolio
( )∑=
=n
1t
* Duration Portfolio tt DurationPart
Part: Participacion en el portfolio del bono tn: Número total de bonost: Bono t Duration: Duration del Bono t
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Duration de un PortfolioDado:
•Bono A, adquirido en $ 853. Valor nominal $ 1000. Valor actual $ 801. Duration 3,5 años.
•Bono B, adquirido en $ 1.500. Valor nominal $ 1.500. Valor actual $ 1.283. Duration 5,25 años.
•Bono C, adquirido en $ 1.350. Valor nominal $ 2.000. Valor actual $ 482. Duration 1.23 años.
¿Cual es el valor actual del porfolio?
Calcular la duration del portfolio
Duration de un Portfolio
Portfolio Duration: 3,95 años
CBA
Bono
2.566482
1.283801
Precio
1,235,253,50
Duration
3,950,232,631,09
DurationPond.
100,0%18,8%50,0%31,2%
Part.%
10
Dado:• Un bono A, de valor actual $ 1.450 con un duration 3,23
años.• Un bono B, de valor actual $ 742 con un duration de 9,5
semestres.• Tasa de mercado del 6.00 % equivalente semestral.• El bono A y B fueron emitidos a tasa fija.
Se pide:• Calcular el duration del porfolio en años• Calcular el valor actual teórico del bono A y B después
de una suba de tasas de 64 puntos básicos anuales
Duration modificada de un Portfolio
Portfolio Duration: 3,745 años
BA
Bono
2.566742
1.405
ValorActual
4,753,23
Duration
3,7451,6082,137
DurationPond.
100,0%33,85%66,15%Part.%
Duration modificada de un Portfolio
11
Duration modificada de un Portfolio
3,7454,753,23Duration (años)2.1927421.405Valor Actual
PortfolioBono BBono A
3,3334,2272,875Modified Duration0,00640,00640,0064Incremento Tasa-0,0184-0,0184-0,0184Variacion (MD*IT)-1,84%-1,84%-1,84%Variacion %
2.145,25721,931.423,32Nuevo Valor
46,7520,0726,68Pérdida
Relación Precio/ Yield
Yield
Prec
io
Error de convexity
Aproximación del Precio por Duration
12
Convexity• Herramienta utilizada para corregir la
diferencia que se produce al utilizar la duration modificada
• Matemáticamente es la segunda derivada de la curva precio-yield (precio-rendimiento)
• Convexity es el cambio incremental en el precio real del bono ante un cambio en la Tasa no atribuible a la duración modificada
Convexity
Tasa Precio Var%precio total -DM*varTasa Fact Convexity
10.00% 89,875 0,00% 0,00% 0,00%10.01% 89,850 -0,03% -0,03% 0,00%10.10% 89,600 -0.31% -0,32% 0,01%11.00% 87,180 -3,00% -3,48% 0,48%
La importancia de la convexity se hace más evidente cuanto más grandes son las diferencias respecto del precio inicial
13
Formula de Convexity
2
T
1n
n2
2
)(*Convexity*21Convexity Factor
)(1CF*t)(t*
y)(1*Precio1 Convexity
y
yn
∆=
++
+= ∑
=
T: Plazo en años desde el momento actual hasta cada cupónCF: Cupón de interés y/o amortización del principaln: Periodo nPrecio: Valor del bono (flujo de fondos del bono descontado)Y: Yield (tasa de descuento de mercado)
Duration + Convexity
2Tasa)(*convexity21 Tasa * DM- precio elen Cambio ∆+∆=
La incorporación del factor convexity al calculo de las variaciones en el precio nos permite
obtener una mejor estimación del comportamiento del bono de la que surge de emplear únicamente la duration modificada
14
Conclusiones
• El cálculo de duration es la base de los arbitrajes de títulos
• La duration otorga parte de la información necesaria para realizar coberturas ante el riesgo de tasa
• Convexity otorga mayor precisión a los calculos
Duration + Convexity
• En un bono a 5 años que paga el 8% anual y se está vendiendo a $1041. VN $1000
• Determinar:1.Cual es la actual tasa de interés de mercado (Tasa efectiva anual)2.Cual es la duration del bono3.Cuanto es la duration modificada del bono4.Cual es la convexity del bono5.Suponga que hay un incremento en la tasa de interés de mercado del 2%. Determine el porcentaje de cambio en el valor del bono y el nuevo precio.(Determinarlo utilizando “duration” y “duration + convexity”)
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Duration + ConvexityPeriodo
Precio 1 2 3 4 5Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080
Yield 7,00%
PeriodoPrecio 1 2 3 4 5
Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080
Yield 7,00%
FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02
Duration + Convexity
16
PeriodoPrecio 1 2 3 4 5
Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080
Yield 7,00%
FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02
FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327
M Duration 4,044
Duration + Convexity
PeriodoPrecio 1 2 3 4 5
Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080
Yield 7,00%
FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02
FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327
M Duration 4,044
(t+t^2) 2 6 12 20 30(t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,13 0,35 0,66 1,02 19,38 Convexity 21,541
Duration + Convexity
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PeriodoPrecio 1 2 3 4 5
Principal 1.000 Cupon 80 80 80 80 80 FF -1.041 80 80 80 80 1.080
Yield 7,00%
FF Descontado -1.041,00 74,77 69,88 65,30 61,03 770,02
FFD*T/P 0,0718 0,1342 0,1882 0,2345 3,6985Duration 4,327
M Duration 4,044
(t+t^2) 2 6 12 20 30(t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,13 0,35 0,66 1,02 19,38 Convexity 21,541
Incremento Tasa 2,00%
F. Duration F. Convexity Nuevo PrecioDuration -0,080883 956,80Duration + Convexity -0,080883 0,0043082 961,29
Duration + Convexity
Ejercicios de bonos
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Portfolio durationDado:• Bono A. Valor técnico $876. Valor actual $750. Duration 3
meses.• Bono B. Valor técnico $1.400. Valor actual $1.500.
Duration 1.25 años.• Bono C. Valor técnico $2.500. Valor actual $1.200.
Duration 11.5 semestres.• La tasa de mercado es 4% cuatrimestral
1. Calcular el duration del portfolio en años2. Calcular en cuanto se perjudicara/beneficiara este
portfolio ante una baja de las tasa de 50 bp anual
Bono Valor Part.% Duration Duration Pond.A 750,0 21,74% 0,25 0,05 B 1.500,0 43,48% 1,25 0,54 C 1.200,0 34,78% 5,75 2,00
3.450,0 2,598 años
19
Bono A Bono B Bono C PortfolioVA 750 1.500 1.200 3.450 Duration (años) 0,25 1,25 5,750 2,598 Modified Duration 0,222 1,111 5,112 2,309 Incremento en Tasa -0,0050 -0,0050 -0,0050 -0,0050 Variacion (MD* Inc) 0,0011 0,0056 0,0256 0,0115 Variacion % 0,11% 0,56% 2,56% 1,15%Nuevo Valor 750,83 1.508,33 1.230,67 3.489,84 Ganancia 0,83 8,33 30,67 39,84
El 1 de enero del 2000 se emitió un bono de VN $100 a 5 años de plazo, pagando una tasa del 14% anual en forma semestral (30 de junio y 31 de diciembre) y amortizando el capital original al final de cada año de la siguiente manera:
DIC 2000 DIC 2001 DIC 2002 DIC 2003 DIC 20040% 10% 20% 30% 40%
1. Calcular la valuación del bono al 1 de enero 2003. La tasa demercado en este momento es del 3.5% equivalente trimestral.2. Determinar el “duration” y el “duration modificada” del bono expresado en años.3. Si se produce una suba en la tasa de interés de mercado de 115 puntos básicos. ¿Cual va ser el valor de mercado a julio 2003, una vez que se ajuste ante el cambio de las tasas de interés de mercado?
Duration + Convexity
20
Duration + ConvexityJun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-04
0,5 1 1,5 2VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317
Duration + Convexity
21
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
Duration + Convexity
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
M Duration 1,263
Duration + Convexity
22
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
M Duration 1,263
(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00
Duration + Convexity
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
M Duration 1,263
(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12
Duration + Convexity
23
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
M Duration 1,263
(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12 Convexity 2,915
Duration + Convexity
Jun-03 Dic-03 Jun-04 Dic-040,5 1 1,5 2
VR 70,00 40,00 40,00 - Amortizacion 30,00 40,00 Cupon 4,90 4,90 2,80 2,80 FF -69,77 4,90 34,90 2,80 42,80
Yield 14,75%
FF Descontado -69,77 4,57 30,41 2,28 32,50
FFD*T/P 0,0328 0,4359 0,0490 0,9317Duration 1,449
M Duration 1,263
(t+t^2) 0,75 2,00 3,75 6,00 (t+t^2)*FFD/P/(1+y)^2 0,04 0,66 0,09 2,12 Convexity 2,915
Incremento Tasa 1,15%Nuevo
F. Duration F. Convexity PrecioDuration -0,014525 68,75Duration + Convexity -0,014525 0,0001928 68,77
Duration + Convexity
24
Estructura temporal de la tasa de intéres
Estructura temporal de la tasa de interés• Es la relación existente entre el tiempo
hasta la madurez de una serie de bonos y los correspondientes rendimientos de esos bonos
– La curva más conocida es la de los bonos del tesoro americano (Bonds, Notes y Bills)
• Las tasas de interés de corto plazo están implícitamente incluidas en yield curve
• La confección de la curva se realiza a partir de la TIR y la duration
25
US. Treasury Yield Curve Rates
3,0
3,23,43,63,8
4,04,2
4,44,64,8
5,05,2
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
PreviousCurrent
US. Treasury Yield Curve Rates
3,0
3,23,43,63,8
4,04,2
4,44,64,8
5,05,2
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
PreviousCurrent
Curva de rendimiento de títulos del tesoro americano
Fuente: Department of the Treasury – USA – 29/08/07
Curva de rendimiento de títulos Públicos Argentinos
26
Teorías que explican la forma de la curva de rendimientos
• Teoría de las expectativas
• Teoría de preferencia por la liquidez
• Teoría de la segmentación de los mercados
Teoría de las expectativas
• Explica la estructura temporal de las tasas de interés en función de las tasas de contado (spot rate)
• La tasa de interés de largo plazo es el promedio geométrico de las tasas actuales y futuras
(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2)..... (1 + fn)]rn = Retorno del bono con plazo a n añosn = años hasta el vencimientor1 = Tasa de interés actual a un añof = Tasa futura a un año entre J y J+1
27
Teoría de las expectativas
2000 2005 2006
Bono a 6 años, retorno anual = 8%
Bono a 5 años, retorno =7% Bono a un añoretorno esperado a 5
años = ?
Teoría de las expectativas
Suponiendo: (hoy año 2000)
– La tasa a 6 años es el 8% anual– La tasa a 5 años es el 7% anual– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año
cinco (2005)?
(1 + 0.08)6
(1 + 0.07)5
1.5869
1.40261+f5,1 = = =1.1314
f5,1 =13.14%
28
Teoría de preferencia por la liquidez
Los bonos de largo plazo pagan más alto retornos que los de corto porque son mas riesgosos
(1 + rn)n = [(1 + r1)(1 + f2-L2)..... (1 +f n-Ln)]
rn = Retorno del bono con plazo a n añosn = años hasta el vencimientor1 = Tasa de interés actual a un añofj = Tasa futura a un año entre J y J+1
Lj = Premio por la liquides en el año J
Teoría de preferencia por la liquidez
Suponiendo: (hoy año 2000)
– La tasa a 6 años es el 8% anual– La tasa a 5 años es el 7% anual– El premio por la liquidez de un bono a 5 años es 0,2%– El premio por la liquidez de un bono a 6 años es 0,25%– ¿Cuál es la tasa esperada a un año en el año cinco (2005)?
(1 + 8%-0. 25%)6
(1 + 7%-0.2%)5
1.5649
1.3891+r5 = = =1.1262
r5=12.62%
29
Teoría de preferencia por la liquidez
Tasa de interés previstas
Curva de rendimiento observada
Premio por la liquidez
Plazo
TIR
Teoría de la segmentación de los mercados• Esta teoría resulta de la observación de
que tanto inversores como emisores de deuda parecen tener fuertes preferencias por cierto plazo.
• Las tasas de interés vigentes para cada plazo dependerán de las curvas de oferta y demanda de fondos
• Según esta teoría la forma de la curva no tendría que ser creciente
30
Usos de la estructura de la tasa de interés• Predecir las tasas de interés
– El mercado da el consenso sobre la predicción de las tasas de interés futuras
– La teoría de las expectativas domina la curva• Predicción de las recesiones
– Curva chata o invertida son buenos indicadores de recesiones
• Decisiones de inversión o financiamiento– Los tomadores o prestadores toman sus
decisiones en base a ella– Cobertura con bonos
Fuente: Department of the Treasury – USA – 22/08/07
US. Treasury Yield Curve Rates
3,0
3,23,43,63,8
4,04,2
4,44,64,8
5,05,2
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
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3,0
3,23,43,63,8
4,04,2
4,44,64,8
5,05,2
1 mo 3 mo 6 mo 1 yr 2 yr 3 yr 5 yr 7 yr 10 yr 20 yr 30 yr
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Análisis de la Curva de Rendimientos
Fuente: Department of the Treasury – USA – 29/08/07
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Análisis de la Curva de Rendimientos
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