MECNICA DEL MEDIO
CONTINUO
PRELIMINARES DE
MATEMTICA ANLISIS TENSORIAL
CONTENIDO
2. Cinemtica
3. El principio de los esfuerzos
4. Teora lineal de la elsticidad
5. Teora de la Plasticidad
Mecnica del medio continuo
Introduccin al curso
1. Preliminares de matemtica
CONTENIDO
1.2 Vectores
1.1 Matrices
1.3 Tensores
1.4 Anlisis vectorial
1.5 Anlisis tensorial
1. Preliminares de Matemtica
1.6 Teorema de Gauss
Anlisis Tensorial
Definiciones
Campo tensorial gradiente de un campo vectorial : ru
3
1
1: Grad
i iii
u
huu
Un campo tensorial asigna a cada punto
del espacio un tensor con las componentes
(descompuesto en la base tensorial local)
321 ,, LrL
L 3,2,1, jiLij
Anlisis Tensorial
A continuacin se emplearan las definiciones anteriores a
sistemas de coordenadas espaciales
3
1
3
1
11
: Divi
i
T
iii iii
L
h
L
hLL
Divergente de un campo tensorial rL
Rotor de un campo tensorial rL
TLL :Rot
Anlisis Tensorial
332132321213211 ,,,,,, exxxuexxxuexxxuru
3332133
23321321332131
32321232232122
12321213132111
21321121132111
,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
eexxxL
eexxxLeexxxL
eexxxLeexxxL
eexxxLeexxxL
eexxxLeexxxLrL
Coordenadas Cartesianas 321 ,, xxx
Anlisis Tensorial
De aqu resulta:
uu div Gradtr
kiki eeuu Grad
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
Grad
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
uu BB
Anlisis Tensorial
kiki eLex
L
x
L
x
L
ex
L
x
L
x
Le
x
L
x
L
x
LLL
Div
33
33
2
23
1
13
23
32
2
22
1
121
3
31
2
21
1
11
knmlmnknmnml
nknmmlpknpnmml
kpnpnmmlkllk
LeLeee
eLeeeLee
eeeLeeeLeL
Rot Rot
knmlmnlk LeL Rot
Derivar una componente del tensor
Anlisis Tensorial
Se cumple la identidad: y 0Rot Rot Div
L
knmlmnjijklkjijkil LeeLeL Rot Rot Rot
uLuL T rot Rot
Anlisis Tensorial
Coordenadas Cilndricas zr ,,
zzrr ezruezruezruru ,,,,,,
zzzz
zzrzzr
zz
rrzrrz
rrrrrr
eezrL
eezrLeezrL
eezrLeezrL
eezrLeezrL
eezrLeezrLrL
,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
Anlisis Tensorial
z
u
z
u
z
u
u
rr
uu
rr
uu
r
r
u
r
u
r
u
u
zr
zrr
zr
cc
111 Grad
Anlisis Tensorial
zrzzzzrz
rrzr
rrrzrrrr
er
L
z
LL
rr
L
er
L
r
L
z
LL
rr
L
er
L
r
L
z
LL
rr
LL
1
1
1
Div
Anlisis Tensorial
Coordenadas Esfricas ,,r
eruerueruru rr ,,,,,,
eerL
eerLeerL
eerLeerL
eerLeerL
eerLeerLrL
rr
zz
rrrr
rrrrrr
,,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
Anlisis Tensorial
r
u
r
uu
rr
uu
rr
uu
r
u
rr
uu
rr
uu
r
r
u
r
u
r
u
u
rr
rr
r
cotsin
1cot
sin
1
sin
1
111 Grad
er
L
r
L
r
L
r
LL
r
L
rr
L
er
L
r
L
r
L
r
LL
r
L
rr
L
er
L
r
L
r
L
r
LL
r
L
rr
LL
rrr
rrr
rrrrrrrr
cotcot2sin
11
cotcot2sin
11
cot2sin
11 Div
Anlisis Tensorial
Resumen de los operadores diferenciales
El gradiente eleva el grado de tensor en 1:
y
El divergente reduce el grado del tensor en 1:
y
rMruru Grad
rvrLrL Div
rvrr grad
rruru div
Anlisis Tensorial
El rotor conserva el grado del tensor:
y
rMrLrL T Rot
rvruru rot
0Rot Rot Div
L
Con la ayuda de la identidad eijk - ij (Producto de dos sm-bolos de permutacin expresado mediante la suma de pro-
ductos triples del smbolo Kronecker) muestre que para
cualquier campo tensorial L (diferenciable 3 veces de mane-
ra continua ) se cumple:
Ejercicios - Anlisis Tensorial
Solucin
liknmjlmnijkpp eeLeeeAALA
Div
:obtiene seRot Rot :Con
lknmjplmnijkpi eLeeA Div
lknmjilmnijk eLeeA Div
knjlimkmjlinkljnimknjmilA ( Div
lknmjikmjnilkljmin eL )
Ejercicios - Anlisis Tensorial
ijklmn
knkmkl
jnjmjl
inimil
lmnijkee
:
pnpkpmpkplpk
pnpjpmpjplpj
pnpipmpiplpi
lmnijkee
nknknklklklk
mjmjmj
nininililili
lmnijkee
332211332211
332211
332211332211
nml
nml
nml
kji
kji
kji
lmnijkee
333
222
111
333
222
111
Transposicin de la primera matriz
det = det det
ikjkjikkijji
jkkijijkikjikkjijiikkjji
eLeL
eLeLeLeL
knjlimkmjlinkljnimknjmilA ( Div
lknmjikmjnilkljmin eL )
jkikijkkjiij
ikkjijjkikjikkjijiikkjji
eLeL
eLeLeLeL
0Rot Rot Div Div
LA
Ejercicios - Anlisis Tensorial