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Prof. : Fis. Luis Vilcapoma Lá[email protected]
Universidad Nacional ayor de San arcos
Universidad del Perú, Decana de América
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera, Metalúrgica y Geográfica
Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Minas
Curso de Física 1
Elasticidad
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Introducción
Cuando los cuerpos son sometidos a fuerzas,este se desplaza de un punto a otro.
F
µ = 0
ma
MgN
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Introducción
En otros casos pueden quedar en estado dereposo si es que la suma de fuerzas sobre ellaes cero.
F1
µ = 0
M
F220º
MgN
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Introducción
Sin embargo, estos cuerpos acelerados o enestado de reposo sufren deformaciones ya seade alargamiento, o de acortamiento cuando
sobre ella actúan fuerzas colineales, y si lasfuerzas son no colineal, la deformación es decorte.
Estos casos estudiaremos en
este capitulo.
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El sólido
Es un cuerpo que esta formado por átomos yforman estructuras cristalinas cuya formapermanece invariante en el tiempo.
Hexagonal compacta
Cúbica compacta
Cúbica centrada en el cuerpo
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El sólido
Todos los cuerpos sólidos se pueden clasificar de acuerdo a sus propiedades elásticas, y esque los sólidos se deforman de distintas
maneras cuando son sometidos a esfuerzosexternos. Si el esfuerzo aplicado sobre ellos seretira, estos sólidos pueden volver a su formaoriginal o cambiar su forma original.
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Elasticidad
El objetivo de la elasticidad es estudiar ladeformación de los materiales sólidos talescomo la madera, acero, hormigón, etc. por la
acción de fuerzas aplicadas sobre ella.
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Esfuerzo
Es la fuerza aplicada a un cuerpo por unidad deárea, este esfuerzo es capaz de provocar deformación en el material.
A
F
área
fuerza
Esfuerzo
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Deformación unitaria
Es una razón de cambio de la longitud de unmaterial ( ΔL = L – L0), a esto se divide lalongitud inicial del material (L0). Aquí no se
toma en cuenta el signo.
0
0
original longitud
longitud de cambio
ndeformació L
L L
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Régimen elástico y plástico yun sólido
Deformación unitaria ΔL/L0
E s f u e r
z o
F / A
( N / m
2 )
Zona elástica no lineal
límite elástica
Zona plástica
Zona deruptura
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Módulo de elasticidad
La deformación unitaria de un cuerpo debido aun esfuerzo de tracción, compresión o torsiónes directamente proporcional al esfuerzoaplicado, y siempre que no se sobrepase ellímite elástico.
A F
L L 0
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Tipos de esfuerzo
AF
F
ΔL
L0
Tracción
AF
F
ΔL
L0
Compresión
FΔL
F
L0
A
Corte
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Módulo de Young (Y)
Este módulo se determina entre el cociente delesfuerzo con la deformación unitaria lineal, estoes:
unitariandeformació
EsfuerzoYoung de Módulo
A FF
ΔL
L0
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Módulo de Young (Y)
0 L
L
A
F
Y
A la constante Y, se le denomina módulo deYoung. Si queremos determinar la deformación,
la relación que se usa es:
YA
FL L 0
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Ejemplo 1
Se cuelga una viga de 2500 kg de dos cablesde la misma sección, uno de aluminio y otro deacero. Al suspenderla, ambos cables se estiran
lo mismo. Calcular la tensión que soporta cadauno.
Módulos de Young: acero = 20x1010 N/m2,
aluminio=7x1010
N/m2
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Deformación por peso propio
Una barra de masa M, longitud inicial L0, áreatransversal A y módulo de Young Y, como se muestra enla figura, se deforma por su propio peso. Estadeformación se puede determinar usando la relación:
L0
YA
Fdy Ld )(
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0,35m
0,1m
0,1m
Ejemplo 2
La figura representa a un pan de molde de 1 kg demasa, entero (sin cortar) de base cuadrada puesto enposición vertical. Haciendo uso de los diferenciales,halle:
• El módulo de Young del pan si se deforma3 mm por efecto de su propio peso.
• La fuerza que se debe aplicar en la cara
superior para que la deformación verticaltotal sea de 6 mm.
D f ió
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Deformación en cuerposacelerados
Un bloque de masa M, longitud inicial L0, áreatransversal A y módulo de Young Y, está apoyadasobre una superficie horizontal lisa como semuestra en la figura. Sobre el bloque actúa una
fuerza horizontal, la aceleración hace que estebloque se deforme Esta deformación se puededeterminar usando la relación:
Liso
F
L0
YA
Fdy Ld )(
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Ejemplo 3
La figura muestra a un bloque con W de peso, ymódulo de Young Y. Si el bloque es desplazadomediante un par de fuerza de 3W y Wrespectivamente, halle mediante diferenciales ladeformación lineal en la dirección del desplazamiento.
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Ejemplo 4
La figura muestra a un bloque de masa M, y módulode Young Y. Si el bloque es desplazado mediante unafuerza hacia arriba mediante una fuerza F, determinela deformación longitudinal del bloque.
L0
F
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Coeficiente de Poisson
Cuando a un bloque se somete a una tracción,no solo se alarga en la dirección de la fuerzaaplicada, sino que sus dimensiones
transversales disminuyen
FF
L
L0
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Coeficiente de Poisson
Por el contrario si al bloque se somete a unacompresión, las dimensiones transversalesaumentan.
FF
LL0
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Coeficiente de Poisson
La razón de la deformación unitaria transversala la deformación unitaria lineal se denominacoeficiente de Poisson (σ)
FF
LL0
h0
h
0 L L h
h
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Constantes de PoissonMaterial Y (Pa.)
Aluminio 0,34
Acero 0,28
Cobre 0,35
Oro 0,41
Hierro,fundido
0,28
Plomo 0,33Nickel 0,30
Platino 0,38
Plata 0,37
El orden de magnitud
de la mayor parte delos metales esaproximadamente 0,3
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Coeficiente de Poisson
x
y
z
Fy Fy
Fz
Fz
Fx
Fx a0
b0
c0
Cuando se aplican pares de fuerzas a las caras deun paralelepípedo recto rectangular de volumeninicial V0=a0b0c0, se origina una disminución de suvolumen por que las dimensiones de cada una de
los lados disminuye en ΔV
))()(( 0000
ccbbaaV
V
0000 c
c
b
b
a
a
V
V
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Asumiendo que la magnitud de todas las fuerzas son iguales yque los lados de la figura también tiene la misma longitud
)12()12()12(0000000
bYa
F
cYa
F
cYb
F
V
V z y x
)21(3)12(
3
0
Y B
YA
F
V
V
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Al paralelepípedo de la figura se aplica dospares de fuerza en las direcciones indicadas.Determine la deformación volumétrica unitaria
si las constantes de Young y Poisson es Y, σ.
x
y
z
F F
2F
a
5a
a
2F
Ejemplo 5
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Ejemplo 6
A un paralelepípedo de constante de Young Y,constante de Poisson σ, se aplica dos pares defuerzas como se muestra en al figura.
Determine:
F
z
x
y
F
2a
F
F
2a
a
a) La fuerza que se debe aplicaren el eje y para que la
deformación en este eje seacero.
b) La deformación volumétrica
unitaria final.
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Módulo de corte (Mc)
Se determina dividiendo el esfuerzo tangencialentre la deformación de corte ( ΔL/L0), esto es:
cortedendeformació
al tangenciEsfuerzocorte de Módulo
FΔL
F
L0
A
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A
F
L
L A
F M c
0
Módulo de corte (Mc)
A la constante Mc, se le denomina módulo decorte o cizalladura. Los valores de este módulo
de corte son menores que el módulo de Young.
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Módulo de compresibilidad (B)
Es aquella que relaciona el aumento de lapresión hidrostática con la disminucióncorrespondiente de volumen.
F
F
A
AA
F
F
FF
F
F
F
F
FF
V V P
LV A F B
0
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Constantes elásticasMaterial Y (Pa.) Mc (Pa.) B (Pa.)
Aluminio 7,0x1010 2,5x1010 7,0x1010
Hueso (Ext.Comp.) 9,3x109
Latón 9,0x1010 3,5x1010 7,5x1010
Cobre 11x1010 3,8x1010 12x1010
Vidrio 5,7x1010 2,4x1010 4,0x1010
Hierro 15x1010 6,0x1010 12x1010
Nylon 5,0x108 8,0x108
Acero 20x1010 8,2x1010 15x1010
Mercurio 26x109
Agua 2,2x109
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Ley de R. Hooke
ΔL
Una barra en posición vertical como se muestra en lafigura, es sometida a la fuerza del peso de un bloque,
esta fuerza produce una deformación en la barra cuya
magnitud se determina
YA
FL L 0
L0
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Ley de R. Hooke
Dando forma esta relación se obtiene
L L
YA F
0
Sustituyendo YA/L0 por la constante k y ΔLpor x
kx F
Aquí se puede notar que el alargamiento de labarra depende de la fuerza aplicada.