TEMA 3. SERIES NUMRICAS
3.1 DEFINICIN DE SERIE DENMEROS REALESDefinicin: Dada una sucesin denmeros reales xn , se considera unanueva sucesin sn de la forma :s1 x1s2 x1 x2s3 x1 x2 x3
..
sk sk1 xkAl par ordenado (xn, sn se le llamaserie infinita o simplemente serie y laescribiremos como
n1
xn.
- A la sucesin sn se le denominasucesin de sumas parciales.
- A los xk trminos de la sucesin .
- En ocasiones no empezaremos la seriepor n 1, sino que ser convenienteempezar por n 5,n 0, . . .An cuandopor lo general los subndices de loselementos de una serie son los nmerosnaturales.
Carcter de una serie- Si sn es convergente,
nlim sn s ,
diremos que la serie es convergente y sser la suma de la serie:
n1
xn s.
- Si sn es divergente, diremos que laserie es divergente y su suma ser
:
n1
xn .- Si sn no tiene lmite , diremos que laserie es oscilante.
Nota: El carcter de una serie no sealtera si se suprime un nmero finito desumandos
3.2 SERIES CONVERGENTES.PROPIEDADES
Teorema:i Si las series xn y yn convergen,entonces la seriexn yn converge ysu suma ser :
xn yn xn ynii Si la serie xn converge y c ,entonces la serie cxn converge y susuma ser :
cxn c xn
Teorema:(condicin necesaria deconvergencia)
Sin1
xn es convergente
nlim xn 0
3.3 SERIES DE TRMINOS NONEGATIVOS.
Definicin: Se dice quen1
xn es de
trminos positivos (o no negativos) sixn 0,n .- Las series de trminos negativos setratan de forma anloga a la de terminospositivos.- Se pueden considerar y tratar comoserie de trminos positivos aquellas paralas que xn 0, n N0.Teorema: Una serie de trminospositivos, o es convergente o divergente,no puede ser oscilante.
Criterios de convergenciaDefinicin: Dadas dos series de trminos
positivosn1
xn y
n1
yn, diremos que
n1
xn es mayorante de
n1
yn, si n0
tal que xn yn, n n0.
n1
xn es minorante de
n1
yn, si n0
tal que xn yn, n n0.
3.3.1 Criterios de comparacinCriterio de comparacin de lamayorante.
Seann1
xn y
n1
yn series de trminos
positivos.
i Sin1
xn es mayorante de
n1
yn y
n1
xn
es convergente n1
yn es convergente.
ii Sin1
xn es minorante de
n1
yn y
n1
xn
es divergente n1
yn es divergente.
Comparacin con paso al lmite
Seann1
xn y
n1
yn dos series de
trminos positivos connlim xnyn l 0,.
i Si l 0 y l , las dos series tienen elmismo carcter, es decir, convergen odivergen simultneamente.
ii Si l 0 yn1
yn es convergente
n1
xn es convergente.
Si l 0 yn1
xn es divergente
n1
yn es
divergente.
iii Si l yn1
yn es divergente
n1
xn
es divergente.
Si l yn1
xn es convergente
n1
yn
es convergente.
Serie armnica
Definicin: Llamamos serie armnicageneralizada de orden a la serie
n1
1n
Teorema: (Convergencia de la seriearmnica generalizada).
La serien1
1n converge si 1 y
diverge si 1.
3.3.3 Criterio de la raz
Sean1
xn una serie de trminos
positivos con
limn n xn l 0,Entonces se cumple:
i) Si l 1 n1
xn es convergente.
ii) Si l 1 n1
xn es divergente.
iii) Si l 1 no se sabe.
3.3.4 Criterio del cociente
Sean1
xn una serie de trminos
positivos con
limnxn1xn l 0,
Entonces se cumple:
i Si l 1 n1
xn es convergente.
ii Si l 1 n1
xn es divergente.
iii Si l 1 no se sabe.
3.3.4 Criterio de Raabe
Sean1
xn una serie de trminos
positivos con
limn n1 xn1xn lEntonces se cumple:
i Si l 1 n1
xn es convergente.
ii Si l 1 n1
xn es divergente.
iii Si l 1 no se sabe.
3.4 Series alternadas
Definicin: Diremos que una serie detrminos reales es alternada si sussumandos son alternativamente positivosy negativos . Es decir si xn xn1 0n .
Nota 1: La forma ms comn de
presentar una serie alternada es1n1xn 1nxn con xn 0.Nota 2: La serie xn tambin puedeconsiderarse alternada si xn xn1 0,n n0.
Criterio de Leibnitz
Sean1
1n1xn una serie alternada. Si
la sucesin de trminos positivos xnverifica:
inlim xn 0
ii xn1 xn n (montonadecreciente).Entonces la serie alternada esconvergente.Nota1: Observar que las condicionespara aplicar el criterio son dos, no hayque olvidar la monotonia.Ej: 11
15
12
152
. . . . . . . 1n 15n . .
Esta serie es divergente aunque sutrmino general tienda a cero. Falla lamonotona.
Nota 2: El criterio de Leibnitz es unacondicion suficiente pero no esnecesaria.
Ej: 113
122
133
142
. . . 12n 13 1
2n2Esta serie es convergente , aunque nosea montona.
3.5 SERIES DE TRMINOSARBITRARIOS.CONVERGENCIAABSOLUTA
Definicin: Una serie de trminosarbitrarios, es aquella que no esnecesariamente ni de trminos positivosni alternada.
Definicin: Diremos que una serie xnes absolutamente convergente si|xn |
es convergente.
Teorema: Si una serie xn esabsolutamente convergente, entonces esconvergente.
Nota: El teorema anterior es unaestrategia a seguir cuando intentamosestudiar el carcter de una serie detrminos arbitrarios. Estudiamospreviamente|xn | que es de trminospositivos y que por tanto tenemos loscriterios para deducir su carcter.
Definicin: Una serie escondicionalmente convergente cuandoes convergente pero no absolutamenteconvergente.
1. Criterio de Dirichlet.
La serien1
xnyn es convergente si se
cumple:
i La sucesin de sumas parcialesde
n1
xn est acotada.ii) yn es una sucesin montona
decreciente connlim yn 0
2. Criterio de Abel.
La serien1
xnyn esconvergente si se
cumple:
iLa serien1
xn es convergente.
ii yn es una sucesin montona yacotada.
3.6 SUMA DE SERIES
3.6.1 Series aritmtico -geomtricas
Son de la forma:
n0 Pnrn
Donde Pn es un polinomio de gradomayor o igual que 1 y r es la razn.Ser convergente cuando r 1.La suma se obtiene de forma similar alas geomtricas.
3.6.2 Series hipergeomtricas
Son la que cumplen xn1xn an ban cdonde a,b,c , a 0.Son convergentes cuando c b a.Su suma vale S x1cc a b3.3.3 Series cuyo trmino general esde la forma Pnn k! .Se hace la descomposicin en fraccionessimples del trmino general (en p 1) y
entonces a partir de la frmula
n0 1n! 1 11! 12! 13! . . . . 1n! . . e
se suman todas las series.
3.3.4 Series telescpicas.
La serie
n0 xn es telescpica si su
trmino general se puede poner de laforma.xn yn yn1 donde yn es otra sucesin.La serie ser convergente cuando
nlim yn l
En este caso
n0 xn x1 l.
3.3.5 Series de StirlingSon aquellas cuyo trmino general es elcociente de dos polinomios de la forma:
xn PnQndonde Pn es un polinomio de grado p yQn es un polinomio de grado m p 2.
xn Pnn b1n b1 b2 . . .n b1 bmdonde b1 , b2,b3,.........,bm .Se hace la descomposicin en fraccionessimples y al identificar coeficientesllegamos a que:a0 a1 . . . . . . . .am 0.Una vez hecho esto se suman las seriesde las fracciones.