TEMA 3. SERIES NUMRICAS

3.1 DEFINICIN DE SERIE DENMEROS REALESDefinicin: Dada una sucesin denmeros reales xn , se considera unanueva sucesin sn de la forma :s1 x1s2 x1 x2s3 x1 x2 x3

..

sk sk1 xkAl par ordenado (xn, sn se le llamaserie infinita o simplemente serie y laescribiremos como

n1

xn.

- A la sucesin sn se le denominasucesin de sumas parciales.

- A los xk trminos de la sucesin .

- En ocasiones no empezaremos la seriepor n 1, sino que ser convenienteempezar por n 5,n 0, . . .An cuandopor lo general los subndices de loselementos de una serie son los nmerosnaturales.

Carcter de una serie- Si sn es convergente,

nlim sn s ,

diremos que la serie es convergente y sser la suma de la serie:

n1

xn s.

- Si sn es divergente, diremos que laserie es divergente y su suma ser

:

n1

xn .- Si sn no tiene lmite , diremos que laserie es oscilante.

Nota: El carcter de una serie no sealtera si se suprime un nmero finito desumandos

3.2 SERIES CONVERGENTES.PROPIEDADES

Teorema:i Si las series xn y yn convergen,entonces la seriexn yn converge ysu suma ser :

xn yn xn ynii Si la serie xn converge y c ,entonces la serie cxn converge y susuma ser :

cxn c xn

Teorema:(condicin necesaria deconvergencia)

Sin1

xn es convergente

nlim xn 0

3.3 SERIES DE TRMINOS NONEGATIVOS.

Definicin: Se dice quen1

xn es de

trminos positivos (o no negativos) sixn 0,n .- Las series de trminos negativos setratan de forma anloga a la de terminospositivos.- Se pueden considerar y tratar comoserie de trminos positivos aquellas paralas que xn 0, n N0.Teorema: Una serie de trminospositivos, o es convergente o divergente,no puede ser oscilante.

Criterios de convergenciaDefinicin: Dadas dos series de trminos

positivosn1

xn y

n1

yn, diremos que

n1

xn es mayorante de

n1

yn, si n0

tal que xn yn, n n0.

n1

xn es minorante de

n1

yn, si n0

tal que xn yn, n n0.

3.3.1 Criterios de comparacinCriterio de comparacin de lamayorante.

Seann1

xn y

n1

yn series de trminos

positivos.

i Sin1

xn es mayorante de

n1

yn y

n1

xn

es convergente n1

yn es convergente.

ii Sin1

xn es minorante de

n1

yn y

n1

xn

es divergente n1

yn es divergente.

Comparacin con paso al lmite

Seann1

xn y

n1

yn dos series de

trminos positivos connlim xnyn l 0,.

i Si l 0 y l , las dos series tienen elmismo carcter, es decir, convergen odivergen simultneamente.

ii Si l 0 yn1

yn es convergente

n1

xn es convergente.

Si l 0 yn1

xn es divergente

n1

yn es

divergente.

iii Si l yn1

yn es divergente

n1

xn

es divergente.

Si l yn1

xn es convergente

n1

yn

es convergente.

Serie armnica

Definicin: Llamamos serie armnicageneralizada de orden a la serie

n1

1n

Teorema: (Convergencia de la seriearmnica generalizada).

La serien1

1n converge si 1 y

diverge si 1.

3.3.3 Criterio de la raz

Sean1

xn una serie de trminos

positivos con

limn n xn l 0,Entonces se cumple:

i) Si l 1 n1

xn es convergente.

ii) Si l 1 n1

xn es divergente.

iii) Si l 1 no se sabe.

3.3.4 Criterio del cociente

Sean1

xn una serie de trminos

positivos con

limnxn1xn l 0,

Entonces se cumple:

i Si l 1 n1

xn es convergente.

ii Si l 1 n1

xn es divergente.

iii Si l 1 no se sabe.

3.3.4 Criterio de Raabe

Sean1

xn una serie de trminos

positivos con

limn n1 xn1xn lEntonces se cumple:

i Si l 1 n1

xn es convergente.

ii Si l 1 n1

xn es divergente.

iii Si l 1 no se sabe.

3.4 Series alternadas

Definicin: Diremos que una serie detrminos reales es alternada si sussumandos son alternativamente positivosy negativos . Es decir si xn xn1 0n .

Nota 1: La forma ms comn de

presentar una serie alternada es1n1xn 1nxn con xn 0.Nota 2: La serie xn tambin puedeconsiderarse alternada si xn xn1 0,n n0.

Criterio de Leibnitz

Sean1

1n1xn una serie alternada. Si

la sucesin de trminos positivos xnverifica:

inlim xn 0

ii xn1 xn n (montonadecreciente).Entonces la serie alternada esconvergente.Nota1: Observar que las condicionespara aplicar el criterio son dos, no hayque olvidar la monotonia.Ej: 11

15

12

152

. . . . . . . 1n 15n . .

Esta serie es divergente aunque sutrmino general tienda a cero. Falla lamonotona.

Nota 2: El criterio de Leibnitz es unacondicion suficiente pero no esnecesaria.

Ej: 113

122

133

142

. . . 12n 13 1

2n2Esta serie es convergente , aunque nosea montona.

3.5 SERIES DE TRMINOSARBITRARIOS.CONVERGENCIAABSOLUTA

Definicin: Una serie de trminosarbitrarios, es aquella que no esnecesariamente ni de trminos positivosni alternada.

Definicin: Diremos que una serie xnes absolutamente convergente si|xn |

es convergente.

Teorema: Si una serie xn esabsolutamente convergente, entonces esconvergente.

Nota: El teorema anterior es unaestrategia a seguir cuando intentamosestudiar el carcter de una serie detrminos arbitrarios. Estudiamospreviamente|xn | que es de trminospositivos y que por tanto tenemos loscriterios para deducir su carcter.

Definicin: Una serie escondicionalmente convergente cuandoes convergente pero no absolutamenteconvergente.

1. Criterio de Dirichlet.

La serien1

xnyn es convergente si se

cumple:

i La sucesin de sumas parcialesde

n1

xn est acotada.ii) yn es una sucesin montona

decreciente connlim yn 0

2. Criterio de Abel.

La serien1

xnyn esconvergente si se

cumple:

iLa serien1

xn es convergente.

ii yn es una sucesin montona yacotada.

3.6 SUMA DE SERIES

3.6.1 Series aritmtico -geomtricas

Son de la forma:

n0 Pnrn

Donde Pn es un polinomio de gradomayor o igual que 1 y r es la razn.Ser convergente cuando r 1.La suma se obtiene de forma similar alas geomtricas.

3.6.2 Series hipergeomtricas

Son la que cumplen xn1xn an ban cdonde a,b,c , a 0.Son convergentes cuando c b a.Su suma vale S x1cc a b3.3.3 Series cuyo trmino general esde la forma Pnn k! .Se hace la descomposicin en fraccionessimples del trmino general (en p 1) y

entonces a partir de la frmula

n0 1n! 1 11! 12! 13! . . . . 1n! . . e

se suman todas las series.

3.3.4 Series telescpicas.

La serie

n0 xn es telescpica si su

trmino general se puede poner de laforma.xn yn yn1 donde yn es otra sucesin.La serie ser convergente cuando

nlim yn l

En este caso

n0 xn x1 l.

3.3.5 Series de StirlingSon aquellas cuyo trmino general es elcociente de dos polinomios de la forma:

xn PnQndonde Pn es un polinomio de grado p yQn es un polinomio de grado m p 2.

xn Pnn b1n b1 b2 . . .n b1 bmdonde b1 , b2,b3,.........,bm .Se hace la descomposicin en fraccionessimples y al identificar coeficientesllegamos a que:a0 a1 . . . . . . . .am 0.Una vez hecho esto se suman las seriesde las fracciones.