Chapter 1Integración por partesEste método de integración se debe a la aplicación de la derivada de un producto de funciones
[f (x)g(x)]0= f
0(x)g(x) + f (x)g
0(x)
Puesto que la integración es la operación inversa de la derivación; entonces
Z[f (x)g(x)]
0dx = f (x)g(x)
Como la integral de una suma es la suma de integrales se obtiene:
f (x)g(x) =Z
[f (x)g(x)]0dx =
Zf
0(x)g(x)dx +
Zf (x)g
0(x)dx
DespejandoZ
f (x)g0(x)dx obtendremos la regla de integración por partes:
Zf(x)g
0(x)dx = f (x)g(x) ¡
Zf
0(x)g(x)dx
Nota 1: La elección de f(x) y g ’(x) es fundamental. Siempre es conveniente elegir g’(x)de manera que se pueda integrar facilmente
Nota 2: La segunda integral ha de ser más sencilla de resolver que la primeraNota 3: En muchas ocasiones tendrás que repetir este método varias vecesEjemplos:
1.Z
lnxdx
f (x) = lnx ; f 0(x) =1x
g0(x) = 1 ; g(x) =Z
1dx = x
Zln xdx = x ln x ¡
Zx
1x
dx = x ln x ¡Z
1dx = x ln x ¡ x + C
2.Z
x2 sinxdx
f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x
g0(x) = sinx ; g(x) =Z
sinxdx = ¡ cos x
1
Chapter 1 Integración por partes
Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2
Zx cosxdx @
Volvemos a integrar por partes para calcularZ
x cos xdx
f (x) = x ; f 0(x) = 1
g0(x) = cos x ; g(x) =Z
cosxdx = sin x
Zx cos xdx = x sin x ¡
Zsin xdx = x sin x + cos x + C @@
Sustituyendo @@ en @ tendremos:Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2
Zx cosxdx = ¡x2 cosx + 2(x sin x + cos x + C)
Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2x sin x + 2 cos x + C 0
3.Z
x2p
1 ¡ x2dx =
Zx
xp1 ¡ x2
dx
f (x) = x ; f 0(x) = 1
g0(x) =xp
1 ¡ x2; g(x) =
Zxp
1 ¡ x2dx = ¡
p1 ¡ x2
Zx2
p1 ¡ x2
dx = ¡xp
1 ¡ x2 +Z p
1 ¡ x2dx@Z p
1 ¡ x2dx =Z
1 ¡ x2p
1 ¡ x2dx =
Z1p
1 ¡ x2dx ¡
Zx2
p1 ¡ x2
dx =
arcsin x ¡Z
x2p
1 ¡ x2dx@@
Sustituyendo @@ en @ tendremos:Zx2
p1 ¡ x2
dx = ¡xp
1 ¡ x2 + arcsinx ¡Z
x2p
1 ¡ x2dx + 2C
Observa que la integral inicial I aparece a ambos lados de la igualdad.I = ¡x
p1 ¡ x2 + arcsinx ¡ I + 2C
Despejando I como si de una ecuación se tratase tendríamos
I =¡x
p1 ¡ x2 + arcsinx
2+ C (Integral cíclica)
2
La integración por partes, es muy útil para calcular integrales del siguiente tipo:Integral Elecci¶onZ
ln xdx f (x) = ln x; g0(x) = 1
ZPn(x) ln xdx f (x) = ln x; g
0(x) = Pn (x)
ZP (x)exdx f (x) = P (x);g0 (x) = ex
ZP (x) sin xdx f (x) = P (x);g
0(x) = sin x
ZP (x) cosxdx f (x) = P (x);g0 (x) = cosx
Zex sinxdx f (x) = sin x; g
0(x) = ex (Cíclica)
Zex cos xdx f (x) = cosx; g0(x) = ex (Cíclica)
Zsec2p+1 xdx =
Zsec2p¡1 x sec2 xdx f (x) = sec2p¡1 x; g
0(x) = sec2 x (Cíclica)
Zcsc2p+1 xdx =
Zcsc2p¡1 x csc2 xdx f (x) = csc2p¡1 x; g0(x) = csc2 x (Cíclica)
Zarctan xdx f (x) = arctanx; g
0(x) = 1
ZPn(x) arctan xdx f (x) = arctan x; g
0(x) = Pn (x)
Zarcsin xdx f (x) = arcsin x; g0(x) = 1
ZPn(x) arcsin xdx f (x) = arcsin x; g
0(x) = Pn(x)
Zsin2 xdx =
Zsin x sinxdx f (x) = sinx; g0(x) = sinx (C¶{clica)
Zcos2 xdx =
Zcos x cos xdx f (x) = cos x; g0(x) = cosx (C¶{clica)
Zx2
p1 ¡ x2
dx f (x) = x; g0(x) =xp
1 ¡ x2(C¶{clica)
Zx2
p1 + x2
dx f (x) = x; g0(x) =xp
1 + x2(C¶{clica)
Zx2
px2 ¡ 1
dx f (x) = x; g0(x) =xp
x2 ¡ 1(C¶{clica)
etc, etc,...
3
Chapter 1 Integración por partes
1.1 Ejercicios de integracion por partes
1.Z
x2 ln xdx =1 13 (ln x) x3 ¡
R13x2 dx = 1
3x3 lnx ¡ 19x3 + C
2.Z
x2 sinxdx =2¡x2 cos x + 2Z
x cos xdx = 3
Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx Con lo que
Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2
·x sinx ¡
Zsin xdx
¸+ C
Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2 [x sin x + cos x] + C
3. I =Z
x2 cos xdx =4x2 sinx ¡ 2R
x sin xdx = 5I = x2 sin x ¡2
¡¡xcosx ¡ R(¡ cosx) dx
¢= x2 sin x ¡ 2 sin x + 2xcosx + C
4.Z
xexdx =6xex ¡R
ex dx = xex ¡ ex + C
5.Z
x2exdx =7x2ex ¡ 2R
xex dx = 8
Zx2exdx = x2ex ¡ 2(xex ¡
Rex dx) = ex
¡x2 ¡ 2x + 2
¢+ C
6.Z
ex cosxdx =9ex cos x +R
sin xex dx =
Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:
1
8><>:
f (x) = lnx f 0(x) =1x
g 0(x) = x2 g(x) =x3
32
½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = sinx g(x) = ¡ cos x
3½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx
4½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = cos x g(x) = sinx
5½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = sinx g(x) = ¡ cos x
6½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = ex g(x) = ex
7½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = ex g(x) = ex
8½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = ex g(x) = ex
9½f (x) = cosx f 0(x) = ¡ sinxg 0(x) = ex g(x) = ex
4
Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes
½f (x) = sinx f 0(x) = cos xg 0(x) = ex g(x) = ex Con lo que:
Zex cosxdx = ex cos x + ex sinx ¡ R
ex cosx dx Cíclica:
Si DespejasR
ex cosx dx tendrásZex cosxdx =
ex cosx + ex sin x2
+ C
7.Z
e3x sin 4xdx =10 13 e3x sin 4x ¡ 4
3
Ze3x ¢ cos 4xdx
Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin4xg 0(x) = e3x g(x) = 1
3 ex Con lo que:
I =Z
e3x sin4xdx = 13 e3x sin4x ¡ 4
3
·13 e3x cos 4x + 4
3
Ze3x sin 4xdx
¸: Cíclica:
I = 13e
3x sin4x ¡ 49 e3x cos 4x ¡ 16
9 I + CComo 25
9 I = 13 e3x sin 4x ¡ 4
9 e3x cos 4x + C; entonces:I = 9
25
£ 13 e3x sin 4x ¡ 4
9 e3x cos 4x¤
+ C 0 = ¡ 425 e3x cos 4x + 3
25 e3x sin4x
8.Z
cos 4xcos 2xdx =
Consideramos½
f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin 4xg 0(x) = cos 2x g(x) = 1
2 sin 2x ,con lo que
I =Z
cos 4x cos 2xdx = 12 sin 2x cos 4x + 2
Rsin 4x ¢ sin2xdx
Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = sin4x f 0(x) = 4 cos 4xg 0(x) = sin 2x g(x) = ¡ 1
2 cos 2x Con lo que:
I = 12 sin2x cos 4x + 2
£¡1
2 cos 2x sin 4x + 2I¤+ C
I = 12 sin2x cos 4x ¡ cos 2x sin4x + 4I + C
¡3I = 12 sin2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x
I = ¡ 16 sin 2x cos 4x + 1
3 cos 2x sin4x + C0
9.R
sin2 xdx =Z
cosx cosxdx
10.Z
cos2 xdx =Z
cosx cosxdx
11.Z
x cos xdx = 11x sinx ¡Z
sin xdx = x sinx + cos x + C
12.Z
x sin(3x ¡ 2)dx
10½f (x) = sin4x f 0(x) = 4 sin 4xg 0(x) = e3x g(x) = 1
3e3x
11½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx
5
Chapter 1 Integración por partes
13.Z
arctan xdx = x arctan x ¡ 12 ln
¡x2 + 1
¢
14.Z
x arctan xdx = 12x2 arctanx ¡ 1
2x + 12 arctanx
15.Z
arcsinxdx = xarcsin x +p
(1 ¡ x2)
16.Z
x arcsin xdx = 12x2 arcsin x + 1
4xp
(1 ¡ x2) ¡ 14 arcsinx
17. I =Z
sec3 xdx =R
sec x sec2 xdx
Consideramos
8<:
f (x) = sec x f 0(x) = sec x tan x
g 0(x) = sec2 x g(x) =Z
sec2 xdx = tanx ,con lo que:
I = sec x tanx ¡Z
sec x tan2 xdx = sec x tan x ¡Z
sec x¡sec2 x ¡ 1
¢dx =
I =Z
sec3 xdx = sec x tan x +Z
sec xdx ¡Z
sec3 xdx
I = sec x tanx + ln jsec x + tan xj ¡ I + C
Despejando I =Z
sec3 xdx tendremosZ
sec3 xdx =sec x tan x + ln jsec x + tanxj
2+ C 0
18.Z
csc3 xdx =Z
csc x csc2 xdx
Consideramos
8<:
f (x) = csc x f 0(x) = ¡ csc x cotx
g 0(x) = csc2 x g(x) =Z
csc2 xdx = ¡ cotx ,con lo que:
I = ¡ csc x cot x ¡Z
csc x cot2 xdx = ¡ csc x cotx ¡Z
csc x¡csc2 x ¡ 1
¢dx =
I =Z
csc3 xdx = ¡ csc x cotx +Z
csc xdx ¡Z
csc3 xdx
I = ¡ csc x cot x + ln jcsc x ¡ cotxj ¡ I + C
Despejando I =Z
csc3 xdx tendremosZ
csc3 xdx =¡ csc x cotx + ln jcsc x ¡ cotxj
2+ C0
19.Z
x2p
x2 ¡ 1dx = 12x
px2 ¡ 1 ¡
Z px2 ¡ 1dx
I = xp
x2 ¡ 1 ¡Z p
x2 ¡ 1dx = xp
x2 ¡ 1 ¡Z
x2 ¡ 1px2 ¡ 1
dx
12 f (x) = x! f 0(x) = 1
g0(x) =xpx2 ¡ 1
! g(x) =Z
xpx2 ¡ 1
dx =px2 ¡ 1
6
Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes
I = xp
x2 ¡ 1 ¡ I +Z
1px2 ¡ 1
dx ! 2I = xp
x2 ¡ 1+ ln¯̄¯x +
p(x2 ¡ 1)
¯̄¯ + 2C
I =xp
x2 ¡ 1 + ln¯̄¯x +
p(x2 ¡ 1)
¯̄¯
2+ C
20.Z
x2 arcsin xdx = 13 x3
3arcsin x ¡ 1
3
Zx3
p1 ¡ x2
dx
I =x3
3arcsinx ¡ 1
3
Zx2 ¢ xp
1 ¡ x2dx =
x3
3arcsin x ¡ 1
3J
Calculemos J por partes
J =Z
x2 ¢ xp1 ¡ x2
dx = 14 ¡ x2 ¢p
1 ¡ x2 + 2Z
x ¢p
1 ¡ x2dx
J = ¡x2 ¢p
1 ¡ x2 ¡2q
(1 ¡ x2)3
3+ C
J = ¡3x2¢p1¡x2
3 ¡ 2(1 ¡ x2)p
(1 ¡ x2)3
+ C
Sacando factor común
p(1 ¡ x2)
3; tendremos:
J =
p(1 ¡ x2)
3£¡3x2 ¡ 2(1 ¡ x2)
¤+ C
J =
¡¡x2 ¡ 2
¢ p(1 ¡ x2)
3+ C
Sustituyendo este valor en I tendremos
I =x3
3arcsinx ¡ 1
3
á¡x2 ¡ 2
¢p(1 ¡ x2)
3
!+ C0
I = 13x
3 arcsin x + 19x2
p(1 ¡ x2) + 2
9
p(1 ¡ x2) + C 0
21.Z
sin2 xcos3 x
dx =Z
sin x ¢ sin xcos3 x
dx
Consideramos
8<:
f (x) = sinx f 0(x) = cosx
g 0(x) =sinxcos3 x
g(x) =Z
sinxcos3 x
dx = 12 sec2 x ,con lo que:
I =Z
sin2 xcos3 x
dx = 12 sec2 x ¢ sin x ¡ 1
2
Zsec2 x ¢ cos xdx
I =Z
sin2 xcos3 x
dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 1
2
Zsec xdx :
13 f (x) = arcsinx! f0(x) = 1p1¡ x2
g0(x) = x2 ! g(x) =Zx2dx =
x3
314 f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x
g0(x) =xp
1¡x2; g(x) =
Zxp
1¡ x2dx= ¡
p1¡x2
7
Chapter 1 Integración por partes
I =Z
sin2 xcos3 x
dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 1
2 ln jsec x + tan xj + C
22.Z
x2
(1 + x2)2dx =
Zx ¢ x
(1 + x2)2dx
Consideramos
8<:
f (x) = x f 0(x) = 1
g 0(x) =x
(1 + x2)2g(x) =
Zx
(1 + x2)2dx = ¡ 1
2(1+x2),con lo
que:
I =Z
x2
(1 + x2)2dx = ¡ x
2(1+x2 ) + 12
Z1
(1+x2) dx
I =Z
x2
(1 + x2)2dx = ¡ x
2(1+x2 ) + 12 arctanx + C
23.Z
cos2 xsin3 x
dx =Z
cosx ¢ cosxsin3 x
dx :
Consideramos
8<:
f (x) = cos x f 0(x) = ¡ sin x
g 0(x) =cosxsin3 x
g(x) =Z
cosxsin3 x
dx = ¡ 12 csc2 x ,con lo que:
I =Z
cos2 xsin3 x
dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 1
2
Zcsc2 x ¢ sin xdx
I =Z
sin2 xcos3 x
dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 1
2
Zcsc xdx :
I =Z
sin2 xcos3 x
dx = ¡ 12 csc x cotx ¡ 1
2 ln jcsc x ¡ cotxj + C
8
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