Chapter 1Integración por partesEste método de integración se debe a la aplicación de la derivada de un producto de funciones

[f (x)g(x)]0= f

0(x)g(x) + f (x)g

0(x)

Puesto que la integración es la operación inversa de la derivación; entonces

Z[f (x)g(x)]

0dx = f (x)g(x)

Como la integral de una suma es la suma de integrales se obtiene:

f (x)g(x) =Z

[f (x)g(x)]0dx =

Zf

0(x)g(x)dx +

Zf (x)g

0(x)dx

DespejandoZ

f (x)g0(x)dx obtendremos la regla de integración por partes:

Zf(x)g

0(x)dx = f (x)g(x) ¡

Zf

0(x)g(x)dx

Nota 1: La elección de f(x) y g ’(x) es fundamental. Siempre es conveniente elegir g’(x)de manera que se pueda integrar facilmente

Nota 2: La segunda integral ha de ser más sencilla de resolver que la primeraNota 3: En muchas ocasiones tendrás que repetir este método varias vecesEjemplos:

1.Z

lnxdx

f (x) = lnx ; f 0(x) =1x

g0(x) = 1 ; g(x) =Z

1dx = x

Zln xdx = x ln x ¡

Zx

1x

dx = x ln x ¡Z

1dx = x ln x ¡ x + C

2.Z

x2 sinxdx

f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x

g0(x) = sinx ; g(x) =Z

sinxdx = ¡ cos x

1

Chapter 1 Integración por partes

Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2

Zx cosxdx @

Volvemos a integrar por partes para calcularZ

x cos xdx

f (x) = x ; f 0(x) = 1

g0(x) = cos x ; g(x) =Z

cosxdx = sin x

Zx cos xdx = x sin x ¡

Zsin xdx = x sin x + cos x + C @@

Sustituyendo @@ en @ tendremos:Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2

Zx cosxdx = ¡x2 cosx + 2(x sin x + cos x + C)

Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2x sin x + 2 cos x + C 0

3.Z

x2p

1 ¡ x2dx =

Zx

xp1 ¡ x2

dx

f (x) = x ; f 0(x) = 1

g0(x) =xp

1 ¡ x2; g(x) =

Zxp

1 ¡ x2dx = ¡

p1 ¡ x2

Zx2

p1 ¡ x2

dx = ¡xp

1 ¡ x2 +Z p

1 ¡ x2dx@Z p

1 ¡ x2dx =Z

1 ¡ x2p

1 ¡ x2dx =

Z1p

1 ¡ x2dx ¡

Zx2

p1 ¡ x2

dx =

arcsin x ¡Z

x2p

1 ¡ x2dx@@

Sustituyendo @@ en @ tendremos:Zx2

p1 ¡ x2

dx = ¡xp

1 ¡ x2 + arcsinx ¡Z

x2p

1 ¡ x2dx + 2C

Observa que la integral inicial I aparece a ambos lados de la igualdad.I = ¡x

p1 ¡ x2 + arcsinx ¡ I + 2C

Despejando I como si de una ecuación se tratase tendríamos

I =¡x

p1 ¡ x2 + arcsinx

2+ C (Integral cíclica)

2

La integración por partes, es muy útil para calcular integrales del siguiente tipo:Integral Elecci¶onZ

ln xdx f (x) = ln x; g0(x) = 1

ZPn(x) ln xdx f (x) = ln x; g

0(x) = Pn (x)

ZP (x)exdx f (x) = P (x);g0 (x) = ex

ZP (x) sin xdx f (x) = P (x);g

0(x) = sin x

ZP (x) cosxdx f (x) = P (x);g0 (x) = cosx

Zex sinxdx f (x) = sin x; g

0(x) = ex (Cíclica)

Zex cos xdx f (x) = cosx; g0(x) = ex (Cíclica)

Zsec2p+1 xdx =

Zsec2p¡1 x sec2 xdx f (x) = sec2p¡1 x; g

0(x) = sec2 x (Cíclica)

Zcsc2p+1 xdx =

Zcsc2p¡1 x csc2 xdx f (x) = csc2p¡1 x; g0(x) = csc2 x (Cíclica)

Zarctan xdx f (x) = arctanx; g

0(x) = 1

ZPn(x) arctan xdx f (x) = arctan x; g

0(x) = Pn (x)

Zarcsin xdx f (x) = arcsin x; g0(x) = 1

ZPn(x) arcsin xdx f (x) = arcsin x; g

0(x) = Pn(x)

Zsin2 xdx =

Zsin x sinxdx f (x) = sinx; g0(x) = sinx (C¶{clica)

Zcos2 xdx =

Zcos x cos xdx f (x) = cos x; g0(x) = cosx (C¶{clica)

Zx2

p1 ¡ x2

dx f (x) = x; g0(x) =xp

1 ¡ x2(C¶{clica)

Zx2

p1 + x2

dx f (x) = x; g0(x) =xp

1 + x2(C¶{clica)

Zx2

px2 ¡ 1

dx f (x) = x; g0(x) =xp

x2 ¡ 1(C¶{clica)

etc, etc,...

3

Chapter 1 Integración por partes

1.1 Ejercicios de integracion por partes

1.Z

x2 ln xdx =1 13 (ln x) x3 ¡

R13x2 dx = 1

3x3 lnx ¡ 19x3 + C

2.Z

x2 sinxdx =2¡x2 cos x + 2Z

x cos xdx = 3

Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx Con lo que

Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2

·x sinx ¡

Zsin xdx

¸+ C

Zx2 sinxdx = ¡x2 cosx + 2 [x sin x + cos x] + C

3. I =Z

x2 cos xdx =4x2 sinx ¡ 2R

x sin xdx = 5I = x2 sin x ¡2

¡¡xcosx ¡ R(¡ cosx) dx

¢= x2 sin x ¡ 2 sin x + 2xcosx + C

4.Z

xexdx =6xex ¡R

ex dx = xex ¡ ex + C

5.Z

x2exdx =7x2ex ¡ 2R

xex dx = 8

Zx2exdx = x2ex ¡ 2(xex ¡

Rex dx) = ex

¡x2 ¡ 2x + 2

¢+ C

6.Z

ex cosxdx =9ex cos x +R

sin xex dx =

Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:

1

8><>:

f (x) = lnx f 0(x) =1x

g 0(x) = x2 g(x) =x3

32

½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = sinx g(x) = ¡ cos x

3½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx

4½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = cos x g(x) = sinx

5½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = sinx g(x) = ¡ cos x

6½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = ex g(x) = ex

7½f (x) = x2 f 0(x) = 2xg 0(x) = ex g(x) = ex

8½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = ex g(x) = ex

9½f (x) = cosx f 0(x) = ¡ sinxg 0(x) = ex g(x) = ex

4

Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes

½f (x) = sinx f 0(x) = cos xg 0(x) = ex g(x) = ex Con lo que:

Zex cosxdx = ex cos x + ex sinx ¡ R

ex cosx dx Cíclica:

Si DespejasR

ex cosx dx tendrásZex cosxdx =

ex cosx + ex sin x2

+ C

7.Z

e3x sin 4xdx =10 13 e3x sin 4x ¡ 4

3

Ze3x ¢ cos 4xdx

Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin4xg 0(x) = e3x g(x) = 1

3 ex Con lo que:

I =Z

e3x sin4xdx = 13 e3x sin4x ¡ 4

3

·13 e3x cos 4x + 4

3

Ze3x sin 4xdx

¸: Cíclica:

I = 13e

3x sin4x ¡ 49 e3x cos 4x ¡ 16

9 I + CComo 25

9 I = 13 e3x sin 4x ¡ 4

9 e3x cos 4x + C; entonces:I = 9

25

£ 13 e3x sin 4x ¡ 4

9 e3x cos 4x¤

+ C 0 = ¡ 425 e3x cos 4x + 3

25 e3x sin4x

8.Z

cos 4xcos 2xdx =

Consideramos½

f (x) = cos 4x f 0(x) = ¡4 sin 4xg 0(x) = cos 2x g(x) = 1

2 sin 2x ,con lo que

I =Z

cos 4x cos 2xdx = 12 sin 2x cos 4x + 2

Rsin 4x ¢ sin2xdx

Volvemos a integrar por partes la segunda integral considerando que:½f (x) = sin4x f 0(x) = 4 cos 4xg 0(x) = sin 2x g(x) = ¡ 1

2 cos 2x Con lo que:

I = 12 sin2x cos 4x + 2

£¡1

2 cos 2x sin 4x + 2I¤+ C

I = 12 sin2x cos 4x ¡ cos 2x sin4x + 4I + C

¡3I = 12 sin2x cos 4x ¡ cos 2x sin 4x

I = ¡ 16 sin 2x cos 4x + 1

3 cos 2x sin4x + C0

9.R

sin2 xdx =Z

cosx cosxdx

10.Z

cos2 xdx =Z

cosx cosxdx

11.Z

x cos xdx = 11x sinx ¡Z

sin xdx = x sinx + cos x + C

12.Z

x sin(3x ¡ 2)dx

10½f (x) = sin4x f 0(x) = 4 sin 4xg 0(x) = e3x g(x) = 1

3e3x

11½f (x) = x f 0(x) = 1g 0(x) = cos x g(x) = sinx

5

Chapter 1 Integración por partes

13.Z

arctan xdx = x arctan x ¡ 12 ln

¡x2 + 1

¢

14.Z

x arctan xdx = 12x2 arctanx ¡ 1

2x + 12 arctanx

15.Z

arcsinxdx = xarcsin x +p

(1 ¡ x2)

16.Z

x arcsin xdx = 12x2 arcsin x + 1

4xp

(1 ¡ x2) ¡ 14 arcsinx

17. I =Z

sec3 xdx =R

sec x sec2 xdx

Consideramos

8<:

f (x) = sec x f 0(x) = sec x tan x

g 0(x) = sec2 x g(x) =Z

sec2 xdx = tanx ,con lo que:

I = sec x tanx ¡Z

sec x tan2 xdx = sec x tan x ¡Z

sec x¡sec2 x ¡ 1

¢dx =

I =Z

sec3 xdx = sec x tan x +Z

sec xdx ¡Z

sec3 xdx

I = sec x tanx + ln jsec x + tan xj ¡ I + C

Despejando I =Z

sec3 xdx tendremosZ

sec3 xdx =sec x tan x + ln jsec x + tanxj

2+ C 0

18.Z

csc3 xdx =Z

csc x csc2 xdx

Consideramos

8<:

f (x) = csc x f 0(x) = ¡ csc x cotx

g 0(x) = csc2 x g(x) =Z

csc2 xdx = ¡ cotx ,con lo que:

I = ¡ csc x cot x ¡Z

csc x cot2 xdx = ¡ csc x cotx ¡Z

csc x¡csc2 x ¡ 1

¢dx =

I =Z

csc3 xdx = ¡ csc x cotx +Z

csc xdx ¡Z

csc3 xdx

I = ¡ csc x cot x + ln jcsc x ¡ cotxj ¡ I + C

Despejando I =Z

csc3 xdx tendremosZ

csc3 xdx =¡ csc x cotx + ln jcsc x ¡ cotxj

2+ C0

19.Z

x2p

x2 ¡ 1dx = 12x

px2 ¡ 1 ¡

Z px2 ¡ 1dx

I = xp

x2 ¡ 1 ¡Z p

x2 ¡ 1dx = xp

x2 ¡ 1 ¡Z

x2 ¡ 1px2 ¡ 1

dx

12 f (x) = x! f 0(x) = 1

g0(x) =xpx2 ¡ 1

! g(x) =Z

xpx2 ¡ 1

dx =px2 ¡ 1

6

Section 1.1 Ejercicios de integracion por partes

I = xp

x2 ¡ 1 ¡ I +Z

1px2 ¡ 1

dx ! 2I = xp

x2 ¡ 1+ ln¯̄¯x +

p(x2 ¡ 1)

¯̄¯ + 2C

I =xp

x2 ¡ 1 + ln¯̄¯x +

p(x2 ¡ 1)

¯̄¯

2+ C

20.Z

x2 arcsin xdx = 13 x3

3arcsin x ¡ 1

3

Zx3

p1 ¡ x2

dx

I =x3

3arcsinx ¡ 1

3

Zx2 ¢ xp

1 ¡ x2dx =

x3

3arcsin x ¡ 1

3J

Calculemos J por partes

J =Z

x2 ¢ xp1 ¡ x2

dx = 14 ¡ x2 ¢p

1 ¡ x2 + 2Z

x ¢p

1 ¡ x2dx

J = ¡x2 ¢p

1 ¡ x2 ¡2q

(1 ¡ x2)3

3+ C

J = ¡3x2¢p1¡x2

3 ¡ 2(1 ¡ x2)p

(1 ¡ x2)3

+ C

Sacando factor común

p(1 ¡ x2)

3; tendremos:

J =

p(1 ¡ x2)

3£¡3x2 ¡ 2(1 ¡ x2)

¤+ C

J =

¡¡x2 ¡ 2

¢ p(1 ¡ x2)

3+ C

Sustituyendo este valor en I tendremos

I =x3

3arcsinx ¡ 1

3

á¡x2 ¡ 2

¢p(1 ¡ x2)

3

!+ C0

I = 13x

3 arcsin x + 19x2

p(1 ¡ x2) + 2

9

p(1 ¡ x2) + C 0

21.Z

sin2 xcos3 x

dx =Z

sin x ¢ sin xcos3 x

dx

Consideramos

8<:

f (x) = sinx f 0(x) = cosx

g 0(x) =sinxcos3 x

g(x) =Z

sinxcos3 x

dx = 12 sec2 x ,con lo que:

I =Z

sin2 xcos3 x

dx = 12 sec2 x ¢ sin x ¡ 1

2

Zsec2 x ¢ cos xdx

I =Z

sin2 xcos3 x

dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 1

2

Zsec xdx :

13 f (x) = arcsinx! f0(x) = 1p1¡ x2

g0(x) = x2 ! g(x) =Zx2dx =

x3

314 f (x) = x2 ; f 0(x) = 2x

g0(x) =xp

1¡x2; g(x) =

Zxp

1¡ x2dx= ¡

p1¡x2

7

Chapter 1 Integración por partes

I =Z

sin2 xcos3 x

dx = 12 sec x ¢ tan x ¡ 1

2 ln jsec x + tan xj + C

22.Z

x2

(1 + x2)2dx =

Zx ¢ x

(1 + x2)2dx

Consideramos

8<:

f (x) = x f 0(x) = 1

g 0(x) =x

(1 + x2)2g(x) =

Zx

(1 + x2)2dx = ¡ 1

2(1+x2),con lo

que:

I =Z

x2

(1 + x2)2dx = ¡ x

2(1+x2 ) + 12

Z1

(1+x2) dx

I =Z

x2

(1 + x2)2dx = ¡ x

2(1+x2 ) + 12 arctanx + C

23.Z

cos2 xsin3 x

dx =Z

cosx ¢ cosxsin3 x

dx :

Consideramos

8<:

f (x) = cos x f 0(x) = ¡ sin x

g 0(x) =cosxsin3 x

g(x) =Z

cosxsin3 x

dx = ¡ 12 csc2 x ,con lo que:

I =Z

cos2 xsin3 x

dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 1

2

Zcsc2 x ¢ sin xdx

I =Z

sin2 xcos3 x

dx = ¡ 12 csc2 x ¢ cos x ¡ 1

2

Zcsc xdx :

I =Z

sin2 xcos3 x

dx = ¡ 12 csc x cotx ¡ 1

2 ln jcsc x ¡ cotxj + C

8