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Ing. Gastn Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de
Materiales Compuestos
Mecnica de laminados
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Introduccin
2
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Comportamiento macroscpico de laminados compuestospor lminas con diferentes orientaciones
Estimar la influencia de la secuencia de laminado
Estimar los esfuerzos y deformaciones de cada lmina que
compone el laminado
Estimar la resistencia del laminado
Realizar un diseo adecuado a las necesidades de la misin
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
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Hiptesis
3
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Las lminas que componen el laminado presentan uncomportamiento orttropo
El laminado es delgado: las dimensiones de la placa son
mucho mayores que el espesor.
Cada lmina esta sujeta a un estado plano de tensiones
Los desplazamientos son pequeos con respecto al espesor
del laminado
Los desplazamientos son continuos en todo el laminado (nohay despegado de lminas)
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
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Hiptesis
4
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Los desplazamientos en el plano del laminado varanlinealmente en el espesor
Las deformaciones por corte transversal (g4,g5) son
despreciables, lo cual implica que las rectas normales a la
seccin transversal permanecen normales luego de ladeformacin
Las relaciones de tensin-deformacin y desplazamiento-
deformacin son lineales
La deformacin normal transversal ez es despreciable conrespecto a exy ey.
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
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Hiptesis
5
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
Z Y
X
u0
uB
w
A
C
D
B
A
B
C
D
Z
Xzb
axzb
ax
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Campo de desplazamientos
6
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Al asumir que ez es despreciable, el desplazamiento w(x,y,z) de cualquierpunto de la placa es igual al desplazamiento w0(x,y) del plano medio.
De este modo, los desplazamientos de cualquier punto de la placa puedenser expresados en funcin de los desplazamientos del plano medio y las
rotaciones.
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )0, , ,w x y z w x y
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
0 0
0
,, , , , ,
,, , , , ,
, , ,
x
y
w x yu x y z u x y z x y u x y z
x
w x yv x y z v x y z x y v x y z
y
w x y z w x y
a
a
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Campo de deformaciones
7
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
El problema tridimensional queda reducido a un problemabidimensional debido a las condiciones de deformacin
impuestas por las hiptesis. Podemos expresar las
deformaciones en funcin de los desplazamientos del plano
medio.
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
x
y
xy
u
x
v
yu v
y x
e
e
g
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0 0
, ,, ,
, ,, ,
, , ,, , 2
x
y
xy
u x y w x yx y z z
x x
v x y w x yx y z z
y yu x y v x y w x y
x y z zy x x y
e
e
g
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Deformaciones del plano medio
8
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
El primer trmino de las expresiones obtenidas representa lasdeformaciones del plano medio
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
00
00
0 00
,,
,,
, ,,
x
y
xy
u x yx y
xv x y
x yy
u x y v x yx y
y x
e
e
g
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Curvaturas del plano medio
9
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
El segundo trmino de las expresiones obtenidas representalas deformaciones de cada planoZ = cte. debido a las curvaturas
del plano medio
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0
2
2
0
2
2
0
,,
,,
,, 2
x
y
xy
w x yx y
xw x y
x yy
w x yx y
x y
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Campo de deformaciones
10
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Reemplazando las definiciones anteriores
Y reescribiendo en un modo ms compacto:
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
e e
e e
g g
0
ze e
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Campo de tensiones
11
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
El campo de deformaciones definido anteriormente poseevalidez en todo el laminado. Para calcular las tensiones se debe
tener en cuenta que las relaciones constitutivas pueden ser
diferentes de lmina a lmina:
Reemplazando la expresin hallada para la deformacin:
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
k kk
Q e
0k
k kQ z Q e
Sistema XYZ, comportamiento generalmenteorttropo
Vlido en el subdominio de z correspondiente
a la lmina k
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Observaciones
12
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
De acuerdo a este modelo, las tensiones varan linealmenteen cada lmina
Como la matriz []kes diferente para cada lmina, las
tensiones son, en general, discontinuas a travs del espesor
del laminado
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
k=1
k=2
k=3
k=4
Z Z Z
x Ex x
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Esfuerzo axil
13
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Podemos definir un esfuerzo axil por unidad de ancho delaminado en la direccin X
Esta magnitud posee dimensin de Fuerza por unidad de
longitud.
Anlogamente
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )2
2, , ,
t
x xt
N x y x y z dz
( ) ( )2
2, , ,
t
y yt
N x y x y z dz
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Esfuerzo de corte en el plano
14
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Integrando los esfuerzos de corte en el espesor del laminadoobtendremos el esfuerzo de corte resultante por unidad de
ancho del laminado
Esta magnitud posee dimensin de Fuerza por unidad de
longitud
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) ( )2
2
, , , ,t
xy s st
N x y N x y x y z dz
Nxy
Z
xy
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Vector de esfuerzos
15
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Podemos compactar la notacin en un vector de esfuerzos
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tN x y x y z dz
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
, ,,
, , ,
,, ,
t
xt
xt
y yt
txy
xyt
x y z dzN x y
N x y x y z dz
N x yx y z dz
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Momento flector
16
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Podemos definir el momento flector resultante por unidad deancho de la placa y de las tensiones normales, integrando en el
espesor el producto de la tensin en cada punto por el brazo de
palanca al plano medio.
Momento flectorXpor unidad de ancho de la placa
Momento flector Ypor unidad de ancho de la placa
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )2
2, , ,
t
x xt
M x y z x y z dz
( ) ( )2
2, , ,
t
y yt
M x y z x y z dz
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Momento flector
17
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( )2
2
, , ,t
x xt
M x y z x y z dz
Z
x
Mx
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Vector de momentos
19
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Podemos compactar la notacin en un vector de momentos
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tM x y z x y z dz
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
, ,,
, , ,
,, ,
t
xt
xt
y yt
txy
xyt
z x y z dzM x y
M x y z x y z dz
M x yz x y z dz
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Integracin en el laminado
20
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
h0h1
h2
hnhn-1hkhk-1
zk=n
k
k=2
k=1
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Integracin en el laminado
21
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Reemplazando la expresin de la tensin y partiendo la
integral en una suma de integrales dentro de cada lmina:
Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera
al igual que la matriz rigidez de la lmina
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tN x y x y z dz
0k
k kQ z Q e
( )1
0
1
k
k
nh
k khk
N Q z Q dze
( )1 1
0
1
k k
k k
nh h
k h hk
N Q dz zdze
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Integracin en el laminado
22
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Resolviendo las integrales
Separando las sumatorias y reordenando
Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) 2 2
0 1
1
1 2
nk k
k kkk
h hN Q h he
( ) 2 2
0 1
1
1 1 2
n nk k
k k k kk k
h hN h h Q Qe
0N A Be
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Integracin en el laminado
23
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Reemplazando la expresin de la tensin y partiendo la
integral en una suma de integrales dentro de cada lmina:
Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera
al igual que la matriz rigidez de la lmina
Curso 2012 Facultad de Ingeniera - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tM x y z x y z dz
0k
k kQ z Q e
( )10 2
1
k
k
n
h
k khk
M z Q z Q dze
( )1 1
0 2
1
k k
k k
nh h
k h hk
M Q zdz z dze
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Integracin en el laminado
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Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Resolviendo las integrales
Separando las sumatorias y reordenando
Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
2 2 3 3
0 1 1
1 2 3
nk k k k
kk
h h h hM Q e
2 2 3 3
01 1
1 12 3
n nk k k k
k kk k
h h h hM Q Qe
0
M B De
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Integracin en el laminado
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Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Resumiendo
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0
N A Be
0M B De
0N A B
M B D
e
d l d l d
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Matrices A, B y D
26
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
( )11
n
k k kk
A h h Q
2 2
1
1 2
n
k k
kk
h hB Q
3 3
1
1 3
nk k
kk
h h
D Q
E d M i l C M i d l i d
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Matriz A
27
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Observaciones
Define la relacin entre esfuerzos y deformaciones del plano medio
Es independiente del orden de laminacin
Si todas las lminas poseen el mismo espesor, la matrizA es igual al
producto del espesor del laminado y el promedio de las matrices de cadalmina
Como la matriz [] es simtrica,A resulta simtrica tambin
Axs yAys son nulos para laminados balanceados, es decir, laminados en los
cuales por cada lmina +q hay una lmina -q
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
1
n
k kk
A t Q
( )1k k kt h h
1
xx xy xs xx xy xsn
xy yy ys k xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
A A A Q Q QA A A t Q Q Q
A A A Q Q Q
Donde tkes el espesor de la k-sima lmina
E t t d M t i l C t M i d l i d
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Matriz B
28
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Nuevamente, si tk= (hk- hk-1) es el espesor de la k-sima lmina se tiene
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
2 2
1
1 2
nk k
kk
h hB Q
1
n
k k kk
B t h Q
( )
222
11
1
21
2kk
kkk
kkkk hht
hhhh
hh
Y si definimos un nuevo parmetro( )1
2
k k
k
h hh
E t t d M t i l C t M i d l i d
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Matriz B
29
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Observaciones
La matriz B define el acoplamiento entre esfuerzos en el plano y
curvaturas del plano medio
A su vez, representa el acoplamiento entre momentos resultantes y
deformaciones en el plano La matriz B depende del orden de laminacin
Como la matriz [] es simtrica, B resulta simtrica tambin
B es nula cuando el laminado es simtrico
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
1
n
k k kk
B t h Q
1
xx xy xs xx xy xsn
xy yy ys k k xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
B B B Q Q Q
B B B t h Q Q Q
B B B Q Q Q
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
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Matriz D
30
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Observaciones La matriz D representa la relacin entre los momentos resultantes del
laminado y las curvaturas del plano medio del laminado
La matriz D depende del orden de laminado
La ponderacin de cada lmina es aproximadamente proporcional al
cuadrado de la distancia al plano medio de la lmina. Es decir, las lminasms alejadas al plano medio tendrn mayor influencia en la matriz D que
las ms cercanas (conceptualmente, se podra hacer una analoga con el
momento de inercia de las lminas)
Dxs y Dys son nulos en laminados anti-simtricos.
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
3 3
1
1 3
nk k
kk
h hD Q
3 3
1
1 3
xx xy xs xx xy xsnk k
xy yy ys xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
D D D Q Q Qh h
D D D Q Q Q
D D D Q Q Q
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
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Rigidez de laminados
31
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0
0
0
xx xy xs xx xy xsx x
xy yy ys xy yy ysy y
xs ys ss xs ys sss s
xx xy xs xx xy xsx x
xy yy ys xy yy ysy y
xs ys ss xs ys sss s
A A A B B BN
A A A B B BN
A A A B B BNB B B D D DM
B B B D D DM
B B B D D DM
e
e
g
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
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Flexibilidad en laminados
32
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
Si se desea conocer las deformaciones y curvaturas del laminado a partir
de los esfuerzos aplicados, se debe invertir la matriz anterior:
Observaciones
b no es una matriz simtrica.
Para calcular a, b y des necesario invertir la matriz de 6x6 completa
Slo si el laminado es simtrico, B=0, b=0 , a=A-1 y d=D-1
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
10
T
a bA B N N
B D M Mb d
e
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Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
34
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
Bajo la hiptesis de someter el laminado a un esfuerzo uniaxial solamente
Nx 0
Ny,Ns,Mx,My,Ms = 0
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0 0
x x
x
x x
NE
h
e e
0
0
y
xy
x
e
e
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
35
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
Laminados simtricos y balanceados
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0
0
0
0
0 0
0 0 0
x xx xy x
xy yy y
ss s
N A A
A A
A
e
e
g
0 0
0 0
0
0
0
x xx x xy y
xy x yy y
s
N A A
A A
e e
e e
g
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 00
0 0 0 0 00
0 0 00
0 0 00
0 0 00
xx xyx x
xy yy y
ss s
xx xy xs x
xy yy ys y
xs ys ss s
A AN
A A
A
D D D
D D D
D D D
e
e
g
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
36
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
Laminados simtricos y balanceados
Despejando
Anlogamente
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
21
0
xy
y yy
xx
xy
xy
xx
ss
xy
xs ys sx sy
AE A
h A
A
A
AG
h
yy
xy
xy
yy
xy
xxxA
A
A
AA
hE
21
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
37
Estructuras de Materiales Compuestos Mecnica de laminados
Laminados simtricos no balanceados
Las constantes de ingeniera se expresan directamente en funcin de los
elementos de la inversa de la matriz A.
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
xx xy xsx x
xy yy ysy y
xs ys sss s
xx xy xsx x
xy yy ysy y
xs ys sss s
A A AN
A A AN
A A AN
D D DM
D D DM
D D DM
e
e
g
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
38
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Laminados simtricos no balanceados
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
0
0
0
x xx xy xs x
y yx yy ys y
s sx sy ss s
a a a N
a a a N
a a a N
e
e
g
0
0
0
1
1
1
yx sx
x y xy
x x xx xy xs x xx xy xs x
xy sy
y y yx yy ys y yx yy ys y
x y xy
s s sx sy ss s sx sy ss s
ysxs
x y xy
E E Ga a a N a a a
a a a N h a a a
E E G a a a N a a a
E E G
e
e
g
Recordando que
10 AaB
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
39
p
Laminados simtricos no balanceados
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
1
x
xx
yx
xy
xx
sx
xs
xx
Eha
a
a
a
a
1
y
yy
xy
yx
yy
sy
ys
yy
Eha
a
a
a
a
1
xy
ss
xs
sx
ss
ys
sy
ss
Gha
a
a
a
a
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Constantes de ingeniera de laminados
40
p
Laminados cuasi-istropos
Ciertos laminados poseen caractersticas elsticas en el plano
independiente de la orientacin del sistema de referencia.
Ordenes de laminacin:
Ejemplos: [0, 60, -60]S [0,45,90,-45]S
Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
' '
' '
' '
constante
constante
0
x y xy
x y xy
xs xs ys ys
A A
a a
A A A A
' '
' '
' ' ' '
constante
constante
constante
0
x x y x
xy x y
xy x y yx y x
sx xs ys sy
E E E E
G G
2 1 20 / / / ... / / / ... /
s s
no
n n n n n
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecnica de laminados
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Nomenclaturas
41Curso 2012
Facultad de Ingeniera - UNLP
Simtrico
(Bij= 0)
Balanceado
(Axs =Ays = 0)
Simtrico y balanceado
(Bij= 0;Axs =Ays = 0)
General
(Aij= Bij= Dij 0)
Angle-ply
(n impar)
[ q / -q / q / / q ]
Axs ,Ays 0
Dxs , Dys 0
Axs ,Ays ,Dxs ,Dys 1/n
Antisimtrico
Dxs = Dys = 0
Bij 0
Crossplysimtrico(lminas
a 90 grados entre si)
Dxs = Dys = 0
Lminas istropas
Axs =Ays = 0
Bxs = Bys = 0
Dxs = Dys = 0
Axx=Ayy
Bxx= Byy
Dxx= Dyy
Crossplyantisimtrico
Dxs = Dys = 0
Bxx= Byy
el resto Bij= 0
Angle ply
[ q ]ps
Dxs , Dys 0
Dxs ,Dys 1/n
Angle-plyantisimtrico
[ q ]p
Dxs = Dys = 0
Bxs , Bys 0
el resto Bij= 0
Tetragonal
Axx=Ayy
Lminas
especialmenteorttropas
Axs =Ays = 0
Bxs = Bys = 0
Dxs = Dys = 0
cuasi-istropo
Aij , aij, Eij
independientes de ejes de
referencia
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Tensiones dentro del laminado
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Conocidos los esfuerzos aplicados sobre un laminado, la matriz de
flexibilidad permitir obtener las deformaciones y curvaturas del plano medio
Curso 2012
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10
T
a bA B N N
B D M Mb d
e
0
0
0
xx xy xs xx xy xs xx
yx yy ys yx yy ys yy
sx sy ss sx sy ss ss
xx yx sx xx xy xs xx
xy yy sy yx yy ys yy
xs ys ss sx sy ss ss
a a a b b b N
a a a b b b N
a a a b b b N
b b b d d d Mb b b d d d M
b b b d d d M
e
e
g
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Tensiones dentro del laminado
43
Debido a las condiciones de deformacin impuestas, tendremos tambin
las deformaciones de cada punto del laminado
Las deformaciones de la k-sima lmina estn descriptas por las siguientes
ecuaciones:
Las deformaciones varan linealmente dentro de cada lmina.
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
e e
e e
g g
( )
0k k
ze e
donde z(k) es el dominio de z
correspondiente a la lmina k
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Tensiones dentro del laminado
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Las deformaciones calculadas anteriormente estn definidas en el sistema
de coordenadas del laminadoXYZ. Utilizando la matriz rigidez del laminadopodemos obtener las tensiones en el sistemaXYZ:
Generalmente se desea conocer las tensiones definidas en el sistema deejes materiales principales de la lmina, por lo cual se debe rotar las
tensiones obtenidas. Las tensiones de la lmina en el sistema 123 son:
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k k
kQ e
( ) ( ) ( )k
xy
y
x
k
k
kk
k
k
k
nmmnmn
mnmnmnnm
ensn,cosmT
qqq
22
22
22
6
2
1
22
'
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Tablas de diseo
45Curso 2012
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100 %
lminas a 0
0 %lminas a 0
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Tablas de diseo
46Curso 2012
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0x 10
8
5% 0
10% 0
15% 0
20% 0
25% 0
30% 0
35% 0
40% 0
45% 0
50% 0
55% 0
60% 0
65% 0
70% 0
75% 0
80% 0
85% 0
90% 0
95% 0
100% 0
porcentaje lminas +/-45
Tensinmediadefalladellaminadox
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Ejemplo de diseo
porcentaje lminas a +/-45
porcentajelmina
sa90
Envolvente de limitaciones de Tensin x
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100