Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
ELABORADO POR:
ING LUIS ALFREDO VARGAS MORENO
PROFESOR DEL CURSO
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Resistencia de Materiales I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
CRISTOBAL DE HUAMANGA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
DE MINAS, GEOLOGA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL
DE INGENIERIA CIVIL
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SILABO
1. DATOS GENERALES
1.1 Nombre de la Asignatura : RESISTENCIA DE MATERIALES I
1.2 Cdigo : IC-345
1.3 Crditos : 5
1.4 Tipo : Obligatorio
1.5 Requisito : IC-243, MA-242
1.6 Plan de Estudios : 2004
1.7 Semestre Acadmico : 2015-I
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 1.8 Duracin : 16 semanas
1.9 Perodo de inicio y trmino : 30/03/2015
17/07/2015
1.10 Docentes Responsables :
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
1.11 N horas de clases semanales
1.11.1 Tericas : 4
1.11.2 Prcticas : 2
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 1.12 Lugar
1.12.1 Teora : H-216
1.12.2 Prctica : H-216
1.13 Horario
1.13.1 Teora-Practica : MAR 09-11
: MIE 09-11
1.13.2 Teora-Prctica : JUE 07-09
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732. SUMILLA
Segn el plan curricular, la sumilla es la siguiente:
Introduccin, elementos sometidos a accin de fuerza
axial, torsin, flexin pura, carga transversal, deflexin de
vigas, vigas estticamente indeterminadas, vigas
continuas, estado general de esfuerzo y deformacin.
3. OBJETIVOS
3.1 General: Dar a los estudiantes los conocimientos para
la solucin de elementos hiperestaticos, considerando las
fuerzas internas y las deformaciones producidas por
diversos tipos de carga.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 3.2 Especifico: Conocimiento de calculo de esfuerzos y
deformaciones, deflexiones diseo de elementos con
posibilidad de pandeo.
4. METODOLOGA
En el desarrollo del curso se promover la participacin
activa del estudiante, utilizando mtodos: inductivo-
deductivo; modo: colectivo explicativo; forma: intuitivo
sensorial; con sus respectivos procedimientos y tcnica
como lluvia de ideas, seminarios, enseanza en grupos,
estudio dirigido, talleres y otros.
RECURSOS DIDACTICOS
Se utilizara proyector multimedia y pizarra acrlica.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055735. SISTEMA DE EVALUACIN
Se evaluara por medio de la rendicin de Tres Examenes.
La nota final se obtendr aplicando la siguiente frmula:
1 1
2
EP EFPF
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
Elementos de Resistencia de Materiales por Timoshenko y
Young.
Resistencia de Materiales, Coleccin Shaum.
Resistencia de Materiales, Jorge Das Mosto.
Resistencia de Materiales, Arteaga
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
01 30/03/2015 Introduccin, Definicin, algunos
conceptos, esfuerzo y deformacin unitaria.
Ley de Hooke, diagrama de esfuerzo-
deformacin unitaria, esfuerzo de trabajo.
Lavm
02 06/04/2015 Deformacin por peso propio, coeficiente
de dilatacin lineal, coeficientes de
expansin trmica de algunos materiales
Forma general de la Ley de Hooke,
desplazamientos de puntos de sistemas de
barras articuladas.
Lavm
6.0 Programa Analtico - Practico
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
03 13/04/2015 Tensiones combinadas en un plano
inclinado.
Tensin normal mxima, tensin tangencial
mxima, tensiones combinadas en un
plano inclinado cuando actan dos fuerzas
perpendiculares en planos
perpendiculares, tensiones o esfuerzos que
se pueden presentar en una seccin de un
slido sometido a fuerzas.
Lavm
04 20/04/2015 Estado tensional en un punto.
Estado tensional plano, convencin de
signos, estado tensional plano en un plano
inclinado, determinacin de la tensin
normal y tangencial en un plano inclinado,
Lavm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
04 esfuerzos principales y esfuerzo cortante
mximo.
Lavm
05 27/04/2015 Clculo de las tensiones normales
principales, calculo del esfuerzo cortante
mximo, solucin grfica empleando el
crculo de Mhor.
Grfica, convencin de signos.
Lavm
06 04/05/2015 Determinacin de las tensiones en un
plano inclinado de orientacin arbitraria.
Torsin.
Lavm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
07 11/05/2015 Clculo del momento torsor, convencin de
signos, diagrama de momentos torsores.
Tensin tangencial y desplazamiento
Angular.
Lavm
08 18/05/2015 Ley de Hooke para desplazamientos,
ngulo de giro mutuo de las secciones.
Lavm
09 25/05/2015 EXAMEN PARCIAL Lavm
10 01/06/2015 Continuacin del ejemplo prctico de
torsin. Esfuerzos y deformaciones
producidos por flexin, anlisis de
deformacin.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
11 08/06/2015 Anlisis de esfuerzos, tensiones en la
flexin transversal.
Frmula de Zhuravski.
12 15/06/2015 Problema, diagrama de fuerza cortante y
momento flector.
Desplazamientos en la flexin, flexin de
una viga.
Lavm
13 22/06/2015 Determinacin de las Flechas, mtodo de
la doble integracin, convencin de signos.
Lavm
14 29/06/2015 Mtodo del rea de momentos, teorema 1,
convencin de signos, teorema 2,
convencin de signos.
Problemas.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.
15 06/07/2015 Teorema de los tres momentos.
16 13/07/2015 EXAMEN FINAL Lavm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
La resistencia de materiales es la ciencia que trata de
la resistencia y de la rigidez de los elementos de las
estructuras.
Se considera generalmente que todos los materiales
son continuos y homogneos.
Un material se considera homogneo, cuando
cualquier parte de el tiene las mismas propiedades
independientemente de su volumen.
RESISTENCIA DE MATERIALES I
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573DEFINICIONES
Fragilidad.- Es la tendencia de una sustancia a
fracturarse sin una deformacin significativa.
Ductilidad.- Tendencia al alargamiento bajo un esfuerzo
sin llegar a la ruptura. Es la capacidad de convertirse
en alambre.
Elasticidad.- Capacidad del material para regresar a
su estado original despus de una deformacin.
Dureza.- Es la resistencia del material a la penetracin
y al desgaste. La dureza y la fragilidad estn a
menudo relacionadas.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Maleabilidad.- es la tendencia de un material a
aplanarse sin romperse bajo el esfuerzo de
compresin. Plasticidad.- es la capacidad de un material de
deformarse en un estado de esfuerzo, sin romperse y
sin recobrar su forma original. Un material plstico, es
poco elstico. Rigidez.- es la resistencia de un material a doblarse o
deformarse. Resistencia.- es la capacidad de un material de
soportar grandes cargas sin fracturarse. Tenacidad.- es la capacidad de un material para
soportar grandes cargas sin llegar a romperse, esta
relacionada con la resistencia.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Resistencia es la capacidad de un cuerpo, elemento o
estructura de soportar cargas de sin colapsar.
Rigidez es la propiedad de un cuerpo, elemento o
estructura de oponerse a las deformaciones. Tambin
podra definirse como la capacidad de soportar cargas o
tensiones sin deformarse o desplazarse excesivamente.
Ambas definiciones son del autor. Si miramos ambas
definiciones veremos que estn asociadas pero no
significan lo mismo.
En la Resistencia lo importante es soportar, aguantar,
mientras que en la Rigidez lo importante es elControl
de las Deformaciones y/o Desplazamientos.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La Resistencia depende de las propiedades
Mecnicas de los materiales
constitutivos (Resistencia mecnica, Modulo de
Elasticidad, etc.) y del tamao de la seccin.
La Rigidez depende tambin del Mdulo de Elasticidad,
la seccin, pero tambin de la Inercia y la longitud del
elemento.
Muchos tambin mencionan Rigidez e Inercia como
sinnimos lo cual es incorrecto pues la inercia es solo
uno de los parmetros asociados a la Rigidez.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Por otro lado existen muchos tipos de Rigidez:
-Rigidez axial.
-Rigidez flexional.
-Rigidez a cortante.
-Rigidez torsional.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Esfuerzo y Deformacin Unitaria
Cargas
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fuerzas Externas
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Fuerzas Internas
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Esfuerzo y Deformacin Unitaria
Cualquier objeto sujeto a fuerzas externas tiende a ser
distorsionado por ellas, sino se aplasta o se rompe,
debe resistir de algn modo y balancear las fuerzas
externas aplicadas.
Se ha determinado experimentalmente:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573P=Carga axial
PL
EA (1)
L m-m
m
P
seccin
rea =A
m L= Longitud del elemento
inicial
A= rea de la seccin
inicial
E= Modulo de elasticidad
= Deformacin total
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Deformacin Unitaria () Se llama a la cantidad promedio de distorsin por una
unidad de longitud. A menudo se determina la deformacin unitaria
dividiendo el cambio total en longitud de una muestra
() por la longitud original.
La deformacin unitaria no tiene unidades,
consecuentemente el numero que representa la
deformacin unitaria puede tener cualesquiera
unidades relacionadas con ella.
(2) L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Deformacin Transversal ()
Es la deformacin de las dimensiones transversales
de la barra. Se calcula por medio de
la siguiente relacin:
Donde:
a : ancho inicial de la barra.
a1: ancho final de la barra.
(3) 1'a a
a
'
Modulo de Poisson ()
Se le conoce como coeficiente
de deformacin transversal.
Para materiales istropos: 0 0.50
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzo Unitario ()
El esfuerzo unitario promedio, es una medida de las
fuerzas aplicadas y de las fuerzas resistentes y se
determina dividiendo la carga total P entre el rea total
A que se resiste a la deformacin provocada por la
carga. Muestra en equilibrio:
0Fy m
P
m
0A P
P
A
y
x
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Las unidades de son libras por pulgada cuadrada (psi) o newtons por metro cuadrado (Pascal Pa)
Ley de Hooke
De (1):
1Px
L A E
E
E (4)
Diagrama de Esfuerzo-Deformacin Unitaria (Curva
Tpica del acero)
En la curva esfuerzo-deformacin se llevan en el eje
de las abscisas las deformaciones y en el eje de las
ordenadas los esfuerzos.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Durante el aumento brusco de los esfuerzos, la
deformacin es directamente proporcional al
esfuerzo.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731 Al extremo de la parte recta se le llama LIMITE
PROPORCIONAL.
E
2 La pendiente de la parte recta se le conoce
como modulo de elasticidad (E).
3 Si el esfuerzo no es grande, la muestra tiende a
regresar a su posicin original cuando se retira
la carga. (Rango elstico)
4 Cuando el esfuerzo rebasa cierto punto, la
muestra no regresara a su longitud original.
Este punto se denomina LIMITE ELASTICO.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
La porcin de curva mas all de este punto es el
rango plstico.
5 En algunos materiales se llega a un punto
donde la muestra continua alargndose con muy
poca carga adicional, este es el punto de
fluencia, el esfuerzo en este punto es el
ESFUERZO DE FLUENCIA.
6 El esfuerzo mximo que puede soportar una
muestra, es el esfuerzo ultimo.
Para el diseo se considera Limite Proporcional:
Concreto: fc=esfuerzo a la rotura Acero: fy=esfuerzo de fluencia
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
La elasticidad en primer lugar es la capacidad de ciertos materiales de deformarse ante la aplicacin de un esfuerzo exterior y volver a sus dimensiones
originales pasado dicho esfuerzo. Al hablar de elasticidad tambin tocar comentar sobre la plasticidad la cual ocurre cuando se pierde el concepto de linealidad entre las deformaciones y
esfuerzos.
Elasticidad y Plasticidad
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Elasticidad En esta existe una relacin lineal entre las deformaciones de los slidos y los esfuerzos externos aplicados a ellos. Esto que acabo de decir conforma prcticamente la ley de Hooke cuya ecuacin dice: *E=, es decir que los esfuerzos () son directamente proporcionales a las deformaciones (), o decir tambin que los esfuerzos son iguales a las deformaciones por el mdulo de elasticidad del material. Para esto hay que tener en cuenta que la deformacin producida por un esfuerzo se manifiesta en el mismo sentido de este.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Para la elasticidad existe un lmite al cual se le llama lmite elstico. Si un material sobrepasa este lmite, su comportamiento dejar de ser elstico. Debido a esto se establece un rango elstico del material
Plasticidad
Cuando se somete un material a esfuerzos que los
llevan a sobrepasar su lmite elstico, ocurre que sus
deformaciones se vuelven irreversibles o
permanentes. Cuando esto ocurre las deformaciones
dejan de ser proporcionales a los esfuerzos y por tanto
la ley de Hooke no cumple como modelo explicativo
para estos casos,
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573por tanto se han desarrollado muchos otros modelos
para explicar el comportamiento plstico de los
materiales, los cuales son algo ms complejo y no
pretendo cubrirlos en este artculo.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzo de Trabajo (t)
Es el esfuerzo admisible o permisible, para el diseo:
,utuN
t: esfuerzo de trabajo u: esfuerzo ltimo (rotura) Nu: factor de seguridad en
materiales frgiles
y
t
yN
y: esfuerzo en el limite de fluencia
Ny: factor de seguridad
en materiales dctiles
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Nu, Ny > 1 2.0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Deformacin:
PL L
EA E
[ ] z zzd
dE
0 0
L Lz
z zd dE
P
z
W
dz
z
Z
dz
dz
P/A
P/A+ L +
_
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732
0
1
2
L
P zz
A E
2
2
PL L
AE E
Problema.- Para la barra tronco cnica mostrada en
la figura, calcular la deformacin total.
Datos, r, R, L, P.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573R r x
L z
R rx z
L
z
R rr r z
L
0z zA P
z
P
A
R
r
L
P
R-r
r
L x r
r
z
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732
z zA r2
z
R rA r z
L
zz
z
E
zz zd d
E
20 0
L L
z z
Pd d
R rr z E
L
T
PL
RrE
z
z
dz
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Esfuerzo de corte ()
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
m
V
A
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzo de corte en superficies curvas ()
m
F
A
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Esfuerzo de adherencia ()
m
P
Ld
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Recipiente de Pared Delgada
Cilindro
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2(2 ) ( )L rt p r
2L
pr
t
(2 ) (2 )c t x p r x
c
pr
t
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Conclusin.- En cualquier punto del cilindro se
presentan esfuerzos longitudinales y
circunferenciales tal como se muestra en la figura:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
De forma anloga puede
demostrarse que para un
recipiente esfrico de radio r y
espesor t, en cualquier punto
de la pared, los esfuerzos en
cualquier direccin son
iguales a:
Esfera
2
pr
t
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzos en conexiones empernadas
Primer Caso
Los elementos que conforman una estructura as como
los sistemas mecnicos, se pueden conectar, por medio
de pernos, pasadores o remaches
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzo de aplastamiento
Cuando acta la carga P, entra en contacto el perno y
los elementos, en una zona de la superficie cilndrica del
agujero, apareciendo esfuerzos de aplastamiento.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre
2
2
P
dt
1
1
P
dt
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzo de Corte en el Perno
2
4
m
V
d
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Segundo Caso
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Coeficiente de Dilatacin Lineal
Es la variacin de una barra recta sometida a un
cambio de temperatura, por unidad de longitud.
tL L t
tt
Lt
L
Segn la Ley de
Hooke:
E
t tE
tt
L E L tE
L L
t tE
L Lt
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
MATERIAL 10-6in/in/F
10-6m/m/C
Aluminio 13,00 23,00
Laton 10,00 18,00
Bronce 10,00 18,00
Hierro Fundido 620,00 11,00
Concreto 580,00 10,00
Cobre 920,00 17,00
Vidrio 47,00 85,00
Acero 700,00 13,00
Hierro Forjado 65,00 12,00
Coeficiente promedio de expansin trmica lineal de
algunos materiales
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Forma general de la Ley de Hooke
Esfuerzos Normales
perpendiculares entre
s: x, y, z.
Deformaciones
Unitarias: ex, ey, ez
1
x x y zeE
x
z
z
x
y
y
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
y y x zeE
1
z z x yeE
1 2
x y z x y ze e eE
=coeficiente de Poisson del material
La variacin unitaria del rea de la seccin transversal
de la barra se puede calcular con la siguiente relacin:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2A
eA
Desplazamientos de los puntos de sistemas de barras
articulados
1) De las ecuaciones de la esttica se calculan los
esfuerzos axiales de todos los elementos elsticos del
sistema. Por la ley de Hooke se hallan las magnitudes
de los alargamientos absolutos de los elementos.
2) Considerando que los elementos del sistema al
deformarse no se separan, por el mtodo de
intersecciones, se plantean las condiciones de
compatibilidad de los desplazamientos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
I
II
30
60
P
a
Problema.- Determinar el desplazamiento de los
puntos de aplicacin de la fuerza exterior P y la
tensin normal en la seccin transversal de cada
barra. El sistema en equilibrio
Tringulo de fuerzas
60 90
IT P
Sen Sen
3 / 2IT P
30 90
IIT P
Sen Sen
/ 2IIT P
TI
TII
30
60
P
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
( 3 / 2) cos30I
Pa
EA
3
4I
Pa
EA
/ 2) 30II
P aSen
EA
4II
Pa
EA
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y a b 30 30y I IICos Sen
3 3 1
4 2 4 2y
Pa Pa
EA EA
3 3 18
y
Pa
EA
x c d
30 30x I IISen Cos
3 1 3
4 2 4 2x
Pa Pa
EA EA c
d
3 38
x
Pa
EA
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733
2I
P
A
2II
P
A
Problema.-
Determinar el
desplazamiento
del punto de
aplicacin de la
fuerza exterior P y
la tensin normal
en la seccin
transversal de
cada barra.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- En la barra isosttica mostrada en la figura
dibujar los diagramas de esfuerzo normal y de
deformaciones. Tramo AB, 0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573(50 100)
105
x
101, xpara x
E
2, 0xpara x
10
10
- +
10/E
- +
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- La columna de
la figura, esta cargada con
la fuerza P y con su peso
propio. Determinar la ley
de variacin del rea de la
seccin transversal, de tal
manera que las tensiones
en todas las secciones
sean las mismas e iguales
a P/A0. Constryase el
diagrama de fuerzas
normales, tensiones y
desplazamientos.
A0 P
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A0 P
A0 P
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730
0
A z
PzA A e
0A z
PN Pe
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tensiones Combinadas en un Plano Inclinado
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
P
ASen
.( ) 0x yA Sen ASen 2 (1)x ySen
0yF
0xF
0x y yA Cos ASen
x y ySen Cos
2 )1
22
(x y ySen
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tensin Normal Mxima
12
Sen
x y
Tensin Tangencial Mxima
2 1 22
Sen
4 2
y
x y
Tensiones combinadas en un plano inclinado, cuando
actan dos fuerzas perpendiculares en planos
perpendiculares.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730xF
( ) .( ) 0x x yA Cos ACos Sen ASen
( ) ( ) 2 (3)2 2
y y y y
x Cos
0yF 0x y x yA Sen ACos Cos ASen
( ) 2 42
( )x y
x y Sen
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tensiones o esfuerzos que se pueden presentar en
una seccin de un solid sometido a fuerzas
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
En un plano cualesquiera, se tienen 6 componentes,
3 fuerzas y 3 momentos: una fuerza normal, dos
fuerzas cortantes, un momento torsionante y dos
momentos flexionantes.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado de Tensiones en un punto
Por un punto que se analiza, pasan diversos planos, el
conjunto de tensiones que surgen en dichos planos se
denomina Estado Tensional en dicho Punto
El anlisis del estado tensional en un punto, comienza
siempre por la determinacin de las tensiones en las
caras del elemento escogido alrededor del punto.
Por el punto se trazan tres planos ortogonales entre si
cuya orientacin puede ser arbitraria; pero se escoge
de manera que las tensiones que surgen en los
planos sean los mas fciles posibles de determinar.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Consideremos alrededor del punto un paraleleppedo
Rectangular en cuyas caras se han determinado las
magnitudes de las tensiones que en estas secciones
surgen.
Disminuyendo las aristas del paraleleppedo, se
reducir este al punto dado. En el caso limite, todas
las caras del paraleleppedo pasaran por el punto A y
se podr considerar que las tensiones en los planos
trazados corresponden al punto en cuestin.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
En las caras opuestas del paraleleppedo, actan las
mismas tensiones en sentidos contrario, para que el
punto que se analiza, se encuentre en equilibrio.
y
x
z dx
dz
dy
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
F o
xF o yF o zF oPero adems, la sumatoria de momentos deber ser
nulo:
M o
xM o yM o zM o
zM o Las fuerzas paralelas al eje z, no producen momento con respecto a este eje:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573, , , , ,z z yz yz xz xz
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573-Las fuerzas que pasan por el eje z, no producen momento respecto de este eje:
,xy yx - Las fuerzas normales producen momento con
respecto al eje z de sentidos contrarios por lo que se hacen nulos.
. . . . 0yx xydx dz dy dy dz dx
xy yx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Anlogamente:
yM o xz zx xM o yz zy
Conclusin: En dos planos perpendiculares entre si,
las componentes de las tensiones tangenciales
perpendiculares a la arista comn son iguales y/o las
dos van dirigidas hacia a la arista o las dos parten de
ella.
Por lo tanto en las caras del paraleleppedo separado
existen seis componentes independientes de las
tensiones.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado tensional plano
, , , , , 0z z yz yz xz xz
Quedando el siguiente estado de tensiones:
Convencin de signos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado Tensional Plano, en un Plano Inclinado
Conociendo los esfuerzos en un sistema original xy, es posible
encontrar los esfuerzos para un nuevo sistema xy
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Determinacin de la tensin normal y tangencial en el
plano inclinado El plano inclinado viene
definido por la normal X, trazada al plano, la que
se mide por medio de un
ngulo () con respecto al eje X.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573xF o
( ) .( ) ( ) ( ) 0x x y yx xyA Cos ACos Sen ASen Cos ASen Sen ACos
2 2 2x x y xyCos Sen Sen Cos
1 2 1 2( ) ( ) 2
2 2x x y xy
Cos CosSen
( ) ( ) 2 22 2
x y x y
x xyCos Sen
(1)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
yF o ( ) .( ) ( ) ( ) 0y x x y yx xyA Sen ACos Cos ASen Sen ACos Cos ACos
( ) 2 22
x y
y x xySen Cos
(2)
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo
Los valores mximo y mnimo del esfuerzo normal xI,
se denominan esfuerzos principales y pueden
encontrarse igualando la derivada de xI, respecto de
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 2 2 22
x yxxy
dSen Cos
d
2tan 2
xy
p
x y
21arctan
2
xy
p
x y
21arctan
2 2
xy
p
x y
Esta ecuacin tiene dos soluciones para p, que son:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Calculo de las tensiones normales principales
Reemplazando los valores de p en las formulas
generales de xI y xIyI, se obtiene:
2
2
max 12 2
x y x y
xy
2
2
min 22 2
x y x y
xy
12 0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Anlogamente, para el valor mximo del esfuerzo
cortante se iguala a cero la derivada de la ecuacin
general de xIyI respecto de :
2 2 2 22
x y x y
xy
dCos Sen
d
tan 22
x y
s
xy
Esta ecuacin tiene dos soluciones para s, que son:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1arctan
2 2
x y
s
xy
1arctan
2 2 2
x y
s
xy
Calculo del esfuerzo cortante mximo
Reemplazando los valores de s en las formulas
generales de xI y xIyI, se obtiene:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732
2
max2
x y
xy
2
2
min2
x y
xy
2
x y
x y m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Circulo de Mhor
Mtodo grfico que nos permite hallar los esfuerzos en planos
inclinados respecto a los ejes cartesianos originales.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Solucin grafica, empleando el Circulo de Mhor
Recordemos las siguientes expresiones del calculo
analtico:
( ) ( ) 2 22 2
x y x y
x xyCos Sen
( ) 2 22
x y
y x xySen Cos
(1)
(2)
( ) ( ) 2 22 2
x y x y
x xyCos Sen
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
' '
22
2 2( ) ( ) ( )2 2
x y x y
x xyx y
2 2 2( )x h y R Ecuacin de un circulo
2 2
( ) ( ) 2 22 2
x y x y
x xyCos Sen
22
( ) 2 22
x y
y x xySen Cos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573: xEjedeabcisas : x yEjedeordenadas
: , ,02
x yCentrodelCirculo h k
2
2
:2
x y
xyRadiodelCirculo
Grafica
Para graficar el circulo, conociendo la recta donde se
ubica el centro; se necesita dos puntos de paso del
circulo.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Por lo tanto:
0 x x x y xy
90 x y x y xy
( , )x xyPunto A
( , )x xyPuntoB
Para la grafica se supondr que:
x>y>0 y xy>0Convencin de signos
El Angulo en el circulo de Mhor, se grafica en sentido contrario al indicado en el estado tensional
plano en el punto considerado y se grafica con arco
doble.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
X'
X'Y X
XY
Y
XY
-
X
Y
maxmin
max
min
p1
p2
p1
A
B
2
2
2
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.-
El estado tensional plano en un punto determinado
es el que se muestra en la figura. Calcular analtica y
grficamente:
a) La orientacin de los planos principales
b) Las tensiones principales
c) La tensin cortante mxima
d) La orientacin del plano donde la tensin cortante
e) La tensin normal y cortante en un plano inclinado
cuya normal hace un ngulo de 30 en sentido
antihorario medido a partir del eje x.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Datos
1500x
900y
500xy
30
a) 2 (500)2 0.42
1500 900ptg
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1 11.31p
2 78.69p
max 2 2
min
1500 900 1500 900( ) 500
2 2
2
max 1000 /Kg cm
2
min 1600 /Kg cm
b)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 2
max
1500 900( ) 500
2
2
max 1300 /kg cm
1
1 1500 900( ) 33.69
2 2 500s arctg
2
1 1500 900( ) 123.69
2 2 500 2s arctg
c)
d)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731500 900 1500 900
( ) ( ) (2 30 ) 500 (2 30 )2 2
x Cos Sen
2467 /x kg cm
' '
1500 900( ) (2 30 ) 500 (2 30 )
2x ySen Cos
21289 /x y kg cm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
-1500,500
900,-500
1000,01600,0
X
Y
23
15760
X'
X'YX'
Y'
-467,1289
-133,-12891
30
0
900,-500
-1500,500
x
y
1500x
900y
500xy
30
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x
y
11.31
1600
1000
X
x
y
1500
900
500
Diagrama de Esfuerzo, para los esfuerzos principales
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x
y
x
30
1289
467
Diagrama de Esfuerzo, para el ngulo de 30
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Determinacin de las tensiones en un plano inclinado
de orientacin arbitraria
( , , )n l m n
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Donde:
xl Cos
ym Cos
zn Cos
2 2 2( ) ( ) ( ) 1x y zCos Cos Cos
zArea COD ACos An
xArea COB ACos Al
yArea BOD ACos Am
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
x
z dx
dz
dy
X= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin
del x.
Estado tensional en el plano inclinado
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Y= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin
del y.
Z= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin
del z.
El cuerpo considerado para el anlisis, se encuentra
en equilibrio, por lo tanto:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730xF
x xy zxXA Al Am An
x xy zxX l m n
0yF
xy y zxYA Al Am An
xy y zyY l m n
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0zF
xz yz zZA Al Am An
xz yz zZ l m n
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Conclusin
El esfuerzo total que se produce en la seccin con
orientacin arbitraria, esta dado por:
X Y Z
x yx zx
xy y zy
xz yz z
l
m
n
Tensor de Esfuerzos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado de Deformaciones en un punto
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado de Deformaciones en un punto
Al igual que el estado de tensiones en un punto,
anlogamente, las deformaciones: x, y, z, son denominadas deformaciones normales unitarias, y xy, yz, xz, yx, zy, zx, son deformaciones angulares, las mismas que al igual que los esfuerzos tangenciales
verifican las siguientes relaciones geomtricas:
xy yx xz zx yz zy
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Estado de Deformaciones Plano, en un Plano Inclinado
El estado plano de las deformaciones en un punto
queda definido por las deformaciones normales (x, y,), y una angular xy.
s
s
y
x s(1+x)
y
x
xy
s(1+y)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
x
'x
'y
' 'x y
Determinacin de Deformaciones normal y angular de
una nueva orientacin definida por el ngulo
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
sAC Cos
sBC Sen
x
y
s
A
B
C
y
x
' ' (1 )xA C AC
' ' (1 )S xA C Cos
' ' (1 )YB C BC
' ' (1 )S yB C Sen
Antes de sufrir
deformaciones planas
A
B
C Despues de sufrir
deformaciones planas
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A
B
y
x
C
2 2 2
' ' ' ' ' '
2( ' ')( ' ') ( )2
xy
A B A C B C
A C B C Cos
2 2
'
2
[ (1 )] [ (1 )]
[ (1 )]
2[ (1 )][ (1 )] ( )2
s x S x
S y
S x S y xy
Cos
Sen
Cos Sen Cos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
' 2 22 2 2
x y x y xy
x Cos Sen
2si
' 2 22 2 2
x y x y xy
y Cos Sen
(1)
(2)
(1)+(2)
'x y x y Invariante de
Deformaciones (3)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
x 45
(45 )
En el sistema original la deformacin lineal para una
inclinacin de =45, en (1), se obtiene:
45
1( )
2x y xy
452 ( )xy x y
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
x 45
(45 )'
x
' ' 45 ' '2 ' ( )x y x y
(45 ) ( 45 )'
' ' ( 45 ) ' '2 ( )x y x y
( 45 )
(1) 45en
(4)
( 45 ) 2 22 2 2
x y x y xySen Cos
(5)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573(3) y (5) en (4)
' ' ( ) 2x y x y xyCos
Si definimos:
2
xy
xy
' 2 22 2
x y x y
x xyCos Sen
' ' 2 22
x y
x y xySen Cos
(6)
(7)
' '
' '2
x y
x y
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
x x y y 2
xy
xy xy
Direcciones y Deformaciones normales principales
21arctan( ) 0 1
2 2
xy
p
x y
ncon n y
Los valores mximo y mnimo de la deformacin normal
unitaria x , se denominan deformaciones principales y para los ngulos en el que se producen se denomina
direcciones principales
Para el calculo la ecuacin (1) se deriva y se iguala a 0:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 2
min ( ) ( )2 2
x y x y
xy
2 2
max ( ) ( )2 2
x y x y
xy
Direccion y Deformacin angular principal
El valor mximo de la deformacin angular xy, se denomina deformacin principal y para el ngulo en el
que se produce se denomina direccione principal
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 2maxmax ( ) ( )
2 2
x y
xy xy
1arctan( ) 0 1
2 2 2
x y
s
xy
ncon n y
Para el calculo la ecuacin (2) se deriva y se iguala a 0:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A(x,xy)
B(y,-xy)
xy
x
O
P(x,xy) 2
Circulo de Mhor
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- El punto H esta sometido a un estado
plano de deformaciones con los siguientes valores:
x=+210x10-6, y=+450x10
-6, xy=-250x10-6rad.
Determine:
a) Las deformaciones
principales y sus
orientaciones. b) La deformacin angular
mxima absoluta. c) Las deformaciones
unitarias y la deformacin
angular para las direcciones
x e y.
y
37 x
x
y
H
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
6
6 6
21 1 2( 125 10 )tan( ) tan( )
2 2 210 10 450 10
xy
p
x y
xar ar
x x
Orientaciones principales
46.17p 136.17p
2 2
max ( ) ( )2 2
x y x y
xy
6
max 503.28 10x
2 2
min ( ) ( )2 2
x y x y
xy
Deformaciones principales
6 6 6 62 6 2
max
210 10 450 10 210 10 450 10( ) ( 125 10 )
2 2
x x x xx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736
min 173.28 10x
' cos 2 22 2
x y x y
x xysen
6 6 6 66
'
210 10 450 10 210 10 450 10cos 2(127) ( 125 10 ) 2(127)
2 2x
x x x xx sen
Deformacin unitaria y angular para x, y
6
' 483.24 10x x
6 6 6 66
'
210 10 450 10 210 10 450 10cos2(217) ( 125 10 ) 2(217)
2 2y
x x x xx sen
6
' 176.76 10y x
2 2( ) ( )2 2
xy x y
xy xy
6 62 6 2210 10 450 10( ) ( 125 10 )
2 2
xy
xy
x xx
6 6 6 62 6 2
min
210 10 450 10 210 10 450 10( ) ( 125 10 )
2 2
x x x xx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736345 10xy x rad
Problema.- Utilizando el circulo de Mhor, calcular las
mismas interrogantes grficamente.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Torsin
El momento actuante sobre el eje longitudinal de un
elemento, se denomina momento torsor.
Una barra se encuentra sometida a torsin pura
cuando las fuerzas cortantes, las fuerzas normales y
los momentos flexionantes son iguales a cero.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Al calcular una barra sometida a torsin es necesario
resolver, dos problemas:
a) Determinar las tensiones que aparecen en la barra
y que son tangenciales
b) Calcular los desplazamientos angulares
Sea: m1, m2 y m3, cargas de torsin exteriores
aplicadas a la siguiente barra:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre de la barra:
m=0, m1+m2+m3+me=0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Si se corta la barra en una seccin tal como la seccin
c y se suprime la parte de la derecha de esta seccin; se deber sustituir la parte suprimida por el
efecto que ejerca sobre la parte de la izquierda; efecto
que consiste en un momento llamado Momento Torsor;
este momento mantiene en equilibrio la parte de la
izquierda bajo la accin de los pares me y m3.
m=0, mt+m3-me=0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Calculo del Momento Torsor (Mt) La suma algebraica de los momentos exteriores
situados a un lado de la seccin c, es el Momento Torsor en la seccin c. Convencin de signos
El momento torsor Mt que gira en direccin contraria a
las manecillas del reloj, cuando se observa desde la
normal exterior a la seccin transversal se considera
positivo.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de Momentos torsores
El diagrama de momentos torsores, es la
representacin grafica de los momentos torsores en
cada una de las secciones de la barra.
Problema.- Para la barra mostrada en la figura,
determinar el diagrama de momentos torsores.
L1
x
x
x m 3m 2m
A
B C
L2
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573* Los momentos estn representados por dos
crculos. El circulo que contiene un punto,
representa una fuerza hacia el observador; el
circulo con un aspa, una fuerza dirigida desde el
observador. Solucin
Tramo AB 0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Problema.- Para la barra mostrada en la figura,
determinar el diagrama de momentos torsores.
+
-
m
2m
Mt +
-
X X X X X X X X X X X X
A B
W=m(kgf-cm/cm
L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Solucin
Tramo AB 0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tensin Tangencial () y desplazamiento angular (), causado por torsin
tM M
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573El arco HJ, se puede expresar como:
: Es el ngulo de giro mutuo de dos secciones referido a la distancia entre ellas.
HJ dx
(1)d
rdx
angulode torsion unitari(2) od
dx
HJ rd dx rd
, es el ngulo de distorsin de la superficie cilndrica
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ley de Hooke para desplazamientos
G G= mdulo de
elasticidad de
segundo genero 2(1 )
EG
(5)Gr = la tensin tangencial que surge en la seccin
(4)
(3) en (4)
(3)r (2) en (1)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
.tdM r dF
.tA A
dM r dA
(. 6)tA
M r dA
t
A
M Gr rdA 2
t
A
M G r dA
dF dA
(5) en (6)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2
P
A
r dA I t PM GI
t
P
M
GI GIp= rigidez de la barra a la torsin
Angulo de giro mutuo de las secciones ():
d
dx
t
P
Md
dx GI
t
P
Md dx
GI
2
A
r dACaracterstica
puramente
geomtrica
Momento polar
de Inercia de la
Seccin
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
0
L
t
P
Mdx
GI
L=distancia entre secciones para los
cuales se determina el ngulo de giro
mutuo .
Si Mt (constante) y si la rigidez GIp es constante:
t
P
M L
GI
En (4)
Gr tP
MGr
GI t
P
M r
I
t
P
M
L GI
t
P
M
GI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573La tensin tangencial () en una seccin vara a lo largo del radio linealmente.
4 4
2 32p
r DI
0r 0
r r maxt
p
M r
GI
Diagrama de Tensiones
Tangenciales
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Construir el diagrama de los momentos
torsores, tensiones tangenciales y ngulos de giro del
rbol en voladizo representado en la figura.
X X X X X X X
X X X
X
X
0.6 0.4 0.6m 0.4
200kg.m/m 400kg.m/m
500kg.m
A B
C E
D
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
X X X X X X X
X X X
X
X
0.6 0.4 0.6m 0.4
200kg.m/m 400kg.m/m
500kg.m
A B
C E
D
X
500kg.m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre
0m
120 120 500 0em 500em kg m
+
0.6 0.4 0.6 0.4
X
X X
X
120 120 500
me
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Tramo AB 0x 0.60
500 200tM x ( 0) 500t xM
( 0.60) 380t xM
X X X X X X X
X X X
X
X
0.6 0.4 0.6m 0.4
200kg.m/m 400kg.m/m
500kg.m
A B
C E
D
X
500kg.m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
( 0) 4
500*0.05 25.0255
0.10.
32
x
pI
500 200 . / 2
p p
x x x
GI GI
( 0.60)
380*0.05 19x
p pI I
X X X X X X X X X X X X
0.6 0.4 0.6m 0.4
200kg.m/m 400kg.m/
m 500kg.m
A B
C E
D
X
500kg.m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
X X X X X X X
X X X
X
X
0.6 0.4 0.6 0.4
0.6 0.4 0.6 0.4
X
X X
X
120 120 500
me
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
( 0) 0x ( 0.60)
264x
pGI
( 0.30)
141x
pGI
Tramo BC 0.60 x 1.00
500 120 380tM cte
380*0.05 19.
p p
cteI I
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
500 120( 0.30)
p
x x
GI
( 0.60)
264x
pGI
( 1.00)
416x
pGI
500
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tramo CD 1.00 x 1.60
400( 1.00) 1500 120 ( 1.00). .
0.60 2t
xM x
400
1.00 0.60
y
x
500
400( 1.00)
0.60y x
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731.00 380tx M
1.60 500tx M
1.40 433tx M
*0.05t
p
M
I
191.00
p
xI
25
1.60p
xI
22
1.40p
xI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2400( 1.00) ( 1.00)500 120( 0.30) *
1.20 3
p
x xx x
GI
( 1.00)
416x
pGI
( 1.60)
668x
pGI
( 1.40)
575x
pGI
500
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Tramo DE 1.60 x 2.00
500 120 120 500 .tM cte
500*0.05 25.
p p
cteI I
500 120( 0.30) 120( 1.40)
p
x x x
GI
500
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
( 1.60)
668x
pGI
( 2.00)
868x
pGI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Construir el diagrama de los momentos
torsores, tensiones tangenciales y ngulos de giro del
rbol bi empotrado representado en la figura.
A B
C
D D
2L L L 2L
D 2D
m 4m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre
1 2 1 2 2
.3 .3 . .3 4 .20A A
M l M l M l M l M l
Ip G Ip G IpG Ip G Ip G
Giro de la seccin E=0
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
9
17AM M
Tramo AB 0 x 2L 9
17tM M Cte
4 3
9
917 2.17 *0.20
32
DM
M
D D
1
9
17Mx
GIp
1 1 1 1 1
.3 .3 .3 80
16 16 16
A AM M M M M
IpG IpG IpG IpG IpG
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055730 0x
1
182
Mlx l
GIp
Tramo BC 2L x 3L
9 8
17 17
MMt M M
3
8.
17 0.20
M
D
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
9( 2 )
17Mx M x l
GIp
1
182
Mlx l
GIp
1
103
17
Mlx l
GIp
Tramo CD 3L x 4L
8
17Mt M
3
8.
17 1.60
M
D
9 9.3 .( 3 ) ( 3 )
17 17
1 16 1
M l Ml M x l M x l
GIp GIp
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
103
17 1
Mlx l
GIp
94
17 1
Mlx l
GIp
Tramo DE 4L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
4x l 19 Ml
x34 GIp1
6 0x l
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Hiptesis bsicas
Torsin en barras rectas de seccin no circular
- Las ecuaciones definidas para secciones circulares
ya no son aplicables.
- Las secciones planas antes de la aplicacin del
momento torsor no se mantiene planas luego de la
aplicacin del momento torsor.
El anlisis de los esfuerzos y las deformaciones en el
caso de secciones no circulares es bastante complejo
y escapa al alcance de este curso. Pero se pueden
conocer ciertas caractersticas que presentan los
esfuerzos cortantes.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573- Se produce ALABEO en la seccin transversal.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzos y deformaciones en una seccin rectangular
Para la determinacin de los esfuerzos y
deformaciones en una seccin rectangular de lados a y
b, cuando se le aplica un momento torsor T, se
resuelve aplicando la analoga de la membrana (teora
de Prantl) ; obtenindose la distribucin de esfuerzos
que se muestra en la figura:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
max 2
1
T
c ab
2 3 maxc
3
2
d T
dx c ab G
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Si: T, a, b, G son constantes
3
2
TL
c ab G
Donde c1, c2, c3, son funciones de la relacin a/b
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a/b 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0 C1 0.208 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.291 0.312 0.333
C2 0.141 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.291 0.312 0.333
C3 1.000 0.859 0.795 0.768 0.753 0.745 0.744 0.742 0.740
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Esfuerzos y Deformaciones producidos por Flexin
Se entiende por flexin el caso de solicitacin cuando
en las secciones transversales de una barra aparecen
momentos flectores.
Si el momento flector en la seccin, es el nico factor
de fuerza existente, mientras que las fuerzas cortantes
y las fuerzas normales son nulas; entonces la Flexin
se denomina Flexin Pura la que nos servir para iniciar el estudio de las deformaciones y esfuerzos que
se producen por flexin.
Ejemplo de sistema a flexin pura:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Anlisis de deformaciones
dx
dx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dx
dx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
dx
x
y
Anlisis de esfuerzos
Por la ley de Hooke, se sabe que:
ACB EBF
E
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
E
Ey
Ey
dF dA
Se sabe que la
fuerza total actuante
en el eje x debe ser igual a cero
(flexin pura).
M
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Por lo tanto:
0A A
dF dA 0A
EydA
0
A
EydA
0A
ydA Momento esttico del rea de la
seccin respecto al eje neutro; como es
igual a cero, la lnea neutra pasar por
el centro de gravedad de la seccin.
M MdM ydF dM y dA
A
EyM y dA
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
EN
My
I
De acuerdo con esta expresin, la tensin normal por
flexin vara linealmente.
La tensin mxima en la flexin aparece en los puntos
mas alejados de la lnea neutra.
maxmaxEN EN max
My M M
I I /y w
w: mdulo de la
seccin en la
flexin.
2
A
EM y dA
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Tensiones en la Flexin transversal
1 En el caso de la flexin transversal en la seccin
de la barra surge no slo el Momento Flector
M, sino tambin la Fuerza Cortante V, que constituye la resultante de las fuerzas
elementales distribuidas en el plano de la
seccin.
ymax
max
EN
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 Por lo tanto, en este caso, en las secciones
transversales de la barra surgen no solamente
Tensiones Normales (), sino tambin Tensiones Tangenciales ().
2 La manera de obtener las tensiones tangenciales
(), consiste en determinar las tensiones tangenciales recprocas a estas que aparecen en
los planos longitudinales de la barra
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dx
M M+dM V
V+dV
EN
+d
v V+dV
EN
y
dx
b
dA A
y
Seccin
Equilibrio de la porcion de viga considerada de longitud
dx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
F
F+dF
dx b
En la seccin de la izquierda:
A
F dA 'A
MF y dA
I
MSF
I
0xF
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573En la seccin de la derecha: (anlogamente)
(M dM)SF dF
I
F-(F+dF)+.bdx=0 .dM S
bdxI
V.S
bIFormula de zhuravski
Las tensiones que surgen en las secciones
transversales son iguales a las tensiones tangenciales
longitudinales halladas por ser recprocas.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Para la viga mostrada en la figura,
determinar:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Diagrama de fuerzas cortantes
c) Diagrama de momentos flectores
d) Momento de inercia de la seccin respecto de su
eje neutro
e) Las tensiones mximas por flexin y su ubicacin
f) Las tensiones mximas por cortante y su ubicacin
g) Las tensiones mximas en un punto 3cm por debajo
de la cara superior.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A B
2000kg/m
1500kg
2m
1000kg-m
2m 2m 2m 1.5m
E=2.1x106kg/cm2
rotula
2000kg/m
Ay By Dy Dy Cy
1000kg-m
1500kg
2cm 2cm
8cm 6
8
1m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573En el grafico B
MD=0 +
1500 2 4 1000 0Cy
1000Cy Fv=0
1500 1000 0Dy
500Dy
Dy Cy
1000kg-m
1500kg
2m 1.50m 2m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573En el grafico A
MB=0 +
*4 2000*2*3 *1 0Ay Dy
2875Ay
Fv=0
2875 4000 500 0By
1625By
2m 2m
2000kg/m
Ay By Dy
1m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573b) Diagrama de Fuerza Cortante
c) Diagrama de Momento Flector
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :960557322000
28752
xM
2875 2000V x 0 1.44V x
2066.40M kg m
d)
12*8*4 8*6*35.00
12*8 8*6y
2cm 2cm
8cm 6
8
y
x
y
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733 3
2 2 42*6 12*22*[ 2*6*2 ] [ 12*2*2 ] 272.0012 12
I cm
e) 2
max( )
2066.40*5*1003798.53 /
272kg cm
2cm 2cm
8cm 6
8
y
x
5
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2
max( )
1000*5*1001838 /
272kg cm
2
max
2875*2 (2*5*2.5)132.12 /
4*272
VQ xkg cm
bI
2
max
1125*5051.70 /
4*272kg cm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Desplazamientos en la Flexin
Flexin de una viga
La figura que adopta la superficie neutra deformada,
se conoce como curva elstica de la viga.
La flecha es el desplazamiento vertical desde la
posicin original a la deformada de la viga.
Elstica de la Viga
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Determinacin de la flechas
Para el calculo de las flechas se tiene varios mtodos;
para los fines del curso consideraremos dos de ellos:
1 Mtodo de la Doble Integracin
Por medio del anlisis matemtico, se demuestra que
la elstica o deformada de una viga, esta dada por la
siguiente ecuacin diferencial:
2
2
d yEI M
dx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Convencin de signos
La distancia x es positiva hacia la derecha a lo largo de la viga y la flecha y es positiva hacia arriba.
Problema.- Determinar la flecha en cada seccin de la
viga en voladizo sometida a la carga aislada P.
L
P
A
B
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573MA=0 +
0M PL M PL M PL Px
2
2
d yEI Px PL
dx
P
A B
x
y
P L
M
P
A
x
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055732
1 .2
x
dy PxEI PLx C EI
dx
3 2
1 26 2
x
Px PLxEIy C x C
10 0 0xPara x C
3 2
6 2x
Px PLxEIy
2
2x
PxEI PLx
20 0 0xPara x y C
L
P
A B
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055733
max( )3
x L
PLf
EI
2
2x L
PL
EI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
a
L
b P
tgB tgA
AB
A B
2 Mtodo del rea de Momentos
Para la aplicacin de ste mtodo, se tiene dos
teoremas, denominados Teoremas de Mhor:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573 a
L
b P
tgB tgA
AB
M
A B
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Teorema N1.- El ngulo AB que hacen las tangentes trazadas por dos puntos a la elstica (A y B), es igual
al rea bajo la curva del diagrama de momentos
flectores entre dichos puntos, dividido entre el
producto EI, llamado tambin diagrama de momento
flector reducido.
. .BAB
A
AreadelDiagramadeM F entre A yBMdx
EI EI Convencin de signos
Si la tangente trazada por B gira en sentido antihorario
con respecto a la tangente trazada por A; el ngulo
AB es positivo
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Teorema N2.- La distancia vertical , desde un punto B de la elstica a la tangente trazada desde otro punto de
la elstica A; es igual al momento con respecto a la
vertical por B del rea bajo el diagrama de momentos
flectores entre A y B dividido por el producto EI.
. . . ;B
A
Momentodel Areadel Diag M F entre A y B conrespectoa BxMdx
EI EI
Convencin de signos
- Se consideran positivos los momentos de las reas de
los diagramas de M. F. Positivos y los productos
positivos de reas y brazos dan origen a flechas
positivas.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573- Se toman como positivas las flechas en las que el
punto B esta encima de la tangente trazada por A.
Problema.- Calcule la flecha mxima de la viga
mostrada en la figura:
D A B C
2 4 2m
150kg/m
15cm
20
E=1x105kg/cm2
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A
B C
2 4 2m
150kg/m
Por simetra:
150 8600
2y yA D
MB=0 + parte izquierda
.2 150 2 1 0A YM A 900AM
D
Ay Dy
MA MB
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
D A
B C
2 4 2m
150kg/m
900 MB
600 Dy
300
900
600
150kg/m
B A
1 300 300
150kg/m
B C
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
+
300
900
1
300 300
150kg/m
600
150kg/m
B A
900
1200
300
-
+
-
-1800
1200
-200
300
400 E
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731200*2 2 300*2 1
( 900*2)*1 ( )* ( )* *2 11002 3 3 4
EI EIf
900
1200
300
-
+
-
-1800
1200
-200
El signo (-) indica que el punto B
esta debajo de la tangente trazada
por A.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1 1
2 300*2 5(2*300* )*( )* *2 500
3 3 8EI EIf
300 + 300
400 E
El signo (+) indica que el
punto A esta encima de la
tangente trazada por E.
Por simetra, la flecha
mxima de la viga esta
ubicada en el eje central,
por lo tanto:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736
max5 3
1100 500 (1100 500) *101.60
11*10 * 15* 20
12
f cmEI
Problema N2.- En la viga del problema anterior, hallar
la pendiente de la elstica, en una seccin a la
distancia de 6m a partir del apoyo A.
Rpta.: =0.46
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
P=7,000kg, a=4m, b=3m
A C B
Problema.- Calcule la flecha debajo de la carga y el
ngulo de giro de la seccin C, en la viga mostrada en la figura:
2
4
2'100,000 /
4,000
E kg cm
I cm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
C
a
L
b P
A B
C
C
tgB
tgC h
12000
(+)
M
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
A L
CC b
" Cfc CC
3"
7ACC
C
C
tgB C
a b
L
c A
12000
M
(+)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3 3" 154,000 66,000
7 7ACC x
13 12,000 1 18,000
2c x x x
66,000 18,000 48,000CEIf
6 4 3 8
48,000
2.1 10 10 4 10 10Cf
x x x x x 5.70Cf cm
1 8 14 12,000 3 12,000 5
2 3 2A
x x x x x x
EI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
B C BC
1 1 8 1( 4 12,000 3 12,000 5)
7 2 3 2B x x x x x x
EI
EIB
000,22
13 12,000 18,000
2BCEI x x
AB BTg
EIL
C B BC
tgB
tgC hc
BC
B
tgB
tgC hc
BC
tgB
tgC hc
BC
B
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :960557322,000 18,000 4,000CEI
2
4
2'100,000 /
4,000
E kg cm
I cm
5 4 8
4,000 4,0000.00476 .
21 10 10 4,000 10C rad
EI x x x x
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3m
9m
18000kg
3m 3m
5I 2I
A C B
Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular:
A, B, C, C.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Vigas Estticamente Indeterminadas
Son aquellas vigas donde el numero de reacciones
desconocidas es mayor que el nmero de ecuaciones
de equilibrio disponibles para el sistema.
Vigas Continuas
Son aquellas cuyas dispocisiones de sus apoyos se
encuentran al mismo nivel.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
I2 I1
3 2
L1 L2
M1 M2 M3
VIGAS CONTINUAS
Teorema de Los Tres Momentos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
)(6)(222
22
11
11
2
23
2
2
1
12
1
11
LI
nA
LI
mA
I
LM
I
L
I
LM
I
LM
Dibujar el Diagrama de
Momentos Flectores
Isostticos de cada
tramo .
Dibujar el Diagrama de
Fuerzas Cortantes
Isostticos de cada
tramo .
Correcciones al Cortante
dn inn
n
M MC
L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular
las reacciones en los apoyos, los momentos en los
apoyos, los diagramas de fuerzas cortante y
momento flector.
6 4
2
12000kg
12 3
12000kg/m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 9,000M kg m
2
36,000 3 24,000 20 2 (6 4) 0 6( )
6 4
x xM
2
8
wLh
2
3A Lh
Pabh
L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
9000kg-m 9000kg-m
4500kg-m
12000kg-m
7500kg-m
Diagrama de Momento Flector
+
- -
+
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055736000kg
6000kg
6000kg
6000kg
-
+ +
-
-
+
-
+
4500kg 8250kg
7500kg 3750kg
Diagrama de
Fuerza
Cortante
1
9,000 01,500
6C kg
2
0 ( 9,000)2,250
4C kg
VI
V
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Reacciones
4500kg 15750kg 3750kg
-
+
-
+
4500kg 8250kg
7500kg 3750kg
V
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3200kg/m
5m
4800kg
2.5m
A B
D
7m
9800kg
4m
C
Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular
las reacciones y los momentos en los apoyos, as
como dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
yx
xy
xy
y
z
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
dx
dy
x
X'
dx
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
y
x
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
TgA
TgB
P
M
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :96055731200*2 2 300*2 1
( 900*2)*1 ( )* ( )* *2 11002 3 3 4
EI EIf
El signo (-) indica que el punto B esta debajo de la
tangente trazada por A.
1 1
2 300*2 5(2*300* )*( )* *2 500
3 3 8EI EIf
El signo (+) indica que el punto A esta encima de la
tangente trazada por E.
Por simetra, la flecha mxima de la viga esta ubicada
en el eje central, por lo tanto:
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
" ' "c CC C C
A L
CC b
3"
7ACC
tgB
A
C
C
C
a b
L c
B
12,000
(+)
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
3 3 154,000 66,000"
7 7ACC x
EI EI
13 12,000 1
18,0002' "
x x x
C CEI EI
66,000 18,000 48,000C
EI EI EI
1 8 14 12,000 3 12,000 5
2 3 2A
x x x x x x
EI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
B BC C
A
B BTgL
1 154000
7B
EI
C B BC
1 8 14 12,000 3 12,000 5
2 3 2A
x x x x x x
EI
22000B
EI
6 4 3 8
48,000
2.1 10 10 4 10 10C
x x x x x 5.70C cm
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
22,000 8,000 4,000C
EI EI
2
4
2'100,000 /
4,000
E kg cm
I cm
5 4 8
4,000 4,0000.00476 .
21 10 10 4,000 10C rad
EI x x x x
13 12,000
18,0002BC
x x
EI EI
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- Calcule la flecha y el ngulo de giro en el
punto medio de la viga anterior.
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
CAPITULO 5
Tres Momentos
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
6 4
2
12000kg
12 3
12000kg/m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Teorema de Los Tres Momentos
M1 M2 M3
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
)(6)(222
22
11
11
2
23
2
2
1
12
1
11
LI
nA
LI
mA
I
LM
I
L
I
LM
I
LM
Dibujar el Diagrama de
Momentos Flectores
Isostticos de cada
tramo .
Dibujar el Diagrama de
Fuerzas Cortantes
Isostticos de cada
tramo .
Correcciones al Cortante
dn inn
n
M MC
L
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular
las reacciones en los apoyos, los momentos en los
apoyos, los diagramas de fuerzas cortante y
momento flector.
6 4
2
12000kg
12 3
12000kg/m
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
2 9,000M k m
2
36,000 3 24,000 20 2 (6 4) 0 6( )
6 4
x xM
Ing Luis Alfredo Vargas Moreno
:319176, :9605573
1
9,000 01,500
6C k
2
0 ( 9,000)2,250
4C k
Top Related