Conclusiones
Pistas para resolver los problemas
Natalia
Julián
Denise
Bruno
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.propiedades.
Secuencias de actividades
Bruno
Definiciones
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723 Cómo es este libro
Contenidos que se desarrollan en el capítulo.
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
Descripción histórica del tema y planteo de interrogantes que se resuelven con los contenidos del capítulo.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
01CONTENIDOS
> Los números naturales> Iniciación a las prácticas algebraicas
> Potenciación y radicación > Permutaciones, variaciones y combinaciones
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán que vivió entre 1777 y 1855. Según cuentan los historiadores, a los 3 años aprendió a leer y a realizar cálculos mentales. Tenía tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que había hecho su padre para pagar unos sueldos.Una anécdota famosa cuenta que cuando Gauss tenía diez años, su maestro quería que los alumnos se mantuvieran callados por un rato, por lo tanto les pidió que sumaran los cien primeros números naturales. El maestro no salía de su asombro cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. El resto de los compañeros ni siquiera había terminado de escribir todos los números que tenía que sumar. Gauss no había hecho toda la suma sino que había encontrado una regularidad. Encontró que para sumar una sucesión de números consecutivos empezando en 1 alcanzaba con sumar 1 al último, multiplicar esa suma por el último y dividir ese resultado por 2. ¿Es cierto lo que dijo Gauss? ¿Se verificará para todos los números?
Los números naturales
Colage inspirado en el texto de esta página en relación con los números naturales: datos numéricos sobre una parcela de tierra de la ciudad sumeria de Umma, hacia 2100 a.C.; escena de un interior cortesano del siglo XVIII, época en la que vivió C. F. Gauss; foto de Albert Einstein (1879 – 1955), escribiendo una fórmula, y números, en calendarios actuales.
30 | Capítulo 2 | Los números enteros
© T
inta
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sca
edic
ion
es S
. A.
| Pr
ohib
ida
su f
otoc
opia
. Ley
11.
723
31
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Potenciación y radicación
74. Escriban estas cuentas de manera más abreviada.
a. –3 × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = b. –7 × (–7) × (–7) × (–7) =
c. –9 × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) × (–9) = d. –1 × (–1) × (–1) =
75. Calculen el resultado de estas operaciones.
a. (–6)2 = b. (–1)
10 = c. 10
5 = d. (–1)
23 = e. 123
= f. 110 =
76. Escriban qué le responderían a Julián.
En el problema anterior, obtuve el mismo resultado en (–1)10 que en 110, pero no pasó lo mismo con (–1)23 y 123.
No entiendo por qué da distinto en un caso que en el otro.
77. a. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente par, el resultado da siempre positivo? ¿Por qué?b. ¿Es cierto que si se eleva un número entero negativo a un exponente impar, el resultado da siempre negativo? ¿Por qué?c. ¿La potenciación de números enteros con exponente natural verifica las mismas propiedades que la potenciación de números naturales? ¿Por qué?
78. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a. (–3)18
+ (–3)53 b. (–57)
4 c. (–5)18× (–5)
31 d. (–3)71 e. (–5)
49
f. 735 g. –574 h. [–17 + (–40)]
4 i. 512 j. ( –17)
4 + (–40)
4
k. (–2)12 l. (–5)
18 + (–5)
31 m. ( (–5)7 ) 2 n. (–5)
14 o. ( (–5)7 ) 7
79. ¿Es posible calcular el valor de m si m7
= –16.384 y m6
= 4.096 con una calculado-ra común? ¿Por qué?
80. Determinen cuáles de estos cálculos se pueden resolver sabiendo que p
3= –284.890.312, sin calcular el valor de p. Expliquen cómo lo determinaron.
a. (2×p)3 b. (–p)
6 c. (p – 1)3 d. (p : 4)
3 e. p3× p
3
81. Indiquen el resultado de estos cálculos sabiendo que b2 = 16.384 y c5 = –32, sin cal-cular los valores de b y de c. Expliquen expliquen cómo lo pensaron.
a. (–2× b)2× (–3 ×c)
5 b. b6× c
10 c. c5 : b
2 d. c5 : (3 ×b)
2
¡¡Para abreviar una
multiplicación entre
factores iguales se puede
usar la potenciación. Es
decir, si a es un número
entero y n es un número
natural:
an = a × a ×…× a
n veces
Por ejemplo:
–4 × (–4) = (–4)2 (menos
cuatro al cuadrado)
8 × 8 × 8 = 83 (ocho al cubo).
*Las propiedades de la
potenciación de números
naturales están enunciadas
en la página 10.
82. Sin hacer las cuentas, completen con >, < o =. Expliquen, en cada caso, lo esta-blecieron.
a. (–58)25 . . . . 0 b. (–65)
64 . . . . 0 c. (–5)43 . . . . 543 d. (–3)
58 . . . . 358
83. Calculen las siguientes raíces.
a.3√
______–1.000 b.
4√
___81 c.
3√
____125 d.
5√
________–100.000
84. a. ¿Están de acuerdo con Bruno? ¿Por qué?
b. ¿Es posible calcular la raíz cuarta de –64? ¿Por qué? c. ¿Es posible calcular la raíz quinta de –243? ¿Por qué?
85. Indiquen cuáles de estas raíces pueden calcularse en el conjunto de los núme-ros enteros y cuáles no. En cada caso expliquen cómo se dan cuenta.
a. √_____4.900 b.
4√
_____–256 c. √
_____–144 d.
5√
______–1.024
86. Los chicos intentan resolver √____–25 × √
____–64 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
87. Decidan, sin resolver, cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado. Escriban cómo hicieron para decidirlo.
a.3√
___________(–32) + (–64) = b.
3
√____
(–2)3 = c.
3√
____–32 +
3√
____–64 = d.
3√
___27 :
3√
___–8 =
e. 3√
__________(–8)× (–27) = f.
3√
_______27 : (–8) = g.
3√
___–8 ×
3√
____–27 = h.
3√
_______(–27) : 8 =
88. Usen que 3.375 = 53
× 33
para calcular 3√
_____3.375 y
3√
______–3.375 .
Escriban cómo lo resolvieron.
89. Usen que –11.664 = –81 × 144 para calcular √______11.664 . Escriban cómo lo usan.
90. Usen que 7.776 = 32 × 243 para calcular 5√
_____7.776 y
5√
______–7.776 .
Escriban cómo lo resolvieron.
¡¡La radicación es la
operación inversa de la
potenciación.
Por ejemplo,
√___16 = 4 (la raíz cuadrada
de 16 es 4) porque
16 = 42.
5√
____–32 = –2 (la raíz quinta
de –32 es igual a –2)
porque –32 = (–2)5.
¡¡Si a y b son números
enteros y m y n son
números naturales se
verifica que:
• an× am = an + m
• an : am = an – m,
para cualquier a diferente
de 0.
• (an) m = an x m
• (a × b)n = an× bn
• (a : b)n = an : bn
para cualquier b diferente
de 0.
• Si n es parn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
para cualquier a y b
positivos o 0.
• Si n es imparn√
_____a× b =
n√
__a ×
n√
__b
• Si n es par
n√
____a : b =
n√
__a :
n√
__b
para cualquier a y b
positivos.
• Si n es par ( n√
__a )m =
n√
___
am
para cualquier a positivo.
• Si n es impar ( n√
__a )m =
n√
___am .
No se puede calcular la raíz cuadradade un número negativo.
Yo hice√____–25 ×√
____–64 =
√___________(–25) × (–64) =√
_____1.600 = 40.
Para mi no está bien porque√____–25 y√
____–64
no existen entonces no se pueden usar laspropiedades.
3
Actividades de integración para la evaluación de los aprendizajes al finalizar cada capítulo.
Aprender con la calculadoraActividades para resolver con calculadora científica o común.
Aprender con la computadoraActividades para resolver en una computadora con programas de difusión gratuita o de uso común, indicados en el diseño curricular.
Integrar lo aprendido
003_como_MES2.indd 3 14/01/2009 03:05:52 p.m.
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