Serie Matemática_3Serie Matemática_3
AritméticaAritmética
El InfinitoEl Infinito
El InfinitoEl Infinito
¿Sabemos qué significa el infinito? ¿Sabemos qué significa el infinito?
El InfinitoEl Infinito
Podemos suponer que el infinito es un Podemos suponer que el infinito es un número grande, muy grande; en realidad, número grande, muy grande; en realidad, el número más grande que pueda existir.el número más grande que pueda existir.
El Infinito no es un númeroEl Infinito no es un número
El infinito no es ni un número grande ni El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número.absolutamente ninguna clase de número.
El Infinito no es un númeroEl Infinito no es un número
El infinito no es el número más grande que El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no pueda existir, puesto que ese número no existe.existe.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
538 personas han pagado su entrada para 538 personas han pagado su entrada para ir al circo.ir al circo.
Usted quiere dejarle instrucciones por Usted quiere dejarle instrucciones por escrito a un niño inteligente escrito a un niño inteligente para que se para que se ocupe de contar las 538 personas.ocupe de contar las 538 personas.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Supongamos que hay una determinada Supongamos que hay una determinada puerta por la cual debe salir toda la puerta por la cual debe salir toda la concurrencia en fila india. concurrencia en fila india.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El niño sólo tendrá que asignar a cada El niño sólo tendrá que asignar a cada persona cada uno de los distintos números persona cada uno de los distintos números enteros en el orden natural. Usted podría enteros en el orden natural. Usted podría escribir: escribir:
1, 2, 3, etcétera.1, 2, 3, etcétera.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
La palabra "etcétera" significa que hay que La palabra "etcétera" significa que hay que seguir contando hasta que toda la gente seguir contando hasta que toda la gente termine de salir, y que la última persona termine de salir, y que la última persona que salga habrá recibido el número 538.que salga habrá recibido el número 538.
Usted puede pedirle al niño que anote Usted puede pedirle al niño que anote todos los números desde el 1 hasta el 538. todos los números desde el 1 hasta el 538.
Sin duda que esto sería Sin duda que esto sería insoportablemente aburrido.insoportablemente aburrido.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Pero como el niño es inteligente usted le Pero como el niño es inteligente usted le escribe: escribe:
"Contarás así: 1,2,3,..., 536, 537, 538"."Contarás así: 1,2,3,..., 536, 537, 538".
El niño entenderá que la línea de puntos El niño entenderá que la línea de puntos indica un espacio en blanco que debe llenarse indica un espacio en blanco que debe llenarse con todos los enteros desde el 4 hasta el 535con todos los enteros desde el 4 hasta el 535
en orden y sin ninguna omisión.en orden y sin ninguna omisión.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Pero si usted no sabe cuál va a ser el total Pero si usted no sabe cuál va a ser el total de la concurrencia. Puede ser 538 o 427 o de la concurrencia. Puede ser 538 o 427 o 651.651.
Usted podría escribirlo así: Usted podría escribirlo así:
"Debes contar: 1, 2, 3, ..., n - 2, n - 1, "Debes contar: 1, 2, 3, ..., n - 2, n - 1, n" . n" .
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El niño listo entenderá queEl niño listo entenderá que
nn
representa algún número entero representa algún número entero desconocido pero bien definido.desconocido pero bien definido.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Supongamos usted encomienda a este Supongamos usted encomienda a este niño contar el número de personas que niño contar el número de personas que ingresan por la puerta, salen por la puerta ingresan por la puerta, salen por la puerta de atrás, dan la vuelta a la carpa y de atrás, dan la vuelta a la carpa y vuelven a ingresar por la primera puerta.vuelven a ingresar por la primera puerta.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Imagínese que tanto los hombres que Imagínese que tanto los hombres que caminan como el muchacho que cuenta no caminan como el muchacho que cuenta no se pueden cansar jamás se pueden cansar jamás y están y están dispuestos a pasarse una eternidad dispuestos a pasarse una eternidad haciendo lo mismo.haciendo lo mismo.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
La tarea sería interminable. Jamás llegaría La tarea sería interminable. Jamás llegaría a haber una última persona ni se podría a haber una última persona ni se podría llegar al último entero. llegar al último entero.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
¿Cómo escribiríamos las instrucciones?¿Cómo escribiríamos las instrucciones?
Podemos escribir: Podemos escribir:
"Contarás así: 1,2,3, y así "Contarás así: 1,2,3, y así indefinidamente".indefinidamente".
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
La frase "y así indefinidamente" se puede La frase "y así indefinidamente" se puede escribir en forma abreviada así: escribir en forma abreviada así:
∞∞
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
La expresión La expresión "1, 2, 3,..., "1, 2, 3,..., ∞∞""
Se debe leer:Se debe leer:
"uno, dos, tres, y así indefinidamente""uno, dos, tres, y así indefinidamente" o o
"uno, dos, tres, y así ilimitadamente“."uno, dos, tres, y así ilimitadamente“.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Pero generalmente se la lee: Pero generalmente se la lee: "uno, dos, "uno, dos, tres, y así hasta el infinito".tres, y así hasta el infinito".
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
No es correcto decir No es correcto decir "y así hasta el "y así hasta el infinito"infinito" por que podríamos pensar que el por que podríamos pensar que el infinito es un número infinito es un número y que una vez que y que una vez que hayamos llegado hasta él podemos hayamos llegado hasta él podemos detenernos.detenernos.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El infinito no es ni un número grande ni El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número.absolutamente ninguna clase de número.
El infinito no es el número más grande que El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no pueda existir, puesto que ese número no existe.existe.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El infinito no es un número.El infinito no es un número.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El infinito no es un número.El infinito no es un número.
Entonces ¿qué es el infinito?Entonces ¿qué es el infinito?
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
El infinito es una cualidad:El infinito es una cualidad:
La cualidad de interminable.La cualidad de interminable.
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
La sucesión de los números enteros desde La sucesión de los números enteros desde el 1 en adelante constituye un ejemplo de el 1 en adelante constituye un ejemplo de "conjunto infinito". "conjunto infinito".
Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito
Entonces ya sabemos que el Entonces ya sabemos que el ∞∞ no es un no es un número, pero puede intervenir en ciertas número, pero puede intervenir en ciertas operaciones aritméticas. operaciones aritméticas.
Restando dosRestando dos
3 - 2 = 13 - 2 = 1
Restando dosRestando dos
17 - 2 = 1517 - 2 = 15
Restando dosRestando dos
4875 - 2 = 48734875 - 2 = 4873
Restando dosRestando dos
3 - 2 = 13 - 2 = 1
17 - 2 = 1517 - 2 = 15
4875 - 2 = 48734875 - 2 = 4873
Restando dosRestando dos
Ahora restemos dos a una serie Ahora restemos dos a una serie interminable de números:interminable de números:
3, 4, 5,..., ∞.3, 4, 5,..., ∞.
¿Cuál es el resultado?:¿Cuál es el resultado?:
Restando dosRestando dos
Ahora restemos dos a una serie Ahora restemos dos a una serie interminable de números:interminable de números:
3, 4, 5,..., ∞.3, 4, 5,..., ∞.
¿Cuál es el resultado?:¿Cuál es el resultado?:
∞ ∞ - 2 = ∞- 2 = ∞
Restando dosRestando dos
∞ ∞ - 2 = ∞- 2 = ∞
∞ ∞ - 35 = ∞- 35 = ∞
∞ ∞ - 1 000 000 = ∞- 1 000 000 = ∞
∞ ∞ - n = ∞- n = ∞
Pares e ImparesPares e Impares
Aquí tenemos los números enteros pares: Aquí tenemos los números enteros pares:
2, 4, 6,..., 2, 4, 6,..., ∞∞
Pares e ImparesPares e Impares
Aquí tenemos los números enteros pares: Aquí tenemos los números enteros pares:
2, 4, 6,..., 2, 4, 6,..., ∞∞
Y aquí los números enteros impares: Y aquí los números enteros impares:
1, 3, 5,..., 1, 3, 5,..., ∞∞
Pares e ImparesPares e Impares
Bien, ahora tenemos aquí al conjunto de los Bien, ahora tenemos aquí al conjunto de los números enteros, es un conjunto infinito:números enteros, es un conjunto infinito:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 11 ...... ∞1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 11 ...... ∞
Pares e ImparesPares e Impares
Si tachamos los números pares nos quedarán Si tachamos los números pares nos quedarán los números impares ¿no es cierto?los números impares ¿no es cierto?
A los números enteros (que son infinitos) les A los números enteros (que son infinitos) les hemos quitado los números pares (infinitos)hemos quitado los números pares (infinitos)
Nos quedan los números impares ¡otro infinito!Nos quedan los números impares ¡otro infinito!
∞ ∞ - ∞ = ∞ - ∞ = ∞
DemócritoDemócrito
DemócritoDemócrito
Qué sucede si uno corta un trozo de Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. haciendo esto?.
DemócritoDemócrito
Qué sucede si uno corta un trozo de Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. haciendo esto?.
¿Se podría hacer esto hasta el infinito?¿Se podría hacer esto hasta el infinito?
DemócritoDemócrito
Demócrito afirmaba que NO, por que se Demócrito afirmaba que NO, por que se llegaba a partículas pequeñísimas llegaba a partículas pequeñísimas llamadas átomos.llamadas átomos.
Y Aristóteles negaba la existencia de los Y Aristóteles negaba la existencia de los átomos.átomos.
DemócritoDemócrito
El mundo se olvidó de los átomos de El mundo se olvidó de los átomos de Demócrito.Demócrito.
Y el mundo se aferró a las falsas ideas de Y el mundo se aferró a las falsas ideas de Aristóteles Aristóteles durante unos dos mil años.durante unos dos mil años.
AristótelesAristóteles Para Aristóteles el Universo era finito, es decir el Para Aristóteles el Universo era finito, es decir el
Universo tenía un fin.Universo tenía un fin.
AristótelesAristóteles
También afirmaba que la Tierra era el También afirmaba que la Tierra era el centro del Universo.centro del Universo.
AristótelesAristóteles
Y la Iglesia Católica creía en Aristóteles.Y la Iglesia Católica creía en Aristóteles.
Giordano BrunoGiordano Bruno
Giordano Bruno no Giordano Bruno no era matemático ni era matemático ni científico.científico.
Giordano BrunoGiordano Bruno
Pero creía en un Pero creía en un Universo infinito, Universo infinito, escribió escribió "Sobre el "Sobre el Universo infinito y Universo infinito y los Mundos"los Mundos" (1584). (1584).
Giordano BrunoGiordano Bruno
Llevado a la Llevado a la Inquisición, fue Inquisición, fue torturado durante torturado durante 9 años para 9 años para obligarlo a aceptar obligarlo a aceptar que el Universo era que el Universo era finito. finito.
Giordano BrunoGiordano Bruno
No cambió su No cambió su opinión y fue opinión y fue quemado en la quemado en la hoguera en el año hoguera en el año 1600. 1600.
Galileo GalileiGalileo Galilei
Galileo Galilei Galileo Galilei también creía en el también creía en el infinito, pero ¡no infinito, pero ¡no quería morir en la quería morir en la hoguera como hoguera como Giordano Bruno! Giordano Bruno!
Galileo GalileiGalileo Galilei
Galileo Galilei Galileo Galilei trataba de no trataba de no hablar sobre ese hablar sobre ese tema.tema.
Galileo GalileiGalileo Galilei
Pero igual la Iglesia Católica llevó a Galileo Pero igual la Iglesia Católica llevó a Galileo Galilei a la Inquisición.Galilei a la Inquisición.
Galileo GalileiGalileo Galilei
Y la Iglesia condenó a arresto domiciliario Y la Iglesia condenó a arresto domiciliario de por vida a Galileo.de por vida a Galileo.
La Iglesia contraatacaLa Iglesia contraataca
Muerto Giordano Bruno y encerrado Muerto Giordano Bruno y encerrado Galileo la Iglesia se envalentona y prohíbe Galileo la Iglesia se envalentona y prohíbe hablar del Infinito (1649).hablar del Infinito (1649).
La Iglesia contraatacaLa Iglesia contraataca
Menos mal que los matemáticos no Menos mal que los matemáticos no hicieron caso a la Iglesia.hicieron caso a la Iglesia.
Leibniz Leibniz
Leibniz pensó Leibniz pensó mucho sobre lo mucho sobre lo infinitamente infinitamente pequeño.pequeño.
Leibniz Leibniz
Y Leibniz desarrolló Y Leibniz desarrolló del Cálculo del Cálculo Diferencial e Diferencial e Integral (Análisis Integral (Análisis matemático).matemático).
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
Desde su niñez Desde su niñez Cantor demostró Cantor demostró talento para la talento para la matemática y matemática y escogió la escogió la matemática como matemática como profesión.profesión.
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
En 1867 obtuvo su En 1867 obtuvo su doctorado doctorado Universidad de Universidad de Berlín. Fue profesor Berlín. Fue profesor en la Universidad en la Universidad de Halle.de Halle.
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
En el año 1874 En el año 1874 Cantor publicó sus Cantor publicó sus ideas sobre el ideas sobre el infinito. Cantor infinito. Cantor descubrió los descubrió los números números transfinitos.transfinitos.
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
Llamó a estos Llamó a estos números Alef:números Alef:
אא
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
Estos son los números transfinitos:Estos son los números transfinitos:El infinito de los enteros es El infinito de los enteros es alef-ceroalef-ceroEl infinito de los puntos es El infinito de los puntos es alef-unoalef-uno El infinito de las curvas es El infinito de las curvas es alef-dosalef-dos
El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor
Y hemos llegado al final.Y hemos llegado al final.
Nadie ha descubierto otro infinito que Nadie ha descubierto otro infinito que pueda corresponder a pueda corresponder a alef-tres alef-tres (y ni hablar (y ni hablar de alef-treinta o alef-tres-millones).de alef-treinta o alef-tres-millones).
El símbolo El símbolo ∞∞ El símbolo infinito que usamos para el infinito lo El símbolo infinito que usamos para el infinito lo
usó por primera vez por John Wallis en 1655.usó por primera vez por John Wallis en 1655.
La cinta de MoebiusLa cinta de Moebius
El infinito entre tus manos.El infinito entre tus manos.
La cinta de MoebiusLa cinta de Moebius
Esta es una "cinta sin fin" Esta es una "cinta sin fin"
La cinta de MoebiusLa cinta de Moebius
Si cortamos una Si cortamos una cinta de Moebius cinta de Moebius ¿qué obtenemos?¿qué obtenemos?
¡Hágalo usted ¡Hágalo usted mismo!mismo!
La cinta de MoebiusLa cinta de Moebius
ReciclarReciclar
Figuras imposiblesFiguras imposibles
Figuras imposiblesFiguras imposibles
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FinFin
El InfinitoEl Infinito
Barranca, noviembre de 2007Barranca, noviembre de 2007
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