8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
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CÁLCULO I PARA OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
VOLUME II: Parte I
Cálculo de Deriada!
Naio Ta"#ue CAIRU: $Naio E!cola de Muito! O%iciai! Merca"te! e Pro%i!!io"ai! de área!a%i"!&'
Estaleiro Construtor: Ishikawajima-Harima Heavy Industries Co, Ltd. Kure Shipyard
no:!"#$
%ipo:&LCC'(LCC
Classi)i*adora:+S
%:/#01 t
L2:33#m
+2C:00m
Calado m45imo:m
+6%:!"3"! t
76%:!1#1#" t
%ripulantes:38
9ropulso: IHl Steamtur;ine $1111 SH9
&elo*idade m45ima:!8 n
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PAULO VITOR DE MATOS (I)MANTAS
Ela*ora+,o e Produ+,o
Paulo Vitor de Mato! (i-.a"ta!
For.a+,o Acad/.ica e Pro%i!!io"al:
E"-e"0aria Mec1"ica 2342'
P5! )raduado: E"-e"0aria Naal' UFPA 2336
Me!tre e. E"-e"0aria Mec1"ica' UFPA 6778'
Pro%e!!or do Ce"tro de I"!tru+,o Al.ira"te 9ra de A-uiar de!de 2347'
C0e%e da Dii!,o de E"!i"o de Má#ui"a! do Ce"tro de I"!tru+,o Al.ira"te 9ra de A-uiar
Pro%e!!or Cola*orador do De;arta.e"to de E"-e"0aria Naal da UFPA'
Pro%e!!or Ho.e"a-eado co. a Medal0a: $Orde. M
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INTRODU?@O
o es*rever este livro, o o;jetivo prin*ipal )oi o)ere*er ao estudante de =radua?o dos *ursos de
2)i*iais de @arinha @er*ante, en=enharia naval e *iAn*ias e5atas, um te5to Bue apresentasse os
*on*eitos )undamentais da dis*iplina *4l*ulo I, en)atiando a utilia?o dos limites, derivadas e
inte=rais *om a sua )undamenta?o te
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NDICE
-C4l*ulo de derivadas................................................................................................................ p = 0
.!-2 *on*eito de reta tan=ente................................................................................................... p = 0
.-C4l*ulo da derivada de uma )un?o de uma vari4vel.......................................................... p = #
..!-erivada de uma )un?o em um ponto 9Ja, )Ja............................................................... p = #
..- derivada de)inida *omo )un?o..................................................................................... p = /
..3- un?o di)eren*iava e *ontinuidade................................................................................. p = /
..$- erivadas de ordem superior......................................................................................... p = !8
..0- 6e=ras ;4si*as de deriva?o........................................................................................... p = !#
..8-%a;elas de derivadas........................................................................................................ p = 3!
.3-eriva?o implG*ita............................................................................................................. p = 3"
.$- So)twares para *4l*ulo de derivadas.................................................................................. p = $
+i;lio=ra)ia............................................................................................................................... p = $$
ne5o .................................................................................................................................... p = $0
ne5o +.................................................................................................................................... p = $8
4
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6>Cálculo de deriada!
6'2>O co"ceito de reta ta"-e"te
Se uma *urva BualBuer representada por uma )un?o )J5 *ontGnua em um determinado intervalo,
podemos en*ontrar a reta tan=ente F *urva em um ponto 9Ja,)Ja, *onsiderando um ponto J5,
)J5 pr
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m=lim x →a
f ( x )−f (a) x−a
= lim x →4
x2−5 x+6−2
x−4 =lim
x →4
x2−5 x+4 x−4
=0
0indeterminado
m=lim x→ 4
x2
−5 x+4 x−4
=lim x →4
( x−1 )( x−4)( x−4)
=lim x →4
x−1=3
EBua?o da reta tan=ente:
y− y0=m ( x− x0 )↔ y−2=3 ( x−4 ) → y=3 x−10
2 =r4)i*o da )un?o e da reta tan=ente ilustrado na )i=ura .
i=ura .-6eta tan=ente a *urva y= x2−5 x+6no pontoondeaabscisaé 4 .
E5iste outra e5presso para a eBua?o da reta tan=ente, *on)orme ilustrado na )i=ura .3.
i=ura .3-In*lina?o da reta tan=ente.
onte: Stewart, Names. C4l*ulo, &ol!, Cen=a=e Learnin=, 1!3.
6
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m=limh→0
f (a+h )−f (a)h
(2.3)
E5emplo
*har a eBua?o da reta tan=ente a *urva y=2/ ( x−1) no ponto J,.
Solu?o: 2 domGnio da )un?o R−{1} . 2 ponto J,! perten*e a *urva, pois Buando 5O,
yO.
m=limh→0
f (a+h )−f (a)h
=m=limh→0
f (2+h )−f (2)h
=m=limh→0
2
(2+h−1 )−f (2)
h
m=limh→0
2
(2+h−1 )− f (2)
h =lim
h→0
2
(h+1 )−2
h =
0
0indeterminado .
−2hh(h+1)
=¿ limh→0
−2(h+1)
=−2
m=limh→0
2
(h+1 )−2
h =lim
h→0
2−2h−2h(h+1)
=limh→0
¿
6eta tan=ente:
y− y0=m ( x− x0 )↔ y−2=−2 ( x−2 )→ y=−2 x+6
2 =r4)i*o da )un?o e da reta tan=ente ilustrado na )i=ura .$.
i=ura .$- 6eta tan=ente a *urva y=2/ ( x−1) no ponto J,.
7
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6'6>Cálculo da deriada de u.a %u"+,o de u.a ariáel
6'6'2>Deriada de u.a %u"+,o e. u. ;o"to PaB %a
Limites do tipo limh→0
f (a+h )− f (a)h apare*em sempre Bue *al*ulamos uma ta5a de varia?o em
BualBuer ramo da *iAn*ia ou en=enharia, tais *omo ta5a de uma rea?o BuGmi*a, velo*idade de um
*orpo, a*elera?o, *usto mar=inal em e*onomia et*.
derivada de uma )un?o em um nMmero a denotada por f ' (a ) ou
df
dh ser4 ento e5pressa pela
eBua?o J.$ e ser4 i=ual ao *oe)i*iente an=ular da reta tan=ente a *urva em um ponto 9Ja,)Ja.
derivada tam;m em um nMmero a tam;m pode ser e5pressa pela eBua?o J.0,, onde h
su;stituGdo por 5-a
m=f ' (a )=limh→ 0
f ( a+h )−f (a)h
(2.4)
m=f ' (a )=lim x→ a
f ( x )−f (a) x−a
(2.5)
reta tan=ente em um ponto 9Ja,)Ja de uma *urva, pode a=ora ser de)inida *omo a reta Bue
passa em 9Ja,)Ja, *uja i"cli"a+,o i=ual af
' (a ) , derivadadafunçãoema.
E#ua+,o -e"
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f ' ( x )=
df ( x)dx
= lim x →0
f ( x+ x )−f ( x ) x
(2.8)
O simbo!odf ( x )
dxé devidoa "eibni# e a derivada pode ainda ser de)inida *omo:
df
dx= lim
x →0
f
x (2.9)
ssim, dado #ual#uer ".ero para o Bual ei!ta o li.ite dado pela eBua?o J./, atri;uGmos a
5 o ".ero %G, sendo %G uma "oa %u"+,o denominada deriada de %'
Peometri*amente, f ' ( x ) ser4 a i"cli"a+,o da reta ta"-e"te a )un?o )J5 no ;o"to P B%'
6'6'> Fu"+e! di%ere"ciáei! e co"ti"uidade
(ma )un?o deriv4vel ou di)eren*i4vel em um nMmero a se f ' (a) e5istir.
(ma )un?o deriv4vel ou di)eren*i4vel em um intervalo a;erto Ja,;
[ (−$,a ), (a ,+$ ) , ou(−$ ,+$)] se )or deriv4vel em *ada nMmero do intervalo.
Se a )un?o )J5 )or deriv4vel em a B ento a )un?o )J5 co"tJ"ua e. aB porm, nem toda )un?o
co"tJ"ua em a deriáel em a'
E5emplo 3
(tiliando a de)ini?o de derivadas, en*ontre f ' ( x ) para as se=uintes )un?Des:
1. f ( x)= x
2−
3
5
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
( x+ x)2
−3
5−( x2−35 )
x = lim
x→ 0
( x+ x)2
− x
2
x
f ' ( x )= lim
x→ 0
( x+ x)2
− x
2
x = lim
x→ 0
x
2 x= lim
x →0
1
2
2. f ( x )=5 x2−3 x+7
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x)
x
= lim x →0
5 ( x+ x)2−3 ( x+x )+7−(5 x2−3 x+7 )
x
9
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f ' ( x )= lim
x→ 0
10 x x+5 x2−3 xx
= limx →0
x(10 x+5 x−3)
x = lim
x →0
(10 x+5 x−3)
f ' ( x )= lim
x→ 0
(10 x+5.0−3 )=10 x−3
3. f ( x )= x3− x
Identidade al=;ri*a: (a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
f ' ( x )= lim
x→ 0
( x+ x )3−( x+ x )−( x3− x )
x
f ' ( x )= lim
x→ 0
x3+3 x2 x+3 x x2+ x3− x−h− x3+ x
x
f ' ( x )= lim
x→ 0
+3 x2 x+3 x x2+ x3− x x
= lim x→ 0
x (3 x2+3 x x+ x2−1) x
3 x2+3 x x+ x2−1=¿3 x2+3 x .0+02−1=3 x2−1
f ' ( x )= lim
x →0
¿
4. f ( x )=√ x
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
√ x+ x−√ x x
f ' ( x )= lim
x→ 0
(√ x+ x−√ x)(√ x+ x+√ x ) x (√ x+ x+√ x )
= lim x→ 0
x+ x− x x (√ x+x+√ x)
f ' ( x )= lim
x →0
x+ x− x
x (√ x+ x+√ x)= lim
x →0
1
(√ x+ x+√ x)=
1
(√ x+0+√ x)=
1
2√ x
5. f ( x)=1− x2+ x
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
( 1− x− x2+ x+x )−1− x2+ x
x
10
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f ' ( x )= lim
x→ 0
(1− x− x ) (2+ x )−(1− x ) (2+ x+x ) x (2+ x+ x ) (2+ x )
f ' ( x )= lim
x→ 0
2− x−2 x− x2− x x−2+ x−x+ x2+ x x
x (2+ x+ x ) (2+ x )
f ' ( x )= lim
x→ 0
−3 x x (2+ x+ x ) (2+ x)
= lim x →0
−3(2+ x+0 ) (2+ x )
= −3
(2+ x )2
6. f ( x )= x2
3
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x→0
( x+ x )2/3− x2/3
x = lim
x→0
( ( x+x )2)1 /3
−( x )21/3
x
Identidade tri=onomtri*a:
x3− y3=( x− y )( x2+ xy+ y2 )
x− y=( x1 /3 )3−( y1/3 )3=( x1 /3− y1 /3 ) ( x2/3+ x1 /3 y1/3+ y2/3 )
f ' ( x )= lim
x→ 0
(( x+ x )2)1/3−( x2 )
1/3. [ {( x+ x )2 }2/3+ {( x+ x )2}1/3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]
x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )1/3}2 /3]
f ' ( x )= lim
x→ 0
( x+ x )2− x2
x [ {( x+ x )2}2 /3+{( x+ x )2}1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]
f ' ( x )= lim
x→ 0
x2+2 x x+ x2− x2
x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]
f
'
( x )= lim x→ 0
+2 x x+x2
x [ {( x+ x )2}
2 /3+{( x+ x )2}1 /3 {( x
2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]
f ' ( x )= lim
x→ 0
x (2 x+ x)
x [ {( x+ x )2 }2 /3+{( x+ x )2 }1 /3 {( x2 )1/3}+{ ( x2 )2/3}]
f ' ( x )= lim
x→ 0
(2 x+ x )
[{ ( x+x )2 }2 /3+ {( x+x )2 }1 /3 {( x2 )1 /3}+ {( x2 )2 /3}]
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f ' ( x )=
(2 x+0)
[ {( x+0)2 }2/3+ {( x+0 )2}1/3 {( x2 )1/3}+{ ( x2)2/3}]
f ' ( x )=
2 x
[ x4 /3+ x4/3+ x4 /3 ]=
2
3 x1 /3
7. f ( x)= x−1
x2+3 x
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
x+x−1
( x+x )2+3( x+ x )−
x−1
x2+3 x
x
( x+ x )
( x+ x−1)( x2+3 x )
( x+ x )2+3( x+ x )
−
( x−1)(¿¿2+3( x+x ))
x2+3 x
x
f ' ( x )= lim
x →0
¿
( x+ x )
( x+ x−1 ) ( x2+3 x )−( x−1) (¿¿2+3( x+ x ))
x [ ( x+ x )2+3( x+ x )( x2+3 x ) ]f ' ( x )= lim
x →0¿
f ' ( x )= lim
x→ 0
− x2 x− x x2+2 x x+ x2+3 x
x [ ( x+x )2+3( x+ x )( x2+3 x )]
− x2− x x+2 x+x+3¿
x ¿¿
f
'
( x )= limx →0 ¿
− x2− x x+2 x+x+3¿
− x2− x .0+2 x+0+3¿¿¿¿
f ' ( x )= lim
x →0
¿
12
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f ' ( x )=− x
2+2 x+3
( x2+3 x )2
8.√ x3− x
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x→0
√ ( x+ x )3−( x+ x )−(√ x3− x )
x
f ' ( x )= lim
x→ 0
(√ ( x+ x )3−( x+x )−(√ x3− x )) (√ ( x+ x )3−( x+ x )+(√ x3− x) ) x (√ ( x+ x )3−( x+ x )+(√ x3− x ) )
f ' ( x )= lim
x→ 0
( x+ x )3−( x+ x )−( x3− x )
x (√ ( x+x )3
−( x+ x)+ (√ x3
− x ))
f ' ( x )= lim
x→ 0
x3+3 x2 x+3 x x2+ x3− x− x− x3+ x
x (√ ( x+ x )3−( x+ x )+ (√ x3− x ))
f ' ( x )= lim
x→ 0
3 x2 x+3 x x2+ x3− x
x (√ ( x+x )3−( x+ x)+ (√ x3− x ))
f
'
( x )= lim x→ 0 x (3 x2+3 x x+ x2−1)
x (√ ( x+x )3−( x+ x)+ (√ x3− x ))
f ' ( x )= lim
x→ 0
(3 x2+3 x x+ x2−1)
(√ ( x+ x )3−( x+ x )+ (√ x3− x ))=
(3 x2+3 x .0+02−1)
(√ ( x+0 )3−( x+0)+ (√ x3− x ))
f ' ( x )=
(3 x2+3 x .0+02−1)
(√ ( x+0 )3−( x+0)+ (√ x3− x ))=(3 x2−1)
2√ x3− x
9. f ( x )=| x2−3 x|
I=ualando o m
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f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
( x+ x )2−3 ( x+ x )− x2+3 x x
f ' ( x )= lim
x→ 0
x2+2 x x+x2−3 x−3 x− x2+3 x
x
= lim x→ 0
2 x x+ x2−3 x
x
f ' ( x )= lim
x→ 0
x (2 x+x−3) x
= limx →0
2 x+ x−3=2 x+0−3=2 x−3
9ara 0
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ex>0,então3+x>3
x →0+¿ (3+ x )=¿3
x (3+ x ) x
=lim¿
¿
x→0+¿¿
x→0+¿ (3+ x )(3+ x−3)
x =¿ lim
¿¿
f (3+ x ) x
=lim¿
¿
x→0+¿¿
lim¿
¿
Se x
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f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
− x− x+ x x
=−1
)un?o deriv4vel para BualBuer x
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2. f ( x )={ x
3
4 −
x2
2, s ex(2
−6 x−6
x2+2,sex0,então2+ x>2
x→0+¿ (2+ x )
3−2 (2+ x )2
4 x
x→0+¿
(2+ x )3
4 −
(2+ x )2
2
x =¿ lim
¿¿
f (2+ x )x
= lim¿
¿
x →0+¿ ¿
lim¿
¿
x→0+¿ 8+12 x+6 x
2+ x3−8−8 x−2 x2
4 x
x→0+¿ f (2+ x)
x = lim
¿¿
lim¿
¿
x →0+¿ x(4+6 x+ x
2−2 x)4 x
x→0+¿ 4 x+6 x
2+ x3−2 x2
4 x =lim
¿¿
x→0+¿ f (2+ x)
x =lim
¿¿
lim¿
¿
x→0+¿ f (2+ x)
x =
4+6.0+02−2.04
=1
lim¿ ¿
17
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x→0+¿ f (2+x )
x =1
lim¿
¿
Se x
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19/61
x→0+¿
xsin( 1 x )
x→0+¿
x2sin ( 1 x )x
=lim¿
¿
f ( x ) x
=¿ lim¿
¿
x→0+¿¿
lim¿
¿
%eorema do *on)ronto:
x→0+¿
x
x→0+¿
xsin( 1x )% lim¿ ¿ x→0+¿ x% lim
¿¿
−1% sin( 1 x )%1↔−x%xsin( 1x )% x →−lim¿ ¿
x →0+¿
xsin( 1 x )=0 x→0
+¿xsin( 1x )%0↔ lim¿ ¿
0% lim¿
¿
x→0−¿
xsin( 1 x )
x→0−¿
x2sin ( 1 x ) x
=lim¿
¿
f ( x )x
=¿ lim¿
¿
x→0−¿¿
lim¿ ¿
%eorema do *on)ronto:
x→0−¿
x
x→0−¿
xsin( 1 x )% lim¿ ¿ x→0
−¿ x% lim
¿¿
−1% sin( 1 x )%1↔−x%xsin( 1x )% x →−lim¿ ¿
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x→0−¿ xsin( 1 x )=0
x→0−¿ xsin( 1x )%0↔ lim¿ ¿
0% lim¿
¿
lim x→ 0
f ( x )x
=0
A %u"+,o < deriáel e. 7
uando uma )un?o no di)eren*i4vel em um ponto de uma )un?o, os se=uintes *asos podem
o*orrer:
a des*ontinuidade de BuinaQ
; des*ontinuidade no pontoQ e
* tan=ente verti*al passando no ponto
)i=ura .8 ilustra os *asos Buando a )un?o no di)eren*i4vel no ponto *onsiderado.
i=ura .8-Casos onde a )un?o no tem derivada no ponto *onsiderado.
* fi+ura2.7 i!ustra umacurvacomumaretavertica! x=adef ( x) . 2;serve Bue a )un?o no
deriv4vel em 5Oa.
i=ura .#- 6eta tan=ente verti*al.un?o no deriv4vel em 5Oa.6'6'> Deriada! de orde. !u;erior
20
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Se ) )or uma )un?o deriv4vel, ento sua derivada f ' ( x ) tam;m uma )un?o Bue pode ter sua
pr
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22/61
f ' ' ' ( x )= f ' ( f ' ' ( x ) )= lim
x→0
f '' ( x+ x )−f ' ' ( x)
x = lim
x→0
6( x+x )−6 x x
= lim x→ 0
6 x
x =6
uarta deriada:
f 4 ( x )=f ' (f ' ' ' ( x ) )= lim
x →0
f '' '
( x+x )−f ' ' '
( x ) x
= limx →0
6−6 x
=00
indeterminado .
9orm,a in*lina?o da reta tan=ente representa o valor da derivada em um ponto de uma )un?o.
9ara a )un?o f ' ' ' ( x )=6 , a eBua?o de uma reta horiontal, e a sua tan=ente tem in*lina?o
nula.Lo=o, f 4 ( x )=f ' (f ' ' ' ( x ) )= f ' (6 )=0 .
9odemos ento =eneraliar e dier Bue a derivada de uma *onstante nula.ui"ta deriada:
f 5 ( x )= f ' ( f 4 ( x ) )= f ' (0 )=0
6'6'Q> Re-ra! *á!ica! de deria+,o
1. unçãoconstante
derivada de uma )un?o *onstante nula.f
' (c )=0
Se a )un?o *onstante uma reta horiontal, ento a tan=ente em BualBuer ponto tem in*lina?o
nulaJ reta paralela ao ei5o 5.
2. -u!tip!icaçãoda função porumaconstante
Se * uma *onstante e ) uma )un?o deriv4vel, ento:
f
'
(c . f ( x) )=c . f '
( x)
emonstra?o:
f ' (c . f ( x) )= lim
x→ 0
cf ( x+ x )−cf ( x ) x
= limx →0
c . lim x →0
f ( x+ x )−f ( x) x
f ' (c . f ( x) )=c . lim
x →0
f ( x+ x )− f ( x) x
=c . f ' ( x )
derivada de uma *onstante multipli*ada por uma )un?o i=ual a *onstante multipli*ada pela
derivada da )un?o.
22
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
23/61
3. erivadada pot/ncia
Se n um inteiro positivo, ento:
f ' ( xn )=n . xn−1
emonstra?o:
f ' ( xn )= lim
x →0
f ( x+ x )−f ( x ) x
= limx →0
( x+ x )n− xn
x
2 ;inRmio ser4 desenvolvido pelo ;inRmio de 7ewton.
( x+ x )n= xn+n xn−1 x+n(n−1)
2 0 x
n−2 x
2+1 xn
f ' ( xn )= lim
x →0
xn+n xn−1 x+ n(n−1)
2 0 x
n−2 x
2+1 xn− xn
x
f ' ( xn )= lim
x →0
x (n xn−1+ n(n−1)2 0 xn−2 x+1 xn−1) x
n xn−1+
n(n−1)
20
xn−2
x+1 xn−1=¿n xn−1+0+01+0=n xn−1
f ' ( xn )= lim
x →0
¿
Peneraliando:
f ' (cxn )=c . n xn−1
Esta re=ra apli*ada assim: @ultipli*a-se a *onstante pelo e5poente e su;trai um ao e5poente.
Bui )iemos a demonstra?o para n inteiro, porm, esta re=ra apli*a-se para BualBuer valor de nreal'
'So.a e !u*tra+,o de %u"+e!
Se )J5 e =J5 so )un?Des deriv4veis, ento:
f ' ( f ( x ) 2+ ( x ) )=( f ( x ) 2 + ( x ) )' ¿ f ' ( x)2 +' ( x )
emonstra?o:
a#endo ( x
)=f
( x
)2 +
( x
)↔
' ( x
)= limx →0
( x+x )− ( x )
x
23
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
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f ( x)2 + ( x)¿
f ( x+ x )2 + ( x+ x )−¿¿
' ( x )= lim
x →0
¿
' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )−f ( x)x
2 lim x→ 0
+ ( x+ x )−+ ( x) x
' ( x )=(f ( x )2 + ( x ) )=f ' ( x )2 +' ( x)
derivada de uma soma ou di)eren?a de )un?Des deriv4veis, e i=ual a soma ou di)eren?a das
derivadas das )un?Des.
5 .Produtode funç3es
Sejam )J5 e =J5 )un?Des deriv4veis em um determinado intervalo a,;T.
Se J5 )or a )un?o produto )J5.=J5, ento:
' ( x )=f ( x ) . +' ( x )++ ( x ) . f ' ( x )
emonstra?o:
' ( x )= lim
x→ 0
( x+ x)− ( x ) x
= lim x→ 0
f ( x+ x ) . + ( x+x )−f ( x ) . +( x ) x
omando e subtraindof ( x+ x ) . + ( x ) aonumerador , teremos :
' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x ) . + ( x+x )+ f ( x+x ) . + ( x )− f ( x+ x) . + ( x )− f ( x ). +( x) x
' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )+ ( x+ x )−+( x )
x + lim
x →0
+( x )f ( x+ x )−f ( x )
x
' ( x )= lim x→ 0
f ( x+ x ) . lim x →0
+ ( x+ x )−+( x) x + lim x→ 0 +( x ) lim x →0
f ( x+ x )−f ( x ) x
' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x ) . lim x →0
+ ( x+ x )−+( x) x
+ lim x→ 0
+( x ) lim x →0
f ( x+ x )−f ( x ) x
lim x→ 0
+ ( x )=+ ( x ) , pois + ( x )nãodepende de x
' ( x )=f ( x ) . f ' ( +x )++ ( x ) . f ' ( x)
6.Quocinetede funç3es
24
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Sejam )J5 e =J5 )un?Des deriv4veis em um determinado intervalo a,;T.
e ( x ) for a função4uocientef ( x )+ ( x )
então:
' ( x )=+ ( x ) . f
'
( x )−f ( x ) . +'
( x )(+( x ))2
emonstra?o:
f ( x+ x )+ ( x+ x )
−f ( x )+ ( x )
x =¿ lim
x→ 0
f ( x+ x ) + ( x )−+ ( x+ x ) f ( x) x . + ( x+ x ) . +( x )
' ( x )= lim
x →0
¿
Somando e su;traindo )J5.=J5 ao numerador
' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )+ ( x )−f ( x ) . + ( x )−+ ( x+ x ) f ( x )+ f ( x ) . +( x) x . + ( x+ x ) . +( x )
' ( x )= lim
x→ 0
+ ( x ) [ f ( x+ x )−f ( x ) ]− f ( x )[ + ( x+ x )−. + ( x )] x . + ( x+x ) . + ( x)
' ( x )= lim
x→ 0
+ ( x) . limx →0
f ( x+ x )− f ( x)
x+ ( x+ x ) . + ( x)
− lim x →0
f ( x ) lim x →0
+ ( x+ x )−+ ( x)
x+ ( x+ x ) . +( x )
' ( x )=
+ ( x ) . f ' ( x)+ ( x+ x ). +( x )
−f ( x ) . +' ( x)
+ ( x+ x ) . +( x )=+ ( x ) . f ' ( x )−f ( x ) . +' ( x)
(+( x ))2
U deriada do #uocie"te o denominador vees a derivada do numerador menos o numerador
vees a derivada do denominador divididos pelo Buadrado do denominadorV.
7. unçãoexponencia!
Seja a )un?o e5ponen*ial f ( x )=a x , a>0 .
f ' ( x )=a x !na
emonstra?o:
a
a x(¿¿ x−1)
x
f
'
( x )= lim x→ 0f ( x+ x )− f ( x)
x = lim x →0a
x+ x−a x
x = lim x→ 0 ¿
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a
(¿¿ x−1)x
=a x .!na
f ' ( x )= lim
x→ 0
a x. lim x→0
¿
e f ( x )=e x ↔f ' ( x )=e x .!ne=e x
8. unção seno
e f ( x )=sin ( x ) ,então :
f ' ( x )=cos ( x)
emonstra?o:
(tiliando a de)ini?o de Lei;ni:
f ' ( x )=
df
dx= lim
x →0
f
x= lim
x →0
sin ( x+ x )−sin ( x) x
Identidade tri=onomtri*a:
sin *−sin6=2sin ( *−62 )cos( *+62 )
2sin( x+ x− x
2 )cos( x+ x+ x
2 ) x
=¿ lim x→ 0
2sin ( x2 )cos (
2 x+x2 )
x
f ' ( x )= lim
x →0
¿
f ' ( x )= lim
x→ 0
sin( x2 ) x
2
. lim x→ 0
cos( 2 x+ x2 )=1.cos ( 2 x+02 )=cosx
9. unçãocosseno
e f ( x )=cos ( x ) ,então :
f ' ( x )=−sin ( x )
emonstra?o:
(tiliando a de)ini?o de Lei;ni:
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f ' ( x )=
df
dx= lim
x →0
f
x= lim
x →0
cos ( x+ x )−cos ( x) x
Identidade tri=onomtri*a:
cos *−cos6=−2sin ( *+6
2 )sin
( *−6
2 )−2sin ( x+ x+ x2 )sin( x+ x− x2 )
x =¿ lim
x→0
−2sin ( 2 x+ x2 )sin( x2 ) x
f ' ( x )= lim
x→0
¿
f ' ( x )= lim
x→ 0
−sin ( x+
x
2
) x . limx →0sin
(x
2
) x2
=−sin ( x+0 ) .1=−sin ( x)
10. unçãotan+ente
e f ( x )=tan ( x ) ,então :
f ' ( x )=sec2 ( x)
emonstra?o:
f ( x )= tan ( x )= sin ( x)cos ( x)
f ' ( x )=
cosx. (sin ( x))' −sin ( x )(cos ( x ))'
cos2 x
=cosx.cosx−sin ( x ) .−sin ( x)
cos2 x
f ' ( x )=
cos2 x+sin2 x
cos2 x
= 1
cos2 x=sec2( x)
22'Fu"+,o cota"-e"te
e f ( x )=cot+ ( x) ,então :
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f ' ( x )=−cossec2 ( x)
emonstra?o:
f ( x )=cot+ ( x )=cos ( x)sin ( x)
f ' ( x )=
sinx. (cos( x))' −cos ( x )(sin ( x))'
sin2 x
=sin ( x ) .−sin ( x )−cos ( x ) .cos( x)
sin2 x
sin
−(¿¿2 x+cos2 x )
sin2 x
= −1
sin2 x=−cos sec2( x)
f '
( x )=¿
26'Fu"+,o !eca"te
e f ( x )=sec ( x ) ,então :
f ' ( x )=sec ( x) tan ( x)
emonstra?o:
f ( x )=secx( x)= 1
cos ( x )
f ' ( x )=
cos ( x) . (1 )' −1 (cos ( x))'
cos2 x
=0−1.−sin( x )
cos2 x
f ' ( x )=
sin ( x )
cos2 x
= 1
cos ( x ). sin ( x )cos ( x )
=sec ( x) tan ( x)
2'Fu"+,o co!!eca"te
e f ( x )=cos sec ( x ) ,então :
f ' ( x )=−cossec ( x )cot+ ( x )
emonstra?o:
f ( x )=cossec ( x)= 1
sin ( x)
28
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f ' ( x )=
sin ( x ). (1)' −1 (sin ( x ))'
sin2 x
=0−1.cos( x )
sin2 x
f ' ( x )=
−cos ( x )
sin2 x=
−1
sin ( x).cos ( x)
sin ( x)=−cos sec ( x )cot+ ( x)
2'Fu"+,o lo-arJt.o
e f ( x )=loga x ,então :
f ' ( x )=
1
x
loga e= 1
x!na
emonstra?o:
9ropriedade dos lo=aritmos:
loga( *6 )=log * *−loga 6e loga 7 = 1
log 7 a
f ' ( x )= lim
x→ 0
f ( x+ x )− f ( x) x
= lim x →0
loga( x+x )−loga x x
= lim x→ 0
loga ( x+ x
x
) x1
x loga( x+ x x )=¿ lim x →0
1
x loga(1+ x x )
f ' ( x )= lim
x→ 0
¿
a#endox
x
=u ↔ x →0,u→0.
1
x loga (1+u )
1
u=¿ 1
x log
a
limu→0
(1+u )1
u
1
u . x loga (1+u)=¿ lim
u→0
¿
f ' ( x )=lim
u→0¿
f '
( x )=1
x loga e=1
x .
1
logea = 1
x!na .ef ( x )=ln ( x )↔f '
( x )= 1
x!ne=1
x
29
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30/61
2Q'Re-ra da cadeia ou da %u"+,o co.;o!ta
Se =J5 uma )un?o deriv4vel em 5 e )J5 uma )un?o deriv4vel em =J5, ento a )un?o
*omposta =f ∘+definida por ( x)=f (+ ( x )) deriv4vel em 5 e
' ( x ) é ca!cu!ada pe!a e4uação :
' ( x )=f ' (+x ) . + ' ( x) .7a nota?o de Lei;ni, se ¿ f (u ) eu=+( x) so )un?Des deriv4veis, ento :
d
dx =
d
du
du
dx
emonstra?o
Sa;emos Bue para uma )un?o )J5 BualBuer, em um ponto a desta )un?o a derivada neste ponto
e5pressa por f ' (a )= lim
x →0
f (a+x )−f (a) x
. Se 8 a di)eren?a entref (a+x )− f (a)
x e a
derivada f ' (a) , ento:
8=f (a+ x )− f (a)
x − f ' ( a ).
lim x→ 0
8= lim x→ 0
( f (a+ x )−f (a) x −f ' (a))=0
Se de)inirmos 8 *omo ero, Buando x=0 , ento 8 se tornar4 uma )un?o *ontGnua de
x .
esta )orma, para uma )un?o di)eren*i4vel )J5, teremos Bue:
f ( x+a )−f (a )=f ' (a) x+8 x , onde 8→0,4uando x→0.
Sejam a=ora as )un?Des u ¿+ ( x) deriv4vel em a, e =f (u) deriv4vel em b=+ (a ) , ento:
u=+ (a+ x )−+ (a )=(+' (a )+8 1) x , 81→0, x→0
= f (b+ u )−f (b )=( f ' (b )+8 2 )u , 8 2→0, u→0
Su;stituindo uem :
30
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=( f ' (b )+8 2) (+' ( a )+8 1) x
x =( f ' (b )+8 2) (+' (a )+8 1)=f ' (b ) . + ' (a )+ f ' (b ) . 8 1++' (a ) . 82+81.8 2
lim x→ 0
x = lim
x →0
f ' (b ) . +' (a)+ f ' (b ). 8 1++' ( a ) . 8 2+81.8 2
x→0↔8 1→0e 82→0
lim x→ 0
x = lim
x →0
f ' (b ) . +' (a)+ lim
x →0
f ' (b ) . 8 1⏟
¿0
+ lim x →0
+' (a ) . 8 2⏟
¿ 0
+ lim x→ 0
8 1. 8 2⏟
¿0
' (a )= f ' ( + (a)) . +' (a )
9ara BualBuer 5 onde a )un?o di)eren*i4vel:
' ( x )=f ' ( +( x)) . +' ( x )
re=ra da *adeia nos permite *al*ular as derivadas de )un?Des *ompostas *omo ar*sinJ5,
ar**osJ5, ar*tanJ5, ar*se*J5, ar*osse*J5 ef ( x)+ ( x)
16. unçãoe!evadaa função
e ( x )=f ( x)+ ( x) ,então :
' ( x )=f ( x )+ ( x){+' ( x ) !nf ( x )+ + ( x ) f
' ( x)f ( x) }
emonstra?o:
9ropriedade dos lo=aritmos:
x9 =e9!nx , 5W1.
f ( x )+ ( x)=e+ ( x )!nf ( x)
un?o *omposta:
' ( x )=f ' (+x ) . + ' ( x ) .
31
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32/61
¿ f (u ) eu=+( x) so )un?Des deriv4veis, ento :
d
dx =
d
du
du
dx
a#endou=+ ( x )!nf ( x ) e (u)=eu
' (u )=
d
du =eu=e+ ( x ) !nf ( x )
u' ( x )=
du
dx=+ ' ( x )!nf ( x )++ ( x ) (!nf ( x ) )'
9ara *al*ular a derivada de !nf ( x ) novamente apli*amos a re=ra da *adeia.
: =!nv=e v=f ( x )
: ' ( v )=
d:
dv =
1
v=
1
f ( x )
v' ( x )=dv
dx
=df ( x )
dx
=f ' ( x )
(!nf ( x ) )' =d: dv
dv
dx=
1
f ( x ). f
' ( x )=f
' ( x )f ( x )
u' ( x )= du
dx=+ ' ( x )!nf ( x )++ ( x) (!nf ( x ) )' =+' ( x ) !nf ( x )++ ( x) f
' ( x)f ( x )
' ( x )=d dx = d du dudx =e+ ( x ) !nf ( x )
{+' ( x ) !nf ( x)++( x) f
'
( x )f ( x ) }
' ( x )=f ( x )+( x){+' ( x) !nf ( x )++ ( x) f
' ( x)f ( x ) }
17. unção arcsin ( x )
)un?oarcsinx
de)inida por:
32
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33/61
arcsin x : [−1,1 ]⏞
→[−; 2
,;
2 ]⏞
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34/61
sin29 +cos29 =1↔cos9 =√ 1−sin29 =√ 1− x2
darcsinx
dx =
1
cos (arcsinx)=
1
√ 1−cos2 x
18. unçãoarccosx
)un?o arccosx de)inida por:
arccos ( x ) : [−1,1 ]⏞
→[0,; ]⏞
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
35/61
d
du
du
dx=1↔−sin (u )
d arccosx
dx =1
darcosx
dx
= −1
sin (u)
= −1
sin (arccosx)
arccosx=9↔cos9 = x
sin29 +cos29 =1↔sin9 =√ 1−cos29 =√ 1− x2
darccosx
dx =
−1sin (arccosx)
= −1
√ 1−cos2 x
19. unçãoarctanx
)un?o arcsinx de)inida por:
¿⏞
→ [−; 2
,;
2]⏞
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
36/61
(u )=tan (u) e uO arctanx
' ( x )=
d
dx =
d
du
du
dx=1
d
du=sec2 (u)
du
dx=
darctanx
dx =(arctanx )'
d
du
du
dx=1↔sec2 (u)
d arctanx
dx =1
darctanxx
dx =
1
sec2(u)
= 1
1
cos2u
=cos2 u=cos2(arctanx )
arctanx=9 ↔tan9 = x
cos9 =sin9
x↔cos
29 =
sin9 2
x2
→cos29 =
1−cos2 9
x2
→cos29 =
1
1+ x2
darctanx
dx =
1
1+ x2
20. unçãoarccot+x
)un?o arccot+x de)inida por:
¿⏞
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
37/61
' ( x )=
−1
1+ x2
emonstra?o:
9ropriedades da )un?o inversa f −1 ( x ):
f −1 ( f ( x ) )= x ,∀ x∈ , f ( f −1 ( x ) )= x , ∀ x∈
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
38/61
21. unção arcsecx
)un?o arcsecx de)inida por:
¿−$ ,−10,
;
2 [= ]
;
2
[¿¿
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
39/61
d
du
du
dx=1↔sec (u ) tan (u)
d arcsecx
dx =1
darcsecx
dx
= 1
sec (u ) tan (u)
= 1
1cosu
. sinucosu
=cos
2u
sinu
=cos
2(arcsecx)
sin (arcsecx)
arcsecx=9↔sec9 = x
cos9 =1
x↔cos
29 =
1
x2→sin9 =√ 1−cos29 →=sin9 =√
x2−1 x
darccot+x
dx =
1
x2
√ x2−1 x
= 1
x2.
x
√ x2−1=
1
x√ x2−1
22. unçãoarccossecx
)un?o arccossecx de)inida por:
¿−$ ,−1−; 2
,0[= ]0
[¿¿
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
40/61
*ssim ,uti!i#ando f −1 ( f ( x ) )= x , teremosarccossec (secx )= x e cossec (arccossecx )= x
cossecx (arcsecx )= x
erivando os dois lados da eBua?o e apli*ando a re=ra da *adeia ao primeiro mem;ro:
(u )=cossec(u) e uO arccossecx
' ( x )=d
dx =
d
du
du
dx=1
d
du=−cossec (u)cot+ (u)
du
dx=
darccossecx
dx =(arccossecx)'
d
du
du
dx=1↔−cossec (u ) cot+ (u)
d arccossecx
dx =1
darccossecx
dx =
−1 cossec (u) cot+ (u)
= −11
sinu .
cosu
sinu
=−sin2u
cosu =
−sin2(arccossecx)cos (arccossecx)
arccossecx=9↔cossec9 = x
sin9 =1
x↔ sin
29 =
1
x2→cos9 =√ 1−sin29 →=cos9 =√
x2−1 x
darccossecxdx =
−1
x2
√ x2−1 x
=−1 x
2 . x√ x2−1
= −1 x√ x2−1
6'Fu"+e! Hi;er*5lica! *á!ica!
a¿ sinhx=e
x−e− x
2
40
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41/61
e
e
(¿¿ x) ' −(¿¿− x )'
2 =
e x+e− x
2 =coshx
¿
dsinhxdx
=¿
b¿coshx=e
x+e− x
2
e
e
(¿¿ x) ' +(¿¿− x) '
2
=e
x−e− x
2
=sinhx
¿dcoshx
dx =¿
c ¿tanhx=sinhx
coshx=
e x−e− x
e x+e− x
dtanhx
dx
=
(
e x−e− x
e
x
+e− x
)
'
=(e x+e− x ) .(e x−e− x )' −(e x−e− x ) .(e x+e− x )'
(e x
+e− x
)2
dtanhx
dx =
(e x+e− x ) . (e x+e− x )−(e x−e− x ) . (e x−e− x )
(e x+e− x)2
dtanhx
dx =
(e x+e− x )2−(e x−e− x )2
(e x+e− x)2
dtanhx
dx =
e2 x+2e x e− x+e2 x−e2 x+2e xe− x−e2 x
(e x+e− x )2
dtanhx
dx =
2e x
e− x+2e xe− x
(e x+e− x )2 =
4
(e x+e− x )2=sech2 x
d ¿cot+hx=coshx
sinhx=
e x+e− x
e x−e− x
41
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42/61
dcot+x
dx =( e
x+e− x
e x−e− x )
'
=(e x−e− x) . (e x+e− x )' −(e x+e− x ). (e x−e− x ) '
(e x+e− x )2
dcot+hx
dx =(e x−e− x ) . (e x−e− x)−(e x+e− x) . (e x+e− x )
(e x+e− x )2
dcot+hx
dx =
(e x−e− x )2−(e x+e− x )2
(e x+e− x)2
dcot+hx
dx =
e2 x−2e xe− x+e2 x−e2 x−2e xe− x−e2 x
(e x+e− x )2
dcot+hx
dx =
−2e x e− x−2e x e− x
(e x+e− x )2
= −4
(e x+e− x )2=−cossech2 x
e¿ sechx= 1
coshx=
2
e x+e− x
dsechx
dx =
(
2
e
x
+e
− x
)
'
=(e x+e− x) .2' −2. (e x+e− x ) '
(e x
+e− x
)
2 =
−2. (e x−e− x )
(e x
+e− x
)
2
dsechx
dx =
−2
(e x+e− x ).(e x−e− x )(e x+e− x )
=−sechx. tanhx
f ¿ cossechx= 1
sinhx=
2
e x−e− x
dcossechxdx =(
2e x−e− x )
'
= (e x
−e− x
) .2'
−2. (e x
−e− x
) ' (e x−e− x )2 =−2. (e
x
+e− x
)(e x−e− x )2
dcossechx
dx =
−2
(e x−e− x).(e x+e− x)(e x+e− x)
=−cossechx . cot+hx
6'6'8>Ta*ela! de deriada!
A! %u"+e! a#ui de.o"!trada! ;ode. !er colocada! e. u.a ta*elaB onde na primeira *oluna
*olo*ada a )un?o deriv4vel, e na se=unda *oluna o valor da derivada da )un?o no seu domGnio.
42
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43/61
%a;elas de derivadas so muito Mteis para *onsulta Buando se utiliam pro;lemas de en=enharia e*ientG)i*os, onde a derivada da )un?o est4 preparada para a *onsulta.
(tiliando a re=ra da *adeia a se=uinte ta;ela de derivadas pode ser utiliada:
%a;elaI-erivadas das prin*ipais )un?Des
FUN?@O DERIVADA DA FUN?@O
1! y O * yX O 11 y O 5 yX O !13 y O *u yX O *uX1$ y O u Y v yX O uX Y vX10 y O uv yX O uXv Y uvX
18
1# y O un
, yX O n.un - !
.uX1/ y O au Ja W 1, 1" y O eu yX O eu. uX
!1 y O yX O
!! y O uv Ju W 1
! y O ln u
!3 y O sen u yX O *os u.uX
!$ y O *os u yX O - sen u.uX!0 y O t= u yX O se*u.uX!8 y O se* u yX O se* u . t= u . uX!# y O *ot= u yX O - *ose*u.uX!/ y O *ose* u yX O - *ose* u . *ot= u . uX
!" y O ar* sen u
1 y O ar* *os u
! y O ar* t= u
y O ar* *ot= u
3 y O ar* *ose* u,, ZuZ W !
$ y O ar* se* u,
, ZuZ W !0 y O senh u yX O J*osh u.uX
43
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8 y O *osh u yX O Jsenh u.uX# y O t=h u yX O Jse*h u.uX/ y O *ot=h u yX O J-*ose*h u.uX" y O se*h u yX O J-se*h u.Jt=h u.uX31 y O *ose*h u yX O J-*ose*h u.J*ot=h u.uX
3! y O ar* senh u
3 y O ar* *osh u, u W !
33 y O ar* t=h u, ZuZ [ !
3$ y O ar* *ot=h u
, ZuZ W !
30 y O ar* se*h u, 1 [ u [ !
38 y O ar= *ose*h u,
3# y O )J=J5 yX O ) X J=J5. =XJ5
3/ y O lo=a ZuZ
u, v O )un*Des n, a O *tes ar* sen u O sen-! ar* *ot= u O *ot=-!
ar* *os u O *os-!
ar* *ose* u O *ose*-!
ar* t= u O t=-! ar* se* u O se*-!
E5emplo $
Cal*ular a derivada das se=uintes )un?Des:
1. f ( x)=3 x5+4 x4+3 x3+6 x2+5 x+8
6e=ra da potAn*ia e da *adeia:
f ( x )=uneu=f ( x ) →f ' ( x )=nun−1 u '
erivadas de *onstantes so nulas
dx
dx= ( x )' =1
44
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f ' ( x )=5.3 x4 ( x )' +4.4 x3 ( x )' +3.3 x2 ( x )' +6.2 x ( x )' +5.1 x0 ( x )' +0
f ' ( x )=15 x4+16 x3+9 x2+12 x+5
2. f ( x )=4 x6+3
2 x
2
f ' ( x )=4.6 x5+
3
2.2 x=24 x5+3 x
3. f ( x )= x3
5+√ x3+6√ x5+8
f ( x )= x35+ x
32+ x
56 Y/
f ' ( x )=3
5 x
3
5−1+3
2 x
3
2−1+5
6 x
5
6−1+0
f ' ( x )=
3
5 x
−2/5+3
2 x
−1 /2+5
6 x
−1/6+0
f ' ( x )= 3
5 5√ x2
+ 32√ x
+ 56
6√ x
4. f ( x )=3
√ (2 x2−1 )2
f (u )=u2
3 eu=(2 x2−1 )2
f ( x )=(2 x2−1 )2
3
6e=ra da potAn*ia e da *adeia:
f ' ( x )=nun−1u '
f ' ( x )=
2
3(2 x2−1 )
2
3−1
⏟derivadada função principa!
Re+rada pot/ncia
. (2 x2−1 )' ⏟ erivadadafunçãointerna
⏞ Re+rada cadeia
=2
3 (2 x2−1 )
−13 (4 x )=
8 x
33
√ 2 x2−1
45
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5. f ( x)=( x3+1 )( x2−1 )
6e=ra do produto:
f == .>
f ' == ' > +> ' =
f ' ( x )=( x3+1 )' ( x2−1 )+( x2−1 ) ' ( x3+1 )
f ' ( x )=(3 x2) ( x2−1 )+ (2 x ) ( x3+1 )
6. f ( x )= x2
−1 x+1
6e=ra do Buo*iente:
f ==
> ↔f
' => =
' −=> '
> 2
f ' ( x )=
( x+1 ) ( x2−1 ) ' −( x2−1 ) ( x+1) '
( x+1 )2
f ' ( x )=
( x+1 ) (2 x )−( x2−1 )( x)( x+1 )2
=2 x
2+2 x− x3+ x
( x+1)2 =
2 x2+3 x− x3
( x+1 )2
3√ x
2+ x7. f ( x)=(√ x+1+2 x )¿
3
√ x2
+ xf
' ( x )=(√ x+1+2 x ) .¿ \Y3
√ x2+ x¿ . (√
x+1+2 x ) '
3√ x2+ x
f ' ( x )=(√ x+1+2 x ) .(13 ( x2+ x)
1
3−1
.( x2+ x )' )⏞
Re+rada pot/nciae dacadeia
+¿. (
1
2( x+1 )
1
2−1
( x+1 )' +2)⏟ Re+rada pot/nciae dacadeia
46
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f ' ( x )=
(√ x+1+2 x ) (2 x+1 )
33
√ ( x2+ x)2
+( 3√ x2+ x ) .12√ x+1
+23√ x2+ x
8. f ( x )=
√ x
3
+2( x2−1 )3
Solu?o: 6e=ra da potAn*ia, da *adeia, e do Buo*iente.
f (u )=√ u eu= x3+2
( x2−1 )3
f ( x )=( x
3+2
( x2−1 )3 )1
2
f ' ( x )=n .un−1 .u\
f ' ( x )=
1
2 ( x3+2
( x2−1 )3 )
1
2−1
. ( x3+2
( x2−1 )3 )
'
⏟ Re+rado4uociente
⏞ Re+rada pot/nciae dacadeia
f ' ( x )=
1
2.√( x3+2
( x2−1 )3 )
. [ ( x2−1 )3 . ( x3+2 )' − ( x3+2 ) . (( x2−1 )3 ) '
( ( x2−1 )3 )2 ]
f ' ( x )=
( x2−1 )3
.3 x2−( x3+2) .3. ( x2−1 )
2
. ( x2−1)' ⏞ Re+rada pot/nciae dacadeia
2.
√( x
3
+2( x2−1 )
3 ). (( x
2−1 )3)2
f ' ( x )=
( x2−1 )3.3 x2−( x3+2) .3. ( x2−1 )2 .2 x
2 .√( x3+2
( x2−1 )3 ).( ( x2−1 )3 )
2
9. f ( x )=sin3 x
47
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un?o tri=onomtri*a:
f (u )=sin (u ) eu=3 x
6e=ra da *adeia:
f ' ( x )= cos (u ) . u' ⏞
Re+radacadeia
f ' ( x )=cos (3 x ). (3 x )' =cos (3 x) .3=3cos (3 x )
10. f ( x )=sin3( x3+3 x2)
Re+rada pot/nciae dacadeia:
u
sin (¿)¿¿
f (u )=¿
sin (u )n−1 ( sinu ) ' f
' ( x )=n¿
f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 ) .(sin( x3+3 x2))'
⏞
Re+rada pot/nciae dacadeia
f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 ) .cos ( x3+3 x2 ) .( x3+3 x2 )' ⏟
Re+radacadeia
f ' ( x )=3sin2 ( x3+3 x2 )cos ( x3+3 x2 ) (3 x2+6 x )
11.f ( x )=cos ( x2+2 x )
un?o tri=onomtri*a:
f (u )=cos (u) eu= x2+2 x
6e=ra da *adeia:
f ' ( x )=−sin (u ) . u' ⏞
Re+rada cadeia
48
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f ' ( x )¿−si n ( x2+2 x ) . ( x2+2 x) ' ⏞
Re+rada cadeia
=−si n ( x2+2 x) .(2 x+2)
12. f ( x )=sin (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)
6e=ra do produto:
f == .>
f ' == ' > +> ' =
f ' ( x )=(sin (3 x3+4 x )) ' √ cos3 ( x+1 )+sin (3 x3+4 x ) (√ cos3 ( x+1 ) ) '
(sin (3 x3+4 x ))' = cos (3 x3+4 x )⏞ erivadada funçãoexterna
. (3 x3+4 x )' ⏟ erivadadafunçãointerna
= (9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )
(√ cos3 ( x+1) )'
=((cos ( x+1 ) )3
2)'
= 3
2 (cos ( x+1) )
3
2−1⏞
erivadadafunçãoexterna
. (cos ( x+1 ) )' ⏟ erivadadafunção interna
(√ cos3 ( x+1) )' = 3
2(cos ( x+1 ) )
12 .−sin ( x+1) . ( x+1 )'
(√ cos3 ( x+1) )'
=3
2(cos ( x+1 ) )
1
2 .−sin ( x+1 )(1+0)
(√ cos3 ( x+1) )'
=3
2(cos ( x+1 ) )
1
2 .−sin ( x+1)
f ' ( x )=(9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)−sin (3 x3+4 x ) 3
2(cos ( x+1 ))
1
2 . sin ( x+1 )
f ' ( x )=(9 x2+4 )cos (3 x3+4 x )√ cos3 ( x+1)−sin (3 x3+4 x )
3√ cos ( x+1 )sin ( x+1 )2
13. eterminara se+undaderivadadas funç3es:
a¿ f ( x )= x3+√ x
49
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50/61
f ' ( x )=3 x2+
1
2 x
1
2−1
( x )' =3 x2+1
2 x
−12 =3 x2+
1
2√ x
dx
df ¿
f ' ' ( x )=
d2f
d x2=
d
dx( ¿ )=(3 x2+ 12 x
−12 )
'
=6 x−1
2
1
2 x
−12
−1( x ) '
dx
df ¿
f ' ' ( x )=
d2 f
d x2=
d
dx( ¿ )=6 x−
1
4 √ x3
b¿ f ( x )=sinxcos3 x
6e=ra do produto
f == .>
f ' == ' > +> ' =
f ' ( x )=(sinx )' cos3 x+(cos3 x )' sinx=cosxcos3 x−sin3 x (3 x ) ' sinx
f ' ( x )=cosxcos3 x−3sin3 xsinx
f ' ' ( x )= (cosxcos3 x−3sin3 xsinx )' = (cosxcos3 x )' −(3sin3 xsinx ) ' ⏞
Re+radasomae subtração
(cosxcos 3 x )' =( cosx )' cos3 x+ (cos3 x ) ' cosx
⏞
Re+rado produto
=−sinxcos 3 x−sin3 x (3 x ) ' cosx
(cosxcos3 x )' =−sinxcos3 x−sin3 x (3 x )' cosx=−(sinxcos3 x+3sin3 xcosx )
(3sin3 xsinx )' =3 ((sin3 x )' sinx+sin3 x (sinx )' )=3 (cos3 x (3 x ) ' sinx+sin3 xcosx )
(3sin3 xsinx )' =3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx )
f ' ' ( x )=−( sinxcos3 x+3sin3 xcosx )−3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx )
50
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f ' ' ( x )=−( sinxcos 3 x+3sin3 xcosx+3 (3cos3 xsinx+sin3 xcosx ) )
f ' ' ( x )=−(10sinxcos3 x+6sin3 xcosx )
c ¿ f ( x )=tan2 (3 x−2 )
f (u )=tan2 ueu=3 x−2
f ' (u )=2 tanu2−1 ( tanu ) ' ⏞
Re+radapot/ncia
erivada da tan=ente:
( tanu )' =sec2 u.u '
f ' ( x )=2tan2−1 (3 x−2 ). tan (3 x−2 )' =2.tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 ) (3 x−2 )'
f ' ( x )=2.tan (3 x−2) sec2 (3 x−2 ) .3=6tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )
f ' ' ( x )=6 [ tan (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 ) ]' =6 [( tan (3 x−2 ) )' sec2 (3 x−2)+ tan (3 x−2 ) (sec2 (3 x−2 ) )' ]
erivada da se*ante:
(secu )' =secu.tanu.u'
( tan (3 x−2 ) )' =sec2 (3 x−2 ) (3 x−2 )' =3 sec2 (3 x−2 )
( sec2 (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) . (sec (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) . sec (3 x−2 ) . tan (3 x−2) . (3 x−2) '
( sec2 (3 x−2 ) )' =2 sec (3 x−2 ) .sec (3 x−2 ). tan (3 x−2 ) .3=6 sec2 (3 x−2 ) tan (3 x−2)
f ' ' ( x )=6 [ ( tan (3 x−2 ) )' sec2 (3 x−2 )+ tan (3 x−2 ) (sec2 (3 x−2 ) )' ]
f ' ' ( x )=6 [3sec2 (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )+ tan (3 x−2 ) 6 sec2 (3 x−2 ) tan (3 x−2)]
f ' ' ( x )=6 [3sec4 (3 x−2 )2+tan 2 (3 x−2 ) 6 sec2 (3 x−2 ) ]
51
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f ' ' ( x )= d
2f
d x2=18 sec4 (3 x−2 )2+36tan2 (3 x−2 ) sec2 (3 x−2 )
14. eterminara primeiraderivadadasfunç3es
a¿ f ( x )=2( x3+3 x)
erivada da )un?o e5ponen*ial
(au ) ' =au !nau'
f ' ( x )=2( x
3+3 x ) ln2 ( x3+3 x )' =2( x3+3 x ) . ln2. (3 x2+3 )
b¿ f ( x )=e x2+5 x
erivada da )un?o e5ponen*ial
(eu )' =euu '
f ' ( x )=e x
2+5 x ( x2+5 x ) ' =e x2+5 x (2 x+5 )
c ¿ f ( x )=(sin 2 x )cos3 x
erivada de )un?o elevada F )un?o
(uv)' =v uv−1u' +uv !nuv '
f ' ( x )=cos3 x . (sin2 x )cos3 x−1.cos2 x .2+(sin2 x )cos3 x . ln (sin2 x) .−sin3 x .3
f ' ( x )=2cos3 x . (sin2 x )cos3 x−1.cos2 x−3 (sin2 x )cos3 x . ln (sin2 x ) . sin3 x
f ' ( x )=(sin2 x )cos3 x [2cos3 x . (sin2 x )−1.cos2 x−.3 ln (sin2 x ). sin3 x ]
6'>Deria+,o i.;lJcita
52
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l=umas )un?Des so de)inidas impli*itamente. 9or e5emplo, a eBua?o da *ir*un)erAn*ia de raio
0e *entro J1,1 impli*itamente e5pressa pela eBua?o x2+ y2=25 e e5pli*itamente pela
eBua?o y=2√ 25− x2
.
2 )
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d ( x3+ y3 )dx
=d (6 xy )
dx
d x3
dx + d y
3
dx⏞
Re+rada soma
=6(dxdx
y+ dydx
x
)⏟ Re+rado produto
3 x2+3 y2
dy
dx=6 ( y+ dydx x)
3 y2 dy
dx−6
dy
dx x=6 y−3 x2
dy
dx (3 y2−6 x )=6 y−3 x2
dy
dx=
6 y−3 x2
3 y2−6 x
3.sin ( x+ y )= y2cosx
>amosadotaranotaçãodf
dx= f ' ou
dy
dx= y '
(sin ( x+ y ) ) ' =( y2cosx ) '
cos ( x+ y ) . ( x+ y )' =[ ( y2 )' cosx+(cosx ) ' y2 ]
cos ( x+ y ) (1+ y'
)=2 y y'
cosx−sinx y2
cos ( x+ y )+cos ( x+ y ) y ' =2 y y ' cosx−sinx y2
cos ( x+ y ) y ' −2 y y ' cosx=−sinx y2−cos ( x+ y )
y' [cos ( x+ y )−2 ycosx ]=−sinx y2−cos ( x+ y )
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y' =
dy
dx=−sinx y2−cos ( x+ y )
cos ( x+ y )−2 ycosx=
y2sinx+cos ( x+ y )
2 ycos−cos ( x+ y )
4. eterminardy
dx
nae4uação : x2 y− x y2+ x2+ y2=0
( x2 y− x y2+ x2+ y2 )' = (0 ) '
( x2 y )' −( x y2 )' +( x2 )' +( y2) ' =0
( x2 )' y+ y ' x2−[ ( x ) ' y2+ ( y2 )' x ]+2 x+2 y y ' =0
2 xy+ y ' x2−[ y2+2 yy ' x ]+2 x+2 y y ' =0
2 xy+ y ' x2− y2−2 yy' x+2 x+2 y y ' =0
y' ( x2−2 yx+2 y )= y2−2 xy−2 x
y' =
y2−2 xy−2 x
x2−2 yx+2 y
5. eterminardy
dxe
d2 y
d x2
nae4uação x2− xy+ y2=3
9rimeira derivada:
( x2− xy+ y2 ) ' =(3 ) '
2 x−[ ( x)'
y+ ( y ) ' x ]+2 y y'
=0
2 x−[ y+ ( y ) ' x ]+2 y y ' =0
2 x− y− y ' x+2 y y ' =0
y' (2 y− x )= y−2 x
55
8/17/2019 Derivadas Parte i Terminada Cálculo i Para Oficiais Da Marinha Mercante i 2016
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y' =
dy
dx=
y−2 x2 y− x
Se=unda derivada:
( y ' )' =( y−2 x2 y− x )
'
=(2 y− x ) ( y−2 x ) ' − (2 y− x ) ' ( y−2 x )
(2 y− x )2
y' ' =
d2 y
d x2 =
(2 y− x ) ( y ' −2 )−(2 y ' −1) ( y−2 x )(2 y− x )
2
y '' =d2
yd x
2 =2 y y'
−4 y− x y'
+2 x−2 y y'
+4 x y'
+ y−2 x(2 y− x )2
y'' =
d2 y
d x2 =
3 xy ' −3 y
(2 y− x )2 =
3 x ( y−2 x2 y− x )−3 y(2 y− x )2
=3 x ( y−2 x )−3 y (2 y− x )
(2 y− x )3
y'' =
d2 y
d x2 =
3 xy−6 x2−6 y2+3 xy
(2 y− x )3
=6(− x2− y2+ xy)
(2 y− x )3
y'' =
d2 y
d x2 =
6 (− x2− y2+ xy )
(2 y− x )3
= 6.−3
(2 y− x )3=
−18
(2 y− x )3=
−18
[−( x−2 y ) ]3=
18
( x−2 y )3
6'> So%tare! ;ara cálculo de deriada!
E5istem so)twares espe*ialiados para o *4l*ulo de limites, derivadas e inte=rais analiti*amente enumeri*amente. os destes so)twares so o @%L+ e o @%HE@%ICS.
2s *omandos @%L+ para determinar os limites e derivadas so:
a 9ara limites
limitJ)J5,a , limitJ)J5,5, a,\le)t\ e limitJ)J5,5,a,\ri=ht\, onde ]le)t\ e ]ri=ht\ so os *omandos
para *al*ular os limites F esBuerda e F direita, respe*tivamente.
; para derivadas
2s *omandos do @%L+ para a primeira e derivadas superiores so:
di))J)J5 para a primeira derivada
56
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57/61
di))J)J5,n para a ensima derivada
ntes de di=itar os *omandos, ne*ess4rio di=itar o *omando syms variável, onde variável é a
variável simbólica (x,y,z,etc.)
>amos ca!cu!arno-*?"*6 osva!ores de:
x→2−¿ x
2−4 x−2
x→2+¿ x
2−4 x−2
, e lim¿
¿
1.lim x →2
x2−4
x−2, lim
¿¿
7o 9rompt do @%L+:
WWsyms 5
WWlimitJJ5-'J5^-$,
ans O $
WWlimitJJ5^-$'J5-,5,,Xri=htX
ans O $
WW limitJJ5^-$'J5-,5,,Xri=htX
ans O $
x →0−¿ 1
x
x→0+¿ 1
x, e lim
¿¿
2.a¿ lim x →0
1
x, lim
¿¿
WWsyms 5
WWlimitJJ!'5,1
ans O7a7 Jno e5iste ¿
WW limitJJ!'5,5,1,Xri=htX
ans Oin)J +$ ¿
WW limitJJ!'5,5,1,Xle)tX
57
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ans O-in)J- $ ¿
3. primeirae se+undaderivadade 1
3− x
WWsyms 5
WW di))J!'J3-5
ans =1/(3-x)^2
>> diff(1/(3-x),2)
ans =2/(3-x)^3
9i*lio-ra%ia
a I6ES, 67K.Cálculo di%ere"cial e i"te-ral' Editora:@*Pra-Hill,!"/".
; LEI%H2L, Louis. O Cálculo co. )eo.etria A"alJtica. 6io de Naneiro: Harper _ 6owdo +rasil Ltda, 111.*H26,lan.CálculoB co"ceito! e a;lica+e!.6io de Naneiro:Editora Livro %*ni*o.113
; @(7E7-2(LIS. Cálculo. 6io de Naneiro: Editora Livro %*ni*o, 111.
* SK2SKI, E.. Cálculo co. -eo.etria a"alJtica' So 9auloQ Editora @*=raw-Hill do+rasil Ltda. 111.
d S%E6%, [email protected]álculo Volu.e I.So 9aulo: Editora Cen=a=e Learnin=, 1!3.
d 26P7I`2 @6b%I@ I7%E67CI27L. O%%icer i" C0ar-e o% a" E"-i"eeri"-atc0 @odel Course #.1$ London: I@2, !""".
58
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ANEOA
IDENTIDADES TRI)ONOM=TRICAS
1.sin2u+cos2u=1
2. sec2
u=1+ tan2
u
3.cosec2=1+ tan2
4.sin2 x=
1
2 (1−cos2 x )
5.cos2 x=
1
2 (1+cos2 x )
59
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6.sin2 x=2 sinxcosx
7. sinxcosy=1
2[sin ( x− y )+sin ( x+ y)]
8. sinxsiny=1
2 [cos ( x− y )−cos ( x+ y ) ]
9.cosxcosy=1
2 [cos ( x− y )+cos ( x+ y ) ]
10.1−cosx=2sin2( x2 )
11.1+cosx=2cos2( x2 )
12.12 sinx=12cos( ; 2− x)
!3. sin ( x2 y )=sinxcosy2sinycosx
14.cos ( x+ y )=cosxcosy−sinxcosy
!0. cos ( x− y )=cosxcosy+sinxcosy
16. sinx+siny=2sin ( x+ y2 )cos( x− y2 )
17. sinx−siny=2sin( x− y
2 )cos
( x+ y
2 )18.cosx+cosy=2cos ( x+ y2 )cos ( x− y2 )19.cosx+cosy=−2sin( x+ y2 )sin( x− y2 )
ANEO 9
60
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IDENTIDADES AL)=9RICAS
1. ( x+ y )2= x2+2 xy+ y2
2. ( x+ y )
3
= x3
+ y3
+3 x2
y+3 x y2
3. x3+ y3=( x+ y) ( x2− xy+ y2 )
4. x3− y3=( x− y )( x2+ xy+ y2 )
5. @ n−A n=( @ −A ) ( @ n−1+ @ n−2A + @ n−3A 2+1A n−1 )
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