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TEMA 2
El campo de la gravedad terrestre
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2.1.- Introducción
• Ley de gravitación de Newton (1687)
2Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre
m1
m2
l2
21
l
mmkF
2l
mkF m
l
P
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Componentes de la fuerza gravitatoria (F)
2.1.- Atracción y potencial
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 3
Introducimos un S.C.Rectangulares xyz ,
siendo las coordenadas de:
m ( , , )
P (x, y, z)
Las componentes de F son:
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2.1.- Atracción y potencial
Introducimos una función escalar:
Se puede verificar derivando:
Con notación vectorial:
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Potencial Gravitatorio
Las componentes de F son:
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2.2.- Potencial de un cuerpo sólido
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2.2.- Potencial de un cuerpo sólido
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 6
Por ejemplo:
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2.2.- Potencial de un cuerpo sólido
El potencial V satisface la ecuación Poisson:
donde:
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Operador Laplaciano
Ecuación de Laplace
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2.3.- La gravedad
Fuerza centrífuga:
f = ω2 p
f = ω2 p = (ω2 x,ω2 y,0)
Potencial centrífugo:
Así:
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2.3.- La gravedad
GRAVEDAD =Fuerza gravitatoria + Fuerza centrífuga
g = F + f
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Pot. de la GRAVEDAD = Pot. gravitatorio + Pot. centrífugo
W = V +
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2.3.- La gravedad
Derivando el potencial centrífugo:
y el potencial gravitatorio:
(ec. de Poisson)
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 10
Ecuación de Poisson generalizada para el potencial gravífico
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2.3.- La gravedad
El vector gradiente de W se llama vector gravedad
de componentes:
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2.3.- La gravedad
Dirección del vector gravedad (g)
Dirección de la plomada o la vertical
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g
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2.4.- Superficies de nivel y líneas de la plomada
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Superficies de nivel o Superficies equipotenciales
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2.4.- Superficies de nivel y líneas de la plomada
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 14
Diferenciando el potencial gravífico:
Usando notación vectorial, usando el producto escalar, se escribe:
donde:
Si el vector d se toma a lo largo de la sup. equipotencial (W=W 0 ),
entonces:
dW = 0 g · d =0
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2.4.- Superficies de nivel y líneas de la plomada
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 15
d900
dW = 0 g · d =0
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2.4.- Superficies de nivel y líneas de la plomada
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d1800
Puesto que:
Otra forma de esta ecuación:
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2.5.- El campo de la gravedad del
elipsoide de nivel
• 1ª aproximación.
• 2ª aproximación.
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ESFERA
ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
La función potencial normal queda determinada por:
1. La forma del elipsoide de revolución (semiejes, a y b)
2. La masa total M.
3. La velocidad angular.
= grad U
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
W (x,y,z) = U(x,y,z) + T (x,y,z)
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Pot. de la gravedad real
Pot. de la gravedad real Pot. Anómalo o Pot. perturbador
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 19
N altitud del geoide
ondulación del geoide
Vector anomalía de la gravedad Δg:
Δg = gp - Q
La diferencia en magnitud
Anomalía de la gravedad
La diferencia en dirección
Desviación de la vertical
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Componentes de la desviación de la
vertical:
Componente norte-sur:
Componente este-oeste:
Por la figura:
= -
= ( - ) cos
Esfera R=1
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
Tenemos las siguientes relaciones:
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Puesto que el elipsoide de referencia que se tomó
cumplía que: W0 = U0 (P está sobre el geoide y Q sobre el
elipsoide de referencia)
Fórmula de Bruns
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 22
Comparemos los vectores g y en el mismo punto P:
p
Vector perturbación de la gravedad
Su diferencia en magnitud es laperturbación de la gravedad
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
-Como hemos visto antes, el vector perturbación de la gravedad:
sabemos que :
por lo tanto:
-Ahora bien:
por lo tanto, la perturbación de la gravedad viene dada por:
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
-Puesto que:
tenemos
-Teniendo en cuenta Δg y F. Bruns:
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Perturbación de la gravedad
anomalía de la gravedad
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2.6.- El campo de gravedad anómalo
Otra forma equivalente a la anterior:
Tema 2.- El campo de la gravedad terrestre 25
Ecuación fundamental de la geodesia física
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Bibliografía
Geodesia física
Weikko A. Heiskanen, Helmut Moritz
Instituto Geográfico Nacional: Instituto deAstronomía y Geodesia, 1985
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