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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312Ene-Mar 2007

Practica 4 1

1. Determine cuales de las siguientes series son covergentes y cuales divergentes. (Razone su re-spuesta).

a)∑∞

n=1n

(4n−3)(4n−1) .

b)∑∞

n=1

√2n−1ln (4n + 1)n(n + 1).

c)∑∞

n=1n+12n .

d)∑∞

n=1| cos(nx)|

2n , con x ∈ R, fijado.

e)∑∞

n=1| cos(nx)|

n2 , con x ∈ R, fijado.

f)∑∞

n=1n!

(n+2)! .

h)∑∞

n=1n cos2(nπ/3)

2n .

2. Sea f : [1,∞) → R una funcion no negativa y creciente.

a) Aplique el metodo seguido en la demostracion del criterio de la integral para probar que:

n∑

k=1

f(k) ≤∫ n+1

1

f(x)dx ≤n+1∑

k=2

f(k).

b) Considere f(x) = ln x y deduzca las sigueintes desigualdades:

enne−n < n! < enn+1e−n.

Use este hecho para mostrar que las sucesiones{(n!)1/n

}y

{ne

}son asintoticamente

iguales.

c) ¿Que se puede concluir sobre la convergencia de la serie∑∞

n=1(n!)1/n?

3 Determine cuales de las siguientes series son covergentes y cuales divergentes. (Razone su re-spuesta).

a)∑∞

n=1(n!)2

(2n)! .

b)∑∞

n=1(n!)2

2n2 .

c)∑∞

n=12nn!nn .

d)∑∞

n=13nn!nn .

e)∑∞

n=1n!3n .

f)∑∞

n=1(1000)n

n! .

h)∑∞

n=1 rn|sen (nx)|, con x ∈ R fijado y r > 0.

4. Demuestre que limn→∞ n!nn = 0. (Sugerencia: Demuestre que la serie

∑∞n=1

n!nn es convergente).

1Prof. Yamilet Quintana.