em-p4-07
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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS MA2312 Ene-Mar 2007 Pr´actica4 1 1. Determine cu´ales de las siguientes series son covergentes y cu´ales divergentes. (Razone su re- spuesta). a) ∑ ∞ n=1 n (4n-3)(4n-1) . b) ∑ ∞ n=1 √ 2n-1 ln (4n + 1)n(n + 1). c) ∑ ∞ n=1 n+1 2 n . d) ∑ ∞ n=1 | cos(nx)| 2 n , con x ∈ R, fijado. e) ∑ ∞ n=1 | cos(nx)| n 2 , con x ∈ R, fijado. f) ∑ ∞ n=1 n! (n+2)! . h) ∑ ∞ n=1 n cos 2 (nπ/3) 2 n . 2. Sea f : [1, ∞) → R una funci´on no negativa y creciente. a) Aplique el m´ etodo seguido en la demostraci´on del criterio de la integral para probar que: n X k=1 f (k) ≤ Z n+1 1 f (x)dx ≤ n+1 X k=2 f (k). b) Considere f (x) = ln x y deduzca las sigueintes desigualdades: en n e -n <n! < en n+1 e -n . Use este hecho para mostrar que las sucesiones ' (n!) 1/n “ y ' n e “ son asint´ oticamente iguales. c) ¿Qu´ e se puede concluir sobre la convergencia de la serie ∑ ∞ n=1 (n!) 1/n ? 3 Determine cu´ales de las siguientes series son covergentes y cu´ales divergentes. (Razone su re- spuesta). a) ∑ ∞ n=1 (n!) 2 (2n)! . b) ∑ ∞ n=1 (n!) 2 2 n 2 . c) ∑ ∞ n=1 2 n n! n n . d) ∑ ∞ n=1 3 n n! n n . e) ∑ ∞ n=1 n! 3 n . f) ∑ ∞ n=1 (1000) n n! . h) ∑ ∞ n=1 r n |sen (nx)|, con x ∈ R fijado y r> 0. 4. Demuestre que lim n→∞ n! n n = 0. (Sugerencia: Demuestre que la serie ∑ ∞ n=1 n! n n es convergente). 1 Prof. Yamilet Quintana.
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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312Ene-Mar 2007
Practica 4 1
1. Determine cuales de las siguientes series son covergentes y cuales divergentes. (Razone su re-spuesta).
a)∑∞
n=1n
(4n−3)(4n−1) .
b)∑∞
n=1
√2n−1ln (4n + 1)n(n + 1).
c)∑∞
n=1n+12n .
d)∑∞
n=1| cos(nx)|
2n , con x ∈ R, fijado.
e)∑∞
n=1| cos(nx)|
n2 , con x ∈ R, fijado.
f)∑∞
n=1n!
(n+2)! .
h)∑∞
n=1n cos2(nπ/3)
2n .
2. Sea f : [1,∞) → R una funcion no negativa y creciente.
a) Aplique el metodo seguido en la demostracion del criterio de la integral para probar que:
n∑
k=1
f(k) ≤∫ n+1
1
f(x)dx ≤n+1∑
k=2
f(k).
b) Considere f(x) = ln x y deduzca las sigueintes desigualdades:
enne−n < n! < enn+1e−n.
Use este hecho para mostrar que las sucesiones{(n!)1/n
}y
{ne
}son asintoticamente
iguales.
c) ¿Que se puede concluir sobre la convergencia de la serie∑∞
n=1(n!)1/n?
3 Determine cuales de las siguientes series son covergentes y cuales divergentes. (Razone su re-spuesta).
a)∑∞
n=1(n!)2
(2n)! .
b)∑∞
n=1(n!)2
2n2 .
c)∑∞
n=12nn!nn .
d)∑∞
n=13nn!nn .
e)∑∞
n=1n!3n .
f)∑∞
n=1(1000)n
n! .
h)∑∞
n=1 rn|sen (nx)|, con x ∈ R fijado y r > 0.
4. Demuestre que limn→∞ n!nn = 0. (Sugerencia: Demuestre que la serie
∑∞n=1
n!nn es convergente).
1Prof. Yamilet Quintana.
