GRADIENTES
GRADIENTE ARITMÉTICO. GRADIENTE GEOMÉTRICO.
COMPETENCIAS:
CONCEPTUAL: Define la Renta Gradiente. Diferencia el gradiente Aritmético y gradiente Geométrico. Identifica los factores financieros para cálculos del Valor Presente y Valor futuro
en gradientes Aritméticos y gradientes Geométricos. . Diferencia “G” y “g” en las clases de gradientes.PROCEDIMENTAL: Analiza los factores que intervienen en el problema. Representa gráficamente, apoyándose en diagramas temporales. Aplica los Factores Financieros para dar solución a los problemas planteados. Resuelve los problemas planteados en las clases de gradientes tanto para “P”,
“S” y “R”. Evalúa los resultados obtenidos.ACTITUDINAL: Asume la solución del problema con seriedad. Comparte con sus compañeros conceptos previos y presentes. Asume el compromiso de seguir practicando dentro y fuera de clase. Valora la utilidad de los conocimientos adquiridos y lo aplica en casos reales.
GRADIENTE
DEFINICIÓN: Una Serie de gradientes es una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo y que aumentan o disminuyen de acuerdo a una serie establecidaLa cantidad constante de aumento o disminución recibe el nombre de gradiente y la cantidad usada como inicio de la serie recibe el nombre de base.CLASES DE GRADIENTES.1.- Gradiente Aritmético o Lineal.2.- Gradiente Geométrico.
GRADIENTE ARITMÉTICO.- Las anualidades cuyas rentas experimentan variaciones aritméticas pueden descomponerse en una anualidad de las cuotas bases y en una anualidad de los gradientes uniformes, siendo la cuota base igual a la primera renta.Sí G>0, es un gradiente lineal creciente.Sí G<0, es un gradiente lineal decreciente.
GRADIENTE GEOMÉTRICO.- Es una serie de gradientes geométricos los pagos varían en progresión geométrica esto es, cada pago es igual al anterior multiplicado por una constante g, llamada el gradiente geométrico. Si g>0 , la serie gradiente es creciente.Sí g<0, la serie gradiente será decreciente.
DETERMINACIÓN DEL GRADIENTE Y DEL ÚLTIMO TÉRMINO .-GRADIENTE ARITMÉTICO.-
CÁLCULO DE “G” ÚLTIMO TÉRMINO PARA “G”
11
nRR
G n GnRRn *11
GRADIENTE GEOMÉTRICO.-
CÁLCULO DE “g” ÚLTIMO TÉRMINO PARA “g”
100*11
n
n
RR
g 11 1* n
n gRR
G=??
G=??
Períodos de tiempo
TIPOS DE GRADIENTES:Las rentas pueden ser:1.- Gradiente Lineal Creciente.- Cuando varían en progresión aritmética; en este caso las gradientes son uniformes.
2.- Gradiente Lineal Decreciente.- Tener gradientes negativos, cuando los importes de Las rentas de la anualidad experimentan un decremento en el horizonte temporal.
Períodos de tiempo
0 120 240 600 480
TEA = 60%
360
625660
695 730765
1200 días
?????
GRÁFICO # 1
GRÁFICO # 2
0 1 2 3 4
a
14 n = 15 meses
820
2500TNA=50%m=C/20 días
3.- Gradiente Exponencial Creciente.- Al variar en progresión geométrica; en este caso, Los gradientes son no uniformes y G>0.
4.- Gradiente Exponencial Decreciente.- Al variar en progresión geométrica; en este caso. las gradientes son no uniformes y G<0.
g=??
g=??
Períodos de tiempo
Períodos de tiempo
0 15 30 45 60 75 90 105 días
1400
15121632.96
?????
?????
??????????TNM=4.95%.
m=c/ 20días
GRÄFIC0 # 3
0 1 2
TNM=5.25%;m=C/10 días
n= 10 meses
4500
9
2836.12
4275
GRÁFICO # 4
ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA.-En una anualidad cuyas rentas varían en progresión aritmética, los gradientes son uniformes, es decir, la diferencia entre una renta y la anterior es siempre la misma.
Aplicación 1.-Dibuje una serie de flujos de caja para la empresa Norsur, que introdujo un nuevo producto al mercado, cuyas ventas mensuales se proyectan en S/. 1000, por la evolución de su posicionamiento en el mercado, espera que al término del sexto mes las ventas mensuales alcanzan a S/. 12 500 y los incrementos se distribuyen de manera uniforme durante dicho período.
Anualidad con rentas que varían en progresión aritmética.
GRADIENTE ARITMÉTICO.-
0 1 2 3 4 5 n
R+G
R
R+2G
R+3G
R+4G R+(n-1)*G
Renta Uniforme
Períodos de tiempo
Datos:Cuota Base = 1000Cuota 6to mes = 1250n= 6 meses
50016
1000012500
1
n
VariaciónGradiente
meses
niG
n
n
G
nn
n
G
FASGGP
i
nii
iGP
i
n
ii
ii
GP
;.
1
111
11
111
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES UNIFORMES CONVENCIONALES.-
FASG i;n = Factor de actualización de la serie de gradientes uniformes y se lee: “El FASGa una tasa i por períodos de gradientes uniformes transforma una anualidad compuestapor gradientes uniformes convencionales G en un valor presente PG”.
VALOR PRESENTE DE LAS RENTAS TOTALES:
GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP
Aplicación 1:En la siguiente gráfica de gradientes aritméticos, considere una TEM=2%¿Calcular el Valor Presente?
DATOS:G= 500R=10000n=6 periodos c/mesTEM=2%
niUNIFORMESRENTAS
n
n
G
niG
FASRP
i
nii
iGP
FASGGP
;
,
*
1
111
*
FÓRMULA:
meses
niniTotal FASGGFASRP ,, **
3089.56014
60143089.5*10000%2
)%)21(1(*10000
*100006
6%,2
P
P
P
FASPEl Valor Presente de Rentas Uniformes:
El Valor Presente Total= P G + P Rentas Uniformes PTOTAL = 6840.06 + 56014.31PTOTAL = S/. 62854.37
Cálculos:
06.6840
)327828293.5601430891.5(*50*500
%21
6%2%211
%21
*500 6
6
G
G
G
P
P
P
Valor Presente de Gradientes:
Aplicación 2:Se requiere calcular el valor presente de los gradientes uniformes convencionales de unaAnualidad en cuyo horizonte temporal semestral se realizan 6 cuotas mensuales crecientes aritméticamente, cuya cuota base es S/. 1000 y su gradiente uniforme es S/. 100. Para esta Operación utilice un TEM de 1.5%.
0 1 2 3 4 5 6 meses
RENTA UNIFORME
10001100
1200
13001400
1500
GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP
Datos:G= 100n=6 periodos mensualesTEM=1.5%PG=¿?????
niUNIFORMESRENTAS
n
n
G
FASRP
i
nii
iGP
;*
1
111
RENTAS TOTALES:PG= G*FASG 1.5%,6 = 100*(1/1.5%*((1-(1+1.5%)^-6)/1.5%-6/(1+1.5%)^6))PG= 100*13.9956007
niUNIFORMESRENTAS
G
FASRP
P
;
6
6
*
%5.11
6%5.1%5.111
%5.11
*100
75.7096
56.139919.5697
19.5697
69718717.5*1000
*1000
Re
Re
6%,5.1Re
TOTAL
TOTAL
Uniformesntas
Uniformesntas
Uniformesntas
P
P
P
P
FASP
EL VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE.-
niG
n
G
FCSGGS
nii
iGS
;*
111*
FSCG i;n = Factor de Capitalización de la Serie de Gradientes Uniformes, que se lee“ El FSCG i;n a una tasa i por período durante n períodos de gradientes capitaliza unaAnualidad compuesta por gradientes uniformes convencionales G”Aplicación 1:
En la siguiente gráfica de gradientes aritméticos, considere una TEM=2%¿Calcular el Valor Futuro?
GUNIFORMESRENTASTOTAL
niniTOTAL
SSS
FCSGGFCSRS
;; **
meses
Aplicación 3:Cierta empresa pide prestada una cierta cantidad de dinero y firma un contrato Mediante un pagaré el cual estipula la obligación de pagar S/. 7 500 cada final de mes , durante un año aumentando los pagos sucesivos en S/.500 cada mes. Sí la tasa de interés es del 32% anual capitalizable cada mes. ¿Encuentre la cantidad de dinero que la empresa pidió prestada?
Datos: Fórmula:
Solución:
RPTA:
PGRADIENTE= 26336PRENTA UNIFORME= 76162PTOTAL = 102499
Datos:R=10000G=500TEM=2%n= 6 meses
GUNIFORMESRENTASTOTAL
niniTOTAL
nn
TOTAL
SSS
FCSGGFCSRS
nii
iG
ii
RS
;; **
111*
11*
Fórmulas:
Cálculos:
23.70784
02408.77032096.63081
6%2
1%21%21
*500%2
1%21*10000
66
TOTAL
TOTAL
TOTAL
S
S
S
El Monto equivalente es : S/. 70 784.23
Aplicación 2:
Se requiere calcular el Valor Futuro de los gradientes uniformes convencionales de unaAnualidad en cuyo horizonte temporal semestral se realizan 6 cuotas mensuales crecientes aritméticamente, cuya cuota base es S/. 1000 y su gradiente uniforme es S/. 100. Para esta operación utilice un TEM de 1.5%.
Datos: Fórmula
Cálculos:
RPTA:SRentas Uniformes 6229.55SGRADIENTES 1530.34STOTAL 7759.89
CONVERSIÓN DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES ARITMÉTICOS EN UNA ANUALIDAD DE RENTAS UNIFORMES.-¿Cómo puede transformarse una anualidad compuesta por gradientes uniformes convencionales debido a que la gradiente se inicia en la segunda cuota, en una anualidad simple equivalente cuyas rentas sean uniformes?.
niG
nG
FRCGGR
i
ni
GR
,*
11
1*
FRCGi;n = Factor de gradientes uniformes el FRCGi;n a una tasa i por período durante nPeríodos de gradientes transforma una anualidad compuesta por gradientes convencionales G en una serie de rentas uniformes equivalentes.
Aplicación 1:Una anualidad con horizonte temporal de 2 años se compone de 8 rentas trimestrales que se distribuyen uniformemente en este plazo. La primera cuota base es de S/. 500 y las demás se incrementan en S/. 50 en cada trimestre. Si se requiere preparar una alternativa que considere todas las cuotas uniformes. ¿Cuál sería la cuota uniforme equivalente que reemplace la anualidad de gradientes de S/. 50?. Para estos efectos . Utilice una TET=2%.
GRADIENTESUNIFORMESRENTASEEQUIVALENT RRR
Interpretación: La anualidad de gradientes uniformes es equivalente a otra renta Uniforme ascendente a 169.80 um cada una. Este importe sumando la cuota base
89.669
80.169500
UNIFORMEEEQUIVALENT
EEQUIVALENT
GRADIENTESUNIFORMESRENTASEEQUIVALENT
R
R
RRR
Datos:G= 50N=8 trimestresTET= 2%
niG
nG
FRCGGR
i
ni
GR
,*
11
1*
Fórmula:
80.169
1%21
8
%2
1*50 8
G
G
R
R
Cálculos:
Aplicación 2:Se desea comprar un terreno que tiene precio de contado de $ 95000. Si ofrece pagar un enganche de $ 15500 y el resto lo va a pagar mediante una amortización mensualdurante 8 años. ¿Cuál debe ser el valor de la primera renta base si cada uno de los Siguientes pagos puede ser incrementado en $48.?. La tasa de interés es el 27.6% capitalizable c/ mes.
Datos:PC= 95 000CI=15500P=80000n= 96 mesesG= 48TNA=27.6%m=Capitalizable C/ mesR=¿???? (Primera renta base)
Fórmulas:
niUNIFORMESRENTAS
n
n
G
FASRP
i
nii
iGP
;*
1
111
96%,3.296%,3.2 *48*80000 FASGFASR RPTA: R=$572.05
Aplicación 3:La compañía ABC tiene los siguiente flujos de caja mensuales proyectados:Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Flujo de Caja 0 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Utilizando una TEM=4%. ¿Calcule:a.- La renta uniforme de los gradientes.b.- La renta uniforme equivalente.Datos: Fórmula
Cálculos:
RPTA:
RG 74.78
RRenta uniforme Equivalente 174.78
Aplicación 4:
Una empresa musical desea comprar un equipo de sonido, cuyo precio de contado es de$4000. Lo que puede adquirir sin enganche a 6 meses de plazo. Si la tasa de interés es de 33% capitalizable cada mes. ¿Cuál debe ser el valor de su primera mensualidad, si cada Uno de los siguientes pagos se incrementarán en $ 95?.
Datos: Fórmulas:
Solución:
RPTA:R=$502.30 (Renta Equivalente Uniforme)
GRADIENTES UNIFORMES DESFASADOS:
Una anualidad con gradientes uniformes desfasados es aquella cuyos períodos de rentas Son uniformes, pero el primer gradiente no nulo aparece luego de la segunda renta.Por ejemplo:El primer gradiente no nulo aparece al finalizar el quinto período:
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DE GRADIENTES UNIFORMES DESFASADOS
kn
n
Gii
nii
iGP
1
1*
1
111*
0 1 2 3 4 5
K= períodos desfasados de la renta de gradientes aritméticos
Aplicación 1:
En el siguiente diagrama de flujo de caja mensual:
a.- ¿Calcular el valor presente de la anualidad de gradientes uniformes desfasados?
b.- ¿Calcular el valor presente de toda la anualidad?Para ambos casos utilice una tasa efectiva TEM= 3%.
0 1 2 3 4 5 6
44.1650
94.140351.246
94.1403
10119692119.7*200
%3%311
*200
*200
51.246
)942595909.(*)02490554.5417191444.5(3333333.33*20
%31
1*
%31
6%3%311
%31
*2
8
8%,3
26
6
TOTAL
TOTAL
UNIFORMESRENTAS
UNIFORMESRENTAS
UNIFORMESRENTAS
UNIFORMESRENTAS
G
G
G
P
P
P
P
P
FASP
P
OP
OP
GRADIENTE NEGATIVO:En una anualidad con gradientes uniformes negativos convencionales, la primerarenta es el flujo mayor de la serie, la misma que disminuye en una cantidad constante.anteriormente , la única diferencia es que G es negativo.
niniTOTAL
n
nn
P
nn
nn
TOTAL
FASGGFASRP
i
nii
iG
ii
R
i
n
ii
ii
Gii
RP
TOTAL
,, **
1
111*
11*
11
111)*(
11*
0 1 2 3 4 5 6 meses
750800
700650 600
550
RPTA: 3679.94
Aplicación 1:En el siguiente esquema de flujos de caja mensual, utilizando un TEM=3%. ¿CalculeEl Valor Presente?
Datos:
Fórmula
n
n
niTOTALi
nii
iGFASRP
1
111* ,
PRentas uniformes 4333.75
PRenta Gradientes -653.80984
Prentas Totales 3679.94
ANUALIDADES CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
R=Cuota Base(1+g) = Razón de crecimiento geométrico.
0 1 2 3 4 n-1 n
R R*(1+g)R*(1+g)2
R*(1+g)3
R*(1+g)4
R*(1+g)n-2R*(1+g)n-1
5
niG
nG
FRCGGR
i
ni
GR
,*
11
1*
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g≠i
n
n
n
n
i
gR
i
gR
i
gR
i
gRi
RP
1
1
1
1......
1
1.
1
1.1
1
1
2
3
2
2
La obtención de la fórmula de valor presente cuando g≠ i
igig
i
RP
ig
ig
iR
P
nn
n
n
11
1
111
111
1
Aplicación 1:¿Calcular el valor presente de un Préstamo que devenga a una tasa de interésTNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementandoen un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.
Datos:n= 24 cuotas trimestralesTET= 3%R= 500g= 5%
Fórmulas:
)(11
1 igig
i
RP
nn
n
Aplicación:
39.14663
%3%5%31%51
%31
500 2424
24
P
P
Aplicación 2:En el siguiente esquema, aplicando una TEM= 4%. ¿Calcular el valor Presente con rentas geométricas?
Datos:R= 100g= 5%TEM= 4%n= 6 meses
)(
11
1 ig
ig
i
RP
nn
n
Fórmulas:
0 1 2 3 4 5
105
100
110.25
115.78121.55 127.63
6 meses
RPTA:590.97
Aplicación 3:
¿Calcular el importe neto de una deuda que es pagadera en 3 años a la tasa del48% efectivo anual y del siguiente modo:Durante este plazo las cuotas son trimestrales comienzan con S/. 1000 y crece en un 5% con relación al inmediato anterior?
Datos: Fórmulas:
Aplicación:
RPTA:
P= =1000/(1+10.2974%)^12*((1+5%)^12-(1+10.2974%)^12)/(5%-10.2974%)P= 8419.74
ig
igRS
nn 11*
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Aplicación 1:El alquiler de un local comercial es S/. 5000, anuales, pago que debe depositarse al final de cada año, si los alquileres se incrementan de acuerdo a la inflación, que es 3% anual. Si los depósitos están colocados a una TEA del 8%. ¿Calcule el monto obtenido después de 15 años?
S=5000*((1+3%)^15-(1+8%)^15)/(3%-8%)S=S/. 161 420.17
RPTA:
Datos:R= S/. 5 000g= 3% c/ añoTEA=8%n = 15 años
Aplicación 2:¿Calcular el valor Futuro de un Préstamo que devenga a una tasa de interésTNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementandoen un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.
Datos: Fórmula:n= 24 cuotas trimestralesTET= 3%R= 500g= 5%
S=500*((1+5%)^24-(1+3%)^24)/(5%-3%)S=S/. 29807.65
RPTA:
ig
igRS
nn 11*
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN ENPROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g=i
)1( gnR
P
Aplicación 1:
Para un proyecto que tiene una vida útil de 5 años se ha estimado que el primer Flujo de caja anual es de S/. 30000 y los siguiente flujos anuales experimentanUna razón de crecimiento geométrico de 20% cada año. ¿Calcule el valor presente de estos Flujos de caja considerando el costo de oportunidad de capital es del 20%?
125000
%)201(
30000*5
P
P
Cálculo de la cuota base de una anualidad con rentas que varían mediante Una progresión geométrica. Cuando g≠ i
nn
n
ig
igiPR
11*1*
Aplicación 1:
Un banco le presta a un cliente $560 000 con un interés del 35% capitalizable cada mes. El deudor tiene un plazo de 5 años para amortizar la deuda.Sí el primer pago vence dentro de un mes y de ahí en adelante cada pago se Reajusta en un 2% más cada mes . ¿Cuál debe ser el valor del primer pago mensual?Datos:P=560000n= 60 períodos mensuales.g= 2%TEM=2.9167%
03.12358
%9167.21%21
%9167.2%2*%9167.21*560000 6060
60
R
R
nn
n
ig
igiPR
11*1*
Fórmula:
Cálculos:
Aplicación 2:¿Calcule la primera cuota de la anualidad creciente geométricamente cuyoValor presente es de S/. 5000. Siendo 20 cuotas trimestrales con un crecimiento Geométricamente de 4% cada trimestre y la TEM= 1.639635681%
Datos: Fórmulas:
Solución:
RPTA: S/. 287.04
CÁLCULO DE LA CUOTA BASE DE UNA ANUALIDAD CON RENTAS QUE VARÍAN EN
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO g=i
ngP
R)1(*
Aplicación 1:Con los siguiente datos:TEM= 1%g= 1%n= 24 cuotas de C/ 30 díasPg = 30 000
137524
%11*30000
R
R
ELABORACIÓN DE TABLAS DE AMORTIZACIÓN:
P= 10000TET= 5%g= 3%n= 6 trimestres
R= =10000*(1+5%)^6*((3%-5%)/((1+3%)^6-(1+5%)^6))R= 1835.20
# de pagos
Renta con Gradiente
Geométrico INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO DEUDOR
0 100001 1835.20 500.00 1335.20 8664.802 1890.26 433.24 1457.02 7207.783 1946.96 360.39 1586.57 5621.214 2005.37 281.06 1724.31 3896.905 2065.53 194.84 1870.69 2026.216 2127.50 101.31 2026.19 0.0
Aplicación1:
ELABORAR LA TABLA DE AMORTIZACIÓN PARA LIQUIDAR LA DEUDA
¿Calcular un Préstamo Bancario que devenga a una tasa de interés TNA= 11.88196086% capitalizable C/30 días otorgado para amortizar en el lapso de 6 años con cuotas trimestrales vencidas de S/. 500 que se irán incrementando en un 5% C/ cuota con relación a la anterior?.
Aplicación 2:
TNA= 11.88196086%m= C/ 30 díasTET= 3%n= 24 trimestresR= 500g= 5%P= =500/(1+3%)^24*((1+5%)^24-(1+3%)^24)/(5%-3%)P= 14663.39
ELABORAR LA TABLA DE AMORTIZACIÓN PARA LIQUIDAR LA DEUDA
# de pagos
Renta con Gradiente
Geométrico INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO DEUDOR
0 14663.391 500.00 439.90 60.10 14603.292 525.00 438.10 86.90 14516.393 551.25 435.49 115.76 14400.634 578.81 432.02 146.79 14253.845 607.75 427.62 180.14 14073.706 638.14 422.21 215.93 13857.777 670.05 415.73 254.31 13603.468 703.55 408.10 295.45 13308.019 738.73 399.24 339.49 12968.52
10 775.66 389.06 386.61 12581.9111 814.45 377.46 436.99 12144.9212 855.17 364.35 490.82 11654.1013 897.93 349.62 548.31 11105.8014 942.82 333.17 609.65 10496.1515 989.97 314.88 675.08 9821.0616 1039.46 294.63 744.83 9076.2317 1091.44 272.29 819.15 8257.0818 1146.01 247.71 898.30 7358.7919 1203.31 220.76 982.55 6376.2420 1263.48 191.29 1072.19 5304.0521 1326.65 159.12 1167.53 4136.5222 1392.98 124.10 1268.89 2867.6423 1462.63 86.03 1376.60 1491.0424 1535.76 44.73 1491.03 0.0
Aplicación 3:
RPTA:PRentas Uniformes 76162.44
PG= 26336.49
PTOTAL 102498.93
# de pagos
Renta con Gradiente Aritmético INTERÉS AMORTIZACIÓN
SALDO DEUDOR
0 102498.931 75002 80003 85004 90005 95006 100007 105008 110009 11500
10 1200011 1250012 13000 0.00
Cierta empresa pide prestada una cierta cantidad de dinero y firma un contrato Mediante un Pagaré el cual estipula la obligación de pagar S/. 7500 cada final De mes, durante un año aumentando los pagos sucesivos en S/. 500 cada mes.Sí la tasa de interés es de 32% capitalizable cada mes. a.- ¿Calcule cuanto prestó la Empresa?.b.- Elabore la Tabla de Amortización?.
TEA=40%
0 1 2 3 8 9 10 meses
1200
2 865Gradiente Aritmético
niUNIFORMESRENTAS
n
n
G
niG
FASRP
i
nii
iGP
FASGGP
;
,
*
1
111
*
En la gráfica #1:
a.- ¿Calcular G?.b.- ¿Cuál es el Principal o Valor Actual?.c.- ¿Cuál es el Monto o Capital Final?.d.-Elabore la Tabla de Amortización.
8 9 10 meses
niUNIFORMESRENTAS
n
n
G
niG
FASRP
i
nii
iGP
FASGGP
;
,
*
1
111
*
GUNIFORMESRENTASTOTALRENTA PPP GUNIFORMESRENTASTOTAL SSS
0 1 2 3 5 6 7 meses
650
TNA = 40%m=C/ 30 días 728
???????
En la gráfica:
a.- ¿Calcular la última renta?.b.- ¿Cuál es el valor actual o Principal?.c.- ¿Cuál es el valor Futuro o Monto?.d.- Elabore la Tabla de Amortización.
Aplica las fórmulas de Gradientes Aritméticos y Geométricos. Resuelve problemas de Gradientes , asociando los factores financieros.
Logros obtenidos