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El presente material es facilitado sólo a los efectos que no tengan que tomar apuntes los
alumnos (Turno 5, Cátedra de Física de la Facultad de Ingeniería de la UBA) de lo que se
explica en el pizarrón, por esto recomiendo que no estudien de él, sino que lo hagan a través
de los libros que se encuentran en nuestra biblioteca. Sólo estos podrán garantizar un buen
nivel académico, ya que el contenido de los mismos es más extenso y profundo que lo que
puede contener un apunte.
Los libros recomendados son:
1. Física Elemental, Paul Tipler
2. Física Elemental, Resnik
3. Física, Clásica y Moderna; Gettys; Keller y Skove
4. Physics; Young
5. Física Universitaria; Seras Zemansky
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Índice Índice ...................................................................................................................................... 1 Consideraciones generales.......................................................................................................... 3 ¿Dónde falla nuestro razonamiento?............................................................................................. 3 Definición ................................................................................................................................. 4 Cuerpo rígido (definición) ........................................................................................................... 4 Velocidad angular ...................................................................................................................... 7 Energía cinética de rotación ...................................................................................................... 14 Energía cinética de rototraslación .............................................................................................. 14 Tensor de inercia..................................................................................................................... 14 Equilibrio del cuerpo rígido........................................................................................................ 16 Teorema de Steiner o de ejes paralelos. ..................................................................................... 17 Cuerpo rígido rotante ............................................................................................................... 19 Estudio de la rotación de un cuerpo rígido................................................................................... 22 Revisión de momento cinético ................................................................................................... 23 Ecuaciones del movimiento ....................................................................................................... 24 Conservación del momento angular o momento cinético ............................................................... 25 Momento de inercia variable ..................................................................................................... 25 Las fuerzas centrales y la conservación del momento cinético........................................................ 27 Movimiento de un giróscopo...................................................................................................... 28
Bicicleta.............................................................................................................................. 30 Ejemplos de cálculo de momento de inercia ................................................................................ 32 Solución ................................................................................................................................. 32 ¿Para donde girará el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento? .................................................. 38 ¿Qué sucede a distintos ángulos "a"? ......................................................................................... 41 Incoherencias ......................................................................................................................... 43 Pregunta de interés ................................................................................................................. 45 Ejercicio � enunciado general .................................................................................................... 46
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Consideraciones generales La segunda ley de Newton, nos permite afirmar que
amFn
ii
rr•=∑
=1
Ecuación 1
Pero esta ecuación garantiza que el cuerpo no se traslade, si la velocidad
inicial es cero, o en su defecto se mueve a velocidad constante, ya que en la
primera ley, se aprecia que no se pueden diferenciar estos estados (uno del
otro).
La primera ley dice, �….todo cuerpo permanece en reposo o en
movimiento rectilíneo y uniforme si la resultante de fuerzas sobre él
es cero…..�
Pero esto no permite afirmar que el cuerpo no se mueva, sólo caberla la
posibilidad de que rote alrededor de un punto, que denominaremos centro
de masa y que la Ecuación 1, se encuentra aplicada en dicho punto.
Por lo tanto no es verdad que la segunda ley nos permita afirmar que el
cuerpo no se mueve si es que tiene inicialmente velocidad cero, respecto a
un sistema de referencia inercial (SRI).
¿Dónde falla nuestro razonamiento? Evidentemente no le podremos encontrar explicación si no remontamos el
concepto que nos permitió describir la ecuación anterior, que es la mecánica
Newtoniana.
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Definición La mecánica newtoniana o mecánica vectorial es una formulación específica
de la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y sólidos en
un espacio euclídeo tridimensional. Aunque la teoría es generalizable, la
formulación básica de la misma se hace en sistemas de referencia inerciales
donde las ecuaciones básicas de los movimientos se reducen a las Leyes de
Newton, en honor a Isaac Newton quien hizo contribuciones fundamentales
a esta teoría.
Nosotros hemos estudiado los cuerpos como partículas y a los cuerpos
extensos los hemos simplificados como puntos materiales, es aquí donde el
modelo matemático que hemos tomado de la realidad presenta falencias,
por lo que se hace necesario replantear dicho modelo para estudiar los
cuerpos extensos o también como lo denominaremos nosotros cuerpo rígido.
Cuerpo rígido (definición) Independientemente de cómo se mueva un cuerpo, la distancia entre dos
partículas cualesquiera que la forman, permanece constante. Este sistema
se denomina cuerpo rígido1. Por lo que podemos pensar
Figura 1
1 Definición tomada del libro: �Física, tomo 1, autor Paul A. Tipler, Editorial Reverté. Edición 1976
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Según la transformación de Galileo que es una transformación de
coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton.
La condición anterior equivale a que la transformación entre las
coordenadas de un sistema de referencia inercial y otro sistema inercial que
se mueve respecto al primero. Según esta transformación podemos escribir
OO vvv 1212rrr
+= Ecuación 2
Además, dado que �x21� permanece constante por definición, podemos
escribir que
102021
21 0 vvdtxd
v rrrr
r=⇒==
Ecuación 3
Esto quiere decir que la proyección del vector velocidad de dos puntos sobre
el eje que los une debe ser la misma, caso contrario el cuerpo se deformará
y no cumple con la definición de cuerpo rígido.
Aunque todos los cuerpos en la naturaleza son deformables, en mayor o
menor medida, la aproximación a un cuerpo rígido en el estudio del
movimiento de un sistema, facilita y simplifica en análisis.
Para comprender mejor el tema pensemos en cuatro esferas de masa no
despreciable que se encuentran montadas en los vértices de un cuadro, tal
como se muestra en la Figura 2, la Ecuación 1 la podemos aplicar en un solo
punto como ya hemos dicho, este es el punto �O�, que se encuentra sobre
el segmento �AB�.
Podemos definir al centro de masas de un sistema discreto como el punto
geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a
la resultante de las fuerzas externas del sistema.
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Figura 22
Para un sistema de masas discreto, o cuasipuntuales formado por un
conjunto de masas el centro de masas (CM) se puede calcular como:
∑
∑
=
=
•= n
ii
n
iii
CM
m
mrR
1
1
rr
Ecuación 4
El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el
punto geométrico definido como
2 Imagen tomada del libro Sears de Addison Wesley
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∫∫∫ •=
•= dmr
Mdm
dmrRCM
rr
r 1
Ecuación 5
La Ecuación 5, se utiliza en el caso que la masa se encuentre distribuida
uniformemente. Pero, si la densidad o la masa no es constante la expresión
anterior se debe escribir como
∫∫∫ ••=
••=
R
r
R
rCM dVr
Mdm
dVrR
0 )(0 )( 1
v
v rr
rδ
δ
Ecuación 6 – La resolución de la integral dependerá de la función de densidad
Velocidad angular En física, la velocidad angular ω es una medida de la velocidad de rotación.
Se mide en radianes por segundo (o simplemente s-1 porque los radianes
son adimensionales). La razón de ello es que una revolución completa es
igual a 2π radianes.
dtdθω =
r
Figura 3 – El vector velocidad angular es perpendicular al plano de rotación.
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Debido a lo antedicho la velocidad de un punto �P� respecto a un punto �O�
que se traslada se puede escribir como
POoP rvv rrrr×+= ω
Ecuación 7 – Válida para un SRI
Volviendo a la definición de cuerpo rígido, podemos pensar entonces que los
puntos P1 y P2 pueden tener velocidades cuales quiera, pero se debe cumplir
que la proyección de las velocidades sobre el eje que une estos dos puntos
debe ser la misma.
Figura 4
Por otro lado si pensamos en que cada punto describe un movimiento y lo
asociamos a una trayectoria, se debe cumplir que el vector velocidad es
tangente dicha trayectoria, por definición. Pero la condición de tangencia de
una recta a una curva es que sea perpendicular la tangente al radio del
circulo oscilador. Por ende si trazamos sendas perpendiculares a los
vectores velocidad de los puntos 1 y 2, estas se intersecan en el lo que
denominaremos Centro Instantáneo de Rotación (CIR).
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Figura 5 – En un robot es importante el conocer la
velocidad y aceleración de cada punto
Esto permitirá encontrar la velocidad de cualquier otro punto como por
ejemplo, la del punto �3�.
Figura 6
En base a la Figura 6, podemos deducir
CIRPCIROCIROP rvv −− ×+=11
rrrr ω
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CIRPCIROCIROP rvv −− ×+=22
rrrr ω
CIRPCIROCIROP rvv −− ×+=33
rrrr ω
Ecuación 8
Supongamos por un instante que sobre el cuerpo (en el punto 2) se aplica
una fuerza �F2�
Figura 7
El cuerpo se acelerará, por lo que se cumplirá la Ecuación 1, pero además si
la fuerza no pasa por el Centro de Masa (CM) el cuerpo también rotará
debido a esta fuerza. Pensemos que en el CM existe un vínculo fijo (un eje)
que impide la traslación del cuerpo, sobre este vínculo debe aparecer una
fuerza (reacción de vínculo) que debe ser igual en módulo y dirección a
�F2x�, pero en sentido contrario. Pero nos debe preocupar la proyección de
la fuerza en la dirección del eje �Z�. Esta proyección no encontrará una
reacción de vínculo por lo que generará la rotación del cuerpo.
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Definimos entonces el momento3 de una fuerza, en la mecánica newtoniana,
el momento de una fuerza, torque, o par (o sencillamente momento)
[respecto a un punto fijo] a la magnitud que viene dada por el producto
vectorial del vector dirección (también llamado radio vector) y una fuerza.
FrMrrr
×= o también ϕsenFrM ••=
rrr
Ecuación 9 – Definición de momento de una fuerza Evidentemente el momento también es un vector y resulta perpendicular al
plano que contiene a la fuerza y al radio vector, es decir que es
perpendicular al plano de giro. Para determinar cuando el momento es
positivo, podemos utilizar la regla de la mano derecha4
Figura 8 – Regla de la mano derecha - cba rrr
=×
3 El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación de el cuerpo con respecto a éste. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas). 4 El pulgar apunta a una dirección mientras los demás dedos declaran la rotación natural. Esto significa, que si se coloca la mano cómodamente y el pulgar apuntara hacia arriba, entonces el movimiento o rotación es mostrado en una forma contraria al movimiento de las agujas del reloj. El sentido positivo del producto vectorial lo podemos determinar con los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar, índice y finalmente el dedo medio, los cuales se posicionan apuntando a tres diferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el pulgar determina la primera dirección vectorial. El ejemplo más común es el producto vectorial.
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Por otro lado también se puede calcular el momento cinético como se
muestra en la Ecuación 10 y la derivada del momento cinético es el
momento de la fuerza resultante aplicada.
prL rrr×=
Ecuación 10 – Momento cinético de un cuerpo en rotación
Figura 9
En un cuerpo (suponemos de masa puntual) al cual se le aplica un sistema
de fuerzas se puede calcular el momento de la fuerza resultante a partir de
la Ecuación 1
)(1
amrFrM OR
n
iioi
O rrrrr•×=×= −
=−∑
Ecuación 11
)( ORORORO rrmarmM −−− ×ו=ו=
rrrrrrγ
pero
γγrrrrrr
••=×ו= −−−2)( OROROR
O rmrrmM
por lo tanto
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γrrr
••= −2)( OR
O rmM Ecuación 12
al termino
2)( ORO rmI −•=r
Ecuación 13
lo llamaremos momento de inercia, y lo podemos definir como la magnitud
que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un
sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento de
rotación, este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial
en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Representa la inercia de un
cuerpo a rotar.
Para un sistema de partículas el momento de inercia se determina con la
siguiente ecuación
2
1)( Oi
n
iiO rmI −
=
•=∑ r
Ecuación 14
para el caso de un sólido continuo se debe escribir
∫ •=R
O dmrI0
2
Ecuación 15
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Energía cinética de rotación La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad �v� es
2.21 vmEC
r= , mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con
velocidad angular ωr es
22.
2).()(....
222
2
00
ωωωωωrr
rrr
rrrrrroo
oR
oo
v
vC IrmrmrdrmvdvmE ==×
=××== ∫∫
2
2ωr
oC IE =
Ecuación 16 – I0 es el momento de inercia que en particular se adopta el eje baricéntrico, si es que
rota alrededor de este.
Energía cinética de rototraslación Un cuerpo que gira alrededor de su centro de masa y este si se traslada la
energía cinética se podrá calcular como
2)(
21 2
2 ωr
oCMCCC IvmEEERotaciónTraslación
+=+=
Ecuación 17
Tensor de inercia El tensor de inercia es un tensor 5 simétrico de segundo orden que
caracteriza la inercia rotacional de un sólido rígido. Expresado en una base
ortonormal viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a
partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres
productos de inercia.
5 En matemática, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores son de especial importancia en física.
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( ) ∑∑= =
− =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=n
j
m
kkjjk
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxrotaciónC IIIIIIIIII
E1 1
..21..
21 ωω
ωωω
ωωω
Ecuación 18
Donde las componentes de este tensor de inercia en una base ortonormal
XYZ pueden calcularse a partir de los tres momentos de inercia según esos
tres ejes perpendiculares
∫ ∫∫∫ +=+=V
Vxx dzdydxzydzdydxzyI
0
..)(..)( 2222 δδ
∫∫∫∫ +=+= dzdydxxzdzdydxxzIV
Vyy ..)(..)( 2222
0
δδ
∫∫∫∫ +=+= dzdydxxydzdydxxyIV
Vzz ..)(..)( 2222
0
δδ
Ecuación 19
Y los tres productos de inercia que se calculan como
∫ ∫∫∫−=−==V
Vyxxy dzdydxxydzdydxxyII
0
.......... δδ
∫∫∫∫ −=−== dzdydxxzdzdydxxzIIV
Vzxxz ..........
0
δδ
∫ ∫∫∫−=−==V
Vzyyz dzdydxzydzdydxzyII
0
.......... δδ
Ecuación 20
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Todas las integrales anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula
tensorial
∫ ∫∫∫ ∑∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−==
V
Vij
iiij
iijiij dzdydxxxdzdydxxxII
0
.... 22 δδ
Ecuación 21
Figura 10 – Un robot tiene un momento de inercia variable lo que obliga a tener
un sistema de control complejo para lograr precisión en el posicionamiento
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservación del momento angular
ωr
oIL = Ecuación 22
Equilibrio del cuerpo rígido Con lo estudiado hasta aquí, podemos decir que para que cuerpo rígido se
encuentre en equilibrio se debe garantizar que no existe rotación ni
traslación, para esto se debe cumplir
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01
rrr=•=∑
=
amFn
ii
0.1
rrr==∑
=
γIMn
ii
Ecuación 23 – Ecuaciones que permiten garantizar el equilibrio del cuerpo rígido
Teorema de Steiner o de ejes paralelos. Supongamos ahora tener un sistema como el de la figura
Figura 11
Podremos plantear el momento de inercia respecto al eje �X�; por lo que
podremos escribir
∫∫ =+−=+−=VV
XX drHrdsenrrLdmsenrrLI ϕϕϕδϕϕ ])cos[(]).()cos[( 22222
∫∫ =+−=VV
drHrdsenrdrHrdrL ϕϕδϕϕδ .)cos( 222
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∫∫ =++−=VV
drHrdsenrdrHrdrLrL ϕϕδϕϕϕδ .)coscos2( 22222
Ecuación 24
Pero la primera integral de la Ecuación 24
∫ ∫ ∫∫ =+−=+−V V VV
drHrdrdrHrdLrdrHrdLdrHrdrLrL ϕϕδϕϕδϕδϕϕϕδ .cos.cos2)coscos2( 222222
∫ ∫ ∫ =+−=V V V
drHrdrdrHrdrLdrHrdL ϕϕδϕϕδϕδ .cos.cos2 222
∫∫ =+−=V
drdrHdRLHML ϕϕδϕϕδπ 232
0
32 coscos
32
] =++= ∫ππ ϕϕδϕδ
2
0
24
20
32 cos
432 dRHsenRLHML
pero Ecuación 25 – De tabla de integrales
] =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++= ∫
ππ
π ϕϕϕδϕδ2
0
2
0
420
32
21
2cos
432 dsenRHsenRLHML
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+−+= ∫
πϕδπδ
2
0
432
21
4)]0()2([(
32 dRHsensenRLHML
21
21
2.242
21
422
222
42
42 MRMLRRHMLRHMLRHML +=+=+=+= πδπδπδ
Ecuación 26
y la segunda integral de la Ecuación 24
∫∫∫ ===π
ϕϕδϕϕδϕϕδ2
0
24
2322 .4
.. dsenRHdrdsenrHdrHrdsenrVV
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Pero Ecuación 27 – De tabla de integrales
21
21
42
21
421
2cos
42
442
0
2
0
4
MRRHRHdsenRH ==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ∫ πδπδϕϕϕδ
ππ
Ecuación 28
En resumen sumando la Ecuación 26 y Ecuación 28 nos queda
OXX IMLMRMLMRMRMLI +=+=++= 222222
21
21
21
21
21
Por lo tanto queda demostrado que
OXX IMLI += 2
Ecuación 29 – Ecuación del momento de inercia para ejes paralelos
Cuerpo rígido rotante Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, hay una relación sencilla entre la
velocidad lineal �v� de su centro y la velocidad angular �ω� respecto a un
eje que pasa por su centro, en la figura se muestra una rueda de radio �R�,
rodando, en un instante �ti� y en un instante posterior �tf�. El centro de la
rueda se desplaza una distancia �Δx� en un intervalo de tiempo �Δt�, este
desplazamiento es igual a la distancia �Δs� que es lo que se mueve el punto
de contacto con el suelo a lo largo del borde de la rueda, por lo que
�Δx=Δs�. Si �v� es la velocidad del centro de la rueda y �ω� la velocidad
angular respecto al eje de rotación, tendremos
ωθ Rt
Rts
txv =
ΔΔ
=ΔΔ
=ΔΔ
=
Ecuación 30
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Figura 12
Entonces dado que rueda sin resbalar se puede escribir
ωrrr
×= Rv Ecuación 31
Ahora encontraremos la expresión de la energía cinética de un objeto que
rueda sin resbalar, en la Figura 13, se puede observar que dicho objeto gira
Figura 13
Alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto y hemos llamado CIR.
Este eje tiene una orientación fija paralela a la superficie y perpendicular a
la dirección del movimiento. Como no hay deslizamiento el punto de
contacto CIR se encuentra en reposo instantáneo, dado que la velocidad es
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cero, llamaremos a este punto Centro Instantáneo de Rotación (CIR). En la
figura se han indicado las velocidades instantáneas de diferentes puntos del
objeto, las cuales son perpendiculares a las líneas que unen sus puntos con
el CIR y la velocidad del punto superior del objeto es �2V�, el doble de la
velocidad del centro del cuerpo.
Se debe destacar que la velocidad angular ωCIR respecto al eje que pasa por
el CIR, es perpendicular a la hoja de papel, e igual a la velocidad angular
que pasa por el centro de masa (coincide con el centro geométrico en este
caso que llamaremos �O�), por lo tanto se cumple ωCIR.R= ωO.R; de aquí se
concluye que ωCIR= ωO= ω. En consecuencia la energía cinética será
2
21 ωCIRC IE =
Ecuación 32 Por el teorema de Steiner
22 )(21 ωMRIE CMC +=
Ecuación 33 – Energía cinética de una rueda que gira sin resbalar respecto al punto de contacto
ICM es el momento de inercia del objeto respecto a un eje perpendicular a la
dirección de movimiento, paralelo a la superficie y que pasa por el punto
�O� (centro de la rueda). Observar que se corresponde que el girar sin
resbalar V= ω.R, se recomienda estudiar y comparar la Ecuación 33 con la
Ecuación 17.
Por lo tanto la energía cinética de un cuerpo rodante puede expresarse
como la suma de dos términos, uno correspondiente a la rotación respecto
al centro de masa y otro correspondiente a la traslación del centro de masa,
como lo hemos hecho en la Ecuación 17.
La velocidad de un punto de un cuerpo que gira se puede interpretar como
el resultado de la combinación de una traslación pura más una rotación pura.
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En particular se puede concluir que la velocidad de un punto es la suma
vectorial de la velocidad de traslación del punto más la de traslación.
Figura 14
Debemos mencionar que la Ecuación 33 se cumple aún cuando el objeto
ruede con un deslizamiento parcial, a pesar de haberla desarrollado
suponiendo que no había deslizamiento. Por supuesto, que en este caso
Rvrrr
×≠ω
La única restricción a la Ecuación 33 es que el eje de rotación debe
mantener una dirección fija.
Estudio de la rotación de un cuerpo rígido En dinámica hemos el concepto de la cantidad de movimiento de un cuerpo
vmp rr .= Ecuación 34
donde �m� es la masa del cuerpo y �v� su velocidad, hemos encontrado este
concepto más que importante, debido a la aplicación que tiene en el estudio
del choque de cuerpos, y más aún que es de este concepto donde Newton
postuló se segunda ley.
Su análogo rotacional, es el momento angular, y es igualmente de útil.
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Revisión de momento cinético Hemos definido el momento angular �L� de una partícula respecto a un
punto �O� en la Ecuación 10 y en la Figura 9.
Figura 15 – Fuerza aplicada a una partícula que gira alrededor de un punto, se puede apreciar
vector momento de una fuerza y el vector momento cinético o momento angular
Si el cuerpo fuese extenso (por ejemplo un cuerpo rígido cilíndrico - Figura
11) se debería plantear el cálculo del momento cinético respecto de un eje
baricentrito (O), siempre y cuando la velocidad de rotación es constante,
como
=×=×= ∫∫∫VV
vHdrrdrpdrL rrrrr.... δϕ
=××= ∫∫V
rdrrdrH rrr ωϕδ ....
Esta última se puede escribir
=×= ∫∫V
drrdrH .... 2 ϕωδ rr
Ecuación 35
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La integral se denomina momento de inercia de una superficie, este es un
concepto importante que estudiaremos en cursos de �Estabilidad�, o
�Cálculo de elementos de máquinas�, pero si observamos la Ecuación 35,
como la altura del cilindro y la densidad son constantes, estas pueden estar
fuera o dentro de la integral, si la incluimos dentro de la integral, nos queda
ωϕδωrrrr
..... 2o
V
IdrrdrHL =×= ∫∫
ωrr
.oIL = Ecuación 36
No sólo la energía cinética se puede expresar (Ecuación 18) en términos del
tensor de inercia, sino también el momento angular. Introduciendo en ella
la definición del tensor de inercia, tenemos que este tensor es la aplicación
lineal que relaciona la velocidad angular y el momento angular:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=•=
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
GGGG
IIIIIIIII
ILωωω
ω .rr
Ecuación 37
Ecuaciones del movimiento La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de traslación de un
objeto es
CMexterioresamF rr.=∑
Para obtener la ecuación análoga para el movimiento de rotación del objeto,
derivamos la Ecuación 36, respecto del tiempo
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dtdII
dtd
dtLd ωω
rr
r
==
Ecuación 38
γr
rr
IdtLdMTorsor ==∑
Ecuación 39 – Ecuación de movimiento de un cuerpo en rotación, también puede expresarse en
forma tensorial
Conservación del momento angular o momento cinético Hasta el momento conocemos el principio de conservación de la energía y
de la cantidad de movimiento, ahora introduciremos el principio de
conservación del momento angular.
Cuando el momento de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido es
cero, en la Ecuación 39 concluimos que
0r
rr
==∑ dtLdMTorsor
Ecuación 40
Cuando la derivada temporal de una magnitud física es cero, la magnitud
permanece constante, en este caso el momento angular respecto al mismo
punto del cual se calcula el momento de todas las fuerzas aplicadas.
Momento de inercia variable Existen dispositivos, elementos de máquinas y hasta el caso particular de
una bailarina de ballet, donde es necesario que el momento de inercia varíe.
Esto aparentemente ya contradice la definición de cuerpo rígido, porque
para que varíe el momento de inercia debe variar la geometría del cuerpo.
Pero podemos considerar al cuerpo antes y después de la variación de su
geometría como cuerpos rígidos, tal es el caso del patinaje sobre hielo
artístico, o el de los nadadores que realizan saltos desde trampolín
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Figura 16 – Dos situaciones distintas, en la fotografía de la izquierda la nadadora presenta
un bajo momento de inercia por lo que tendrá una velocidad angular elevada, al centro al aumentar el momento de inercia la velocidad disminuye. El movimiento es más complejo
debido a la caída libre que realiza el nadador. Derecha bailarina de ballet.
Figura 17 – Regulador de Watt, es un dispositivo totalmente mecánico que modifica la
posición de las esferas “m”, por la acción del incremento o decremento de la velocidad angular, esto hace que un manguito “N” suba o baje. La acción de este manguito hará que por medio de
un sistema de palancas se regule la apertura o cierre de una válvula
En el caso de la bailarina, por ejemplo o en el de un patinador sobre hielo al tener los brazos extendidos presenta un momento de inercia elevado (izquierda), al cerrar los brazos (momento de inercia bajo).
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Figura 18 – Bailarina de ballet
Si el momento de inercia de un cuerpo varía6 al no tener fuerzas exteriores
aplicadas que provoquen momento, tendrá que variar su velocidad angular,
para que se mantenga su momento cinético o angular constante. Cuando
ocurre esto la energía cinética del sistema varía por lo que tuvo que
haberse realizado un trabajo
21 ωωrr
•=• II
Las fuerzas centrales y la conservación del momento cinético Hemos visto que el momento angular o cinético de un sistema se conserva
cuando el momento de la fuerza resultante es nulo. Sin embargo, también
es posible que el momento de una fuerza sea cero cuando la misma es
distinta de cero, este es el caso de las fuerzas que pasan por el centro de
momento, que por ejemplo lo encontramos en movimientos planetarios, es
el caso de la atracción gravitatoria ejercida sobre la tierra por el Sol.
Consideremos un planeta o un cometa describiendo una órbita elíptica
alrededor del Sol. En este caso la fuerza de atracción gravitatoria producirá
un momento nulo, por ende el momento angular o cinético orbital del
planeta respecto al Sol es constante, o dicho de otra manera se conserva.
6 Se recomienda visitar el Museo Participativo de Ciencias en el Centro Cultural Recoleta, Tel. 4806-3456 / 4807-3260; e-mail a [email protected]; donde podrás vivenciar distintos fenómenos físicos en tu propio cuerpo.
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En este tipo de movimiento por tener una órbita elíptica la velocidad
tangencial y el vector posición respecto al Sol varía a medida que se mueve
el cuerpo celeste, pero no cambia el producto vectorial de la cantidad de
movimiento por el vector posición. En el afelio (punto más alejado) y en el
perihelio (punto más cercano al Sol), los vectores velocidad son
perpendiculares a los vectores posición y aplicando
perihelioperihelioafelioafelio prpr rrrr×=×
perihelioperihelioafelioafelio vmrvmr rrrr .. ×=×
perihelioperihelioafelioafelio vrvr rrrr×=×
Ecuación 41
Movimiento de un giróscopo El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente
por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de
simetría. Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que
tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es
aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de
dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en
una dirección perpendicular a la dirección "intuitiva".
Figura 19 – giróscopo mecánico
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Supongamos tener un eje que se encuentra vinculado por medio de una
rótula a una columna (Figura 20), de forma que el eje pueda orientarse
libremente. Cuando el rotor gira a gran velocidad y se suelta el extremo
derecho (ver dibujo) de la barra, el sistema rotor � eje comienzan a girar en
un plano horizontal alrededor de la rótula, esta rotación se denomina
precesión. Evidentemente si realizamos un diagrama de cuerpo libre,
veremos que sobre el rotor actúa la fuerza peso y sobre el vínculo,
tendremos la reacción de vínculo coincidente en dirección con la columna.
Figura 20
Si tomamos momento respecto al vínculo
gmdM rrr×=∑
Ecuación 42 – d es la distancia que existe entre el rotor y el vínculo Es decir que sólo el peso contribuye al momento de las fuerzas exteriores
respecto al vínculo. La variación del momento cinético o angular se
producirá sobre el plano perpendicular a la columna. El momento angular
resultante será el compuesto por el momento de Spin �Ls� que es el que
tiene el rotor sobre su propio eje y el momento angular �LP�; debido a la
precesión.
PS LLLrrr
+= Ecuación 43
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Se puede razonar que el momento angular �L� es perpendicular a la
variación del momento cinético, lo cual significa que �L� no varía en módulo,
pero sí en dirección. Se puede demostrar que
SSprecesión I
mgdω
ω.
=
Ecuación 44
Bicicleta Se ha supuesto durante mucho tiempo sobre que el efecto giroscópico
estaba relacionado con el equilibrio de las bicicletas y motocicletas, aunque
ha sido varias veces refutado. La forma más sencilla de comprobar que el
efecto giroscópico no aporta estabilidad a una bicicleta es compensarlo con
giróscopos en las ruedas. El experimento ha sido realizado y se ha
comprobado que la bicicleta es perfectamente estable sin efecto giroscópico
neto. Sin embargo, es imposible conducir una bicicleta con el manubrio
bloqueado, lo que demuestra que son las fuerzas centrífugas (en el sistema
de referencia de la bicicleta) que aparecen al mover el manubrio las que le
confieren estabilidad. Una bici o una motocicleta lanzadas en movimiento
sin conductor, siguen avanzando sin caerse hasta que encuentren un
obstáculo o que pierdan su impulso. La trayectoria será una espiral, un
círculo o, raramente, una recta.
Figura 21
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En la Figura 21, está representada una bicicleta en movimiento, con el
manubrio derecho e inclinada un poco hacia la izquierda. El peso de la
bicicleta crea un momento que tiende a inclinar aún más la bicicleta y a
hacerla caer. Pero como la bicicleta avanza, la rueda de delante tiene un
momento angular dirigido hacia la izquierda. La rueda de atrás también
tiene un momento angular, pero la manera en la cual está sujeta no le
permite tener efecto en el equilibrio de la bicicleta. Este momento crea una
variación, dirigida hacia atrás, del momento angular de la rueda de delante.
Esto quiere decir que la rueda de delante gira hacia la izquierda, como si se
hubiese girado el manubrio hacia la izquierda. La bicicleta comienza a
voltear hacia la izquierda. Mientras el momento haga inclinarse más la
bicicleta, el momento angular de la rueda de delante se inclinará hacia atrás,
el manubrio hacia la izquierda y el radio de la trayectoria de la bicicleta
disminuirá.
Visto desde el sistema acelerado y no inercial de la bicicleta, el radio de
rotación disminuye lo cual aumenta la fuerza centrífuga. Esta fuerza
centrífuga crea un momento que tiende a enderezar la bicicleta y a
compensar el momento del peso que tiende a hacerla caer. Cuando los dos
momentos terminan por compensarse, la bicicleta deja de inclinarse y el
manubrio de girar hacia la izquierda. La bicicleta continúa en su trayectoria
circular con radio constante. Si el rozamiento con el aire u otras cosas
disminuyen la velocidad de la bicicleta, la fuerza centrífuga disminuirá, la
bicicleta recomenzará a caerse lo cual hará girar el manubrio hacia la
izquierda. El radio de giro disminuirá, lo cual aumentará la fuerza centrífuga
hasta que ésta compense de nuevo el momento del peso. Cuando el
manubrio llega a 90° o se bloquea, la bicicleta se cae.
Si se lanza una bicicleta con el manubrio inmovilizado (trabado), la bicicleta
se caerá como si estuviese parada.
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Ejemplos de cálculo de momento de inercia Ejercicio
Calcular el sentido de rotación del cuerpo, la fuerza de rozamiento y el
momento de inercia de un cuerpo compuesto por dos cilindros de
distintos diámetro.
Figura 22 - Enunciado
Solución Dado que es un cuerpo rígido se debe calcular su momento de inercia, este parámetro tomado desde el eje baricéntrico se calcula como:
∫=R
GG dmxI0
2.
Ecuación 45 - Momento de inercia (definición)
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Para calcular el momento de inercia, primero debemos elegir un
sistema de referencia acorde al problema. El eje "x" es el eje
baricéntrico ya comentado y el sistema de referencia elegido es:
Figura 23 - Sistema de estudio
Dado que la integral representa una sumatoria se puede dividir el
cálculo del momento de inercia en dos integrales a saber:
∫+∫=2
1
1
.. 2
0
2R
R
R
GG dmxdmxI
Ecuación 46 - Descomposición del momento de inercia
Tomando un diferencial de volumen calcularemos la integral, de
manera tal que tendremos que este volumen estará a una distancia "r"
del centro de masa y tendrá un espesor "dr"
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Figura 24 - Cálculo del momento de inercia
En este caso la integral quedará
∫+∫=2
1
1
.... 2
0
2R
R
R
GG dVrdVrI δδ
Ecuación 47 - El diferencial de volumen Pero
∫ ∫+∫ ∫ +=ππ
θδθδ2
01
22
0 021
2 2
1
1
........)..( drdrLrdrdrLLrIR
R
R
GG
Ecuación 48 - el diferencial de volumen en coordinadas cilíndricas Operando
∫ ∫+∫ ∫+=ππ
θδθδ2
0
31
2
0 0
321
2
1
1
..).( ddrrLddrrLLIR
R
R
GG
Ecuación 49 - las constantes salen fuera de la integral
∫+∫+=ππ
θδθδ2
01
2
0 021
4.
4).(
44 2
1
1
drLdrLLIR
R
R
GG
Ecuación 50 - resultado de la primer integración
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)4
(..24
).(24
14
21
41
21RRLRLLIGG
−++= δπδπ
Ecuación 51 - resolviendo según los limites de integración Simplificando
)2
(..2
).(4
14
21
41
21RRLRLLIGG
−++= δπδπ
Ecuación 52 - simplificando
Dado que el volumen de un cilindro se puede calcular como la
superficie de la base por la altura, es decir:
LRV .. 2π= Ecuación 53 - Volumen del cilindro
Multiplicando por la densidad y reemplazando, queda
Figura 25 - Volumen 1;2 y su masa (m1;2)
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)2
(..2
41
42
1
21
2;1RRLRmIGG
−+= δπ
Ecuación 54 - Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco
El segundo sumando se corresponde con el momento de inercia de la
sección anular, donde el volumen de este anillo es:
).(. 21
221 RRLV −=π
Ecuación 55 - El volumen de un tubo
El segundo término de la Ecuación 54
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−2
)()(...)2
(..22
122
21
41
42
1RRLRRL δπδπ
Ecuación 56 - Diferencia de cuadrados
Donde se puede apreciar claramente la diferencia de cuadrados,
operando queda:
)()(2
..2
)()(... 21
22
21
22
122
122
21 RRRRLRRL +×−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ − δπδπ
Ecuación 57 - el momento de inercia de un tubo
Por lo que vimos en la Ecuación 55, la masa de la corona circular (Figura 26), es:
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Figura 26 - la masa anular
)(.. 21
2211 RRLm −= δπ
Ecuación 58 - masa de sección anular
Y reemplazando todo lo calculado en la Ecuación 54, tenemos
)2
(2
21
22
1
21
2;1RRmRmIGG
++=
Figura 27 - el momento de inercia baricéntrico de todo el cuerpo Que es el momento de inercia total del cuerpo, respecto al eje baricéntrico
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¿Para donde girará el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento?
Para esto recordamos cual es el sistema de referencia
Figura 28 - Ecuaciones básicas de traslación y rotación
El equilibrio de un cuerpo se debe garantizar a través de las ecuaciones
de traslación y de rotación, esto se obtiene planteando
amFi
n
i.
1=Σ
=
y
γ.1
ooi
n
iIM =Σ
=
Ecuación 59 - Ecuación de momentos
Debe observarse en la última ecuación, que se plantea al momento de
inercia respecto al mismo punto en el cual se toma momentos. En
nuestro caso es conveniente tomar momento siempre respecto a un
punto por donde pasen la mayor cantidad de fuerzas, esto permitirá
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realizar menos cálculos. Este punto es el punto de contacto, que
denominaremos "PC" (Figura 29)
Figura 29 - El punto de contacto
El diagrama de cuerpo libre es
Figura 30 - Una fuerza cualquiera
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Pero ante la duda de cómo es la fuerza de rozamiento, es conveniente
tomar momento respecto al punto de contacto "PC", de manera tal que
la única fuerza que provoca momento es "F", pero debe tenerse en
cuenta ahora que la Ecuación 59, se transformará en la Ecuación 60
γ.1
PCPCi
n
iIM =Σ
=
Ecuación 60 - Momento de inercia respecto a un eje cualquiera
En este caso el momento de inercia respecto a "PC" es
22
21
22
1
21
2;1 .)2
(2
RmRRmRmI totalPC ++
+=
Ecuación 61 - Teorema de Steiner
De esta manera la Ecuación 60 queda
γ..)2
(2
. 22
21
22
1
21
2;11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++=−=Σ
=RmRRmRmlFM total
PCi
n
i
Figura 31 - La fuerza de rozamiento
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Esto permite observar que la aceleración angular es horaria (negativa)
y la longitud "l" se determina por geometría. Ahora si estamos en
condiciones de determinar la fuerza de rozamiento. Como el momento
debe ser el mismo respecto a cualquier punto del espacio y de la
misma manera la aceleración angular. Ahora sabiendo esto y tomando
momento respecto al centro de masa (punto o), tendremos
γ.)2
(2
.2
12
21
21
2;121
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=−=Σ
=
RRmRmRfM ro
i
n
i
Ecuación 62 - Invariante vectorial
Como ya hemos dicho, la γ es antihoraria, lo que obligará a una fuerza
de rozamiento resultante que provoque el mismo sentido de momento,
por lo tanto será contraria al eje "x".
¿Qué sucede a distintos ángulos "a"? Si el ángulo "a" es tal que la fuerza "F" pasa por el centro de momentos,
no habrá fuerza que genere la rotación del cuerpo, por lo que solo
habrá traslación, en este caso vemos que el sistema se trasladará hacia
la izquierda (deslizando) por lo que se tendrá rozamiento
Figura 32 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrecta
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dinámico, pero la fuerza de rozamiento se encuentra mal representada
en la Figura 32, de manera tal que se debe concluir que la fuerza de
rozamiento por deslizamiento y el diagrama de cuerpo libre, se
encontrarán representados según la Figura 33
Figura 33 - Traslación pura, "fr" correcta
En el caso que el ángulo "a" sea aún mayor, la fuerza "F" provocará un
momento antihorario, haciendo que la polea gire alrededor del punto
"PC" (CIR), de manera análoga se puede explicar que la fuerza de
rozamiento estará representada de la misma manera que en la Figura
33, pero ahora el rozamiento será estático, es decir que rodará sin
resbalar, siendo bajo estas condiciones el punto "PC" el centro
instantáneo de rotación.
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Incoherencias Si pensáramos que el diagrama de cuerpo libre fuese el de la "Figura
32 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrecta", veríamos que es
imposible concluir ecuaciones que permitan determinar un MRU del
centro de masa, ya que
amFi
n
i.
1=Σ
=
0. <=−− amfF rx jamás puede ser cero
0=−+ PNFy
sin embargo hemos visto en clase que se puede tirar de la soga (en un
yo - yo) y que el CM se mueva a velocidad constante (experiencia
áulica)
Figura 34 - Descomposición de fuerzas, ya no es más un DCL
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Pero con este otro esquema, si es posible encontrar valores de la
fuerza "F" y "fr" que permitan que la velocidad del centro de masa sea
constante.
Figura 35 - MRU del CM
0. ==+− amfF rx
Ecuación 63 - existe un valor posible – MRU
0)cos(. =+ rfaF
con esta sola condición no alcanza para encontrar el valor de las
magnitudes físicas que están en juego en este problema, es necesario
plantear la ecuación de momento, pero ahora esta estará igualada a
cero ya que el CM realiza un MRU no puede existir aceleración angular.
0... 211
==−+=Σ=
γor
oi
n
iIRfRFM
21 .. RfRF r=
Ecuación 64 - Aceleración angular igual a cero
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Resolviendo este sistema de dos ecuaciones (Ecuación 63 - existe un
valor posible � MRU y Ecuación 64 - Aceleración angular igual a cero)
permite encontrar las condiciones para un MRU del CM.
Pregunta de interés En función de lo recién comentado dejamos pendiente esta inquietud:
Realizar el diagrama de cuerpo libre de una rueda de automóvil que
tracciona al vehículo, e indicar cual es el sentido de la fuerza de
rozamiento, desarrollar el problema justificando los resultados con
ecuaciones.
El diagrama de cuerpo libre de una rueda será
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Ayuda: si realiza la traslación del momento de una fuerza de manera
tal que una de las fuerzas que provoca el par pasa por el punto
contacto y la otra por el CM habrá trasladado la fuerza de rozamiento
al CM que es la que provoca el movimiento del automóvil.
Ejercicio – enunciado general Dado el sistema de la figura, inicialmente en reposo y conocidas sus masas
y las dimensiones de las mismas, se pide expresar las ecuaciones de la
aceleración de cada cuerpo.
Ejercicio 01
Figura 36
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Ejercicio 02
Ejercicio 03
Ejercicio 04
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