7/24/2019 Introduccin a La ptica Completo
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INTRODUCCION
La ptica es la parte de la fsica encargada del estudio de la luz y de los
fenmenos que produce. Desde tiempos muy remotos al hombre le ha inquietado
saber que es la luz y cul es la causa por la que vemos las cosas. A fines del siglo
xvLL existan dos teoras que trataban de explicar la naturaleza de la luz. La luz
est constituida por numerosos corpsculos o partculas emitidas por cualquier
cuerpo luminoso! dichas partculas al chocar con nuestra retina nos permite ver los
ob"etos. #uyen! quien opinaba$ la luz es un fenmeno ondulatorio seme"ante al
sonido! por tanto! su propagacin es la misma naturaleza que la de una onda
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INTRODUCCIN A LA PTICA
La parte de la fsica que estudia la luz recibe el nombre de ptica. La luz
estaba considerada! hasta la mitad del siglo %&'' como una corriente de
corpsculos. #uygens fue el primero en afirmar que la luz era una onda(
supona que era un movimiento ondulatorio de tipo mecnico )como el
sonido* que se propaga en un supuesto medio elstico que llena todo y que
se conoca con el nombre de +ter.
,l hecho real es que la luz pareca presentar caractersticas corpusculares
al tiempo que ondulatorias. -axell! en /012! contribuy decisivamente a la
teora ondulatoria demostrando que la luz no era otra cosa que una onda
electromagn+tica.
La ptica es la ciencia de controlar la luz. La luz es parte de un tipo de energa
llamada 3radiacin electromagn+tica4 ),-*. La luz es la parte de las ondas ,- que
podemos ver y forma los colores del arcoris.
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#ablando ms formal! la ptica es el campo de la ciencia y la ingeniera que
comprende los fenmenos fsicos y tecnologas asociadas con la generacin!
transmisin! manipulacin! uso y deteccin de la luz.
La luz )via"a a 255 555 6m7seg* es una onda electromagn+tica! esto significa quees una combinacin de una onda el+ctrica y una onda magn+tica )y una onda
electromagn+tica via"a a la velocidad de la luz*.
,l estudio de la ptica se puede dividir en tres partes(
/. ptica geomtrica. 8tiliza el m+todo de los rayos luminosos.
9. ptica fsica. :rata la luz considerada como un movimiento ondulatorio.
2. ptica cuntica.;e refiere a las interacciones entre luz y las partculas
atmicas.
Las ondas electromagn+ticas pueden ser muchas! como se muestra en la
siguiente figura(
spectro e!ectromagntico.
,xisten tres formas de controlar la luz(
/.
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2. Doblndola! es decir! la luz cambia su direccin pasando de un medio
transparente a otro de diferente densidad! como aire o agua )conocido como
refraccin*.
>ara nosotros los seres humanos es muy importante controlar la luz! ya que losusos que le hemos dado son tan variados! como(
Lentes de contacto
?otocopiadoras
-icroscopios y lupas
>royectores
=eproductores de cd
=ayos %
Laser )Luz Amplificada por ,fecto de =adiacin ,stimulada*
@abe mencionar que este ltimo se utiliza en la industria con fines de medicin!
cortar! soldar! etc.
PTICA "O#$TRICA
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=ayos luminosos. ,l concepto bsico con que opera la %ptica geomtrica
es el rayo luminoso! que! como veremos! da solo una descripcin aproximada
del camino que la luz sigue en el espacio! pero para muchos finesprcticos esa aproximacin es suficiente.
;iendo un rayo luminoso un concepto geom+trico. Bo se puede reproducir
en un laboratorio! pero hacemos uso de una fuente de rayo paralelo y!
limitado de esta porcin! de tal manera que se de"e pasar un haz cilndrico
de luz! se pueden reproducir casi todos los resultados tericos con una
aproximacin.
Las Le&es 'e ref!e(i%n.
;e llama reflexin al rechazo que experimenta la luz cuando incide sobre una
determinada superficie. :oda superficie que tenga la propiedad de rechazar la luz
que incide en ella se llama superficie reflectora$ lo contrario de una superficie
reflectora es una superficie absorbente$ estas superficies capturan la luz que
incide sobre ellas transformndola en otras formas de energa! generalmente
energa calorfica.
La reflexin se produce de acuerdo con ciertas leyes que llamamos leyes de la
reflexin. >ara enunciarlas! haremos uso de los conceptos de rayo incidente!
normal! rayo refle"ado! ngulo de incidencia y ngulo de reflexin.
El rayo incidentees un rayo luminoso que se dirige hacia la superficie reflectora.
La normales una lnea perpendicular a la superficie reflectora trazada en el punto
en que +sta es intersectada por el rayo incidente )punto de incidencia*. El rayo
reflejadoes el rayo que emerge de la superficie reflectora. Los ngulos de
incidencia y de reflexin son los formados por el rayo incidente y el refle"ado con
la normal.
,n la figura 9././ se consigna un diagrama que aclara estas ideas.
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Ahora resulta sencillo enunciar las leyes de la reflexin.
/. ,l rayo incidente! la normal y el rayo refle"ado estn en el mismo plano.
9. ,l ngulo que forma el rayo incidente con la normal )ngulo de incidencia* esigual al ngulo que forma el rayo refle"ado con la normal )ngulo de reflexin*.
,n la fig. 9././ aparecen estos dos ngulos designados con las letras i y r!
respectivamente.
?igura 9././ ,squema de la reflexin de un rayo luminoso.
spe)os p!anos.*se denomina espe"o plano a una superficie reflectora que forma
imgenes y est contenida en un plano. Determinaremos la posicin de la imagen
de un punto en un espe"o plano.
;upongamos que una fuente puntual esta emitiendo rayos luminosos en todas
direcciones y que parte de +stos se refle"an en un espe"o plano. 8sando las leyes
de la reflexin se podra seguir la trayectoria de gran cantidad de rayos luminosos$
en rigor! podramos seguir la trayectoria de todos los rayos luminosos! pero!siendo infinitos en nmero! esto resulta imposible. 'nteresa saber si nuestro espe"o
forma una imagen! es decir. ;i los rayos que salen de un punto luminoso
convergen despu+s de refle"ados a un solo punto! para ello basta con seguir la
trayectoria de dos rayos como los dibu"ados en la figura. 9./.9.
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spe)os cur+os.* @uando una superficie especular no puede estar contenida en
un plano se denomina espe"o curvo. ,l estudio de la formacin de imgenes en
espe"os curvos es ms laborioso. ;in embargo! debe tenerse presente que el
fenmeno que interviene en este caso sigue siendo el de la reflexin y sus leyes
se cumplen en todo momento.
>or razones de produccin y de costos! la mayora de las superficies especulares
curvas con que se traba"an son esf+ricas. >or este motivo! la teora que vamos a
exponer se refiere a este tipo de superficies. ,stos espe"os se llaman espe"os
esf+ricos. 8n espe"o esf+rico puede ser cncavo o convexo! segn cual sea la
cara reflectante.
,n la ?igura. 9./.E )A* est representado un espe"o convexo. @onviene imaginar
un espe"o convexo como un casquete de esfera metlica muy pulida o de vidrio!
plateado en su interior. ,l punto @ es el centro de la esfera de la cual se ha
obtenido el espe"o$ el punto ? est a una distancia. =79 del centro de la esfera y F
es el punto donde se intersecta el espe"o en el e"e principal. ,n lo sucesivo
llamaremos a @ centro geom+trico! a ? foco y a F centro ptico del espe"o.
?igura 9./.E ?ormacin de 'magen en espe"os( )A* @onvexo$ )
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desviacin se le llama refraccin. @uando en un medio la velocidad de
propagacin de la luz es menor! se dice que es ms refringente; as! la
refringencia est ligada a la velocidad de propagacin de la luz. ,n ciertos casos
se habla de densidad ptica del medio$ naturalmente! en un medio ms refringente
la densidad ptica es mayor.
La fig.9./.H representa un rayo luminoso incidiendo de un medio )/* menos
refringente a uno )9* de mayor refringencia. ,n estos casos siempre unafraccin
del rayo incidente es refle"ada. ;e puede observar cmo el rayo incidente al pasar
al medio )9*! se acerca a la normal.
Ahora podemos enunciar las llamadas leyes de la refraccin:
/. ,l rayo incidente! la normal y el rayo refractado estn en el mismo plano.
9. ,l seno del ngulo de incidencia dividido por el seno del ngulo de refraccin es
una constante para cada medio y se llama ndice de refraccin.
?igura 9./.H Las leyes de la refraccin( )'* Angulo de incidencia$
)=* Angulo de refraccin.
Ref!e(i%n tota!.
@omo se ha dicho! la luz! al pasar de un medio de menor refringencia a otro ms
refringente! sufre una desviacin acercndose a la normal. 8sando el principio de
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reversibilidad de los caminos pticos! es fcil darse cuenta de que si la luz pasa de
un medio ms refringente a otro menos refringente se desva ale"ndose de la
normal. ,n la figura 9./.I )A* se han dibu"ado tres rayos luminosos provenientes
de una fuente puntual y que pasan de un medio ms refringente a uno menos
refringente. ,xiste un ngulo de incidencia para el cual el ngulo de refraccin es
de J55$ a ese ngulo se le llama ngulo lmite.
?igura 9./.I )A* =ayos luminosos pasando de un medio ms denso a otro menos
denso$ )risma de reflexin total.
Dispersi%n
@omo se ha dicho! la luz blanca es una mezcla de radiacin electromagn+tica de
varias longitudes de onda. ,n el vaco la velocidad de propagacin de la luz no
depende de su longitud de onda. 8n medio de estas caractersticas se llama no
dispersivo. @uando la longitud de onda afecta muy poco la velocidad de
propagacin de la luz el medio se llama d+bilmente dispersivo. ,l aire es un medio
d+bilmente dispersivo.
#aciendo uso de un medio altamente dispersivo se puede construir un dispositivo
que al ser atravesado por luz blanca separe los componentes de +sta. ,n la fig.
9./.1 aparece la seccin transversal de un prisma equiltero. 8n rayo de luz
blanca incide en la superficie del prisma y! debido a que el ngulo de refraccin es
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distinto para cada color! +stos se separan dentro del prisma! luego inciden en la
otra cara sufriendo una nueva desviacin! ale"ndose ahora de la normal! lo que
hace aumentar an ms la separacin de los rayos luminosos. >uesto que! como
es fcil de demostrar! la desviacin producida por el prisma aumenta al aumentar
el ndice de refraccin! la luz violeta es la ms desviada! siendo la ro"a la menos
desviada$ todos los dems colores quedan en posiciones intermedias.
?igura 9./.1 Dispersin producida por un prisma.
PTICA ,-ICA
;i no considersemos la luz como una onda electromagn+tica! nos sera
imposible explicar los fenmenos de interferencia! dispersin! difraccin y la
polarizacin de la luz. La parte de la Kptica que estudia estos fenmenos sedenomina Kptica ?sica.
#emos dicho que la luz es una onda electromagn+tica. @mo es que no
observamos! un fenmeno caracterstico de las ondas! como es la interferenciaM!
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@ul es la causa de que al encender dos bombillas de luz no aparezca el
diagrama de mximos y mnimos caractersticos de este ?enmenoM
;i recordamos las ondas mecnicas! advertiremos que una de las condiciones
fundamentales para que se produzca un diagrama de interferencias es que lasfuentes de donde proceden las ondas sean coherentes! esto es! que emitan en
fase o que su diferencia de fase sea constante$ de no ocurrir esto! las lneas
nodales del diagrama se desplazaran continuamente y no llegara a observarse el
diagrama! ya que el o"o humano es incapaz de seguir estas fluctuaciones.
La solucin al problema de la coherencia la consigui Noung! utilizando dos haces
de un mismo foco luminoso. ,n efecto! consideremos un frente de onda! al que
hacemos pasar por dos ranuras sumamente estrechas )del orden de una longitud
de onda* y prximas. ,s sabido que! en este caso! cada ranura se comporta como
una fuente puntual de acuerdo con el principio de #uygens y! como el frente de
onda que llega a ambas ranuras es el mismo! es evidente que las dos fuentes as
obtenidas estn en fase. ,n la fig. 9./.0 hacemos un estudio de la interferencia de
las ondas luminosas que pasan a trav+s de dos rendi"as. ,n la fig. 9./.0 A aparece
primero una fuente puntual. ,stn representados! en dicha figura! los distintos
frentes de onda propagndose hasta encontrar a las dos rendi"as que secomportan! de acuerdo con las propiedades de las ondas! como dos fuentes
puntuales emitiendo en fase.
,n la fig. 9./.0 < hemos trazado un e"e por el punto medio entre las dos fuentes ?9
y ?2! que corta a la pantalla en el punto 5. La distancia que las ondas luminosas
tienen que recorrer desde ?9 a 5 y desde ?2 a 5 son las mismas$ por lo tanto! enla pantalla siempre habr un mximo de luz asociado a ese punto! ya que las
ondas llegan en concordancia de fase.
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?ig. 9./.0 'nterferencia de ondas luminosas que pasan a trav+s de dos rendi"as
Difracci%n
Los hechos principales observados en los fenmenos de difraccin pueden
predecirse con ayuda del principio de #uyggens. De acuerdo con +l! cada punto
del frente de onda puede considerarse como el origen de una onda secundaria
que se propaga en todas direcciones y! para encontrar el nuevo frente de onda!
debemos sumar la contribucin de cada uno de los frentes de onda secundarios
en cada punto.
>ara facilitar las cosas! consideremos una antena emitiendo ondas
electromagn+ticas. ,n la fig. 9./.J A se puede apreciar que el campo el+ctrico
oscila perpendicularmente a la direccin de propagacin )hemos omitido el campo
magn+tico para simplificar*.
Fbservamos! adems! que en todos los puntos de cualquier plano ?i"o en el
espacio y perpendicular a la direccin de propagacin de la luz el campo el+ctrico
oscila a lo largo de una lnea vertical. ;e dice! en este caso! que las ondas estnlinealmente polarizadas o simplemente que estn polarizadas. ,n la figura 9./.J ueden eliminar la posibilidad de errores por confusin de escalas.
d*. :ienen una rapidez de lectura que puede superar las /555 lecturas por
segundo.
e*. >uede entregar informacin digital para procesamiento inmediato en
computadora.
Desventa"as
a*. ,l costo es elevado.
b*. ;on comple"os en su construccin.
c*. Las escalas no lineales son difciles de introducir.
d*. ,n todos los casos requieren de fuente de alimentacin.
De las venta"as y desventa"as anteriores puede observarse que para cada
aplicacin hay que evaluar en funcin de las necesidades especficas! cual tipo de
instrumentos es el ms adecuado! con esto se enfatiza que no siempre el
instrumento digital es el ms adecuado siendo en algunos casos contraproducente
el uso del mismo.
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Los instrumentos digitales tienden a dar la impresin de ser muy exactos por su
indicacin concreta y sin ambigRedades! pero no hay que olvidar que si su
calibracin es deficiente! su exactitud puede ser tanto o ms mala que la de un
instrumento analgico.
El arribo de los instrumentos electro digitales de medicin.
Desde entonces! el desarrollo de la tecnologa electrnica ha sido notable. Al final
de los aSos setentas! el arribo de nuevos tipos de instrumentos digitales de
medicin que no requeran cables! fue favorecido por el rpido progreso de la
tecnologa de integracin en gran escala )L;'*! "unto con el desarrollo de pantallas
digitales! como las de cristal lquido )L@D*! y la miniaturizacin de las bateras. ,n
/J05 y /J0/ se introdu"eron al mercado una serie de medidores electro digitalesde altura! micrmetros e indicadores. ,n /J09 entr al mercado el calibrador
electro digital que fue un instrumento difcil de digitalizar debido a su pequeSo
tamaSo.
La adopcin de tecnologa electrnica avanzada no slo ha allanado el camino de
los instrumentos electro digitales de medicin! sino que tambi+n ha posibilitado la
expansin de funciones en una forma que fue difcil lograr con los sistemas
mecnicos.
,l precio! inevitablemente se increment! pero la me"or funcionalidad "ustifica el
aumento. Las herramientas de medicin con funciones mltiples tambi+n han
estado disponibles debido a la aplicacin de microprocesadores.
Los requerimientos para mediciones ms exactas han intensificado el
cumplimiento de estndares elevados en las t+cnicas de fabricacin.
Los instrumentos electro digitalesdan valores de medicin slo hasta un cierto
lugar decimal! y no indican los valores de los datos a media graduacin que
permiten los tipos analgicos por estimacin visual. Debido a esta limitacin! y con
el ob"eto de minimizar errores que surgen del truncamiento de fracciones que se
acumulan en procesamientos comple"os de datos como clculos estadsticos! los
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requerimientos se han incrementado para lograr una resolucin mayor y as
proporcionar un lugar decimal adicional.
INTRU#NTO PTICO
>ara nosotros los seres humanos es muy importante controlar la luz! ya que los
usos que le hemos dado son tan variados! como(
Lentes de contacto
?otocopiadoras
-icroscopios y lupas >royectores
=eproductores de cd
=ayos %
Laser )Luz Amplificada por ,fecto de =adiacin ,stimulada*
Ftros instrumentos pticos son(
Lentes de aumento
:elescopio @mara fotogrfica
La flexibilidad es el tema clave en la tecnologa de multisensores. La flexibilidad en
el mundo de la metrologa significa tener la libertad de elegir entre medicin por
contacto y medicin ptica! con slo un sistema de medicin. >or lo tanto! un nico
sistema es suficiente para la medicin por contacto y la medicin ptica de todas
las caractersticas de inspeccin en una pieza de traba"o.
>ara la medicin de materiales sensibles al tacto! la solucin ideal son los sistemasde medicin ptica. ,stos sistemas miden de forma no destructiva y con precisin.
Tracias al verstil rango de sistemas de medicin pticos disponemos de la
solucin correcta para cada tarea de medicin.
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,quipos de medicin a trav+s de ptica fsica.
spe)o/Dispositivo ptico! generalmente de vidrio! con una superficie lisa y
pulida! que forma imgenes mediante la reflexin de los rayos de luz. Adems de
su uso habitual en el hogar! los espe"os se emplean en aparatos cientficos$ por
e"emplo! son componentes importantes de los microscopios y los telescopios.
Prisma 4ptica5/
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que toda la luz se refle"a sin p+rdidas hacia el interior de la fibra. As! la luz puede
transmitirse a larga distancia refle"ndose miles de veces. >ara evitar p+rdidas por
dispersin de luz debida a impurezas de la superficie de la fibra! el ncleo de la
fibra ptica est recubierto por una capa de vidrio con un ndice de refraccin
mucho menor$ las reflexiones se producen en la superficie que separa la fibra de
vidrio y el recubrimiento. La aplicacin ms sencilla de las fibras pticas es la
transmisin de luz a lugares que seran difciles de iluminar de otro modo.
:ambi+n pueden emplearse para transmitir imgenes! cada punto de la imagen
proyectada sobre un extremo del haz se reproduce en el otro extremo! con lo que
se reconstruye la imagen! que puede ser observada a trav+s de una lupa. Latransmisin de imgenes se utiliza mucho en instrumentos m+dicos para examinar
el interior del cuerpo humano y para efectuar ciruga con lser! en sistemas de
reproduccin mediante facsmil y fotocomposicin! en grficos de ordenador o
computadora y en muchas otras aplicaciones. Las fibras pticas tambi+n se
emplean en una amplia variedad de sensores! que van desde termmetros hasta
giroscopios. ;u potencial de aplicacin en este campo casi no tiene lmites! porque
la luz transmitida a trav+s de las fibras es sensible a numerosos cambios
ambientales! entre ellos la presin! las ondas de sonido y la deformacin! adems
del calor y el movimiento.
Las fibras pueden resultar especialmente tiles cuando los efectos el+ctricos
podran hacer que un cable convencional resultara intil! impreciso o incluso
peligroso. :ambi+n se han desarrollado fibras que transmiten rayos lser de alta
potencia para cortar y taladrar materiales. La fibra ptica se emplea cada vez ms
en la comunicacin! debido a que las ondas de luz tienen una frecuencia alta y la
capacidad de una seSal para transportar informacin aumenta con la frecuencia.
,n las redes de comunicaciones se emplean sistemas de lser con fibra ptica.
#icroscopio/@ualquiera de los distintos tipos de instrumentos que se utilizan
para obtener una imagen aumentada de ob"etos minsculos o detalles muy
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pequeSos de los mismos. ,l tipo de microscopio ms utilizado es el microscopio
ptico! que se sirve de la luz visible para crear una imagen aumentada del ob"eto.
,squema de un microscopio ptico
,l microscopio ptico ms simple es la lente convexa doble con una distancia focal
corta. ,stas lentes pueden aumentar un ob"eto hasta /H veces. >or lo general! se
utilizan microscopios compuestos! que disponen de varias lentes con las que seconsiguen aumentos mayores. Algunos microscopios pticos pueden aumentar un
ob"eto por encima de las 9555 veces.
,l microscopio compuesto consiste en dos sistemas de lentes! el ob"etivo y el
ocular! montados en extremos opuestos de un tubo cerrado. ,l ob"etivo est
compuesto de varias lentes que crean una imagen real aumentada del ob"eto
examinado. Las lentes de los microscopios estn dispuestas de forma que el
ob"etivo se encuentre en el punto focal del ocular. @uando se mira a trav+s delocular se ve una imagen virtual aumentada de la imagen real. ,l aumento total del
microscopio depende de las distancias focales de los dos sistemas de lentes.
-icroscopio compuesto.
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Te!escopio/,s un instrumento ptico empleado para observar ob"etos muy
grandes que se encuentran a muy le"anas distancias como por e"emplo estrellas!
cometas! planetas! entre otros.
:elescopio
Crista!/>orcin homog+nea de materia con una estructura atmica ordenada ydefinida y con forma externa limitada por superficies planas y uniformes
sim+tricamente dispuestas. Los cristales se producen cuando un lquido forma
lentamente un slido$ esta formacin puede resultar de la congelacin de un
lquido! el depsito de materia disuelta o la condensacin directa de un gas en un
slido. Los ngulos entre las caras correspondientes de dos cristales de la misma
sustancia son siempre id+nticos! con independencia del tamaSo o de la diferencia
de forma superficial.
Interfer%metro/'nstrumento que emplea la interferencia de ondas de luz para la
medida ultra precisa de longitudes de onda de la luz misma! de distancias
pequeSas y de determinados fenmenos pticos. ,xisten muchos tipos de
interfermetros! pero en todos ellos hay dos haces de luz que recorren dos
trayectorias pticas distintas determinadas por un sistema de espe"os y placas que
finalmente se unen para formar fran"as de interferencia. >ara medir la longitud de
onda de una luz monocromtica se utiliza un interfermetro dispuesto de tal forma
que un espe"o situado en la trayectoria de uno de los haces de luz puededesplazarse una distancia pequeSa que puede medirse con precisin y vara as la
trayectoria ptica del haz. @uando se desplaza el espe"o una distancia igual a la
mitad de la longitud de onda de la luz! se produce un ciclo completo de cambios
en las fran"as de interferencia. La longitud de onda se calcula midiendo el nmero
de ciclos que tienen lugar cuando se mueve el espe"o una distancia determinada.
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'nterfermetro
Re' De Difracci%n/Dispositivo ptico empleado para separar las distintas
longitudes de onda )colores* que contiene un haz de luz. ,l dispositivo suele estar
formado por una superficie reflectante sobre la que se han trazado miles de surcos
paralelos muy finos.
8n @D=F- es una red de difraccin
8n @D=F- crea un patrn de difraccin por reflexin. >or su construccin tiene
similitudes con las redes de difraccin. ,n la foto se pueden apreciar los dos
primeros rdenes de difraccin.spectro7e!i%grafo( ,lemento importante del equipo utilizado en astronoma para
fotografiar las protuberancias del ;ol! como la fotosfera )la capa interior de gases
calientes ms cercana a la superficie del ;ol* y la cromosfera )la capa exterior ms
fra*. ,l espectroheligrafo! "unto con un telescopio! fotografa el ;ol en luz
monocromtica )con una nica longitud de onda*.
INTRU#NTO #C8NICO
;on los instrumentos de medicin que deben ser manipulados fsicamente por el
inspector. Los dispositivos mecnicos pueden ser de pasano pasa o variables.
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Los instrumentos mecnicos cada da son remplazados por electrnica que nos
permite tener una me"or resolucin y evitan errores de parala"e. ;in embargo hoy
por hoy constituyen una alternativa econmica en algunos casos. Dicho tipo de
instrumentos estn constituidos por todos aquellos que se valer de una medicin
directa a trav+s de un mecanismo! que nos permita tomar la lectura del valor
directamente de dicho instrumento! tales como(
a* -icrmetros
b* &ernier
c* Durmetros
d* 'ndicadores de cartula
e* >alpadores
f* :ensimetros
#e'ici%n con reg!as
Las herramientas de medicin ms comunes en el traba"o del taller mecnico esregla de acero. ;e emplea cuando hay que tomar medidas rpidas y cuando no es
necesario un alto grado de exactitud. Las reglas de acero! en pulgadas! estn
graduadas en fracciones o decimales$ las reglas m+tricas suelen estar graduadas
en milmetros o en medios milmetros. La exactitud de medida que se toman
depende de las condiciones y el uso correcto de la regla.
Reg!a 'e acero
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;e fabrican en una gran variedad de tipos y tamaSos! adecuados a la forma o
tamaSo de una seccin o longitud de una pieza. >ara satisfacer los requisitos de
pieza que se produce y se va a medir! hay disponibles reglas graduadas en
fracciones o decimales de pulgadas o en milmetros. Los tipos de reglas ms
utilizados en el traba"o del taller mecnico se describen a continuacin.
A* =egla rgida de acero templado. Teneralmente tiene E escalas! 9 en cada lado$
se fabrican en diferentes longitudes! la ms comn es de I pulgadas o /H5 mm.
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Patrones 'e ra'io
,stos patrones consisten en una serie de lminas marcadas en mm con los
correspondientes radios cncavos y convexos! formados en diversas partes de la
lmina. La 'nspeccin se realiza determinando que patrn se a"usta me"or al borde
redondeado de una pieza$ generalmente los radios van de / a 9H mm en pasos de
5.H mm.
Ca!i6res Angu!ares
,stos calibres cuentan con lminas que tienen diferentes ngulos para cubrir las
necesidades de medicin de chaflanes externos o internos! inspeccin de ngulos
de ruedas de esmeril o cortadores.
Cuenta7!os
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Los cuentahlos consisten en una serie de lminas que se mantienen "untas
mediante un tornillo en un extremo! mientras que el otro tiene salientes que
corresponden a la forma de la rosca de varios pasos )hilos por pulgada*$ los
valores estn indicados sobre cada lmina.
Patrones para a!am6res0 6rocas & minas
Los patrones para brocas sirven para determinar el tamaSo de estas al
introducirlas en un agu"ero cuyo tamaSo esta marcado a un lado o para mantener
en posicin vertical un "uego de brocas.
,l cuerpo del patrn tiene grabadas indicaciones sobre el tamaSo de brocas
recomendable para un tamaSo de rosca determinado. ,sta caracterstica permite
elegir rpidamente broca adecuada.
Compases
Antes de que los instrumentos como el calibrador vernier fueran introducidos! las
partes eran medidas con compases )interiores! exteriores! divisores!
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hermafroditas* y reglas. >ara medir un dimetro exterior la parte es puesta entre
las puntas de los compas y luego las puntas de los compas son colocadas sobre
una regla para transferir la lectura. ,n otra aplicacin las puntas de los compas de
exteriores se separan una distancia especfica utilizando una regla! entonces las
partes son maquinadas hasta que la punta de los compas se desliza "ustamente
sobre la superficie maquinada.
#DIDOR D PRIN
Presi%n
La presin se define como fuerza e"ercida sobre una superficie por unidad de rea.
,n ingeniera! el t+rmino presin se restringe generalmente a la fuerza e"ercida por
un fluido por unidad de rea de la superficie que lo encierra. De esta manera! la
presin )>* de una fuerza )?* distribuida sobre un rea )A*! se define como(
,xisten muchas razones por las cuales en un determinado proceso se debe medir
presin. ,ntre estas se tienen(
@alidad del producto! la cual frecuentemente depende de ciertas presionesque se deben mantener en un proceso.
>or seguridad! como por e"emplo! en recipientes presurizados donde la
presin no debe exceder un valor mximo dado por las especificaciones del
diseSo.
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,n aplicaciones de medicin de nivel.
,n aplicaciones de medicin de flu"o.
,n el sistema 'nternacional de 8nidades! la unidad de medida de presin es el
>ascal )>a*! que se define como la fuerza e"ercida por un Beton )B* sobre un
rea de un metro cuadrado )m9*. F sea! >a V B7m9. ,sta es una unidad de presin
muy pequeSa! pero el 6ilo pascal )W>a*! /.555 >a! permite expresar fcilmente los
rangos de presin comnmente ms usados en la industria petrolera. Ftras de las
unidades utilizadas son el Wilogramo por centmetro cuadrado )Wg.7cm 9*$ libras por
pulgada cuadrada )>si*$ bar! y otros.
,n la tabla / se presentan los factores de conversin entre las unidades de presin
ms comunes.
:abla /. ?actores de conversin para unidades de presin.
,n estas pginas se estudiarn los principales m+todos o principios mecnicos y
electromecnicos utilizados en la medicin de presin. :ambi+n se har una breve
descripcin sobre interruptores y transmisores de presin.
Instrumentos para me'ici%n 'e !a presi%n
/. 'nstrumentos mecnicos
Los instrumentos mecnicos utilizados para medir presin cuyas caractersticas se
resumen en la tabla 9! pueden clasificarse en(
Co!umnas 'e L9ui'o/
-anmetro de >resin Absoluta.
-anmetro de :ubo en 8.
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-anmetro de >ozo.
-anmetro de :ubo 'nclinado.
-anmetro :ipo @ampana.
Instrumentos !sticos/
:ubos resin =esistivos
:ransductores de >resin @apacitivos
:ransductores de >resin -agn+ticos
:ransductores de >resin >iezoel+ctricos
:abla 9. >rincipales caractersticas de los instrumentos para medir presin.
Los me'i'ores 'e presi%nson instrumentos de precisin fabricados para medir
la presin sangunea! la presin de lquidos y gases en tuberas o tanques de
almacenamiento y la presin atmosf+rica! a grandes rasgos! teniendo para cada
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uso diversos equipos disponibles de acuerdo a las necesidades.
Dependiendo de las aplicaciones de los medidores de presin! son las unidades
disponibles para sus resultados! adems de que algunos reciben nombres
diferentes dependiendo tambi+n del tipo de presin que van a medir.
#an%metro 'e tu6o 'e 6our'on
,ste medidor de presin tiene una amplia variedad de aplicaciones para realizar
mediciones de presin esttica$ es barato! consistente y se fabrica en dimetros
de 9 pulgadas )H5 mm* en caratula y tienen una exactitud de hasta 5./P de lalectura a escala plena$ con frecuencia se emplea en el laboratorio como un patrn
secundario de presin.
8n manmetro con tubo bourbon en los que la seccin transversal del tubo es
elptico o rectangular y en forma de @. @uando se aplica presin interna al tubo!
este se reflexiona elstica y proporcionalmente a la presin y esa deformacin se
transmite a la cremallera y de esta al piSn que hace girar a la agu"a indicadora a
trav+s de su e"e. Las escalas! exactitudes y modelos difieren de acuerdo con el
diseSo y aplicacin! con lo que se busca un a"uste que de linealidad optima e
hist+resis mnima.
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Ancho de las lneas de graduacin. :abla de
referencia.
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,scalas para medidores de presin. 8nidad 6gf7cm2 )-pa*
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#an%metro 'e tu6o a6ierto
8n aparato muy comn para medir la presin manom+trica es el manmetro de
tubo abierto. ,l manmetro consiste en un tubo en forma de 8 que contiene un
lquido! que generalmente es mercurio. @uando ambos extremos del tubo estn
abiertos! el mercurio busca su propio nivel ya que se e"erce una atmsfera de
presin sobre cada uno de ellos. @uando uno de los extremos se conecta a una
cmara presurizada! el mercurio se eleva hasta que la presiones se igualan.
La diferencia entre los dos niveles de mercurio es una medida de presin
manom+trica( la diferencia entre la presin absoluta en la cmara y la presin
atmosf+rica en el extremo abierto. ,l manmetro se usa con tanta frecuencia en
situaciones de laboratorio que la presin atmosf+rica y otras presiones se
expresan a menudo en centmetros de mercurioopulgadas de mercurio.
:ar%metros
La presin! por definicin! es la fuerza aplicada por unidad de superficie! dando
cabida a una gran gama de acciones y eventos donde se e"erce y es necesario el
uso e medidores de presin para evaluar su magnitud.
Los medidores de presin ms conocidos son los barmetros! ya que son
utilizados para medir la presin atmosf+rica como un indicador de los cambios
climticos en cualquier regin. Lo que realmente hacen estos barmetros es medircual es la presin e"ercida por el peso de la atmosfera por unidad de superficie!
dependiendo del sistema de medicin que se utilice. Las diferentes dimensiones
utilizadas para la presin atmosf+rica comprenden los 6ilogramos por centmetro
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cuadrado! libras por pulgada cuadrada! milmetros de mercurio y atmsferas! entre
otros.
:ar%metro 'e mercurio
8n barmetro de mercurio ordinario est formado por un tubo de vidrio de unos
0H5 mm de altura! cerrado por el extremo superior y abierto por el inferior. @uando
el tubo se llena de mercurio y se coloca el extremo abierto en un recipiente lleno
del mismo lquido! el nivel del tubo cae hasta una altura de unos 1I5 mm por
encima del nivel del recipiente y de"a un vaco casi perfecto en la parte superior
del tubo. Las variaciones de la presin atmosf+rica hacen que el lquido del tubo
suba o ba"e ligeramente$ al nivel del mar no suele caer por deba"o de los 121 mm
ni subir ms de 11H mm. @uando el nivel de mercurio se lee con una escala
graduada denominada nonius y se efectan las correcciones oportunas segn la
altitud y la latitud )debido al cambio de la gravedad efectiva*! la temperatura
)debido a la dilatacin o contraccin del mercurio* y el dimetro del tubo )por los
efectos de capilaridad*! la lectura de un barmetro de mercurio puede tener una
precisin de hasta 5!/ milmetros.
:ar%metro Aneroi'e
8n barmetro ms cmodo )y casi tan preciso* es el llamado barmetro aneroide!
en el que la presin atmosf+rica deforma la pared elstica de un cilindro en el que
se ha hecho un vaco parcial! lo que a su vez mueve una agu"a. A menudo se
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emplean como altmetros )instrumentos para medir la altitud* barmetros
aneroides de caractersticas adecuadas! ya que la presin disminuye rpidamente
al aumentar la altitud. >ara predecir el tiempo es imprescindible averiguar el
tamaSo! forma y movimiento de las masas de aire continentales$ esto puede
lograrse realizando observaciones barom+tricas simultneas en una serie de
puntos distintos. ,l barmetro es la base de todos los pronsticos meteorolgicos.
#DIDOR D TORION
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Fcasionalmente un nmero de pares conveniente introducir una nueva cantidad.
,l momento de torsin para cualquier seccin a lo largo de la barra se define como
la suma algebraica de los momentos de los pares aplicados que yacen a un lado
de la del lado siempre es arbitraria. Fcasionalmente un nmero de pares actan a
lo largo de un e"e. ,n este caso es conveniente introducir una nueva cantidad. ,l
momento de torsin para cualquier seccin a lo largo de la barra se define como la
suma algebraica de los momentos de los pares aplicados que yacen a un lado de
la seccin en cuestin. La eleccin del lado siempre es arbitraria.
-F-,B:F >FLA= D, 'B,=@'A
>ara un e"e circular hueco de un dimetro exterior Do! y con el orificio circular
conc+ntrico de dimetro Di! el momento polar de inercia del rea de
seccintransversal. Cue desplegando algebraicamente son( X V )D9 YD9* )D9 Y
D9* V X V )D9 QD9* )Do QDi* V)Do Di* ,sta frmula es especialmente til para
tubos donde )DoDi* es pequeSa. D,?F=-A@'FB AL @F=:, 8na lnea
generadora ab marcada en la superficie de una barra sin carga se mover a una
posicin como la mostrada ab despu+s de aplicar un momento de torsin :. ,l
ngulo! medido en radiantes! entre las posiciones final e inicial de la lnea
generadora se define como la deformacin al corte en la superficie de la barra$ la
misma definicin podra mantenerse en cualquier punto interior de la barra.
ABT8LF D, :F=;'FB
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;i un e"e de longitud L ,st su"eto a un momento de torsin constante : a lo largo
de su longitud. ,ntonces el ngulo en que un extremo de la barra se tuerce en
forma relativa y respecto al otro.
#e'i'ores 'e esfuer;os mecnicos
#ay distintas clases de fuerzas o Zesfuerzo que se representa al tratar las
propiedades mecnicas de los materiales .,n general! se define el esfuerzo como
una fuerza que acta sobre el rea unitaria en la que se aplica .en la figura I
2)a*se ilustra los fuerzas de tensin !comprensin !corte! flexin .La deformacin
unitaria se define como el cambio de dimensin por unidad de longitud .,l
esfuerzo se suele expresar en >a )pascales*o en psi)libras por pulgadas
cuadradas! por su siglas en ingles *.La deformacin unitaria no tiene dimensiones
y con frecuencia se expresa en >ulg7pulg o en cm7cm Al describir el esfuerzo y al
deformacin unitaria !es til imaginar que el esfuerzo es la causa y la deformacin
unitaria es el efecto .normalmente !los esfuerzos de tensin y de corte se presenta
con los smbolos y respectivamente .Las deformaciones de tensin y de corte se
representa con los smbolos [ y !respectivamente .,n muchas aplicaciones su"etas
a cargas dinmicas !intervienen esfuerzos d tensin o de compresin .Los
esfuerzos cortantes o decizallamiento! suelen encontrar en el procesamiento t de
materiales en t+cnicas como la extrusin de polmeros .:ambi+n se encuentran en
aplicaciones estructurales .5bservese que aun esfuerzo pensil simple! aplicado en
una direccin !causa un esfuerzo cortante en componentes con otras direcciones
)parecidos al caso descrito en la ley se ;chmidt. La deformacin )unitaria * elsticase define como una deformacin restaurarle debido a un esfuerzo aplicado .La
deformacin es la Zelsticas se desarrolla en forma instantnea$ es decirse
presenta tan pronto como se aplica la fuerza! permanece mientras se aplica el
esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza .8n material su"eto a
una deformacin elstica no muestra deformacin permanente $ es decir !regresa
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a su forma original cuando se retira la fuerza o el esfuerzo .imagnate que resorte
metlico rgido se estira una cantidad pequeSa y entonces se suelta. ;i regresa
con rapidez asas dimensiones originales! la deformacin que se produ"o en el
resorte era elstica. ,n muchos materiales! el esfuerzo y la deformacin elstico
siguen una ley lineal. La pendiente en la porcin lineal de la curva esfuerzo y la
contra deformacin unitaria a tensin define al modulo de Noung o modulo de
elasticidad ),*de un material )b*.Las unidades de , se mide en pascales )paz* o
en libras por pulgadas cuadrada )psi*!las mismas que las del esfuerzo .,n los
elastmeros se observa deformaciones elsticas grandes! como en el hule natural
o las siliconas! donde la relacin entre esfuerzo y deformacin elsticos no es
lineal . ,n ellos! los enormes deformacin elsticas se explica por el enredado y
desenredado de mol+culas seme"ante a resortes )captulos /H*.Al mane"ar esosmateriales! se usa la pendiente de la tangente en cualquier valor determinado del
esfuerzo o d ella deformacin! y se le considera como una cantidad variable que
reemplaza al modulo de Noung. \I2)b*].el inverso del modulo de Noung se llama
flexibilidad )o capacidad elstica de deformacin* del material. De forma
parecida !se define al modulo de elasticidad cortante )T* como la pendiente dela
parte lineal de la curva de esfuerzo cortante contra deformacin cortante La
deformacin permanente en un material se llama deformacin plstica .,n este
caso! cuando s e quita el esfuerzo !el material no regresa a su forma original ^La
abolladura en un auto es deformacin plsticas Fbserva que aqu la palabra
Zplstica Z no indica deformacin ,n un material plstico o polmero! sino mas bien
una clase deformacin en cualquier material La rapidez con que se desarrolla la
deformacin en un material se define como velocidad de deformacin )_ o y!
respectivamente !para la velocidad de formacin por tensin y por cortantes*. 8n
material viscosos es un en cual se desarrolla la deformacin durante ciertos
tiempo! y el material no regresa a su forma original al quitar el esfuerzo. ,l
desarrollo de la deformacin toma tiempo! y no est en fase con el esfuerzo
aplicado )es decir! la deformacin es plstica*. 8n material visco elstico)o
analstico* puede concebirse como uno cuya respuesta es intermedia entre la de
un material elstico. ,n un material visco elstico! el desarrollo de una
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deformacin permanente se parece a un material viscoso .sin embargo! a
diferencia de un material viscoso! cuando se quita el esfuerzo aplicado! parte de la
deformacin desaparece despu+s de cierto tiempo 8na descripcin cualitativa del
desarrollo de la deformacin en funcin de l tiempo !e relacin con una fuerza
aplicada en los materiales elsticos! viscosos y visco elstico. ,n los materiales
visco elstico mantenidos di"o deformacin constante! al pasar el tiempo !la
magnitud del esfuerzo disminuye Al tratar materiales fundidos !lquidos y
dispersiones !como pinturas o geles !se requieren una descripcin de la
resistencia al flu"o o corrimiento ba"o la accin den esfuerzo aplicado y la velocidad
de deformacin cortante es lineal el material neton .
#e'i'ores 'e Dure;a
Ftra propiedad mecnica que puede ser sumamente importante considerar es la
dureza! la cual es una medida de la resistencia de un material ala de formacin
plstica localizada )por e"emplo! una pequeSa abolladura o rayadura *.los primeros
ensayos de dureza se basaban en el comportamiento de los minerales "unto con
una escala construida segn la capacidad de un material para rayar a otro ms
blando .8n m+todo cualitativo de ordenar de forma arbitraria la dureza es
ampliamente conocido y se denomina escala de -ohs la cual va desde / en el
extremo blando para el talco hasta /5 para el diamante .A lo largo de los aSos se
han ido desarrollando t+cnicas cuantitativas de dureza que se basaban en un
pequeSo penetrador que es forzado sobre una superficie del material a ensayar en
condiciones controladas de carga y velocidad de aplicacin de la carga .,n estosensayos se miden la profundidad o tamaSo de la huella resultante !lo cual se
relaciona con un numero de dureza $cuanto ms blando es el material !mayor y
ms profunda es la huella !y menor es el numero de dureza.las dureza. Las dureza
medidas tienen solamente un significado relativo )y no absoluto*!y es necesario
tener precaucin al comparar dureza obtenidas por t+cnicas distintas ,nsayos de
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dureza =oc6ell ,l ensayo de dureza de =oc6ell constituye el m+todo ms
usado para medir la dureza debido a que es muy simple de llevar acabo y no
requiere conocimientos especiales. ;e puede utilizar diferentes escalas que
provienen de la utilizacin de distintas combinaciones de penetradores y cargar! lo
cual permite ensayar virtualmente cualquier metal desde el ms duro al ms
blando. Los penetradores son bolas esf+ricas de acero endurecido que tienen
dimetros de /7/I!/7I!/7Ey/74pulg.)/!H00!2!/1H!I!2H5y/9!15mm*y un penetrador
cnico de diamante )
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,sta escala "unto con los penetradores y cargas correspondiente .para ensayos
superficiales! la carga menor es de 26g! mientras que el valor de la carga mayor
puede ser /H!25 o EH6g.esta escala se identifica mediante un numero )/H.25 o EHsegn la carga *y una letra )B!:!!o N! segn el penetrador*.Los ensayos
superficiales se realizan frecuentemente en probetas delgadas .La tabla I.Hb
presenta varias escalas de dureza superficiales @uando se especifican dureza
=oc6ell y superficiales !debe indicarse! adems del numero de dureza ! el
smbolo de la escala utilizada .la escala se designa por el smbolo #= seguido por
una identificacin de la escala !por e"emplo!05#=< representa una dureza
=oc6ell de 05 en la escala < !y I5 #=25 indica una dureza superficial de I5 enlas escalas 25. >ara cada escala las durezas pueden llegar a valores de /25$ sin
embargo a medida que la dureza alcanza valores superiores a /55 o inferiores a
95 en cualquier escala ! estos son pocos exactos$ debido a que las escalas se
solapan en esta situacin es me"or utilizar la escala vecina ms dura o vecina ms
blanda respectivamente :ambi+n se producen inexactitudes si la muestra es
demasiado delgada! si la huella se realiza demasiado cerca de un borde! o bien si
dos huellas estn demasiado prximas .,l espesor de la probeta debe ser por lo
menos alrededor de /5 veces la profundidad de la huella! tambi+n debe haber un
espacio de tres dimetros de huella entre el centro de una huella y el borde de la
probeta! o bien con el centro de la otra indentacion. Adems los ensayos de
probeta apiladas una sobre otra no es recomendable. La exactitud tambi+n
depende de si la dureza se toma sobre una superficie perfectamente lisa. Los
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equipos modernos para la medida de la dureza =oc6ell! esta automatizados y
son de muy fcil utilizacin$ la dureza es medida directamente! y cada medida
requiere nicamente unos pocos segundos Los equipos modernos de ensayo
tambi+n permiten la variacin del tiempo de aplicacin de la carga .,sta variable
debe ser considerada al interpretar los resultados de los ensayos de dureza.
,nsayo de dureza de resultante )v+ase la tabla I.E*.,ste dimetro se mide con una lupa de pocos
aumentos !que tienen una escala graduada en el ocular .,l dimetro medido
entonces convertido a un numero #< aproximado usando una tabla$ en esta
tecnica solamente se utiliza una escala. Los requerimientos de espesor de la
muestra! de posicin de la huella )relativa a los bordes de la muestra* y de
separacin mnima entre huellas son los mismos que en los ensayos =oc6ell
.Adems! se necesita una huella bien definida! lo cual exige que la superficie
sobre la cual se realiza la huella sea perfecta lisa. ,nsayo de micro dureza vic6ers
y 6noop Ftra dos t+cnicas de ensayo son la dureza 6noop y la dureza vic6ers
)tambi+n a veces denominas pirmide*.,n estos ensayos! un penetrador de
diamante muy pequeSo y de geometra piramidal es forzado en la superficie de la
muestra .Las cargas aplicadas !mucho menores que en las t+cnicas
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aproximadamente equivalente. Las t+cnicas 6noop y vic6ers se consideran
ensayos de micro dureza debido A la magnitud de la carga y al tamaSo del
indentador .Ambas son muy convenientes para la medida de dureza de pequeSas
regiones seleccionadas en la superficie de la muestra $adems ambas t+cnicas
6noop y vic6ers son utilizadas para el ensayo de materiales frgiles !tales como las
cermicas.
@onversin de la dureza ,s muy conveniente disponer de m+todos para convertir
la dureza de unas escalas a otra .;in embargo! puesto que la dureza no es una
propiedad del material muy bien definida !y debido a las diferencias
experimentales de cada t+cnicas ! no se ha establecido un m+todo general para
convertir las durezas de una escala a otra .Los datos de conversin han sidodeterminados experimentalmente y se han encontrado que son dependientes del
tipo de material y de las caractersticas .La escala de conversin ms fiable que
existe es la que corresponde a aceros .,stos dato se presentan en la figura
I./1para las durezas de 6noop y brinell y de las dos escalas de =oc6ell$tambi+n
se incluye la escala de -ohs !como resultado de lo que se ha dicho anteriormente
debe tenerse mucho cuidado al extrapolar estos datos a otras sistemas de
aleaciones @orrelacin entre dureza y la resistencia ala traccin :anto la
resistencia a la traccin como la dureza son indicadores de la resistencia de un
metal a la deformacin plstica. >or consiguiente! estas propiedades son! a
grandes rasgos! proporcionales! tal como se muestra en la figura ./0 para la
resistencia ala traccin en funcin de la #< en el caso de la fundicin! aceros
latones. :al como se indica en la figura I./0! la relacin de proporcionalidad no es
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la misma para todos los metales .@omo regla general !para la mayora de los
aceros !el numero #< y la resistencia ala traccin estn relacionados de acuerdo
con( :s )psi*VH55%hb )I./Ja* :s )->a*V2!EH%hb )I./Jb* Los ensayos de dureza se
realizan con mucha mayor frecuencia que cualquier otro ensayo por varias
razones( /. ;on sencillo y baratos! y ordinariamente no es necesario preparar una
muestra especial.
Instrumentos 'e me'ici%n por coor'ena'as 4
DF-'B'F D, LA BF=-AL'A@'KB. ),X, %* ,n este e"e se encuentran las
actividades econmicas de una regin como por e"emplo( ciencia! educacin!
medicina! metalurgia! agricultura! industria alimentaria! fruticultura! etc. 8n ob"eto
de normalizacin puede permanecer a ms de un dominio. A;>,@:F; D, LA
BF=-AL'A@'KB. ),X, y* ,s un grupo de exigencias seme"antes o conexas. La
norma de un ob"eto puede referirse a un solo aspecto! o bien contemplar varios
aspectos! como es el caso general de normas de producto B'&,L,; D,
BF=-AL'A@'KB. ),X, * @ada nivel est definido por el grupo de personas que
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utilizan la norma$ como por e"emplo( empresas! asociacin! nacin! y grupo de
naciones. Las normas de la empresa son la base para cada campo y ciclo de
control en las actividades de una empresa.
=eferencias
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