Ernesto Diez Canseco ms de 53 aos de Excelencia Educativa PREPARACION PROACTIVA
Contextualizado de acuerdo al nuevo Marco Curricular y los Mapas de Progreso de IPEBA
MATEMTICA SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA POR Lic. RAL LUCAS HERMITAO
1
CUADERNO DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES
INSTITUCIN EDUCATIVA ERNESTO
DIEZ CANSECO
AUTOR: Lic. Ral LUCAS HERMITAO
APELLIDOS Y NOMBRE(s) DEL ESTUDIANTE: __________________________________________________________________
GRADO DE ESTUDIOS: SEGUNDO SECCIN: ____
Ernesto Diez Canseco ms de 53 aos de Excelencia Educativa PREPARACION PROACTIVA
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2
A mi maestro de matemticas:
Grimaldo Heredia Estares Anticona y
inspirarme a publicar este cuaderno de trabajo.
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3
PRESENTACIN Escribir temas relacionado a las matemticas a un pblico amplio es, sin lugar a dudas, una
aventura del cual es difcil salir bien liberado o al menos satisfecho. La idea de este
cuaderno de trabajo es que fuera el ms hermoso, el ms gallardo y el ms discreto que
pudiera imaginarse; pero no se puede contravenir la orden de la naturaleza, que en ella
cada cosa engendra su semejante.
Me he atrevido escribir este cuaderno de trabajo, porque estoy convencido de que la
imagen que se hace de las matemticas y los matemticos es como algo inalcanzable, y
creo que la aversin hacia ellas desaparecera si tan slo intentramos interpretarlas como
lo son: una belleza y una pasin; He aqu un prrafo de lo que deca Newton: "No poda
dormir sin dejar de pensar en ella." En quin? Newton respondi: por su puesto en la
gravedad.
Mucha gente piensa que las matemticas son feas, ridas, rgidas y fras; yo s que no lo
es, las matemticas son bellas, clidas, a veces terribles; pero siempre apasionantes y
entretenidas. Muchos han dicho, que la belleza de las matemticas es slo para iniciados,
aquellos que entienden su lenguaje; y est vedada para los dems y ello no es cierto; en
esta oportunidad con el mismo dinamismo que en el primer grado, estoy listo una vez ms
para ayudar a crecer e interpretar las maravillas de las matemticas y caminar por el jardn
en donde suelen pasear las aventuras de la ingeniera y las tecnologas de punta.
Interactuar con este material significa tener los ingredientes: papel y lpiz: no slo basta
leer el texto, tambin requiere de alguna manera, recrearlo y reproducirlo para usted
mismo y a la vez preguntarse y darse respuestas como: Qu es hacer matemticas?:
es disear un vitral, estimar la capacidad de un recipiente, averiguar el costo de un artculo que tiene cierto porcentaje de descuento, interpretar los datos de una grfica en una noticia
del peridico, son algunos de los muchos casos en que hacemos matemticas. Tambin hacemos matemticas cuando contestamos preguntas propias como: existe un nmero
que multiplicado por 5 d un resultado con signo negativo? Las medidas de los lados de un
tringulo pueden ser tres nmeros cualesquiera? Cmo es la grfica que corresponde a una
relacin de proporcionalidad? Hacer matemticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y tambin es crear nuevos conocimientos,
cuando los que se tienen son insuficientes. Hacer matemticas es una de las mejores
formas de aprender; por ello, en este gua te propongo numerosos ejercicios y problemas
que puedan ser resueltas con su activa participacin. Me interesa que aprendas
matemticas y la veas como una herramienta para pensar y para la vida misma.
Muchos resolutores de problemas (Polya) recomienda que al afrontar nuevos problemas
matemticos debes sentirte con libertad de poner en prctica lo que se te ocurra para
resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y,
cuando no funcionan, probar otra vez y otra vez hasta alcanzar el resultado; de a pocos
con la ayuda del profesor habrs potencializado tus tcnicas resolutivas y sers cada vez
ms ordenada, sistemtica y compatible con las matemticas, es decir hars mejores
matemticas y para aprenderlas es recomendable combinar la tcnica del estudio individual
por el estudio en parejas, en equipos y en grupo; ya que varias personas tienen diferentes
formas de interpretar un mismo problema, y para afrontarlas es recomendable que
reflexiones, es importante que compartas ideas y dudas con los otros; trabajar en parejas o
en equipos puede serte muy til para avanzar, explicar al grupo tus acciones o las de tu
equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los resultados son correctos
y atender los aportes del profesor te ayudar mucho a aprender. As mismos, es importante
que en algn momento veas si puedes hacer t solo la tarea; a lo largo de este cuaderno de
trabajo le sugiero el trabajo en grupo, en equipo o en parejas; sin embargo, es el profesor
quien indicar el tipo de organizacin ms adecuado para cada momento. Espero que este
cuaderno de trabajo, adems de ayudarte a aprender, te anime a exclamar: Esto s me gusta!.
Lic. RAUL LUCAS HERMITAO
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4
GEORG CANTOR
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ha pasado a la
historia por ser el matemtico que, junto a Richard Dedekind y Gottlob Frege, introdujo la novedosa teora de conjuntos. Aun as, son muchos los que prefieren admirarle por ingresar en las
complejas teoras del infinito, siendo el primero en exponer que no existe un nico infinito y que unos pueden ser ms grandes que
otros. Esto es algo que a priori puede resultar poco intuitivo, de hecho,
es algo que nadie se haba atrevido a afrontar hasta que Cantor lo hizo. Pero Cantor contaba con una herramienta que todos sus predecesores no haban tenido, la teora de conjuntos de la que se
le puede considerar padre. Primero, antes de adentrarnos en materia, un concepto muy
simple: siempre hay ms conjuntos de cosas que cosas. Esto se puede mostrar de forma intuitiva con un conjunto finito de elementos, por ejemplo dos {a, b}. Con dos elementos, podemos
sacar un total de cuatro conjuntos: {a}, {b}, {} y {a, b}. Pero qu sucede si intentamos expandir esto hasta el infinito?
Para explicar esto, Cantor recurri a imaginar un mundo en el que viviera un nmero infinito de personas. En ese mundo, existiran todos los clubes posibles. El menos exclusivo de todos los clubes
sera el club universal, aquel que tendra como miembros a todos los habitantes del mundo. En el otro extremo estara el club ms
exclusivo, el club vaco, del que ninguna persona podra ser miembro. Todos estamos de acuerdo en que, si existe un nmero infinito de personas, el nmero de clubes tambin tiene que ser
infinito. Pero, cmo de grande es este infinito? Si queremos demostrar que el infinito nmero de personas y el
infinito nmero de clubes son el mismo infinito (o ms correctamente, tienen el mismo tamao), tendremos que conseguir emparejar a los elementos del primer grupo con los
elementos del segundo grupo uno a uno. Si hacemos esto, nos encontraremos con que unas personas estaran emparejadas con
clubes de los que formaran parte, mientras que otras estaran emparejadas con clubes de los que no formaran parte. En cualquier caso, las ideas de Cantor supusieron una gran
revolucin a las matemticas, tirando y reconstruyendo muchos de los pilares en los que se haba sustentado las matemticas
durante siglos.
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5
NUMEROS RACIONALES (Q)
INTRODUCCIN Repasemos algunos conjuntos
numricos estudiados en el primer grado.
El conjunto de los nmeros naturales (N): Tiene como elementos al nmero cero y a todos los nmeros que sirve para contar:
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;....}
Su representacin en la recta es la siguiente:(QUE PARA QUE EL ESTUDIANTE LA COMPLETE)
El conjunto de los nmeros
enteros (z): Este conjunto tiene como elementos a los nmeros
naturales: 0; 1; 2; 3; 4; 5;.... y a los nmeros negativos: -1; -2; -3;
-4; -5;... es decir:
Z= {... 5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2;
3; 4; 5;....}
Su representacin en la recta es la
siguiente:(QUE PARA QUE EL ESTUDIANTE LA COMPLETE)
CONJUNTO DE NMEROS RACIONALES (Q)
En la imagen anterior se muestra
un pollo a la brasa y un tomate
entero respectivamente, si usted
quiere dividir en 4 partes iguales
cmo lo hara?, anote su forma de
proceder.
Numricamente:
Cmo representara a cada una de
las partes antes divididas?
Dibuje las partes y representa
numricamente cada uno de las partes.
POLLO A LA BRASA
Dibujo Nmero
I
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6
A los nmeros as obtenidos
se llaman nmeros racionales.
TOMTE
Dibujo Nmero
Llamamos nmeros racionales (Q)
al conjunto formado por todos los
nmeros enteros y todos los
fraccionarios.
Los nmeros racionales no enteros
se llaman fraccionarios.
N numerador=
D denominador ; NZ; DZ-{0}
, , 0N
I N D DD
Ejemplo: En la seguiste figura las partes
sombreadas representan.
A partir de las siguientes imagines
genere fracciones los ms diverso
posible.
.
.
4
6
.
Ahora Ponte en marcha!
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TIPOS DE FRACCIONES Fraccin propia: Es un fraccin
cuyo numerador es menor que denominador.
Fraccin impropia: Es una fraccin cuyo numerador es mayor
que el denominador.
Fraccin unitaria: Es una fraccin
cuyo numerador es igual que el denominador.
Fraccin decimal: Es una fraccin
cuyo denominador es una potencia de 10.
Nmero mixto: Es una fraccin
escrita como nmero entero y
fraccin propia y se entiende como
unin de este nmero y fraccin.
Fracciones homognea: Son fracciones que tiene el mismo
denominador.
Fracciones heterogneas: Son fracciones que tiene diferentes
denominadores.
Fracciones equivalentes: Son fracciones cuando el producto de
sus extremos es igual al producto de medios.
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8
En los siguientes
recuadros, dibuja la
fraccin 3
31
de la
papa que representa el
nmero.
Nmero
Racional
Dibujo que
representa
3
31
2
1
3
4
3
2
1
10
1 2 4; ;
2 4 8
1 3 4; ;
2 2 2
1 2 6; ;
2 3 5
13
4
14
2
RECUERDA: Toda fraccin se
puede amplificar y simplificar
teniendo en cuenta el numerador
y el denominador; y si no es
posible simplificar dicha fraccin
es irreductibles (el numerador y el
denominador son primos entre s
PESI)
Ejemplo:
Simplifique y amplifique las
siguientes fracciones:
a) Simplifique: 12
45
b) Amplifique: 12
45
c) Simplifique: 18
26
d) Amplifique: 18
26
e) Simplifique: 19
24
f) Amplifique: 19
24
Ahora Ponte en marcha!
Fracci
n
irred
ucti
ble
(Se
multiplica)
(Se divide)
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1. En el escriba el nmero de fracciones que hay en cada
grupo (tienes que fundamentar el porqu de tu respuesta):
a) 12 6 7 2 2
, , , ,5 4 2 3 2
.
b) 7 3 4 3
, , , ,3 4 2 1 3
.
c) 2 1 8 14 3
; ; ; ;7 4 2 7 0
d) 5 3 100 5
; ; ; ;100 314 7 9 9
..
2. En los recuadros de la derecha
escriba el nmero de fracciones
positivas y negativas
respectivamente
-3 9 -3 8 7; ; ; ;
7 4 5 3 2 que hay en el
grupo (justifica el porqu de tu
respuesta)
a) -13 7 -9 -8 12
, , , ,4 0 -8 5 3
b) -2 3 4 7 -11
, , , ,-5 7 -9 5 -13
c) -3 9 -3 8 7
; ; ; ;7 4 5 3 2
d) -3 4 -2 8
; ; ; ;0 3 5 7 2
3. Amplifique hasta un grupo de 5
fracciones por el consecutivo de
los numeradores y luego por el
consecutivo de los
denominadores respectivamente,
dada las siguientes fracciones
(justifique el porqu de tu
respuesta)
a) 11
20
b) 8
5
c) 21
9
d) 2
24
4. En los recuadros de la derecha
escriba el nmero de fracciones
reductibles e irrentables
respectivamente (justifique el
porqu de tu respuesta)
a) 20 406 139 15 189
; ; ; ;85 75 41 95 234
..
b) 84 56 27 36 90
; ; ; ;21 19 16 12 18
..
c) 28 100 72 44 81
, , , ,7 24 19 121 27
..
d) 40 105 5 79 14
; ; ; ;23 90 10 82 32
..
5. Escriba 5 fracciones equivalentes
a) 3
4
b) 2
3
c) 2
7
d) 7
8
6. Escribe el entro que falta, para
que las fracciones dadas sean
equivalentes.
a) 3
5 10
b) 12 8
6
c) 21 24
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10
d) 12
30 45
e) 4
11 121
7. Escriba la fraccin que
corresponde al punto indicado en
la siguiente recta numrica.
8. De los siguientes grupos de
fracciones, cules son facciones
homogneas y heterogneas
respectivamente (justifica tu
respuesta)
a) 4 12 15 25
; ; ;11 11 11 11
b) 4 2 5 7
; ; ;13 5 23 11
c) 4 2 5 1
; ; ;6 6 6 2
d) 1 4 67 13
; ; ;81 81 81 81
9. Dibuja utilizando rectngulos la
equivalencia grfica de las
siguientes fracciones.
a) 4
5
b) 5
4
c) 12
5
d) 5
12
e) 8
13
f) 13
8
10. Transforma las siguientes
fracciones en su equivalencia
de nmero mixto.
a) 12
5
b) 18
8
c) 6
2
d) 15
4
Los siguientes problemas sern
resueltos aplicando la tcnica de
exposicin en clase.
1. Indicar las fracciones propias
e impropias, del siguiente
grupo de fracciones
(justifique el porqu de su
respuesta)
4 12 15 25 5 51; ; ; ; ;
11 25 18 3 13 54
2. Arranque una hoja de papel
de un cuaderno cuadriculado
tamao A4, luego; corta con
una tijera todo el permetro
que contenga cuadrados y
cuenta dichos cuadraditos
que contiene una de sus
caras. Qu fraccin de la
cara seleccionada representa
un cuadradito? 10
cuadraditos? 50
cuadraditos? Dibuje los
experimentos.
0 -
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3. En una botella descartable de
un litro de capacidad, llenar
agua coloreada con tempera;
luego demostrar los
siguientes racionales:1
2 ;
1
3;
1
4;2
8;
8
16. Para hacer el
experimento puedes utilizar
vasos descartable
transparente.
4. Corta dos listones de madera
de 50 cm de largo cada uno y
considere como dos enteros
relativos. Seccione uno de
ellos en 10 partes iguales;
con dichos trozos demostrar
diferentes fracciones
equivalentes. Deber graficar
y representar en papelotes.
5. Utiliza como mximo 5 papas
del mismo tamao (tamaos
aproximados) y con ello
demuestre por lo menos 5
fracciones impropias
fraccionando las papas.
6. En una botella descartable de
un litro de capacidad llena
agua coloreada con tempera,
utilizando vasos descartables
demuestre por lo menos dos
formas de hacer fracciones
homogneas.
7. Considere a todos los
estudiantes de tu seccin como
una unidad, qu fraccin del
total son varones? y qu
fraccin del total son mujeres?
Dibuja y representa en una
cartulina tu fundamento.
8. Averigua la cantidad de
personal que trabaja en el
colegio Ernesto Diez Canseco,
Qu fraccin de ellos son
profesores de matemtica?qu
fraccin de ellos son personal
administrativo? Representa su
fundamento en una cartulina.
9. Observa un reloj con agujas,
qu fraccin genera el horario
y el minutero a las 6:00 horas
en la superficie del reloj? Dibuje
su fundamento en una
cartulina.
10. En una regla mtrica de 30 cm
qu fraccin representa los 5
cm. Dibuje la regla mtrica en
una cartulina y fundamenta tu
respuesta.
1. Utilizando el programa
CmapTools, haz un mapa
conceptual en una hoja tamao
A4 acerca del tema desarrollado
hasta este punto, imprimir y
presentarlo al profesor.
2. La seora Bertha prepar un
pastel de chocolates para el
desayuno. Si lo reparti en
partes iguales entre ella, su
esposo y sus tres hijos Qu
fraccin del pastel comieron en
total sus hijos? Dibuja el pastel y
justifique su respuesta.