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Ernesto Diez Canseco ms de 53 aos de Excelencia Educativa PREPARACION PROACTIVA

Contextualizado de acuerdo al nuevo Marco Curricular y los Mapas de Progreso de IPEBA

MATEMTICA SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA POR Lic. RAL LUCAS HERMITAO

1

CUADERNO DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES

INSTITUCIN EDUCATIVA ERNESTO

DIEZ CANSECO

AUTOR: Lic. Ral LUCAS HERMITAO

APELLIDOS Y NOMBRE(s) DEL ESTUDIANTE: __________________________________________________________________

GRADO DE ESTUDIOS: SEGUNDO SECCIN: ____




2

A mi maestro de matemticas:

Grimaldo Heredia Estares Anticona y

inspirarme a publicar este cuaderno de trabajo.




3

PRESENTACIN Escribir temas relacionado a las matemticas a un pblico amplio es, sin lugar a dudas, una

aventura del cual es difcil salir bien liberado o al menos satisfecho. La idea de este

cuaderno de trabajo es que fuera el ms hermoso, el ms gallardo y el ms discreto que

pudiera imaginarse; pero no se puede contravenir la orden de la naturaleza, que en ella

cada cosa engendra su semejante.

Me he atrevido escribir este cuaderno de trabajo, porque estoy convencido de que la

imagen que se hace de las matemticas y los matemticos es como algo inalcanzable, y

creo que la aversin hacia ellas desaparecera si tan slo intentramos interpretarlas como

lo son: una belleza y una pasin; He aqu un prrafo de lo que deca Newton: "No poda

dormir sin dejar de pensar en ella." En quin? Newton respondi: por su puesto en la

gravedad.

Mucha gente piensa que las matemticas son feas, ridas, rgidas y fras; yo s que no lo

es, las matemticas son bellas, clidas, a veces terribles; pero siempre apasionantes y

entretenidas. Muchos han dicho, que la belleza de las matemticas es slo para iniciados,

aquellos que entienden su lenguaje; y est vedada para los dems y ello no es cierto; en

esta oportunidad con el mismo dinamismo que en el primer grado, estoy listo una vez ms

para ayudar a crecer e interpretar las maravillas de las matemticas y caminar por el jardn

en donde suelen pasear las aventuras de la ingeniera y las tecnologas de punta.

Interactuar con este material significa tener los ingredientes: papel y lpiz: no slo basta

leer el texto, tambin requiere de alguna manera, recrearlo y reproducirlo para usted

mismo y a la vez preguntarse y darse respuestas como: Qu es hacer matemticas?:

es disear un vitral, estimar la capacidad de un recipiente, averiguar el costo de un artculo que tiene cierto porcentaje de descuento, interpretar los datos de una grfica en una noticia

del peridico, son algunos de los muchos casos en que hacemos matemticas. Tambin hacemos matemticas cuando contestamos preguntas propias como: existe un nmero

que multiplicado por 5 d un resultado con signo negativo? Las medidas de los lados de un

tringulo pueden ser tres nmeros cualesquiera? Cmo es la grfica que corresponde a una

relacin de proporcionalidad? Hacer matemticas es usar los conocimientos de esta disciplina para resolver ciertos problemas, y tambin es crear nuevos conocimientos,

cuando los que se tienen son insuficientes. Hacer matemticas es una de las mejores

formas de aprender; por ello, en este gua te propongo numerosos ejercicios y problemas

que puedan ser resueltas con su activa participacin. Me interesa que aprendas

matemticas y la veas como una herramienta para pensar y para la vida misma.

Muchos resolutores de problemas (Polya) recomienda que al afrontar nuevos problemas

matemticos debes sentirte con libertad de poner en prctica lo que se te ocurra para

resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y,

cuando no funcionan, probar otra vez y otra vez hasta alcanzar el resultado; de a pocos

con la ayuda del profesor habrs potencializado tus tcnicas resolutivas y sers cada vez

ms ordenada, sistemtica y compatible con las matemticas, es decir hars mejores

matemticas y para aprenderlas es recomendable combinar la tcnica del estudio individual

por el estudio en parejas, en equipos y en grupo; ya que varias personas tienen diferentes

formas de interpretar un mismo problema, y para afrontarlas es recomendable que

reflexiones, es importante que compartas ideas y dudas con los otros; trabajar en parejas o

en equipos puede serte muy til para avanzar, explicar al grupo tus acciones o las de tu

equipo, conocer lo que hicieron otros equipos, decidir juntos si los resultados son correctos

y atender los aportes del profesor te ayudar mucho a aprender. As mismos, es importante

que en algn momento veas si puedes hacer t solo la tarea; a lo largo de este cuaderno de

trabajo le sugiero el trabajo en grupo, en equipo o en parejas; sin embargo, es el profesor

quien indicar el tipo de organizacin ms adecuado para cada momento. Espero que este

cuaderno de trabajo, adems de ayudarte a aprender, te anime a exclamar: Esto s me gusta!.

Lic. RAUL LUCAS HERMITAO




4

GEORG CANTOR

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ha pasado a la

historia por ser el matemtico que, junto a Richard Dedekind y Gottlob Frege, introdujo la novedosa teora de conjuntos. Aun as, son muchos los que prefieren admirarle por ingresar en las

complejas teoras del infinito, siendo el primero en exponer que no existe un nico infinito y que unos pueden ser ms grandes que

otros. Esto es algo que a priori puede resultar poco intuitivo, de hecho,

es algo que nadie se haba atrevido a afrontar hasta que Cantor lo hizo. Pero Cantor contaba con una herramienta que todos sus predecesores no haban tenido, la teora de conjuntos de la que se

le puede considerar padre. Primero, antes de adentrarnos en materia, un concepto muy

simple: siempre hay ms conjuntos de cosas que cosas. Esto se puede mostrar de forma intuitiva con un conjunto finito de elementos, por ejemplo dos {a, b}. Con dos elementos, podemos

sacar un total de cuatro conjuntos: {a}, {b}, {} y {a, b}. Pero qu sucede si intentamos expandir esto hasta el infinito?

Para explicar esto, Cantor recurri a imaginar un mundo en el que viviera un nmero infinito de personas. En ese mundo, existiran todos los clubes posibles. El menos exclusivo de todos los clubes

sera el club universal, aquel que tendra como miembros a todos los habitantes del mundo. En el otro extremo estara el club ms

exclusivo, el club vaco, del que ninguna persona podra ser miembro. Todos estamos de acuerdo en que, si existe un nmero infinito de personas, el nmero de clubes tambin tiene que ser

infinito. Pero, cmo de grande es este infinito? Si queremos demostrar que el infinito nmero de personas y el

infinito nmero de clubes son el mismo infinito (o ms correctamente, tienen el mismo tamao), tendremos que conseguir emparejar a los elementos del primer grupo con los

elementos del segundo grupo uno a uno. Si hacemos esto, nos encontraremos con que unas personas estaran emparejadas con

clubes de los que formaran parte, mientras que otras estaran emparejadas con clubes de los que no formaran parte. En cualquier caso, las ideas de Cantor supusieron una gran

revolucin a las matemticas, tirando y reconstruyendo muchos de los pilares en los que se haba sustentado las matemticas

durante siglos.




5

NUMEROS RACIONALES (Q)

INTRODUCCIN Repasemos algunos conjuntos

numricos estudiados en el primer grado.

El conjunto de los nmeros naturales (N): Tiene como elementos al nmero cero y a todos los nmeros que sirve para contar:

N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;....}

Su representacin en la recta es la siguiente:(QUE PARA QUE EL ESTUDIANTE LA COMPLETE)

El conjunto de los nmeros

enteros (z): Este conjunto tiene como elementos a los nmeros

naturales: 0; 1; 2; 3; 4; 5;.... y a los nmeros negativos: -1; -2; -3;

-4; -5;... es decir:

Z= {... 5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2;

3; 4; 5;....}

Su representacin en la recta es la

siguiente:(QUE PARA QUE EL ESTUDIANTE LA COMPLETE)

CONJUNTO DE NMEROS RACIONALES (Q)

En la imagen anterior se muestra

un pollo a la brasa y un tomate

entero respectivamente, si usted

quiere dividir en 4 partes iguales

cmo lo hara?, anote su forma de

proceder.

Numricamente:

Cmo representara a cada una de

las partes antes divididas?

Dibuje las partes y representa

numricamente cada uno de las partes.

POLLO A LA BRASA

Dibujo Nmero

I




6

A los nmeros as obtenidos

se llaman nmeros racionales.

TOMTE

Dibujo Nmero

Llamamos nmeros racionales (Q)

al conjunto formado por todos los

nmeros enteros y todos los

fraccionarios.

Los nmeros racionales no enteros

se llaman fraccionarios.

N numerador=

D denominador ; NZ; DZ-{0}

, , 0N

I N D DD

Ejemplo: En la seguiste figura las partes

sombreadas representan.

A partir de las siguientes imagines

genere fracciones los ms diverso

posible.

.

.

4

6

.

Ahora Ponte en marcha!




7

TIPOS DE FRACCIONES Fraccin propia: Es un fraccin

cuyo numerador es menor que denominador.

Fraccin impropia: Es una fraccin cuyo numerador es mayor

que el denominador.

Fraccin unitaria: Es una fraccin

cuyo numerador es igual que el denominador.

Fraccin decimal: Es una fraccin

cuyo denominador es una potencia de 10.

Nmero mixto: Es una fraccin

escrita como nmero entero y

fraccin propia y se entiende como

unin de este nmero y fraccin.

Fracciones homognea: Son fracciones que tiene el mismo

denominador.

Fracciones heterogneas: Son fracciones que tiene diferentes

denominadores.

Fracciones equivalentes: Son fracciones cuando el producto de

sus extremos es igual al producto de medios.




8

En los siguientes

recuadros, dibuja la

fraccin 3

31

de la

papa que representa el

nmero.

Nmero

Racional

Dibujo que

representa

3

31

2

1

3

4

3

2

1

10

1 2 4; ;

2 4 8

1 3 4; ;

2 2 2

1 2 6; ;

2 3 5

13

4

14

2

RECUERDA: Toda fraccin se

puede amplificar y simplificar

teniendo en cuenta el numerador

y el denominador; y si no es

posible simplificar dicha fraccin

es irreductibles (el numerador y el

denominador son primos entre s

PESI)

Ejemplo:

Simplifique y amplifique las

siguientes fracciones:

a) Simplifique: 12

45

b) Amplifique: 12

45

c) Simplifique: 18

26

d) Amplifique: 18

26

e) Simplifique: 19

24

f) Amplifique: 19

24

Ahora Ponte en marcha!

Fracci

n

irred

ucti

ble

(Se

multiplica)

(Se divide)




9

1. En el escriba el nmero de fracciones que hay en cada

grupo (tienes que fundamentar el porqu de tu respuesta):

a) 12 6 7 2 2

, , , ,5 4 2 3 2

.

b) 7 3 4 3

, , , ,3 4 2 1 3

.

c) 2 1 8 14 3

; ; ; ;7 4 2 7 0

d) 5 3 100 5

; ; ; ;100 314 7 9 9

..

2. En los recuadros de la derecha

escriba el nmero de fracciones

positivas y negativas

respectivamente

-3 9 -3 8 7; ; ; ;

7 4 5 3 2 que hay en el

grupo (justifica el porqu de tu

respuesta)

a) -13 7 -9 -8 12

, , , ,4 0 -8 5 3

b) -2 3 4 7 -11

, , , ,-5 7 -9 5 -13

c) -3 9 -3 8 7

; ; ; ;7 4 5 3 2

d) -3 4 -2 8

; ; ; ;0 3 5 7 2

3. Amplifique hasta un grupo de 5

fracciones por el consecutivo de

los numeradores y luego por el

consecutivo de los

denominadores respectivamente,

dada las siguientes fracciones

(justifique el porqu de tu

respuesta)

a) 11

20

b) 8

5

c) 21

9

d) 2

24

4. En los recuadros de la derecha

escriba el nmero de fracciones

reductibles e irrentables

respectivamente (justifique el

porqu de tu respuesta)

a) 20 406 139 15 189

; ; ; ;85 75 41 95 234

..

b) 84 56 27 36 90

; ; ; ;21 19 16 12 18

..

c) 28 100 72 44 81

, , , ,7 24 19 121 27

..

d) 40 105 5 79 14

; ; ; ;23 90 10 82 32

..

5. Escriba 5 fracciones equivalentes

a) 3

4

b) 2

3

c) 2

7

d) 7

8

6. Escribe el entro que falta, para

que las fracciones dadas sean

equivalentes.

a) 3

5 10

b) 12 8

6

c) 21 24

14




10

d) 12

30 45

e) 4

11 121

7. Escriba la fraccin que

corresponde al punto indicado en

la siguiente recta numrica.

8. De los siguientes grupos de

fracciones, cules son facciones

homogneas y heterogneas

respectivamente (justifica tu

respuesta)

a) 4 12 15 25

; ; ;11 11 11 11

b) 4 2 5 7

; ; ;13 5 23 11

c) 4 2 5 1

; ; ;6 6 6 2

d) 1 4 67 13

; ; ;81 81 81 81

9. Dibuja utilizando rectngulos la

equivalencia grfica de las

siguientes fracciones.

a) 4

5

b) 5

4

c) 12

5

d) 5

12

e) 8

13

f) 13

8

10. Transforma las siguientes

fracciones en su equivalencia

de nmero mixto.

a) 12

5

b) 18

8

c) 6

2

d) 15

4

Los siguientes problemas sern

resueltos aplicando la tcnica de

exposicin en clase.

1. Indicar las fracciones propias

e impropias, del siguiente

grupo de fracciones

(justifique el porqu de su

respuesta)

4 12 15 25 5 51; ; ; ; ;

11 25 18 3 13 54

2. Arranque una hoja de papel

de un cuaderno cuadriculado

tamao A4, luego; corta con

una tijera todo el permetro

que contenga cuadrados y

cuenta dichos cuadraditos

que contiene una de sus

caras. Qu fraccin de la

cara seleccionada representa

un cuadradito? 10

cuadraditos? 50

cuadraditos? Dibuje los

experimentos.

0 -

1

1




11

3. En una botella descartable de

un litro de capacidad, llenar

agua coloreada con tempera;

luego demostrar los

siguientes racionales:1

2 ;

1

3;

1

4;2

8;

8

16. Para hacer el

experimento puedes utilizar

vasos descartable

transparente.

4. Corta dos listones de madera

de 50 cm de largo cada uno y

considere como dos enteros

relativos. Seccione uno de

ellos en 10 partes iguales;

con dichos trozos demostrar

diferentes fracciones

equivalentes. Deber graficar

y representar en papelotes.

5. Utiliza como mximo 5 papas

del mismo tamao (tamaos

aproximados) y con ello

demuestre por lo menos 5

fracciones impropias

fraccionando las papas.

6. En una botella descartable de

un litro de capacidad llena

agua coloreada con tempera,

utilizando vasos descartables

demuestre por lo menos dos

formas de hacer fracciones

homogneas.

7. Considere a todos los

estudiantes de tu seccin como

una unidad, qu fraccin del

total son varones? y qu

fraccin del total son mujeres?

Dibuja y representa en una

cartulina tu fundamento.

8. Averigua la cantidad de

personal que trabaja en el

colegio Ernesto Diez Canseco,

Qu fraccin de ellos son

profesores de matemtica?qu

fraccin de ellos son personal

administrativo? Representa su

fundamento en una cartulina.

9. Observa un reloj con agujas,

qu fraccin genera el horario

y el minutero a las 6:00 horas

en la superficie del reloj? Dibuje

su fundamento en una

cartulina.

10. En una regla mtrica de 30 cm

qu fraccin representa los 5

cm. Dibuje la regla mtrica en

una cartulina y fundamenta tu

respuesta.

1. Utilizando el programa

CmapTools, haz un mapa

conceptual en una hoja tamao

A4 acerca del tema desarrollado

hasta este punto, imprimir y

presentarlo al profesor.

2. La seora Bertha prepar un

pastel de chocolates para el

desayuno. Si lo reparti en

partes iguales entre ella, su

esposo y sus tres hijos Qu

fraccin del pastel comieron en

total sus hijos? Dibuja el pastel y

justifique su respuesta.

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