LICEO TAJAMARPROVIDENCIA
GUÍAS DE APRENDIZAJE DE LA ETAPA 4 DE GEOMETRÍA N°4.1 - Nº4.2
Nombre de la Guía de Aprendizaje: Thales y la CircunferenciaSECTOR: Matemática NIVEL: 2º medioPROFESOR(A): María Cecilia Palma Valenzuela
UNIDAD TEMÁTICA: nº 4 : SEMEJANZA y nº5: CIRCUNFERENCIA
CONTENIDOS DE LA UNIDAD: • Teorema de Thales –Teorema general de Thales - Aplicación del teorema de Thales . Circunferencia - Ángulos interiores y exteriores de la circunferencia – Proporcionalidad en la circunferencia – Aplicación de la circunferencia en diversos problemas
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: • Reconocer teorema de Thales - Identificar diversa s aplicaciones del teorema de Thales• Aplican el teorema de Thales en la resolución de problemas.• Identifican elementos de la circunferencia - Ángulos en la circunferencia - Proporcionalidad en la circunferencia
e-mail DE LOS PROFESORES CON RESPONSABILIDAD EN EL NIVEL:María Cecilia Palma V¨: maricecpalv@gmail. (2º A, 2ºB, 2ºG) Carmen Quintanilla: [email protected] (2ºC, 2ºD, 2ºE, 2ºF, 2ºH)
Trabajo Individual o grupal (máx. integrantes): Máximo tres integrantes Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: 5 días hábiles cada una desde la fecha en que las Guías estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.
Las guías deben ser enviadas por email. Las consultas pueden darse por email o en las tutorías. No olviden revisar el libro de 2º medio de Matemática, y revisar los ejercicios en la Unidad nº4 y la nº5
Las pruebas deben ser entregadas PERSONALMENTE EL DÍA QUE CORRESPONDE AL CALENDARIO DADO POR UTP.
TEOREMA DE THALES Y SUS APLICACIONES
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
TEOREMA DE THALES Y SUS APLICACIONES
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
teoremas
En la figura L // En la figura L // I)I)
II)II)
III) III)
IV) IV)
V)V)
1 2L
BD
PB
AC
PA
PB
PD
PA
PC
BD
PD
AC
PC
CD
AB
PC
PA
CD
AB
PD
PB
En la figura
• i)
• ii)
• iii)
21 // LL
PC
BP
PD
AP
PD
AP
DC
AB
PC
BP
DC
AB
EJERCICIOS DESARROLLADOS
• 1. En la siguiente figura L1//L2
a) PC = 12 cm. PB =6cm., BD = 2 cm., AC = ?
a) PC = 12 cm. PB =6cm., BD = 2 cm., AC = ?
2
812
AC
AC8
24
AC3
USANDO LA MISMA FIGURA SE RESUELVEN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
b) CD = 8cm., PA = 3cm , AC = 5 cm., AB = ?
b) CD = 8cm., PA = 3cm , AC = 5 cm., AB = ?
c) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
PB = 24 – 6 = 18cm.
PA = 12cm
c) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
PB = 24 – 6 = 18cm.
PA = 12cm
CD
AB
PC
PA
89
3 AB
AB9
823
AB24
18
2416
PA
24
1816PA
Con la figura se realizan los siguientes ejercicios
• b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
• 4x + 52 = 10x + 40 52 – 40 = 10x – 4x 12 = 6x 12 / 6 = x 2= x• AP = x + 13 = 2+13• AP = 15
• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm. AD =?
• AP =13,71 cm.
4
10
4
13
x
x
14
16
12
AP
14
1216AP
2. En la siguiente figura L1//L2.
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?
PC
BP
CD
AB
4
6
3
AB
cmAB
AB
5,4
4
18
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIACORPORACION DE DESARROLLO SOCIALLICEO “TAJAMAR”SANTIAGODepto Matemática/ MCPV
GUÍA Nº4.1 TEOREMA DE THALES
Nombre(S):_______________________ Curso: 2º _____
Fecha :_______ Ptje. Real ________ Nota:_________
Instrucciones: Las guías debe ser enviada por email o entregada personalmente o
durante las tutorías, en la fecha estipulada por UTP y avisada con anterioridad en el correo del Liceo www.cdstajamar.cl
Puede ser resuelta por una o tres personas como máximo
1. En la siguiente figura L1//L2
• a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
• b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
• c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
• d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
• a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?
• b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?
• c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.
• d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
• e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
• f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?• g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD
= ?• h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1.
Determina PC y CD.• i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD =
• e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?
• f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?• g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD
= ?• h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1.
Determina PC y CD.• i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD =
2. En la siguiente figura L1//L2.
• a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
• b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
• c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
• d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
• a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?
• b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.
• c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.
• d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., • CD = 3 cm., AB = ? • b) AP = x + 13, BP = 10 cm., • PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,• DP = 12 cm., AD = ?
• d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,
• CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., • CD = 3 cm., AB = ? • b) AP = x + 13, BP = 10 cm., • PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,• DP = 12 cm., AD = ?
• d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,
• CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en
el centro
OBJETIVOS DE LA UNIDAD de LA CIRCUNFERENCIA
Conocer y aplicar a la resolución de problemas el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos de una circunferencia Conocer y distinguir entre un ángulo del centro y un ángulo inscrito en una circunferencia. Aplicar la noción de semejanza en las relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en la circunferencia
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR LR
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
QR
M
N
MQ PM PQ R
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
mBDmAC CD // AB :Si
A B
C D
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferenciales corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + r
R r
d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
d
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunesque son las intersecciones.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d < R - r d: Distancia entre los centros
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a lasemisuma de las medidas de los arcosopuestos
2
mCDmAB
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
A
B
C O
5.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Esigual a la semidiferencia de las medidas de los arcosopuestos.
+ mAB = 180
2
mAB - mACB
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a lasemidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otrasecante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de losarcos opuestos.
2
mBC - mAB
EJERCICIOS RESUELTOS
5070º+x
XR
S
Q
140
2X
X + (X+70) + 50 = 180
X = 30
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
xº702
x2º140PQSm
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2
mQRSPQSm
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ.
20
70X
X = 40R
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140 Es propiedad, que:
140 + X = 180
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQRº70 mQR = 140
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
x130
A
C
B
DX = 40
50
Problema Nº 3
RESOLUCIÓN
PResolviendo:
APD = xMedida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
902
mBC130mBC = 50
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medidadel ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 4
70
B
A
X P
Resolución:Medida del
ángulo inscrito:
2
mABº70 mAB=140º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
140º + x = 180º
Resolviendo: X = 40º
2a + 80º = 360ºa = 140º
Medida del ángulo exterior:
Xa
80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º Pa
a
5) Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G OSubsector MatematicaProfesora : María C. Palma V.
GUÍA Nº 4.2 de ángulos en la circunferencia
Nombre:_______________ Curso: 2º____ Fecha:______Ptje:____ Nota:_________ La guía consta de dos ítems, las respuestas deben ser enviadas a sus respectivas docentes
1) x = ?
2) x = ?
3) < ABC = 60°, AB es diámetro
1) x = ?
2) x = ?
3) < ABC = 60°, AB es diámetro
4) <CAO = 20º;<AOB = 100°;¿x=
5) <BOC = 140º; <ABC = 80°;< OAB =?
6) < OCB = 55°; x =?
4) <CAO = 20º;<AOB = 100°;¿x=
5) <BOC = 140º; <ABC = 80°;< OAB =?
6) < OCB = 55°; x =?
O
30
x
O40
x
x
C
BOA
A
B
OC
Ax
BO
C
A
xB
O
C
7) AB//CD; <COE = 30º;< EOD = 70° ; < DOB =?
8) Recta AB tangente; <AOC = 110º; < x =?
9) <CAB = 50º; <ABO = 30º; OB bisectriz< x=?
7) AB//CD; <COE = 30º;< EOD = 70° ; < DOB =?
8) Recta AB tangente; <AOC = 110º; < x =?
9) <CAB = 50º; <ABO = 30º; OB bisectriz< x=?
10) Los arcos MN, NP, y PQ son iguales; <MOP = 100º; <POQ = ?
11) Los arcos MN, PQ y NP son Iguales a 120º; <MOQ ;?<MRP = ?
12)OS//QP; PQR = 30º ; < SOP=?
10) Los arcos MN, NP, y PQ son iguales; <MOP = 100º; <POQ = ?
11) Los arcos MN, PQ y NP son Iguales a 120º; <MOQ ;?<MRP = ?
12)OS//QP; PQR = 30º ; < SOP=?
A x BO
CE D
A
xBO
C
A
x
B
O
C
O
Q
PM
R
N
O
Q
PM
R
N
O
P
Q
RS
13) z = 100º; x + y = ?
14) x = ?
15) <SOD = 110º;<LSD = 80º; x = ?
13) z = 100º; x + y = ?
14) x = ?
15) <SOD = 110º;<LSD = 80º; x = ?
16) <MPQ = 20º;MN : diámetro < X =?
17) ¿Qué parte del circulorepresenta el sector OBA?
16) <MPQ = 20º;MN : diámetro < X =?
17) ¿Qué parte del circulorepresenta el sector OBA?
OC
A
By
x
z
S
xL D
O
O
N
QM
P
x
20OB
A
x
40
O
B
II) Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:
1) x = ? a) 60º b) 30ºc) 120º d) 100º
1) x = ? a) 60º b) 30ºc) 120º d) 100º
2) Recta AB tangente;
<AOC = 110º; x = ?
a) 110º b) 90ºc)200º d)160º
2) Recta AB tangente;
<AOC = 110º; x = ?
a) 110º b) 90ºc)200º d)160º
o
30
x
A
x
BOC
3) x = ?a) 80º b) 40ºc) 20º d) N.A.
4) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x = ?a) 30º
b) 60º
c) 120º
d) 50º
3) x = ?a) 80º b) 40ºc) 20º d) N.A.
4) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x = ?a) 30º
b) 60º
c) 120º
d) 50º
5) <ABC =60º, AB diámetro; x = ?a) 60ºb) 120ºc) 30ºd) 45º
6) AB tangente; <AOB = 70º a) 20ºb) 70ºc) 160ºd) 110º
5) <ABC =60º, AB diámetro; x = ?a) 60ºb) 120ºc) 30ºd) 45º
6) AB tangente; <AOB = 70º a) 20ºb) 70ºc) 160ºd) 110º
O
40
X
A
x
B
O
C
x
C
BOA
O
A
Bx
7) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x = ? a) 20º b) 50ºc) 30º d) 100º
8) Los arcos AB, BC y CA son iguales ; x + 2z = ? a) 160ºb)170ºc)180ºd)90º
7) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x = ? a) 20º b) 50ºc) 30º d) 100º
8) Los arcos AB, BC y CA son iguales ; x + 2z = ? a) 160ºb)170ºc)180ºd)90º
9) z = 100º; x + y = ?a)40º b)25ºc) 18º d) N.A
• x + y = ?
a) 50ºb) 65ºc) 130ºd) 240º
9) z = 100º; x + y = ?a)40º b)25ºc) 18º d) N.A
• x + y = ?
a) 50ºb) 65ºc) 130ºd) 240º
A
x
B
O
C
OC
A
B
y
x
z
O
A
B
C
z
x
y
65
X
60o
11)<OCB = 55º; x = ?
a) 90º b)110ºc) 55º d) 35º
12)¿Qué parte del circulo representa el sector OBA?
a) 30% b) 20%c) 5,5% d) N.A.
11)<OCB = 55º; x = ?
a) 90º b)110ºc) 55º d) 35º
12)¿Qué parte del circulo representa el sector OBA?
a) 30% b) 20%c) 5,5% d) N.A.
13) AB//CD; <COE = 30º; <EOD = 70º; <DOB = ?
a) 40º b) 80º
c) 70º
d) 30º
14) x = ?a) 54ºb) 18ºc) 108ºd) 56º
13) AB//CD; <COE = 30º; <EOD = 70º; <DOB = ?
a) 40º b) 80º
c) 70º
d) 30º
14) x = ?a) 54ºb) 18ºc) 108ºd) 56º
A
xBO
C
20OB
A
A x BO
CE D
x
C
OA
B
Da
3a6a
15) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ? a) 140ºb) 60ºc) 80ºd) 70º
16) <MPQ = 20º; x = ? a)140ºb)40ºc)20ºd)N.A.
15) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ? a) 140ºb) 60ºc) 80ºd) 70º
16) <MPQ = 20º; x = ? a)140ºb)40ºc)20ºd)N.A.
17) ABC triángulo equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?
a) 120ºb) 60ºc) 30ºd) 40º
18) AB tangente; <AOB = aº ; x = ?a)45º + ab)90 + ac)360 – ad)N.A.
17) ABC triángulo equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?
a) 120ºb) 60ºc) 30ºd) 40º
18) AB tangente; <AOB = aº ; x = ?a)45º + ab)90 + ac)360 – ad)N.A.
A
C
B
O
Dx
S
x
L D
O
O
N
QM
P
x
A
C BOx
19) x = ?a) 40ºb) 80ºc) 70ºd) 160º
19) x = ?a) 40ºb) 80ºc) 70ºd) 160º
20) El arco AB es el 15% de la circunferencia;
<AOB = ?
a)38%b)55%c)54%d)28%
20) El arco AB es el 15% de la circunferencia;
<AOB = ?
a)38%b)55%c)54%d)28%x
40
O
B
O
A
B
1) 8) 15)
2) 9) 16)
3) 10) 17)
4) 11)
5) 12)
6) 13)
7) 14)
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O
Prof: María C. Palma V
Nombre:______________________ Fecha:_________Curso:____________ Puntaje :___________ Nota:________
Planilla de respuestas de la guía nº4.2
Nº PGTA.
A B C D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº PGTA
A B C D
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Teor emas
1)
2)
3)
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
1)
BPCPAP 2
5202 AP
100AP
10AP
2)
15 · 6 = 8 ·
CPDPAPBP
PD
8
90PD
25,11PD
3)
EDCEEBAE
5102 AEAE
2
502AE
525 AE
EJERCICIOS RESUELTOS
1) 5) 9)
2) 6) 10)
3) 7) 11)
4) 8) 12)
Planilla de respuestas sobre proporcionalidad en la circunferencia
Nombre:______________________ Fecha:_________Curso:____________ Puntaje :___________ Nota:________
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O
Prof: María C. Palma V
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