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L L ÍNE RECT
Conjunto de puntos que tienen una mIsma dIreccIón, y se extIende en
los dos sentIdos
•
•
Segmento : Es una porción de recta lim itada por dos puntos extremos)
• •
B
Seg mento : A B
longi tud de Segmento : Distancia que hay entre los pun tos extremos
d
• •
B
Segmento AB mide : d
Punto Medio de un Segmento : Es el punto que divide l segmento en
dos segmentos de igual long itud
•
•
•
•
•
A
M
B
M
es
p
un
to
medio de: A B : A M =
MB
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OPER CIONES CON SEGMENTOS
Se tiene
m
• •
A P
Entonces :
• A l = Al PQ QB
AB = 3 6 12
S = m
• AQ = Al PQ
AQ = 3 6
AQ = 9m
• Al = AQ PQ
Al = 9 6
= m
6m
•
Q
2m
•
B
AB AP BD
¿ ,?
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_EJERCICIOS DE APL ICACiÓN
1 .En el gráfico: AD = 26 m
C a lcu la r «x »
f - -X i
•
X <
. .
A P
Q
B
1--10-- - -1
RESO L UC iÓN
:
26
• • • • • I
A P Q B
> X ~ l Q X <
Del gráfico :
X + IO + X = 26
2X = 26 - 10
2X = 16
X = 8
02.En el gráfico : AD = SOmo
Hallar «X»
f -2 \ 20m
,
-<
•
• • •
A
B C
RESOL
UCi
ÓN
:
SQm
•
•
•
B
C
1--: : \ 20m
,
Del gráfico
2:\ 20 :\ 50
3:\=50- 20
•
O
•
D
X-I
•
•
3X = 30
X = 30
3
X = 10
03 . En una recta se ubica n los
puntos consecutivos : A . B Y e,
tal que . AS = 5 m , AD = 33 m ,
•
A
e
es
e l
punto
med Io
de BD .
Halla r AC
RESOLUCiÓ N :
33m
•
9
,
•
B C O
~ 5 m
a ~ a
Del gráfico :
5 + a a=33
la=33 5
2a == 28
a
=
14
Luego AC = 5 14
AC = 19 m
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04
En una
recta
se
ubican los
puntos consecutivos: AB = BC
, AC = OC , AO = 40 m
Calcular
BO
RESOLUCiÓN,
AC=
DC
Om
• 8 • 8
A a B a e D
2a - - 2
Del grá fi
co .
2a
+
2a =40
4a = 40
a
=
10
8 D = 3 2a = 3a
:. BO = 30
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Á N U L O S
Ángulo , figura formada por dos rectas que tienen el mismo origen
A
•
Lados
:
OA
;
08
O
Vértice O
Notación: 1. AOB . AOB
•
B
Bisec t riz Rayo que parte del vértice del ángu lo , formando con los la-
dos ángulos de igual medida ,
O
CLASIFICA CiÓN
Á NGU
LO
A G
UD
O
a
0
u
M
B
OM bisectnz del o AUe
ó
m c AOM =m
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ÁNGULO OBTUSO
a
ÁNGULO RECTO
ÁNGULO LL NO
a
ÁNGULOS DYACENTES.
Dos ángulos son dy centes si tienen el mismo vértice y un l do en
común
ado comun
C----
b
o
a
y
b
son ángu
los
adyacentes
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ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VERTlCE .
Dos ángulos son opuestos por el vértice si uno está formado por la pro-
longación ce los lados del otro .
A
B
C
o
U
O
y f\o son ángulos opuestos
por el vértice
ÁNGULOS COMPLEMENT RIOS C)
Dos áng Jl os son complementarios, S la suma
de
sus medidas es 90°
A
T B I ~ N
M C 20) = 70°
C 40)
=
50°
aO
C 30) = 60°
1 po
C 80) = 10°
O
B
C aO) =90 ao
a
O
p 9
C bO) =90 - bo
C a) Complemento de l
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ANGULOS SUPLEMENTARIOS e)
Dos ángu los son suplementarios . si la suma de sus medidas es 180
0
.
e
S a): Suplemento de (1.
PROPIEDADES
Sea
«x»
un ángulo
·
~
A
*ccc. C(X) = { X Si n es par
' - - . - - , - - ' C X) : Si 11 es impar
n \c
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OPERACIONES CON ÁNGULOS
A
D
O
Entonces
• n { AOO In l
B+ 111 BO
C + m { CO
D
t 4 ° +
r { AOD ::: 80°
' ll 1 AOR = m < ¡\O - { I3U l
t A013
m
<
OB
lOo
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_EJERCICIOS DE P iÓN
01.001 gráfico : m c AOD = IOO
Calcular: m léAOC
02 Calcular «X»
B e
C
A o o
o
RESOLUCiÓN
:
A
C
o
Del gráfico:
20° 0. + a = 1000
20 = 100°- 20°
20.
=
80°
a =4
m - :.. AOC == 2 °
+ a
m { AOC == 20° + 40°
m 1: AOC =60°
RESO
LUCiÓN :
B
e
A
o
Del gráfico :
3X 5 50
o
X 2X 5 = 180
0
6X = 180°- 60
6X = 120°
X = 20°
03 Calcu lar «x»
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RESOLUCION:
J . ¡ ~ / ,. a l .'i
2(1 I
()
Del gráfico:
3a + 5 + 2a + JO + a + 15 + 90 == 360
0
6 + 120
0
= 360
0
a = 240
0
a=40
04.Se t ie nen lo s ángu los conse -
cuti vos: AOB : BQC y COD , ta l
que :
m * OB = 2m * OD
BOC
=
50
0
Y
AOD
=
1
10
0
Ca lcu la r m 1 BOO
RESO LUCiÓN :
Del dato
AOD = I
IO
O
Del gráfico
:
2ao+ 50°+ aO == 110°
3ao+ 50° = 11 0
0
3a = 60
0
a = 20
0
05 .Se tienen los ángulos conse-
cu tivos: ADB ; BOC y COD tal
que: 08 es bisectriz de AOC ;
n 1. BOe = 45, además :
m COD = 2m
AO
B
Ca lcula r: 111 1: AOB
RESOLUCiÓN
De l dato :
o
Del g ráfico :
aO 2ao :::: 45
3ao
=
45
a = IS°
: m 1: AOB :::: 150
D
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RECT S P R LEL S
Dos rectas que se encuentran en un mismo plano y no se intersecan
. . L
Notación : L I
••
__
_________________
~
ÁNGULOS ENTRE RECT S P R LEL S
ANGULOS CORRESPOND IENTES : L , L
1\
NGULOS LTERNOS INTERNOS : L, L,
c >
JI
-- w - - -- - . L2
0 1
:: r o .
/ 0 0 ...
1 }
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ANGULOS ALTERNOS INTERNOS L L
_
~ r
U
PROPIEDADES
. Si Ll Ll
n
c _ m }>
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• Si :
II L
.'
. S .
L II L
•
,
.
c
b
•
OTRA S PROP IE ES
. Si L I L
L
e cumple :
b ¿ d O e
T
amb
ién:
......----.
Z
L ,
e cumple :
Lz
0 ° b ~ O ~ 6 f )
- - . . - - - - - . . L
1
e cumple:
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adosPe rpendiculares
, ,
• L i l L ,
b'
a'
L
,
•
a'
b'
X'
c
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_EJERCICIOS DE PLIC CiÓN .
1 .Si L , L ,. Hallar «x» 02 S,· L IIL Hallar ~ »
• I 2 . «
4) +90°
-
f
L
R SOLU iÓN :
50
- ~ ~ L 2
En el gráfico:
4x 90° 50°= 180
0
4x + 140°= 180
0
4x = 180 _ 140
4x = 40°
x = 1
60
--_ - = _ L
- - ~ - - - L2
R SOLUCIÓN :
-
6u
-
~ ____ ~ ~ ~ 8 0 ~ O O ~ __- .L 2
Del gráfico:
60° + 180° 6a = 90°
240
0
-
90°
=
6a
ISO =6a
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03. Calcular «x», Si L
1
L
2
.
____ 4 ~ O ~ ________ L2
/
R SOLUC iÓN
0 40 -
~ - - - ' - l ; > c > . = - - - - - L
2
Del gráfico:
:x - 1 7:x 5 =50 40
11, - 6 = 90
12, = 90 6
2:\ = 96
, =8
. Calcular «a Si LJ Ll '
60
R SO UCiÓN
60
Pro p
ieda
d
6a + + 60 + 4 = 360
6a + 2 10 = 360
6a = 360 - 2 0
a = 15
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TR I ÁN ULOS
T r áng u lo e s la figu ra geomé tric a fo rmada a l un ir tres puntos no
co linea les .
B
n
e
m
A
b
PROPIEDADES
1 .
2 .
a
p
Vértices : A ; B
;C
Lados
: a b c
1: ternos: mO , nOy p
Perímetro = p = a b e
C
P : semipenmetro
1: internos:
;: externos: € y Z = } 6 ~
y
1: exterior:
x
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3
Pro piedad de la Exis tencia:
4 S i:
~
5 : formado p or dos b ise c t r ice s te r io res
x
CJ
X = 90
2
6
1:
fo r
ma
do po
r
dos
bi
sec
tr
ic
es
ex
ter iores
x
o
~
2
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7.
.
fo rmad o p o r un a b isec t riz in terio r y u n a exte r ior
x
_EJERCICIOS DE APL A iÓN
En la figura Calcul ar «x»
RESOLUC iÓN ,
>
50 40-t3:-..
=
18
3 ~ 9
, = 9
x = 3
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02 .Hallar « »
RESOLUCiÓN:
B
'.
L 5 2 W ~ ____ A L 2 0 ~ · ~ __ ~ W ~ C
M\I3C : 20 x
+20+
x
+50 ~
180
2x ~ 1 8 0 9 0
x = 45
03.Hallar «x
x
RESOLUCIÓN
60 x ~ 2x 20
60 - 20 ~
2x-x
40 ~ x
04.Calcular «2x» de l grá fico ·
70
RESO
LU
CiÓN:
:>
7
B 30 70
. y
x
óABC:x
+3
0
70+5
0
~
ISO
os.Hallar «x
x 18 - 30 - 70 0
x = 30 Rpta : 60 2x)
3,
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PROBLEM A 0 1
Sobre una recta se ubica n los
puntos: A , B , e y o si:
Be =2A Bcm BO = 26cm y
AD = 32 cm
¿Cuánto mide AC
7
A 16 cm
O 19
B 17
E 20
PROBLEMA 02
C 18
Los puntos A , B,C, D se encuen·
tran
sobre una
l
inea recta
,
de
modo que Be = 5 , AC + SO = 20
Ha llar AD .
A 14
O 12
B 10
E 13
PROBLEMA
03
C 15
Dados los puntos colineales A ; N
. G ; E ; L Tal que :
AG+NE+G L ='?'AL
3
NE = 24cl11; calcule AL
A 24 cm B 36
O 60 E 12
C 4 8
PR O B L E M A 04
En una recta se ubican los pun
tos consecutivos A , B , e y o tal
queAC =
18 , SO = 21 , AS = BC .
HAllar CD
A
12
O 18
B
15
E 16
PRO I: lLEMA 05
C)
10
Un ángulo es igual a 8 veces su
complemento . Hallar el sup le
mento de dicho ángulo .
A 70°
O 100
B 80°
E 11 0°
PROBLEMA 06
C 90
Hallar el complemento del dob le
del ángulo 40
A 10
0
O 30
B 100
0
E 140
0
C) 50
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PROBL EMA 07
La diferencia de los ángulos con-
secut
ivoS
AOB y BOC es 26° Ha-
llar la medida del ángu lo que for-
ma la bisectriz del . :. AOC con el
rayo OH
A 13
D 16
B 14
E 17
PROB L EMA 08
Hallar e l valor de «x»
A 50
8 6,
8 40
C 10
D 20
E 30
A
60
PROBLEMA 09
Hallar el va lo r de «Xl en :
e
8
A
E
A 54 B 36
O 15 E 18
C 15
e
3,
G
C 20
PROBLEMA 10
Calcule U + P+O+E+1\l+W
e
A =+-' . : --- D D
F
A)
1
80·
O 2 10
0
B 270
0
E 240·
PRO B LE M A 11
e
36
0
En la figura AS = Be y TQ = aL
Ca
lcule
«X» ,
SI
U
+
-;l
=
1
00°
B
A
L
e
A 3 °
B 40· C 45·
O 50° E 55°
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PROBLEMA 12
En la figura 11 m y p q
Ind icar el valor de « ( O )
p
2)(+45
u
. - : - t - f - - - -+ - - - m
3)(-15
A) 72
D) 75
B) 73
E) 76
PROBLEMA 3
q
C) 74
El perimetro de un rectángul o
mide 88m SI la altura tiene 10m
menos que la base ,Cuanto mide
el área del rectángul o?
, , ,
A) 170m B) 457 - C)4S9m-
, ,
O) 450m - E) 480m -
PROB L EMA 14
SI el perimetro del trapecio mide
21 metros . Calcula el perime tro
del
cu a
dr
a
do_
X
A 22m
D) 28m
B) 24m
E) 30m
X
+
3
C) 26m
PROBLEMA 15
En un triángulo su altura mide h
su altura tres veces más que ella
Si el área del triángulo es 32cm
2
.
Halle «h)l
A) 3cm
O) Bcm
B) 4cm
E) 5cm
e) 6cm
PROBLEMA 16
Si el cuadriláterio trene un área de
20m
2
, hallar el área del tr iángulo
AED.
BI.------JiD;:- . e
. .. F
A) 10m
2
O) 150m
2
B) 20m
2
E) 60m
2
e) 30m
2
P RO BL E M A 17
Calcular el área sombreada , S 8F
=
20p ; DE =6p Y AC = 5 ~ t
B
~ C
E
A)
1
5 ~
O) 120p2
B
6 ~
el
5 ~
E) 150p2
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PROBLEMA 1 8
Hallar el perímetro de la re g lón
sombreada .
B e
4
4
A
4
4
D
Al Sil Bl 6 t Cl71t
O 8 t
E 9
PROB LEMA 19
Hallar el
área de la región
sombreada , si AS = 20cm .
Al
3,4
cm
2
Cl 158 cm
2
E 150 cm
2
A
B
B
310 cm
2
O 157 cm
2
PROBLEM 2
Hallar el área de la reg ión
sombreada .
B,r-_ _ - - - - ~ C
r=5cm
r=5cm
A D
- - 10cm
Al
20,S cm
2
el 21 ,S cm
2
El 22 ,5 cm
2
Bl
21
cm
2
O 22 cm
2
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RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS SE L E CT O S
PROBLEMA 01
RESOLUCiÓN
1---8
•
A B
• •
e O
26
> - - - - - 3 2 - - - ~
Del gréfico. AH = 32 16
AR = 6 = a
Luego
A , =3 = 36
A( = IScm
ICLAVE cl
PROBLEMA 02
RESOLUCiÓN
>---a
A
B
5
e o
~ x ~
N
os
piden :
x =a b 5
Del gráfico.
AC = n }
SD = b 5
AC + BO = a+b+5+
20 = x +5
20
-5
=
X
15 = x
ICLAVE C I
PROBLEMA 03
RESOLUCiÓN·
•
a
•
b
A
N
e
G
,
AG NE+ iL = ': 'A I,
3
Nb =24
Del gáfico ACi
=
a b
d
E
1)
NE = b + c
GL = c d
AL = a b c d
L
Reemplazando en 1)
5
a b b c e d = . l>,
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PRO BLE MA 04
RESOLUCiÓN :
8
A 9 9 C
D
2 1 ~
Del gráfico CD := 2 - 9
el) =12
PROBLEMA 05
RESOLUCiÓN
I CLAVE A l
Sea «a» el ángulo entonces:
( (11)=90 U
Luego:
= 8 90 - u )
u:=
720 -80..
90. = 720
a = 80°
PROB
L EMA 06
El doble de 4 = 8
Luego: C (80) = 10
I CLAVE B I
I CLAV E A l
PROBLEMA
07
RESOLUC iÓ N ·
Del dato
A
/ ' l - -Y , _,0 B"U(; ll¿
.
1: AOC - 2u + 26
Pero PO Bisectriz
=> 1.AOP =o.. 13
: 1: BOl =13
PROBLEMA 8
RESOLUC iÓN :
6
A
P
e
IC LAVE A l
3,
e J .
6x = 3x + 60·
6x - 3: .: = 60°
3x = 60°
x := 20
0
CLAVE D
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PROBLEMA 09
RESOLUCION :
8 + 20 + 20 =180
58 = 180
e= 36°
Luego en LABC:
36+. \ = 90
x = 54°
PROBLEMA 1
RESOLUCION :
Luego
B
ICLAVE l
0)° e
o
; 0 a
O
BO ~ o 360
0
ICLA
VE
C I
PROBLEMA 11
RESO LUCIO N:
B
En t> A :
En t> 13 :
X b = a + e} +
x + a = a b
2x + a + b ::: a +G+a + b
2, = 100
x =50
PROBLEM 2
RESO LUC IO N :
p
3x- 15 2x 45
Del grá fico :
ICLAVE D I
3x - 15+2 x + 45 = 180
5, + 30 = 180
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29/35
5'\
= 150
\ 0
Luego 1: .: 15
l t=3 JO)- 15
11 :::: 75°
PRO BLEMA 13
RESOLUCIO N
Del dato:
b 10
b
b
ICLAVE DI
b 10
=> b - IO+ b+b - IO+ b = SS
4b - 20 = 88
4b = 10 8
b = 27
Luego, los lados: 27 y 17
:. A =27x I7
A = 459m
2
ICLAVE C I
PROBLEMA 4
RESOLUC ION
X
x
x + 1
X • 4
=> :-.: 1+ x + = :21
: , x+3
=7
4 x
= 16
x = 4
7m
P = 7x4
P = 2Sm
7rn D 7m
PROB
L
EMA
5
R ESOLU C IO N
7m
ICLAVE DI
o base: h + 3h = 4h
Luego:
4h-- - - - l
Reemp laza ndo:
32 = h ,4h
2
16 = h
2
=> h =
4c
ll
bxh
A
=
2
CLAVE B
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PROBLEMA 16
RESOLUCiÓN ·
1
A ,..\LJ) = -::;A
A IU = ~ 2 0 )
,
A \ , \ j . ) = 10m-
PROBLEMA 17
RESOLUC iÓ N
B
I CLAVE A l
A ,mI> = A \ \I l l - A \.\DC
1
5) 20
1\ ""11111 =
t i .=150- 45
,,,m,,
,
A L= 105l1-
'111 '
PROB
L E
MA
18
RESOLUC IÓ N
6 x 15
ICLAV E c l
El penmetro del área
sombreada será la
longi tud de
circunferencia: (Lo)
> Lo = 27tR
R = 4
Luego : Lo = ]rr 4)
L o = 8rr
PROBLEMA 19
RESOLUCiÓN :
CLAVE D
SiAB=2Ocrn A =.. ..A
- - _ R l c m II)mb .., o
1 2
t i h
=
- · . 1
0)
,.,
2
t i ~ 3 4
,(\ml> 2 '
,
A L= 157cm -
om
PR
O L
MA
2
RESOLUCiÓN
B
5
ICLAVE D I
r = 5 I = 10
O .
t i = 100 -3 14 ·25
somb '
t i • = 100 - n,5
0 111
A
=
215
oltlll
ICLAVE C I
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. .
P R O B L E M S P R O P U E S T O S
PROBLE MA 01
Si AD = 80
2x
~
3,
•
•
•
•
A B e o
Calcular BD
A) 48
B 56 e) 50
D) 60
E) 62
PROBLEM 2
En la figura hallar «X
............-e • e
•
A B e
D
Si AD + CD
=
40
A) 10
D) 20
B) 18
E 3D
PROBLEMA 3
e) 12
Se tiene los puntos col ineales y
consecut ivos A , B, e y D tal que
«en es punto medio de BO, y AO
+ AS = 18 . Hallar AC
A) 8
D)
B 9
E)
12
C) 10
PROB LEM 4
En una re cta se ubican los pun-
tos consecutivos A , B, e y D tal
que AC
=
24 ,
AD
=
40 Y
SO
=
20
.
Ha llar Be
A) 2 B 4 e 6
D 8
E 10
PROBLEM A 05
Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A , B, e y o de ma-
nera que AS = SD = 6 Y Be = CD
Hallar AC
A 7
D 6
B) 8
E 10
PROBLEM A 06
e 9
Dos rectas paralelas son
intersecadas por una secante,
dos ángulos seme jente s internos
entre si como 7 es a 11 . Hallar la
med ida del menor de ellos_
A) 30
0
D) 60
B) 40
0
E 70
C) 50
0
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PROBLEMA 07
Si AD lBEIICF : Ae = 12: Be = 8
; DF = 18 _ Ha llar DE
A 3
O) 6
B 4
E 7
PROBLEMA 8
e 5
La diagonal m a yor de un rom bo
mide 12cm y la diagonal menor 1/
3 de la diagonal mayor. Calcu la
el ~ ; ¡ del rnmhn
A 20cm
2
O 22cm
2
B 16cm
2
E 24cm
2
PRO B LEMA 09
C )28cm
2
¿Cuál es el períme tro de to d as la s
regiones sombread as sabiend o
que
los
cuadrados tienen 6cm de
lado?
/
/
> 6 <
A 45cm
D 48cm
B 46cm
E 49cm
PROB LEM 1
C}47cm
¿Q ué parte de l tota l rep resen ta la
región pi ntada?
I §
1
A 1/3 B 1/4
e ) 1 /2
O)
2/3
E
3/5
PROBLEMA 11
H a ll ;=,r el valor de «x» en el s ~
guiente triángulo:
8
Z:S
A e
2+3x)
A
2
0 6
B) 3
E 1
e
4
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PROBLEMA 12
En la figura las regiones son equI
valentes Q dé fracción represen-
ta la reglón sombreada
A 1 8
D) 1 2
B) 1 6
E 1 4
PROBL EM A 13
e ) 1 3
Dos lados de un triángulo miden
6cm y 15cm. Hallar la suma del
mlnimo y máximo valor del terce r
lado para que el triángulo exis ta
A 31cm
D 21
B 28
E 40
PROBLEM 4
e ) 3
En la figura la reg lón P es un cua-
drado de 32cm de perímetro
El
área de la reglón Q es·
•
p
- - 12m
A ) 8m
2
D) 32m
2
Q
16m
B) 12m
2
E 64m
2
•
C 40m
2
PRO BLEM A 15
Calc u le el área de la reglón
sombreada
A 20m
2
O)
32m
2
8m
16m
Bl 1 m
2
E)
30m
2
PROBLEMA 6
Calcule a en la figura
D
A 18°
D 19
A
B 20°
E 12°
P ROB L E MA 17
Si L L , Ha llar «x»
, -
I
5m
I
C 40m
2
B
e
e 25
- - - ;=c -
l
,
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A) S
O 2 °
B 1 °
E 25°
PROBLEMA 18
Hallar «x» en
150
0
A) 4
0
D) 25
8
50°
E 35°
PROBLEMA 19
C 15°
,
1
0
C) 30
¿Qué polígono tiene 17
diagona les?
A Nonadecágono
B Dodecágono
e Exadecágono
O Pentadecágono
E Icoságono
PROBLEMA 20
Calcular «X», si Be A D
B1k ; ;C
Ai- ''-'X, --- - D
A) 25
D)
10
B) 15
E)
18
e) 30
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O
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