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INTRODUCCIÓN
Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de unmes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o1.050 dentro de un mes? La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la
necesidad de la persona, pero también de cuánto podría ganar durante ese mes.De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoye invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán delas herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuánto valen hoy 1.050 quese cobrarán dentro de un mes?
Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interéso rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros(depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones,
cálculos sobre seguros, etc.). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencialdesde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos,que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas.
DEFINICIÓN
La Matemática Financiera es el campo de las matemáticas aplicadas, que analiza,valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, yespecialmente, el valor del dinero en el tiempo. La Matemática Financiera es unaderivación de la matemática aplicada que provee un conjunto de herramientas, lascuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica
y financiera de los proyectos de inversión o financiación.
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2
ANTECEDENTES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN
POSITIVOS: 0,1,2,3,4…… + -× ÷
NEGATIVOS: -1-1,-2,-3,-4….. a2 √
NUMEROS REALES
ENTEROS P/Q=P y Q ≠ ᴓ
FRACCIONES π= 3.1416 √2
SUMA MULTIPLICACIÓN
CERRADURA 4+2=6 £R 4×2=8 £R
CONMUTATIVA 4+2+3= 3+4+2 4×3×2= 3×4×2
ASOCITIVA (4+2)+3=4+(2+3) (4×2×)5=4(×2×5)
ELEMENTO NEUTRO 4+0=4 4×1=4
INVERSO 4+(-4)=0 4×1/4=1
DISTRIBUTIVA a(b+c)=ab+ac
SUMA
10 SUMANDOS
+ 2
12 SUMA
1).-4+2+5+3=14
2).-7+2+4(4+8)+ (2+1)=24
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3
Cierto famoso jugador de futbol nació en 1966, a los 17 años gano el mundial juvenil, a los 24 el mundial de la primera fuerza, 4 años más tarde pierde una finaly 3 años después se retira del futbol.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
RESTA
5 MINUENDO
-2 SUSTRAENDO
3 RESTA O DIFERENCIA
1.- Si el minuendo es 342 y el resto 156 ¿cuál es el sustraendo?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
2.-Si el sustraendo 36815 y el resto 9815 ¿Cuál es el minuendo?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
3.-El mayor de 2 números es 9876 y la diferencia es de 3456 ¿hallar el númeromenor?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
4.- Si tuviera 35 caballos más de los que tengo, tendría 216 ¿Cuántos caballostiene mi hermano si el número de los míos excede al número de los suyos por 89?
196617-
24-
28-
31-
196624
4
+ 3
1997
1966+31=1997
Se retiro en 1997
342
156
342
-156
186
El resultado es 186
36815
9815
36815
+9815
46630
El resultado es 46630
9876
3456
9876
-3456
6420
El resultado es 6420
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4
Si mi hermano tuviera 35 caballos más de los que tengo, tendría 216. ¿Cuántoscaballos tiene si el número de los míos excede el número de los suyos en 89?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
MULTIPLICACION
4 x 2 = 8 REPRESENTACION: X + * ( ) [ ] { }
FACTORES PRODUCTO 2ª 4-2(4)(2)4x2{4}2
1.- (4x2)+{3+5x2} =8+{10+3}=8+13=21
2.- (7x2+3+8+7)(2)=(14+18)(2)=(32)(2)=64
3.- (5x4)(2x1)(-4)(-2)=(20)(2)(8)=320
4.- {(-5x2)+(7x8)-(5x4)=(-10)+(56)-(20)}=26
EJERCICIOS:
1.- A 6 centavos de dólar cada lápiz ¿Cuántos importaran 7 docenas?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
35 caballos más tendría 216
Míos sobrepasan 89
216
-35181
-89
92
Tiene 92 caballos
6 centavos
7 docenas de lápices
0.06*12=0.72 :. 0.72*7=5.04 5.04 dólares
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2.- Compre un libro que me costó 16 euros, un traje que me costó 35 euros unacámara que me costó 42 euros más que el libro y el traje juntos, un anillo que mecostó 13 euros más que el libro, el traje y la cámara, un auto que me costó 1235euros más que todo lo anterior si me sobran 211 euros ¿Cuánto dinero tenia?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
3.- El doble del menor de 2 números es 618, la suma de ambos 14673 ¿Hallar elnúmero mayor?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
4.- Se compran 216 docenas de lapiceros a 5 pesos, la docena si se venden arazón de un peso cada lapicero ¿Cuál es la ganancia obtenida?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
1 libro 16 euros
1 traje 35 euros
1 cámara 42 + que el libro y el
traje
1 anillo 13 euros + libro, traje
y cámara
1 auto 1235 euros + que todo
Sobran 211 euros
16+35=51
51+42=93
16+35+93+13=157
51+93+157=301
301+1235=1536
1536+301=1837
1837+211=2048
Tenía 2048 euros
618
2
14673
618/2=309
14673-309= 14364
El numero mayor es 14364
216 docenas
5 pesos
1 peso cada lapicero
216*12=2592
216*5=1080
2592-1080=1512
La ganancia es de 1512
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DIVISION
DIVISOR 25 COCIENTE
5 125 DIVIDENDO10
25
25
RESIDUO 0
25 90 303
1.- 10 250 2.- 9 810 3.- 4 1212
20 000 012
50 0
0
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SUMAS DE FRACCIONES
DIVISION
250 NUMERADOR PORCENTAJE10 DENOMINADOR RAZONES
FRACCIONES
10 = FRACCION SUMAS HOMOGENEAS
2 IMPROPIA ½+3/2+4/2+8/2= 4
2 = FRACCION HETEROGENEAS
10 PROPIA ½+1/4+2/8= 16+6+6/24=38/24=14/24=17/12
3 3 4 2 8 2 23x3=8x3=24
1 2 2 4 2
1 2 2
1
RESTA FRACCIONES
HOMOGENEAS: 7/4-2/4=5/4=11/4
HETEROGENEAS: 12/8-3/2-6/4=12-12-12/8=-12/8=-14/8
7/4-4/3-3/8=42-32-9/24=1/24
MCD. 4 2 3 3 8 2
2 2 1 4 2
1 2 2
1 23x3=24
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Se le quita el entero
MIXTAS: 4-3/8=38/8-3/8=35/8
Se le agrega el entero
MULTIPLICACION DE FRACCIONES
2/3*3/4=6/12=1/2
(4 1/3)(1 1/3) = (13/3)(4/3)=52/9=5 7/9
DIVISION DE FRACCIONES
2/4 ÷ 5/7=14/20=7/10
(1 ¾)(2 ½)=7/4÷5/2=14/20=7/10
POTENCIACION
a(n) potencia
Base
1.- a5=a*a*a*a*a
2.- 32=3*3=9
3.- 23=2*2*2*=8
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REGLA 2:
Las potencias se multiplican
1.- (a5)2=a10=a*a*a*a*a*a*a*a*a*a
2.- (22)3=26=64REGLA 3:
1.- a5/a2=a5-2=a3
2.- 53/52=51
REGLA 4:
1.- a-2=1/a1
REGLA 5:
1.- (a3b2c7)2=a6b4c14
2.- (22-32)3=26*36=64*729=46656
REGLA 6:
(a3/b2)-3= (b2/a3)=b6/a9
REGLA 7:
(5-2/7-2)-3=56/76=15625/117649
X4Y8Z6/X2Y9Z5=X22/Y
EJERCICIOS:
1.- a5*a4*a6=a^15
2.- (3a4)2=6a^8
3.- (x-7* y-5)-2=xy^24
4.- (x8y6)^-3=x7y2
5.- (4x3 y2)2=2x4 y
6.- (a7* a4)-7=a^-91
7.- (w4/b-3)-3=wb12
8.- (4a3)-3=2a
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INTERES SIMPLE
Formula: M=C+I
M= Monto
C= CapitalI= Interés simple
i= Tasa de interés
t= Tiempo
1.- El señor Montalvo pide un préstamo al banco de $ 20,000 a pagar en 2 meses.,al pasar el tiempo paga $ 20,400.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
MONTO.
Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $35,000 que acuerdaliquidar mediante un pago inmediato de $15,000 y un pago final 4 meses después.Si acepta pagar 10% de interés anual simple sobre el sueldo ¿Cuánto deberá depagar dentro de 4 meses?.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
M=20400
C=20000
I=400
i=2% (bim)
I=M-C= 20400-20000=400
i=I/C=0.02= 2%
M=C(1+i*t)=20000(1+0.02*1/
6)
El interés es igual a $400
El monto que paga es 20400
M=?
C=35000-15000=20000
i=10% anual
t=4meses
M=C(1+i*t)=20000(1+0.1*1/3
)=20666.66
El monto es de 20666.66
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Una persona deposita $150,000 en un fondo de inversión bursátil que garantiza unrendimiento del .7% mensual si retira su depósito 24 días después. ¿Cuántorecibe?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
VALOR ACTUAL O PRESENTE.
C=M/1+it C=M(1+it)-1
Una persona participa en una tanda y le toca en el 10/8 mes si dentro de 18meses recibirá $30,000. ¿ Cuál es el valor actual de su tanda con un interéssimple del 20% anual?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una persona compro un terreno campestre en $195,000 el 1 de enero después lavendió el 1 junio del año siguiente en $256,000 el año siguiente aparte del uso queya se le dio y algunos gastos que pudiera haber hecho considerando solo losvalores de compra y venta ¿Fue una inversión conveniente la operación querealizo si la tasa de interés de mercado es 11% anual?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
M=30000
C=?
T=18m/1.5años
i=20%
C=M/1+(i*t)=30000/(1+0.2*1.
5)=23076
El valor actual es de 23076
C=150000
i=0.7% men
t=24 dias
M=C(1+i*t)=150000(1+0.007*
0.8)=150840
El monto es de 150840
M=256000
C=195000
i=11% anual
t=17m/1.416
C=M/1+(i*t)=256000/(1+.11*
1.416)=221485.2199
M=C(1+i*t)=195000(1+.11*1.
416)=2253387
Si fue una buena inversión
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12
INTERES.
Es la cantidad de dinero que se gana o se paga por concepto de intereses.
Jaime obtiene un préstamo de $50,000 y acepta liquidarlo año y medio después,acuerda que mientras exista el adeudo pagara el 1.5% mensual.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Si Juan deposita $75,000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 1.35%mensual simple ¿ Cuánto recibirá mensualmente de intereses?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Para terminar de saldar una deuda una persona debe pagar $35,000 el 15 de juliocon qué cantidad pagada hoy 13 de marzo liquidaría su deuda si se considera uninterés del 6% anual.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
C=75000
T=1 mes
i=1.35%
I=C*i=75000*.0135=1012.5 1012.5 de interés
i=6%anual
t=124 dias
M=35000
C=M/(1+i*t)=35000/(1+.06*.3
4)=34300
Con 34300
C=50000
T=1.5años
i=1.5%
t=1 mes
I=C*i*=50000*.015=750 750 mensual de interés
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SI se obtiene un crédito por $180,000 a 160 días con 15% de interés anual ¿Quécantidad se debe pagar al vencer la deuda?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de$40,000 a una tasa de interés del 13% anual simple.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
María Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 años supone que elenganche que deberá pagar en esas fechas será de $60,000. Si desea tener esacantidad dentro de 2 años ¿ Que suma debe de invertir hoy en un depósito derenta fija que rinde 0.8% de interés mensual simple?.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una persona que cobra $5,000 mensuales de sueldos es despedida porproblemas financieros de la empresa. En consecuencia, se le paga sucorrespondiente indemnización, que incluye 3 meses de sueldos, días por
antigüedad y descuentos por impuestos, lo que arrojó un saldo neto de $45,000. ¿Que ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar elmonto de su liquidación en una inversión que paga 8% de interés simple anual?.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
M=60000
T=2años
i=0.8%men 9.6%anual
C=M/(1+i*t)=60000/(1+.096*
2)=5033.55
Deberá invertir 5033.55
C=40000
i=13%
I=?
I=C*i*t=40000(.13*1/12)=433
.33
433.33 de intereses
C=180000
T=160
i=15%
M=C(1+i*t)=180000(1+.15*16
0/365)=191835.6
Deberá pagar 191835.6
C=45000
i=8%
t=1mes
I=45000(.08)(1/12)=300
M=45300/12=3775
De 3775
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Una persona compra un reproductor de DVD que cuesta $1,500 paga unenganche de $800 y acuerda pagar otros $750 3 meses después que tasa deinterés simple paga.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una persona compro un terreno el 1 de enero en $195,000 y lo vendió 17 mesesdespués en $256,000 que tasa de interés simple anual le rindió su inversión.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 54% anual.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Cuál es la tasa de interés mensual simple equivalente a una tasa de .165%semestral.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
I=54%anual
Imensual=?
54/12=4.5 4.5% mensual
C=195000
M=256000
I=61000
i=?
t=17m
i=M/C-1/t=256000/195000-
1/17/12=0. 2208
A una tasa de 22.08%
I=0.165
T=6meses
Im=?
0.165/2=0.0275 *100=2.75% Es igual al 2.75%
i=?
M=1500
Pi=800
Pf=750
T=3meses
800+750=1550
I=1550-1500=50
i=50/(750*3/12)=0.2857
Una tasa del 28.57%
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15
En cuanto tiempo acumularía $5,000 si se depositara hoy $3,000 en un fondo quepaga de interés 1.2% de interés simple mensual.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
TIEMPO REAL Y TIEMPO EQUIVALENTE.
Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediantefechas en vez de mencionar número de meses o años. Por ello hay 2 formas de
calcular los plazos, como tiempo real o como tiempo aproximado. El tiempo real seconsidera los 365 días del año y los aproximados o comerciales 360 días.
DESCUENTO.
Es una operación de crédito que se lleva acabo principalmente en los bancos yotras empresas conocidas como instituciones de factoraje financiero. Consiste quelas empresas adquieran documentos que amparan créditos por pagar, de cuyovalor nominal descuentan una suma que es lo que constituye su ganancia. Conesta operación se anticipa el valor actual del documento ejemplo:
Una empresa tiene 10 facturas de sus clientes que suman $50,000 los cuales secomprometieron a pagarle 3 meses después. Sin embargo a la empresa le urgecontar con dinero de manera inmediata por ello, acude a una empresa financierala cual le compra las facturas en $46,500. De esa manera la empresa que vendelas facturas obtiene recursos que utilizan para atender sus necesidades y suinstitución financiera gana $3,500. Obtiene su ganancia 3 meses después cuandolos clientes pagan sus documentos.
Los $3,500 son el descuento hecho sobre el valor nominal y al mismo tiempo es laganancia para la empresa financiera así como el costo para la empresa que lasvende para obtener dinero anticipadamente existen 2 formas de calcular de
descuento las cuales son.1.- Descuento comercial.
2.- Descuento real.
DESCUENTO COMERCIAL.
En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal deldescuento. Ejemplo:
i=1.2%C=3000
M=5000
T=?
I=2000
T=I/(C*i)=2000/(3000*1.2)=55.55 meses
0.55*30=16.5
A 55 meses con 17 dias
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16
Pagare: 01., Veracruz, Ver. 15 de mayo del 2015
Importe: $185,000., si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual y elcliente desea descontar el descuento 15 de junio (2 meses antes de suvencimiento) los $185,000 devengarían interés durante los 2 meses en que seadelanta el valor nominal., en el pagare la fecha de pago es el 15 de agosto del2015.
Se utiliza ahora 2 conceptos específicos.
d= tasa de descuento.
D= descuento expresado en dinero.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una empresa descontó en un banco un pagare. Recibió $166,666.67, si la tasa dedescuento es del 15% anual y el pagare vencía 4 meses después de suvencimiento cual era el valor nominal en la fecha de vencimiento.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $90,450, si la tasa dedescuento es del 12% anual y el valor nominal del documento era de $100,000¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento?
DATOS DESARROLLO RESULTADO
M=185000
d=20%t=2meses (2/12)
D=185000/(.2)(2/12)=6166.66 Descuento de 6166.66
M=166666.67
Td=15%
T=4meses
M=166666.67
(.15)(4/12)=8333.33
166666.67+8333.33=175000
El valor seria de 175000
M=90450
V=100000
Td=12%
T=v-
M/MD=9550(100000*.12)=0.
795833333*12=9.55
9 meses y 17 dias
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17
DESCUENTO REAL O JUSTO.
A diferencia del descuento comercial, el descuento real se calcula sobre el valorreal que se anticipa y no sobre el valor nominal. Ejemplo:
FORMULA: M=C (1+it)
DATOS DESARROLLO RESULTADO
Una empresa descontó en un banco un pagare y recibió $166,666.67 si la tasa dedescuento del 15% anual y el pagare vence 4 meses después de su descuentocuanto se recibirá si se utiliza el descuento real.
DATOS DESARROLLO RESULTADO
CONCLUSION
Las matemáticas financieras son de gran utilidad en el mundo de los negocios yaque nos permiten prever los movientos económicos internos y externos dándonosmayor variedad de opciones a elegir en cuanto a la dirección de las empresas yproyectos de inversión; además de permitirnos manejar información en unlenguaje universal, el de los números.
Si bien las matemáticas financieras son una rama de las matemáticas en general,merece y vale la pena realizar un estudio exhaustivo de la misma, ya quecontempla un amplio número de principios que se deben dominar extensamentepara obtener los mejores resultados en su función.
C=185000
Td=20%
T=2/12
C=1850007(1+.20*2/12)=179
032.25
179032.25
C=166666.67
Td=15%
T=4meses
C=166666.67(1+.15*4/12)=17
5000
175000-166666.67=8333.33
8333.33
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