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Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios. Castilla - La Mancha. Junio 2009
MATEMTICAS II
Primer Bloque
A. Encuentra el punto de la recta x+y=4, que cumpla que la suma de los cuadrados de suscoordenadas sea mnima.
Solucin: consideramos la funcin f(x,y)=x2+y
2. Queremos que saber el mnimo de esta
funcin condicionado por x+y=4. Despejamos y en la condicin, queda (y=4-x), y la
sustituimos en f(x,y). Queda x2+(4-x)
2, que es una funcin slo de x; funcin que es
polinmica, derivable por tanto. Su derivada es f(x)=2x-2(4-x),
simplificando f(x)=4x-8. Esta derivada se anula en x=2 y como la derivada segunda es
f(x)=4, podemos asegurar que hay un solo mnimo en x=2 porque solo para este valor
se anula la derivada primera y la segunda es positiva. El valor del mnimo es 22+2
2=8 y
el punto de la recta es el de coordenadas (2,2).En el dibujo podemos observar la grfica de la recta y la de la funcin condicionada.
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B. Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicacin de este teorema, demuestra que lasgrficas de las funciones )cos(2)(y)(
22
xxgexfx
se cortan en, al menos, un
punto.
Solucin: para el enunciado del teorema ver libro de texto. Las funciones f y g son
derivables y por tanto continuas en todo R. Consideramos el intervalo2
,0 y la
funcin diferencia de las dadas )cos(2)(22
xexhx
. Esta funcin cumple que:
0)2
cos(2)2
(y01)0cos(2)0( 220 eeheh , tiene distinto
signo en los extremos del intervalo. Luego podemos asegurar que en, al menos un
punto de ese intervalo h se anula, lo que significa que f y g se cortan en ese punto. Los
extremos del intervalo se eligen as porque son puntos de fcil evaluacin de las
funciones que tenemos.La grfica ilustra la situacin:
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Segundo bloque
A. Encuentra una primitiva de la funcin294
36)(
x
xxf
Solucin: el denominador no tiene races reales y el numerador es de menor grado
)23(6
18)94(
4
91
1436
18)94(
9436
9418
181
9436
2
2
2
222 xATANxL
x
xLxx
xx
x
B. Calcula la integral definida 41
dxx
exx
(puede ayudarte hacer un cambio de
variable).
Solucin: optamos por el cambio ms evidente y calculamos los valores de la nueva variable
correspondientes a los extremos de integracin de la dada, as no tenemos que deshacer el
cambio
3)(222)(22
1 221
2
1
4
1eeetdtetdx
x
exdxtdtdx
xdtxt
ttx
Tercer bloque
A. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamao n. Despeja X de la ecuacin AXB=B2b) Calcula la matriz X siendo
101
310
201
,
011
110
100
BA
Solucin: si A y B tuviesen inversas
BAXBBAXBBAXBBBAAXBABAXB 112112112112
Hemos multiplicado por la derecha y por la izquierda y hemos aplicado propiedades
elementales del producto de matrices.
Las A y B dadas, tienen inversa porque sus determinantes son distintos de cero. Para hallar la
inversa de A podemos recurrir a varios mtodos. Aqu utilizo este
001100
011010
111001
001100
010110
100111
100011
010110
001100
Por fin obtenemos que
201
111
210
101
310
201
001
011
111
X
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B. a) Calcula, en funcin del parmetro Ra , las soluciones de la ecuacin
0
0
101
0011
111
021
210
11
xax
x
xxx
b) Para qu valor de a la ecuacin anterior tiene una nica solucin?.
Solucin: Calculamos el primer determinante de la ecuacin y ebn el segundo restamos a la
segunda fila la primera; as podemos simplificar el clculo
036011
12
360
0
101
102
111
362
axx
xax
x
x
x
xax
x
x
x
x
Ordenamos y resolvemos la ecuacin aaaxx 63,630)3(62
Cuando el radicando sea cero habr solucin nica, luego para a =-6 la solucin es 3.
Cuarto bloque
A. a) Estudia, en funcin del parmetro Rk , la posicin relativa de los planoskzkyxzyx 221 ,1
b) Existe algn valor de kpara el que los planos 21 , sean perpendiculares?
Solucin: Los rangos de la matrices
kkk22
11
1111,
11
111nos dirn las posiciones
relativas. Cuando el rango de la primera sea 1 y el de la segunda tambin 1 los planos sern
coincidentes. Esto pasa cuando todos los coeficientes son proporcionales. En este caso cuando
k=1. Si k=-1 los rangos son distintos, el de la primera matriz es 1 y el de la segunda 2 y los
planos son paralelos. La tercera y ltima situacin es que los rangos sean igual a 2. En este caso
los planos se cortan segn una recta, esto ocurre para todos los valores de k distintos de 1 y de
-1
b) Para que sean perpendiculares los vectores normales a los planos (1,1,-1) y (1,1,-k2
) debenser perpendiculares, su producto escalar debe ser 0, es decir 2+k
2=0 y esto no es posible en R.
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B. a) Halla la ecuacin general de un plano que contenga a la recta
0
1
zy
zxr y que pase por el origen de coordenadas.
b) Halla las ecuaciones paramtricas de una recta r contenida en dicho plano que sea
perpendicular a ry que pase por el punto P(1,0,0)Solucin: a) el plano y+z=0 es uno de los planos que definen rpor tanto la contiene; este plano
tambin pasa por el origen.
b) Si usamos z de parmetro, las ecuaciones paramtricas de r son:
z
y
x
r
1
luego (-1,-1,1) es vector director de r. Buscamos un vector ),,( que sea perpendicular al
anterior y adems perpendicular a (0,1,1) porque queremos que r est contenida en y+z=0,
estas dos condiciones nos llevan al sistema
),,2(0
0Como vemos es un sistema
compatible indeterminado que nos indica que (2,-1,1) es un vector director de r.
Las ecuaciones paramtricas sern
z
y
x
r
21
'