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Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios. Castilla - La Mancha. Junio 2009

MATEMTICAS II

Primer Bloque

A. Encuentra el punto de la recta x+y=4, que cumpla que la suma de los cuadrados de suscoordenadas sea mnima.

Solucin: consideramos la funcin f(x,y)=x2+y

2. Queremos que saber el mnimo de esta

funcin condicionado por x+y=4. Despejamos y en la condicin, queda (y=4-x), y la

sustituimos en f(x,y). Queda x2+(4-x)

2, que es una funcin slo de x; funcin que es

polinmica, derivable por tanto. Su derivada es f(x)=2x-2(4-x),

simplificando f(x)=4x-8. Esta derivada se anula en x=2 y como la derivada segunda es

f(x)=4, podemos asegurar que hay un solo mnimo en x=2 porque solo para este valor

se anula la derivada primera y la segunda es positiva. El valor del mnimo es 22+2

2=8 y

el punto de la recta es el de coordenadas (2,2).En el dibujo podemos observar la grfica de la recta y la de la funcin condicionada.

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B. Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicacin de este teorema, demuestra que lasgrficas de las funciones )cos(2)(y)(

22

xxgexfx

se cortan en, al menos, un

punto.

Solucin: para el enunciado del teorema ver libro de texto. Las funciones f y g son

derivables y por tanto continuas en todo R. Consideramos el intervalo2

,0 y la

funcin diferencia de las dadas )cos(2)(22

xexhx

. Esta funcin cumple que:

0)2

cos(2)2

(y01)0cos(2)0( 220 eeheh , tiene distinto

signo en los extremos del intervalo. Luego podemos asegurar que en, al menos un

punto de ese intervalo h se anula, lo que significa que f y g se cortan en ese punto. Los

extremos del intervalo se eligen as porque son puntos de fcil evaluacin de las

funciones que tenemos.La grfica ilustra la situacin:

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Segundo bloque

A. Encuentra una primitiva de la funcin294

36)(

x

xxf

Solucin: el denominador no tiene races reales y el numerador es de menor grado

)23(6

18)94(

4

91

1436

18)94(

9436

9418

181

9436

2

2

2

222 xATANxL

x

xLxx

xx

x

B. Calcula la integral definida 41

dxx

exx

(puede ayudarte hacer un cambio de

variable).

Solucin: optamos por el cambio ms evidente y calculamos los valores de la nueva variable

correspondientes a los extremos de integracin de la dada, as no tenemos que deshacer el

cambio

3)(222)(22

1 221

2

1

4

1eeetdtetdx

x

exdxtdtdx

xdtxt

ttx

Tercer bloque

A. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamao n. Despeja X de la ecuacin AXB=B2b) Calcula la matriz X siendo

101

310

201

,

011

110

100

BA

Solucin: si A y B tuviesen inversas

BAXBBAXBBAXBBBAAXBABAXB 112112112112

Hemos multiplicado por la derecha y por la izquierda y hemos aplicado propiedades

elementales del producto de matrices.

Las A y B dadas, tienen inversa porque sus determinantes son distintos de cero. Para hallar la

inversa de A podemos recurrir a varios mtodos. Aqu utilizo este

001100

011010

111001

001100

010110

100111

100011

010110

001100

Por fin obtenemos que

201

111

210

101

310

201

001

011

111

X

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B. a) Calcula, en funcin del parmetro Ra , las soluciones de la ecuacin

0

0

101

0011

111

021

210

11

xax

x

xxx

b) Para qu valor de a la ecuacin anterior tiene una nica solucin?.

Solucin: Calculamos el primer determinante de la ecuacin y ebn el segundo restamos a la

segunda fila la primera; as podemos simplificar el clculo

036011

12

360

0

101

102

111

362

axx

xax

x

x

x

xax

x

x

x

x

Ordenamos y resolvemos la ecuacin aaaxx 63,630)3(62

Cuando el radicando sea cero habr solucin nica, luego para a =-6 la solucin es 3.

Cuarto bloque

A. a) Estudia, en funcin del parmetro Rk , la posicin relativa de los planoskzkyxzyx 221 ,1

b) Existe algn valor de kpara el que los planos 21 , sean perpendiculares?

Solucin: Los rangos de la matrices

kkk22

11

1111,

11

111nos dirn las posiciones

relativas. Cuando el rango de la primera sea 1 y el de la segunda tambin 1 los planos sern

coincidentes. Esto pasa cuando todos los coeficientes son proporcionales. En este caso cuando

k=1. Si k=-1 los rangos son distintos, el de la primera matriz es 1 y el de la segunda 2 y los

planos son paralelos. La tercera y ltima situacin es que los rangos sean igual a 2. En este caso

los planos se cortan segn una recta, esto ocurre para todos los valores de k distintos de 1 y de

-1

b) Para que sean perpendiculares los vectores normales a los planos (1,1,-1) y (1,1,-k2

) debenser perpendiculares, su producto escalar debe ser 0, es decir 2+k

2=0 y esto no es posible en R.

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B. a) Halla la ecuacin general de un plano que contenga a la recta

0

1

zy

zxr y que pase por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramtricas de una recta r contenida en dicho plano que sea

perpendicular a ry que pase por el punto P(1,0,0)Solucin: a) el plano y+z=0 es uno de los planos que definen rpor tanto la contiene; este plano

tambin pasa por el origen.

b) Si usamos z de parmetro, las ecuaciones paramtricas de r son:

z

y

x

r

1

luego (-1,-1,1) es vector director de r. Buscamos un vector ),,( que sea perpendicular al

anterior y adems perpendicular a (0,1,1) porque queremos que r est contenida en y+z=0,

estas dos condiciones nos llevan al sistema

),,2(0

0Como vemos es un sistema

compatible indeterminado que nos indica que (2,-1,1) es un vector director de r.

Las ecuaciones paramtricas sern

z

y

x

r

21

'