425
13
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
425
13
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
SHS
Optimización Volumen
Prisma Hexagonal
C. G.
J. B.
1102
425
13
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Problema
• ¿Cuál es la dimensión requerida
para que un prisma hexagonal, con
área superficial de 389.71 cm2,
tenga un volumen máximo?
• Primero se define la figura y ciertas
características de esta. Que
permitirán resolver el problema. Si
se divide un hexágono cualquiera en
seis triángulos, cada uno formado
por el centro y dos vértices
consecutivos, estos triángulos
tendrán la misma área y las mismas
dimensiones, es decir que todos sus
lados son iguales.
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Proceso y metodología
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Apotema
• Para resolver el problema es necesario encontrar el
apotema de cada uno de los triángulos del hexágono
usando el teorema de Pitágoras.
𝑥2 = 𝑎2 +𝑥
2
2
𝑎2 = 𝑥2 − 𝑥
2
2
𝑎 = 3𝑥2
4
𝑎 = 3𝑥
2
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Área de la base
• Conociendo la apotema en términos de x podemos
hallar el área de el hexágono.
𝐴 = 𝑥 × 𝑎
2
𝐴 = 𝑥 ×
3𝑥2
2
𝐴 = 3𝑥2
4
𝐴 = 6 3𝑥2
4
𝐴 = 3 3𝑥2
2
425
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Altura
• Al saber ya el área de la base es posible hallar el
valor de la altura, pues la condición de el área
superficial se relaciona con el área de la base
hexagonal y con la altura del prisma.
𝐴𝑡 = 6 𝐴𝑟𝑒𝑐 + 2 𝐴ℎ𝑒𝑥
𝐴𝑡 = 6𝑥ℎ + 2 3 3𝑥2
2
𝐴𝑡 − 3 3𝑥2 = 6𝑥ℎ
ℎ =𝐴𝑡−3 3𝑥2
6𝑥
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Volumen
• Teniendo definido el valor correspondiente al área de la base y
la altura en términos de x es posible encontrar una ecuación
que relacione el volumen y el lado de la base.
𝑉 = 𝐴ℎ𝑒𝑥 × ℎ
𝑉 =3 3𝑥2
2×𝐴𝑡 − 3 3𝑥2
6𝑥
𝑉 =1
4× 3𝑥 × 𝐴𝑡 − 3 3𝑥2
𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3
4
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Derivar
• Al derivar e igualar a cero, se halla una expresión
para el lado de la base en términos del área
superficial.
𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3
4
𝑉 =𝐴𝑡 3𝑥
4−
9
4𝑥3
𝑉′ =𝐴𝑡 3
4−
27
4𝑥2 = 0
𝐴𝑡 3
4=
27
4𝑥2
𝑥2 =𝐴𝑡 3
27
𝑥2 =𝐴𝑡 3
9 3 3
𝑥 = 𝐴𝑡
9 3
𝑥 = 𝐴𝑡
9 34
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Hallar un área superficial dependiendo de
el lado de la base
• Para facilitar la construcción del modelo
tridimensional, se despeja el área total con el valor
de x deseado. En este caso 5 cm
𝑥 = 𝐴𝑡
3 34
𝐴𝑡 = 3 34
𝑥
𝐴𝑡 = 9 3𝑥2
𝐴𝑡 = 9 3 5 2
𝐴𝑡 = 389.71 𝑐𝑚2
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Altura con respecto de x
• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos
usar la ecuación de la altura para construir el modelo
del prisma hexagonal.
ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2
6𝑥
ℎ =389.71 − 3 × 52
6 × 5
ℎ = 8.6 𝑐𝑚
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Altura con respecto de x
• Teniendo ya el área total y el valor de x podemos usar la
ecuación de la altura para construir el modelo del prisma
hexagonal. De la misma forma encontramos la altura
correspondiente a una figura con la misan área superficial
pero con diferentes dimensiones y un volumen menor.
ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2
6𝑥
ℎ =389.71 − 3 × 52
6 × 5
ℎ = 8.6 𝑐𝑚
ℎ =𝐴𝑡 − 3𝑥2
6𝑥
ℎ =389.71 − 3 × 32
6 × 3
ℎ = 19.05
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Comprobar
• Es posible comprobar los resultados de varias
maneras, una de ellas es reemplazando los valores
en la ecuación correspondiente al volumen.
𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3
4
𝑉 = 389.71 × 3 × 5 − 9 × 53
4
𝑉 = 562.52 𝑐𝑚3
𝑉 = 𝐴𝑡 3𝑥 − 9𝑥3
4
𝑉 = 389.71 × 3 × 3 − 9 × 33
4
𝑉 = 445.44 𝑐𝑚3
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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Comprobar con GeoGebra• Otra forma es con la ayuda de GeoGebra, graficando las funciones y
estableciendo los diversos puntos.
Gracias :D
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