PROBLEMA CASIO
SoluciónSolución MenúMenú
Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN
El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos:
• La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9,72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4,28 m de lado y la altura total del monumento es de 5,25 m.
• Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante).
Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán.
Solución:
EnunciadoEnunciado
Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas:
Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados
dentro del más grande:
Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos:
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Solución:
Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones:
Solución aritméticaSolución aritmética
Solución geométricaSolución geométrica
Solución generalSolución general
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Solución:
El cálculo del área del cuadrado, es fácil:
Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2
Solución Aritmética
1/5
9,72 metros
Aproximadamente 94,48 m2
para la vista desde arribaAproximadamente 94,48 m2
para la vista desde arriba
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Solución:
La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas.
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Solución Aritmética
2/5
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Solución:
Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1,05 m de alto (5,25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión:
Calculamos dicha razón:
9,72 - 4,28 = 5,445,44 / 4 = 1,36
Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos…
Solución Aritmética
3/5
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Solución:
Base Altura Área
Rectángulo 1 4,28m 1,05 m 4,494 m2
Rectángulo 2 5,64 m 1,05 m 5,922 m2
Rectángulo 3 7 m 1,05 m 7,35 m2
Rectángulo 4 8,36 m 1,05 m 8,778 m2
Rectángulo 5 9,72 1,05 m 10,206 m2
Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2
Solución Aritmética
4/5
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Solución:
Área del cuadrado:
94,48 m2
Área de UNO de los cuatro laterales:
36,75m2
Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
Solución Aritmética
5/5
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Otra forma de resolución
Otra forma de resolución
Resultado finalResultado final
Solución:
El cálculo del área del cuadrado, es fácil:
Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 · 9,72 = 94,4784
Aproximadamente 94,48 m2
Solución Geométrica
1/6
9,72 metros
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:En la vista lateral, vemos que a la izquierda de
la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio?
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Solución Geométrica
2/6
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:
Los trasladamos a otro sitio.Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice…
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Solución Geométrica
3/6
MenúMenúEnunciadoEnunciado
MenúMenú
Solución:
Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un…
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Solución Geométrica
4/6
EnunciadoEnunciado
Solución:
¡Un trapecio!¡Un trapecio!
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Solución Geométrica
5/6
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución:
Área del cuadrado:
94,48 m2
Calculamos el área del trapecio:
Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
Solución Geométrica
6/6
MenúMenú
4,28 metros
9,72 metros
Siendo:BM=Base mayorBm=Base menorh=Altura
5,25 m
EnunciadoEnunciado
Otra forma de resolución
Otra forma de resolución
Resultado finalResultado final
Solución:
¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones»?
Solución General
1/7
Solución General
1/7
MenúMenúEnunciadoEnunciado
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros… más escalones…
Solución:
Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones:
Solución General
2/7
Solución General
2/7
MenúMenúEnunciadoEnunciado
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
… más escalones…
Solución:
Vamos ahora con las áreas de los rectángulos:
Solución General
3/7
Solución General
3/7
MenúMenúEnunciadoEnunciado
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética.
… más escalones…
Solución:
Sumamos todos los escalones como progresión aritmética…
Solución General
4/7
Solución General
4/7
MenúMenúEnunciadoEnunciado
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
… más escalones…
Solución:
Aplicamos la fórmula…
Solución General
5/7
Solución General
5/7
MenúMenúEnunciadoEnunciado
9,72 metros
4,28 metros
5,25 metros
… …
Solución:
Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma:
94,48 m2
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución General
6/7
Solución General
6/7
Por lo tanto, área del cuadrado:9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2
9,72 metros
Solución:
Área del cuadrado:
94,48 m2
Área de UNO de los cuatro laterales:36,75 m2
Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
SUPERFICIE TOTAL147 + 94,48 = 241,48 m2
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Solución General
7/7
Solución General
7/7
… …
Otra forma de resolución
Otra forma de resolución
Resultado finalResultado final
MenúMenú
Solución:
EnunciadoEnunciado
La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241,48 m2
HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ...
… pero ¿habrá más formas de calcularla?