26/5/2015 Razndeoro

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Razndeoro

Larazndeoro(elsmboloeslaletragriega"phi"delaizquierda)esunnmeroespecialquevaleaproximadamente1,618

Aparecemuchasvecesengeometra,arte,arquitecturayotrasreas.

La idea

Sidividesunalneaendospartesdemaneraque:

lapartelargadivididaentrelacorta

esigualque

eltotaldivididoentrelapartelarga

entoncestieneslarazndeoro.

AdivinndolaSlohayunvalorquehacequea/bseaiguala(a+b)/a.Probemosunpocoaversipodemosdescubrirlo:

Probamosa=7yb=3,entoncesa+b=10: 7/3=2,333...,Pero10/7=1,429...,asquenofunciona Probamosahoraa=6yb=4,entoncesa+b=10: 6/4=1,5,pero10/6=1,666...,mscercaperotodavano! Probemosa=6,18yb=3,82,entoncesa+b=10:

6,18/3,82=1,6178...,y10/6,18=1,6181...,estamosmuycerca!

Dehechoelvalorexactoes:

1,61803398874989484820...(continasinrepetirse)

Lascifrassiguensinrepetirse.Dehechosesabequelarazndeoroesunnmeroirracional,ytehablarsobreesomsadelante.

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CalcularloPuedescalcularlotmismoempezandoporcualquiernmeroysiguiendoestospasos:

A)divide1entretunmero(1/nmero)B)suma1C)eseestunuevonmero,empiezaotravezdesdeA

Conunacalculadora,slopulsa"1/x","+","1","=",unayotravez.Yoempeccon2ysaquesto:

Nmero 1/nmero Suma12 1/2=0,5 0,5+1=1,5

1,5 1/1,5=0,666... 0,666...+1=1,666...1,666... 1/1,666...=0,6 0,6+1=1,6

1,6 1/1,6=0,625 0,625+1=1,6251,625 1/1,625=0,6154... 0,6154...+1=1,6154...

1,6154...

Sevaacercandomsyms!

Perollevaramuchotiempoacercarnosdeverdad,haymejoresmanerasysepuedencalcularmuyrpidamentemilesdecifras.

Dibujarlo

Hayunamaneradedibujarunrectnguloconlarazndeoro:

Dibujauncuadrado(delado"1")PonunpuntoenlamitaddeunladoDibujaunalneadesdeesepuntoaunaesquinacontraria(medir5/2)Giraesalneahastaquevayaenladireccindelladodelcuadrado

Entoncespuedesextenderelcuadradoaunrectnguloconlarazndeoro.

La frmulaMirandoelrectnguloqueacabamosdedibujar,puedesverquetieneunafrmulasencilla.Siunladomide1,elotroladomide:

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Larazcuadradade5esaproximadamente2,236068,asquelarazndeoroesaproximadamente(1+2,236068)/2=3,236068/2=1,618034.Esunamaneramuyfcildecalcularlocuandolonecesites.

Belleza

Muchosartistasyarquitectoscreenquelarazndeorodalasformsmsagradablesybellas.

Esterectngulosehahechousandolarazndeoro,pareceuntpicomarcodeuncuadro,no?

Muchosedificiosyobrasdearteusanlarazndeoro,

comoelPartennenGrecia.

Sucesin de FibonacciAqutienesunasorpresa.SitomasdosnmerosdeFibonacciconsecutivos,suproporcinestmuycercadelarazndeoro.Dehecho,cuantomsgrandeseanlosnmerosdeFibonacci,mscercadelvalorexacto.

Probemosalgunos:

A B B/A2 3 1,53 5 1,666666666...5 8 1,68 13 1,625

... ... ...144 233 1,618055556...233 377 1,618025751...... ... ...

El ms irracional...

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Larazndeoroeselnmeromsirracional.Esteeselporqu...

Unadelaspropiedadesespecialesdelarazndeoroesquesepuedeescribirentrminosdesmismo,as:

(connmeros:1,61803...=1+1/1,61803...) Estosepuedeexpandirenunafraccinquenoseacabanunca(llamada"fraccincontinua"):

Osea,encajaperfectamenteentrefraccionessimples.

Otrosnmerosirracionalesestnbastantecercadenmerosracionales(porejemploPi=3,141592654...estcercade22/7=3,1428571...)

Otros nombresLarazndeorotambinsellamaseccinarea,mediadeoro,nmerodeoro,proporcindivina,seccindivina,proporinarea...

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