________________________________________________________________________________________
1
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS
UN EJEMPLO DE APLICACIÓN PRÁCTICA
Javier Alonso García 1 y Manuel García Alvarez1
RESUMEN
Se presenta mediante un caso práctico, la aplicación de la redistribución de momentos para el diseño de las
trabes principales de un edificio alto ubicado en el poniente de la Ciudad de México, de acuerdo a lo
establecido en las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del DF. El ejemplo ilustra el proceso
seguido y las ventajas que se obtienen al diseñar los elementos a flexión considerando la redistribución
permitida. Se ilustra además, la ventaja de redistribuir el acero de refuerzo en el peralte de la sección de la
trabe.
ABSTRACT
This paper presents a real design case where moment redistribution has been considered according with
Concrete Design DF Code. The case presented corresponds to a tall building located in the Santa Fe zone,
west to Mexico City. The example intends to show the process for design using moment redistribution, and
illustrates the advantages when this concept is considered. This example also shows advantages when flexural
reinforcement is distributed along beam depth.
INTRODUCCIÓN
En el inciso 1.4.1 de las Normas Técnicas Complementarias “Diseño y Construcción de Estructuras de
Concreto” del Reglamento de Construcciones del D. F. (NTC 2004), se establece que en el diseño de
estructuras continuas se admite una redistribución de los momentos flexionantes obtenidos en análisis
elásticos, siempre y cuando se satisfagan las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en vigas, nudos
y entrepisos. El valor máximo de la reducción en vigas no debe exceder el 20% del obtenido en el análisis.
Muchos códigos modernos aceptan redistribuciones similares, debido a las ventajas que implica la
redistribución de momentos en el diseño de elementos a flexión, aunque el porcentaje de momento a
redistribuir puede variar en diferentes normas. En el caso del ACI 318 (ACI, 2005) el porcentaje de
distribución es el 20%, pero para el Código Neocelandés NZS 4203:1992 (Standards New Zealand, 1992) la
distribución permitida llega al 30%.
El propósito de la redistribución de momentos en las trabes de un marco sismo-resistente es que resulten
diseños más eficientes manteniendo el equilibrio de fuerzas tanto verticales como horizontales. Según Paulay
y Priestley (Paulay y Priestley, 1992) las ventajas de la redistribución de momentos son:
1 Reducir el máximo momento absoluto mediante el incremento en la demanda de momentos en
regiones no críticas. De ser posible, el momento positivo y negativo en los extremos de las trabes se
igualará para que el resultado sea un armado simétrico del acero de refuerzo longitudinal.
1 Alonso y Asociados, S. C., Proyecto Estructural, Carretera México-Toluca 1725 – C5; Lomas de
Palo Alto; 05110 México, D. F. Teléfono: (55)2167-0070; [email protected];
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
2
2 Igualar los requerimientos de momento en las trabes que se encuentran en las caras opuestas de
columnas interiores para evitar la necesidad de recortar acero de refuerzo longitudinal en las uniones
viga-columna.
3 Si se utiliza la capacidad mínima a momento para el diseño, se facilita la posibilidad de que el acero
de refuerzo para momento negativo y positivo no difieran en su cuantía por más del 50% siendo este
uno de los requisitos para asegurar que el elemento en estudio pueda desarrollar la ductilidad de
diseño.
4 Si se siguen los principios para el diseño por capacidad, al reducir la resistencia a momento de las
trabes debido a la redistribución, se asegura que la cantidad de acero de refuerzo en las columnas no
sea excesiva
Aunque la metodología que se sigue en el proceso de la redistribución se puede encontrar en varias
referencias, los autores han considerado oportuno mostrar un ejemplo de aplicación práctica que enfatiza las
ventajas y supone podrá motivar a otros diseñadores a seguir procesos similares en el diseño de estructuras.
DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA
La estructura en estudio es un edificio ubicado en la zona poniente de la Ciudad de México, con condiciones
de suelo firme. El edificio será de uso mixto (comercial y vivienda) y contempla 7 sótanos de
estacionamiento, 3 niveles de área comercial, 26 niveles de vivienda y cubierta, con un área total de
construcción aproximadamente igual a 50,000 m2.
La figura 1 presenta una planta arquitectónica tipo de vivienda y la figura 2 un corte arquitectónico
longitudinal. Las plantas tipo de vivienda, son sensiblemente rectangulares y tienen dimensiones máximas en
planta de 54.0 x 14.40 m. Los claros máximos son de 9.0 x 9.0 m y la altura de entrepiso es de 4.0 m.
La estructura se resolvió mediante un sistema de marcos dúctiles de concreto de alta resistencia colado “in
situ”, en combinación con muros de concreto en las zonas de circulaciones verticales. Las trabes principales
tienen una sección rectangular de 40 x 110 cm (b x h)y las columnas en la zona de vivienda tienen una
sección cuadrada de 115 cm de lado. El sistema de piso consiste en una losa reticular de 35 cm de peralte
conformada mediante casetones de fibra de vidrio.
En la figura 3 se presenta la planta de estructuración del Nivel L06, del cual, la trabe del eje G será utilizada
como ejemplo en este artículo. La distribución de cargas gravitacionales implica que la trabe en estudio tenga
una carga uniformemente distribuida igual a 4.5 ton/m incluyendo el peso propio de la trabe.
La estructura fue modelada con el programa ETABS ®. En la figura 4 se presenta el modelo 3D estudiado y
en la figura 5 se muestra la planta correspondiente. Sólo como datos informativos, se presentan en la figura 6
las tres primeras formas modales con los períodos correspondientes, y en la figura 7 se muestran las
distorsiones máximas en las dos direcciones principales, bajo la acción del sismo dinámico de diseño.
Figura 1. Planta tipo arquitectónica
________________________________________________________________________________
3
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 2. Corte transversal
Figura 3. Planta estructuración nivel tipo
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
4
Figura 4. Modelo 3D de la estructura en estudio
Figura 5. Planta tipo de la estructura en estudio
Figura 6. Formas modales principales
T1= 5.3 seg T2= 4.7 seg T3= 3.0 seg
________________________________________________________________________________
5
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 7. Distorsiones de entrepiso
REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS En estructuras de concreto, la redistribución de momentos empieza en etapas tempranas cuando se presentan
grietas en los elementos estructurales y por esto, si se hace un detallado para resistir la demanda de ductilidad
a flexión, se pueden permitir porcentajes de redistribución importantes (20% en NTC-RDF y ACI, 30% en
NZS).
En la figura 8 se presenta el diagrama de momentos por cargas gravitacionales y por sismo a lo largo de la
trabe del eje G del nivel L06 del edificio en estudio. En esta misma figura se ha incluido el proceso seguido
para la redistribución de los momentos. El número de renglón representa los diferentes pasos seguidos en el
procedimiento, y a continuación se da una breve explicación de cada paso:
► �otas explicativas a cada uno de los pasos seguidos durante el proceso de distribución de momentos,
según se presenta en la figura 8:
1.- Los valores indicados en esta línea, representan los valores nominales del momento flexionante al centro
de la columna, obtenidos a partir de los resultados del análisis elástico.
2.- Estos valores representan los momentos nominales al centro de la columna, debidos a la acción del sismo
en la dirección paralela al eje G. En este caso se presenta el diagrama de momentos considerando que las
fuerzas sísmicas deforman al marco hacia la derecha de la figura.
3.- Se presenta la suma algebraica de los momentos presentados en las líneas 1 y 2.
4.- Se presenta el máximo valor (20% según NTC-RDF) de la redistribución permitida para cada entre-eje.
5.- Se igualan los momentos M+ y M
- considerando el promedio correspondiente a todo lo largo de la trabe, de
modo que:
M+ prom
= (132+137+129+148+152)/5= +140 ton-m
M- prom
= (-193-203-193-209-218)/5= -203 ton-m
(ddddQ/H)x= 0.007 (ddddQ/H)y= 0.008
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
6
Hay que notar que la suma de los momentos en la trabe, no se ha modificado en los pasos 3 y 5.
6.- Mcc representa los momentos en la cara de la columna. Estos momentos se pueden encontrar por métodos
gráficos (los programas de análisis pueden dar esta opción), o bien calculando el cambio de momento del
centro de la columna hacia la cara de la misma.
7.- Se igualan los momentos M+ y M
- obtenidos en las caras de las columnas y se calcula el
incremento/decremento en los momentos obtenidos en el paso 6. Para este caso:
M+cc= M
-cc= (122+170)/2= 146 ton-m
y DDDDM= (170-122)/2= 24 ton-m
8.- Se agrega DDDDM a los valores obtenido en el paso 5 para obtener el valor de M resultante en el eje de la
columna. Nuevamente hay que observar que no hay cambio en la suma de los momentos en el entrepiso.
9.- La diferencia entre los valores de momento indicados en las líneas 3 y 8, representan la reducción absoluta
del momento originalmente obtenido del análisis. Esta reducción debe compararse contra la reducción
calculada en la línea 4, que representa la máxima distribución permitida por el código (NTC).
Diseño por flexión De esta forma, se obtiene que el momento nominal que debe ser considerado en la cara de las columnas bajo
la acción de cargas gravitacionales más sismo es igual a 146 ton-m. Así, el momento último de diseño resulta
igual a:
M+u= M
-u= 1.1 (146)= 161 ton-m
Para poder resistir este momento con una sección 40x110 con un concreto f’c= 500 kg/cm2, se requiere un
área de acero longitudinal igual a 44 cm2.
De no haber realizado la redistribución descrita, el momento negativo último en algunas secciones, hubiera
alcanzado valores de 220 ton-m, lo que implica un área de refuerzo longitudinal igual a 62 cm2.
Diseño por cortante El diseño por cortante para la trabe, se realiza considerando los efectos de carga gravitacional más el cortante
derivado de la capacidad a flexión de la trabe. Con este criterio, se obtiene lo siguiente:
- El cortante último de la trabe en la cara de la columna por efectos gravitacionales resulta:
Vu= 1.1(4.5) (9-1.15)/2= 19.4 ton
- El cortante máximo que puede desarrollarse en la trabe durante la acción del sismo,
considerando la capacidad a flexión de la misma con un factor de reducción de resistencia a
flexión ffff= 1.0 y un factor de sobre-resistencia en el acero de refuerzo igual a 1.25, resulta:
Msr= 218 ton-m
Vu cap= (218+218)/(9.00-1.15)= 55.5 ton
Por lo tanto, el cortante de diseño por capacidad resulta: Vu= 19.4 + 55.5= 74.9 ton
Despreciando la resistencia del concreto a cortante, se requiere refuerzo transversal a base de estribos #4
separados a cada 12 cm.
________________________________________________________________________________
7
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
En la figura 9 se presenta el detalle de refuerzo de la trabe.
Figura 8. Redistribución de momentos de la trabe del eje G �ivel L-06
Figura 9. Refuerzo trabe eje G �ivel L06
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
8
Redistribución del refuerzo en el peralte de la trabe
En ocasiones, el congestionamiento del refuerzo en las zonas de los nudos trabe-columna hace prácticamente
imposible colocar el acero de refuerzo de las trabes con el recubrimiento señalado en planos. Es entonces
importante, considerar las ventajas que pueden obtenerse si el refuerzo longitudinal se distribuye a lo largo de
una parte del peralte de la trabe.
En las figuras 10, 11 y 12, se presentan las gráficas momento-curvatura para la trabe que se estudió en el
ejemplo anterior, bajo las tres consideraciones siguientes:
- Caso 1 (figura 10): Se considera que el acero longitudinal se concentra en los extremos de la
trabe generando un recubrimiento efectivo aproximadamente igual a 6.0 cm
- Caso 2 (figura 11): Se considera que el acero longitudinal se distribuye en tres lechos
espaciados 5 cm entre ellos.
- Caso 3 (figura 12): Se considera que el acero longitudinal se distribuye en tres lechos
espaciados 10 cm entre ellos.
Se puede apreciar que la diferencia en el momento resistente para las diferentes distribuciones de acero de
refuerzo, tiene una variación del orden del 10% para los casos extremos, lo que puede resultar en un valor
aceptable, si se consideran todas las ventajas que conlleva esta solución.
CONCLUSIONES
Se ha presentado mediante un caso práctico un procedimiento para lograr la redistribución de momentos que
permiten las NTC (2004) en trabes. Independientemente de la economía que pudiera lograrse con esta
redistribución, se obtienen ventajas importantes al disminuir el máximo momento absoluto en las trabes.
Algunas de estas ventajas son:
- Igualdad en momentos positivo y negativo, lo que redunda en un refuerzo simétrico.
- Igualar momentos en caras opuestas de columnas interiores, lo que mejora las condiciones
de adherencia del refuerzo longitudinal.
- El refuerzo positivo y negativo no difiere en más del 50% lo que mejora la ductilidad del
elemento.
- Mayor facilidad de lograr un comportamiento columna fuerte – trabe débil debido a la
reducción de resistencia en las trabes.
- Mayor facilidad de lograr un comportamiento de falla a flexión en la trabe por la reducción
del momento resistente y el uso de diseño por capacidad.
Debido a la distribución del acero de refuerzo en varios lechos, se mejora la facilidad constructiva en obra en
la zona de nudos columna-trabe densamente reforzados, sin sacrificios importantes en la capacidad resistente.
Se espera que este ejemplo sencillo, motive a otros diseñadores a hacer uso efectivo del concepto de
redistribución de momentos y lograr así una pequeña mejora en el comportamiento sismo-resistente de las
estructuras de concreto.
________________________________________________________________________________
9
Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 10. Momento-curvatura refuerzo concentrado en extremos (Caso 1)
Figura 11. Momento-curvatura refuerzo con distribución 1 (Caso 2)
Figura 12. Momento-curvatura refuerzo con distribución 2 (Caso 3)
PROYECTO: PROYECTO No.
CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 02/03/2008
Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 8
Peralte 110 cm 15.00 cm 3 # 8
Recubrimiento 7 cm 25.00 cm 3 # 8
35.00 cm # 8
45.00 cm # 8
f'c 500 kg/cm2 P os ición C antidad Del #
Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8
Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8
εc en f'c 0.002 25.00 cm 3 # 8
εc máxima 0.004 15.00 cm 3 # 8
Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 8
Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2
Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2
Esf. último, fu 1.35 fy
Def. fluencia, εy 0.002
Def. end por def, εsh 0.008
Def. última, εsu 0.100
Material a utilizar 1.00 fy
0 % As * fy
0.000034 0.000034
0.000674 0.000678
188.33 189.08
19.55 19.70
Curvatura de fluencia φy (1/cm) .
Curvatura última φu (1/cm) .
Momento nominal (ton m) .
Ductilidad en términos de curvatura, µφ .
CARGA AXIAL
Carga axial en la
sección (Compresión
positiva)
#4@10
0.0 TonMomento
positivo
Momento
negativo
ACERO DE REFUERZO
REFUERZO SUPERIOR
REFUERZO INFERIOR
REFUERZO TRANSVERSAL
Ejemplo NTC 2004
DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO
SECCION
CONCRETO
0
50
100
150
200
250
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008
Curvatura (1/cm)
Momento (ton m)
Momento Positivo Momento Negativo
Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal
PROYECTO: PROYECTO No.
CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 01/03/2008
Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 8
Peralte 110 cm 10.00 cm 3 # 8
Recubrimiento 7 cm 15.00 cm 3 # 8
35.00 cm # 8
45.00 cm # 8
f'c 500 kg/cm2 P os ic ión C antidad D el #
Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8
Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8
εc en f'c 0.002 15.00 cm 3 # 8
εc máxima 0.004 10.00 cm 3 # 8
Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 8
Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2
Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2
Esf. último, fu 1.35 fy
Def. fluencia, εy 0.002
Def. end por def, εsh 0.008
Def. última, εsu 0.100
Material a utilizar 1.00 fy
0 % As * fy
0.000031 0.000031
0.000650 0.000656
191.26 191.55
21.01 21.26
Ejemplo NTC 2004
DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO
SECCION
CONCRETO
ACERO DE REFUERZO
REFUERZO SUPERIOR
REFUERZO INFERIOR
REFUERZO TRANSVERSAL
CARGA AXIAL
Carga axial en la
sección (Compresión
positiva)
#4@10
0.0 TonMomento
positivo
Momento
negativo
Curvatura de fluencia φy (1/cm) .
Curvatura última φu (1/cm) .
Momento nominal (ton m) .
Ductilidad en términos de curvatura, µφ .
0
50
100
150
200
250
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007
Curvatura (1/cm)
Momento (ton m)
Momento Positivo Momento Negativo
Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal
PROYECTO: PROYECTO No.
CLIENTE: SMIE HECHO POR: JAG FECHA: 01/03/2008
Ancho 40 cm 5.00 cm 3 # 10
Peralte 110 cm 7.00 cm 4 # 8
Recubrimiento 7 cm 25.00 cm # 8
35.00 cm # 8
45.00 cm # 8
f'c 500 kg/cm2 P os ic ión C antidad D el #
Factor para Ec 14,000 45.00 cm # 8
Módulo Elasticidad 313,050 kg/cm2 35.00 cm # 8
εc en f'c 0.002 25.00 cm # 8
εc máxima 0.004 7.00 cm 4 # 8
Material a utilizar 1.00 f'c 5.00 cm 3 # 10
Esf. de fluencia, fy 4,200 kg/cm2
Módulo Elasticidad 2,100,000 kg/cm2
Esf. último, fu 1.35 fy
Def. fluencia, εy 0.002
Def. end por def, εsh 0.008
Def. última, εsu 0.100
Material a utilizar 1.00 fy
0 % As * fy
0.000029 0.000029
0.000610 0.000611
193.46 193.48
21.01 21.11
Ejemplo NTC 2004
DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE TRABES DE CONCRETO
SECCION
CONCRETO
ACERO DE REFUERZO
REFUERZO SUPERIOR
REFUERZO INFERIOR
REFUERZO TRANSVERSAL
CARGA AXIAL
Carga axial en la
sección (Compresión
positiva)
#4@10
0.0 TonMomento
positivo
Momento
negativo
Curvatura de fluencia φy (1/cm) .
Curvatura última φu (1/cm) .
Momento nominal (ton m) .
Ductilidad en términos de curvatura, µφ .
0
50
100
150
200
250
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007
Curvatura (1/cm)
Momento (ton m)
Momento Positivo Momento Negativo
Momento Positivo Bilineal Momento Negativo Bilineal
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
10
REFERE�CIAS
ACI (2005) “ACI 318, Building Code requirements for structural concrete and commentary”, ACI
Committee
Paulay, T. y Priestley, M. J. N. (1992), “Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings”,
Wiley, New York, N. Y.
NTC (2004) “Reglamento de Construcciones del DF – �ormas Técnicas Complementarias para el
Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto”, Gobierno del Distrito Federal
Standards New Zealand (1995) “Concrete structures standard”, Standards New Zealand, Wellington, N.Z.
Standards New Zealand (2004) “Structural design actions-Earthquake actions”, Standards New Zealand,
Wellington, N.Z.
Top Related