Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas
Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuacion diferencial de Benoulli
Vanessa Marrugo SantanderEiver Rodrıguez Perez
Jon Valiente Iglesias
17 de diciembre de 2015
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Solucion a los ejercicios 5,8,14
1. Resolver en grupo de 3 personas 3 ejercicios que el docente leasigne y prepararse para sustentar en el tablero.
5). s′ + 7s = rs7
Seas′ + 7s = rs7
Multiplique toda la ecuacion diferencial por s−7, entonces
s−7s′ + 7s−6 = r
Tome el cambio de variable u = s−6,por lo que
du
dr= −6s−7s′,entonces −1
6
du
dr= s−7s′, luego
−1
6
du
dr+ 7u = r
Multiplique toda la ecuacion anterior por −6, obteniedose:
du
dr− 42u = −6r
Por simple inspecion, la ecuacion diferencial anterior es lineal de primerorden.
Sea q(r) = −6r y p(r) = −42, entonces el factor integrante viene dadopor
w(r) = e∫p(r) dr
w(r) = e−42∫dr
w(r) = e−42r
Y la solucion general viene dada por:
u =
∫w(r) q(r) dr
w(r)
2
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
u =
∫(e−42r)(−6r) dr
e−42r
Resolvamos la integral del numerador por partes, tome:
m = −6r; dm = −6dr y dv = e−42rdr v = − 1
42e−42r ası:
u =6re−42r
42 −∫
642e−42r dr
e−42r
u =r7e−42r + 1
294e−42r + c
e−42r
u =1
s6=
r
7+
1
294+ ce42r
1
s6=
294r + 7 + 2058ce42r
2058
s = 6
√2058
294r + 7 + 2058ce42r
8). x3y′ + x2y = x7y34
Seax3y′ + x2y = x7y
34
Multiplique toda la ecuacion diferencial por y−34 , luego
y−34y′ + x2y
14 = x7
Tome el cambio de variable u = y14 , entonces,
du
dx=
1
4y−
34y′, luego
4du
dx= y−
34y′
Por tanto,
4du
dx+ x2u = x7
du
dx+
1
4x2u =
1
4x7
3
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Sea p(x) =x2
4, y q(x) =
x7
4, el factor integrante viene dado por:
w(x) = e∫p(x) dx = e
∫x2
4 dx = ex3
12
Por tanto la solucion general de la ecuacion diferencial viene dada por
u = y14 =
∫w(x)q(x) dx
w(x)=
∫e
x3
12
(x7
4
)dx
ex3
12
La integral del numerador la resolvemos usando las tablas:∫xneaxdx =
1
axneax − n
a
∫xn−1eaxdx
14). e−x(y′ − y) = y2
Seae−xy′ − ye−x = y2
Divida cada termino de la expresion anterior por e−x, entonces
y′ − y =y2
e−x
y′ − y = exy2
Multiplique la expresion anterior por y−2, luego
y−2y′ − 1
y= ex
Tome u =1
y, entonces,
du
dx= −y−2y′, o lo que es lo mismo −du
dx= y−2y′
ası:
−dudx− u = ex
du
dx+ u = −ex
4
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Sea p(x) = 1 y q(x) = −ex luego el factor integrante viene dado por
E(x) = e∫p(x) dx = e
∫dx = ex
Y la solucion general viene dada por:
u =1
y=
∫E(x)q(x) dx
E(x)
u =1
y=−∫e2x dx
ex=−1
2e2x + c
ex
y =1
−12e
x + ce−x=
2
2ce−x − ex
y =2ex
2c− e2x
5
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