Taller Ecuaciones de Bernoulli
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Transcript of Taller Ecuaciones de Bernoulli
Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas
Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuacion diferencial de Benoulli
Vanessa Marrugo SantanderEiver Rodrıguez Perez
Jon Valiente Iglesias
17 de diciembre de 2015
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Solucion a los ejercicios 5,8,14
1. Resolver en grupo de 3 personas 3 ejercicios que el docente leasigne y prepararse para sustentar en el tablero.
5). s′ + 7s = rs7
Seas′ + 7s = rs7
Multiplique toda la ecuacion diferencial por s−7, entonces
s−7s′ + 7s−6 = r
Tome el cambio de variable u = s−6,por lo que
du
dr= −6s−7s′,entonces −1
6
du
dr= s−7s′, luego
−1
6
du
dr+ 7u = r
Multiplique toda la ecuacion anterior por −6, obteniedose:
du
dr− 42u = −6r
Por simple inspecion, la ecuacion diferencial anterior es lineal de primerorden.
Sea q(r) = −6r y p(r) = −42, entonces el factor integrante viene dadopor
w(r) = e∫p(r) dr
w(r) = e−42∫dr
w(r) = e−42r
Y la solucion general viene dada por:
u =
∫w(r) q(r) dr
w(r)
2
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
u =
∫(e−42r)(−6r) dr
e−42r
Resolvamos la integral del numerador por partes, tome:
m = −6r; dm = −6dr y dv = e−42rdr v = − 1
42e−42r ası:
u =6re−42r
42 −∫
642e−42r dr
e−42r
u =r7e−42r + 1
294e−42r + c
e−42r
u =1
s6=
r
7+
1
294+ ce42r
1
s6=
294r + 7 + 2058ce42r
2058
s = 6
√2058
294r + 7 + 2058ce42r
8). x3y′ + x2y = x7y34
Seax3y′ + x2y = x7y
34
Multiplique toda la ecuacion diferencial por y−34 , luego
y−34y′ + x2y
14 = x7
Tome el cambio de variable u = y14 , entonces,
du
dx=
1
4y−
34y′, luego
4du
dx= y−
34y′
Por tanto,
4du
dx+ x2u = x7
du
dx+
1
4x2u =
1
4x7
3
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Sea p(x) =x2
4, y q(x) =
x7
4, el factor integrante viene dado por:
w(x) = e∫p(x) dx = e
∫x2
4 dx = ex3
12
Por tanto la solucion general de la ecuacion diferencial viene dada por
u = y14 =
∫w(x)q(x) dx
w(x)=
∫e
x3
12
(x7
4
)dx
ex3
12
La integral del numerador la resolvemos usando las tablas:∫xneaxdx =
1
axneax − n
a
∫xn−1eaxdx
14). e−x(y′ − y) = y2
Seae−xy′ − ye−x = y2
Divida cada termino de la expresion anterior por e−x, entonces
y′ − y =y2
e−x
y′ − y = exy2
Multiplique la expresion anterior por y−2, luego
y−2y′ − 1
y= ex
Tome u =1
y, entonces,
du
dx= −y−2y′, o lo que es lo mismo −du
dx= y−2y′
ası:
−dudx− u = ex
du
dx+ u = −ex
4
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Sea p(x) = 1 y q(x) = −ex luego el factor integrante viene dado por
E(x) = e∫p(x) dx = e
∫dx = ex
Y la solucion general viene dada por:
u =1
y=
∫E(x)q(x) dx
E(x)
u =1
y=−∫e2x dx
ex=−1
2e2x + c
ex
y =1
−12e
x + ce−x=
2
2ce−x − ex
y =2ex
2c− e2x
5